FORMULES de PHYSIQUE
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superposition d'oscillations
CAS de SUPERPOSITION d’OSCILLATIONS (ou VIBRATIONS) LIBRES
C'est à dire superposition avec fréquences différentes
-cas général
On suppose qu'il s'agit d'oscillations sinusoïdales harmoniques, d’amplitude identique avec déphasage nul
Si lé1 = lA.sin(ω1.t) est l’équation de la première oscillation et
lé2 = lA.sin(ω2.t) celle de la seconde
l’élongation résultante est : lé(1+2) = 2lA.[cos(ω1-ω2).t / 2].[sin(ω1+ω2).t / 2]
où lA.et lB(m) sont les amplitudes
ω1 et ω2(rad/s)= vitesses angulaires et t(s)= temps
-cas de 2 oscillations sinusoïdales perpendiculaires (ou rectangulaires)
Elles ont période identique
Si lx = lA.sin(ω3 .t) est l’équation de la première oscillation et ly = lB.sin(ω4.t + φ) celle perpendiculaire.
L’élongation résultante est lx² / l²A- (2.lx.ly.cosφ) / (lA.lB) + (ly²/ l²B) / sin²φ
c’est l’équation d’une conique
-cas particulier de directions différentes pour les élongations
Le point représentant la résultante décrit des courbes de Lissajous (genre trèfle à 4 feuilles)
-superposition avec même fréquence
f = (W'd / m)1/2 où (W'd en kg/s² = constante de rappel et m(kg)= masse)
L'onde stationnaire est un ensemble de 2 ondes progressives usuelles, se propageant en directions opposées, avec les mêmes: fréquence, amplitude et phase (NOMBRES d’ondes identiques et opposés-- amplitudes mini aux noeuds et maxi aux ventres )
CAS de SUPERPOSITION d’OSCILLATIONS (et VIBRATIONS) FORCÉES
Cas de la résonance:
Quand il n’y a plus assez de potentialités d’amortissement pour ralentir l’action de la force excitatrice externe Fx le système oscillant peut avoir une amplitude lA qui augmente: c’est la résonance
Dans la formulation des Oscillations (forcées)
lA = Fx / [(m.fx²-W'd)² + (M*².fx²)]1/2 si le dénominateur tend vers une valeur minimale, l’amplitude lA tend vers un maximum (en particulier quand le coefficient de frottement visqueux M* tend vers 0 )
Exemples d’évolution de la résonance d’un système soumis à un excitateur:
-pour un facteur d’amortissement faible F’s < 1% >>
lA est maximale (pic de résonance) avec une valeur > 5 fois sa valeur initiale pour une fréquence égale à la fréquence propre
-pour un facteur d’amortissement moyen 1% < F’s < 10% >>
lA est maximale (pic de résonance) pour une fréquence un peu inférieure à la fréquence propre, mais n’atteint que la moitié de la valeur du pic précédent
-pour un facteur d’amortissement assez fort F’s >10%
lA reste quasiment constant (la résonance disparaît)
La variation relative entre les amplitudes maximale et initiale est ys
-en électricité, ys est L.f / R (nommé coefficient de surtension)
-en mécanique, ys est m.f / M*
L’énergie est proportionnelle à lA² (car E = M*.lA²), elle devient énorme à l'atteinte du pic de résonance et peut détruire l’oscillateur
Autre exemple de l'oscillateur de Hertz (dipôle créant un champ électrique localement), appelé aussi oscillateur linéaire
fr = c / 2l où fr(Hz)= fréquence de résonance
c(m/s)= constante d’Einstein(2,99792458 .108 m/s)
l(m)= longueur de l’oscillateur dipolaire
COUPLAGE de SYSTÈMES OSCILLANTS
Un couplage est une liaison mécanique fluctuante entre divers oscillateurs (Ex: 2 pendules ou 2 ressorts reliés par un autre ressort, ou gyroscope)
Les modes propres sont les caractéristiques de leurs diverses possibilités d’osciller (type de phase, type de direction...)
DÉCOMPOSITION d'une OSCILLATION
Une oscillation périodique quelconque est représentable par une superposition d’oscillations sinusoîdales, dont chaque élément est un constituant des coefficients de Fourier, qui sont:
-soit sinusoïdaux, du genre: l = (2 / tp) ∫0t.lA.sin(n.ωt)dt
-soit cosinusoïdaux, du genre : l = (2 / tp)∫0tlA.cos(n.ωt)dt
où l(m)= élongation lA(m)= amplitude n= nombre entier(0,1,2,3,...) ω(rad/s)= vitesse angulaire t(s)= temps et tp(s)= période
Cette décomposition est nommée "analyse de Fourier" et sa représentation graphique le "spectre de Fourier"
La recomposition d’une oscillation complexe à partir de plusieurs coefficients de Fourier se dénomme "synthèse de Fourier "et l’appareil qui la reconstitue un synthétiseur