torsion

La torsion est un cas particulier de cisaillement (lorsque les forces appliqués sur 2 faces, ne sont plus concourantes).L'effort produit pour visser quelque chose, introduit la notion de TORSION qui se définit à l'aide de :

Un couple >> ce sont les 2 forces appliquées en sens inverses aux 2 points opposés sur le cercle extérieur de la vis (supposée de révolution)  Une rotation >> c'est l'angle plan dont pourra tourner la vis. Un moment >> c'est la prise en compte du phénomène à partir de l'axe de l'éventuelle rotation

L'ennui (pour ces notions) est qu'on trouve le mot COUPLE en ridicule abréviation de tout :

-soit pour signifier les 2 forces (2F) et là c'est à peu près normal

-soit pour signifier (ou moins de) (ou plus que) 2 forces (nF) et là c'est anormal

-soit pour signifier le moment des forces sans torsion (un moment normal, pris au point médian entre les forces) et c'est une abréviation malheureuse

-soit enfin pour signifier le moment de rotation (2F.l / θ) et là c'est une magistrale erreur

-le moment de rotation d'un couple de forces (souvent abrégé en «couple»)

C'est le moment d'un couple de forces, tendant à entraîner un déplacement rotatif (rotation ou torsion) du corps auquel elles sont appliquées

Dans un vissage, le moment du couple de torsion est dynamique (actif) mais est compensé à chaque instant (selon le principe d'action et de réaction) par un moment résistant (réactif) de la part de l'autre partie de l'objet recevant ledit couple -cette réaction étant l'inertie de l'objet ou les frottements ....-

Le moment des forces, lui, est par contre statique (il n'y a pas de rotation)

Equation aux dimensions du moment de torsion:  L2.M.T-2.A-1   Unité : Joule-couple

MΓ = dF.l / dθ      ou     MΓ = Mf  / θ   et également  MΓ = f².I / θ

F(N)= chacune des 2 forces parallèles, égales, opposées, appliquées à un solide

l(m)= distance entre les 2 forces

θ(rad)= angle de rotation

Mf(N-m)= moment du couple (de forces) et il n'y a pas ici de rotation

Î(kg-m²)= moment d’inertie du corps

f(s-1)= fréquence de rotation

CAS GÉNÉRAL de L'ÉQUILIBRE d’UN SYSTÈME MOBILE AUTOUR d’un AXE

Le système est donc soumis à divers moments (dont celui du couple de sa rotation)

et il est en équilibre :  Î*.d²θ/ dt² + Mcp.dθ/ dt + MΓ.θ= 0

Î*(kg-m²/rad)= moment d’inertie centrifuge du corps

θ(rad)= angle plan de rotation  et   t(s)= temps de la rotation

Mcp(J-s/rad)= moment cinétique

MΓ(J/rad)= (moment du) couple de torsion -ou moment de torsion du couple-

Nota : à l’équilibre statique d’un corps, la Σ des moments appliqués = 0 (pas de rotation)

Le moment résultant ci-dessus est (en formule pragmatique)

 MΓ = 0,35Mf + 0,65(θ.MΓ² + Mf²)1/2

-moment de torsion (ou moment de rotation ou moment angulaire de forces)

Issu de l'équation générale, il est l'élément de la torsion causée par un couple de forces

On trouve parfois le mauvais synonyme "couple de torsion" qu'il ne faut pas utiliser car qui dit "couple" , dit paire de forces (et une force n'est pas un "moment")

MΓ = 2F.lr / θ   où MΓ (J/rad) est le moment de torsion

lr(m) est le rayon du cercle décrit quand les forces F sont distantes de 2 lr

θ(rad) est la rotation

Attention aux terminologies abusivement abrégées :

-couple signifie "paire de forces"----moment du couple signifie moment (potentiel) du couple

---moment de rotation (ou torsion) signifie moment actif (avec mouvement rotatif)

Ce dernier moment est un torseur de somme nulle.

Equation aux dimensions structurelles: L2.M.T-2.A-1

Symbole de désignation : MΓ        Unité S.I.+ : Joule par radian, ou Joule-couple

Un couple de serrage est un cas particulier de moment de torsion

-angle de torsion θ:

Nommé parfois "élongation angulaire" ou "restriction angulaire" la variation d'angle θ est :

θ = Mf / MΓ = F / z     ou  θ = Vr.nc / MΓ   ou encore  θ = l.Vr.nc / η*.Îp

θ(rad)= angle plan dont tourne une tige encastrée soumise à un couple de forces Mf à son extrémité libre

MΓ (J/rad)= moment (du couple) de torsion

l(m)= longueur de la barre, F(N)= chaque force du couple

z(N/rad)= constante de torsion     η*(Pa/rad)= module de torsion

yP = coefficient de Poisson (Voir valeurs chapitre Module)

 Îp(m4)= moment d’inertie polaire(pris par rapport au centre de gravité)

Vr(m3)= moment de résistance

nc(N/m²)= module (contrainte) de cisaillement

-constante de torsion

Cette "constante" (cependant dimensionnelle) compare chacune des 2 forces, à l’angle

θ de torsion: c’est une constante angulaire de rappel

Equation aux dimensions  : L.M.T-2.A-1        Symbole de grandeur : z       Unité S.I.+ : N/rad

z = F / θ    ou    z = MΓ / l      ou   z = η*.l²       et encore   z = Mf / l.θ   

z(N/rad)= constante de torsion correspondant à l’angle de rotation θ(rad)

MΓ(J-couple)= moment de torsion    η*(N/rad)= module de torsion

l(m)= distance entre les forces F(N) du couple

Mf(N-m)= moment des forces qui vont faire tourner le corps de θ(rad)

-module de torsion (ou contrainte de torsion)

C'est une contrainte de cisaillement ramenée à l'angle θ de torsion

Equation aux dimensions : L-1.M.T-2.A-1    Symbole de grandeur : η*    Unité S.I.+ : Pa/rad

η* = nG / θ = MΓ / Vr        ou  η* = Mf / Vr.θ

η*(Pa/rad)= module de torsion

nG(N/m²)= contrainte de cisaillement (Voir valeurs chapitre Module)

MΓ(J-couple)= moment de torsion, qui vaut (F .D*t)

D*t(m/rad)= rayon de torsion

Vr(m3)= moment résistant (dit aussi module d’inertie)

Mf(N-m)= moment des forces F qui font tourner le corps de θ(rad)

-coefficient de torsion  >>  c'est l'inverse du module de torsion ci-dessus

-rayon de torsion c’est la même notion qu’un rayon de courbure

Equation aux dimensions : L.A-1        Symbole  : D*t       Unité S.I.+ : m/rad

D*t = l / θn

Le rayon de torsion est le rapport entre l’abscisse curviligne l du point et l’angle θn entre la normale et la binormale

CAS PARTICULIERS de MOMENTS de ROTATION

-un moment gyroscopique est un cas particulier de moment de rotation

(voir paragraphe gyroscope)

-couple d'un moteur automobile

MΓ = a’.Ir / θ         et   MΓ =  P / ω

a’(rad/s²)= accélération angulaire   P(W)= puissance

ω(rad/s)= vitesse angulaire

donc quand la vitesse angulaire diminue, le moment de rotation du couple augmente.

Le moment-couple aux roues est supérieur au moment-couple de l'arbre moteur, car le vilebrequin du moteur tourne plus vite que l'arbre des roues

-couple d'un moteur électrique

MΓ = n.Φ.i / θ    où n = nombre d'enroulements

MΓ est le moment du couple moteur (donc un moment de torsion) en J-couple

Φ(Wb)= FLUX d’induction magnétique

θ(rad)= angle de rotation (égal à 2∏ si le système d'unités a le radian comme unité)

i(A)= intensité du courant dans l'induit

-couple exercé par une charge électrique en rotation

l'abrégé "couple" est le moment de rotation du couple

MΓ = Mg.H'     où MΓ(J-couple)= moment de torsion (c'est à dire moment de rotation du couple des forces antagonistes) et Mg(A-m²)= moment magnétique ampèrien

H'(T-sr)= magnétisation

-couple d'un galvanomètre

Un galvanomètre est muni d’un cadre mobile bobiné, placé dans l’entrefer d’un électroaimant et permet une mesure (électrique) à travers la mesure du moment de torsion du couple de ce cadre soit

MΓ = 2n.S.i.B / θ    où MΓ(J-couple)= moment de rotation du couple

B(T)= champ d’induction magnétique créé par l’électroaimant

n = nombre de spires du bobinage, parcouru par un courant i(A)

S(m²)= surface du cadre qui tourne d'un angle θ(rad)

ÉNERGIE (TRAVAIL) d'un COUPLE de ROTATION

Le travail est Wu = produit du déplacement (donc l'arc parcouru la) x (la force F)

ou encore   Wu = MΓ.θ

où Wu(J)= énergie (travail) fourni par la rotation de θ rad, d'un couple de 2 forces F (parallèles, égales, opposées, distantes de l mètres) appliquées à un solide

MΓ(J/rad)= moment de rotation du couple des 2 forces (ce moment MΓ valant F.l / θ)

θ(rad) est l’angle plan dont tourne chacune des forces du couple

-énergie potentielle de torsion

énergie emmagasinée par un corps ayant subi une torsion

Equation aux dimensions :L2.M.T-2        Symbole de grandeur : Ep        Unité S.I.+ : J

Cas d’un ressort (loi de Hooke) :

Ep = MΓ.θ      ou    Ep = Vr.∫nn.dl / l

où MΓ(J/rad)= moment de torsion du couple de rappel du ressort

θ(rad)= angle de torsion (dit aussi élongation angulaire)

nn(N/m²)= module (contrainte) normale

dl / l (nombre)= allongement relatif et Vr(m3)= moment résistant du ressort

OSCILLATION de TORSION

Si la torsion s'arrête et repart dans l'autre sens, il y a oscillation et à chaque instant la somme de l’énergie cinétique Ec et de l’énergie potentielle Ep est constante:

Ec + Ep= K     soit    f².I /2 + z.l.θ = K

VALEURS de TORSIONS

barre de section rectangulaire       Vr = MΓ / η*   

barre de section circulaire pleine   Vr = p.l3/ 16    

et le module de torsion est             η* = MΓ.l / lr4     

Les symboles des 3 formules ci-dessus sont :

MΓ(J-couple)= moment de rotation du couple de forces attaché au mobile

l(m)= longueur de la barre  et lr(m)= rayon de la section

η*(Pa/rad)= module de torsion

Vr(m3)= moment résistant (dit aussi module d’inertie)