rotation (géométrie temporelle pour)

La rotation est le mouvement d’un corps autour d’un axe, avec comme cas particuliers :

-la rotation plane (le plan étant sécant de l'axe, ce qui détermine un centre de rotation) 

-et la révolution, qui est une rotation plane fermée (arrivée au point de départ)

Grandeurs impliquant une rotation (par ordre alphabétique)

ACCÉLÉRATION  pour MOBILE en ROTATION CIRCULAIRE

γ = v² / lr

avec γ(m/s²)= accélération

v(m/s)=vitesse

lr(m)= rayon du cercle de rotation

 

ANGLE PLAN de ROTATION

C'est la portion de plan infinie, entre 2 demi-droites concourantes au centre de rotation  

θ = l.θ0 / lr

θ(rad) = angle plan sous lequel on voit l , depuis le centre d’un cercle de rayon lr

l(m)=  arc visé

θo(rad) = angle plan sous lequel on voit (depuis le centre de ce même cercle) un arc de longueur lr

 

CENTRE INSTANTANÉ de ROTATION

Intersection des normales de points voisins atteints sur une trajectoire (il est rejeté à l’infini pour une translation)

En généralisant aux "vecteurs vitesses", c'est le point de rencontre des perpendiculaires de chaque origine de vecteurs vitesses successifs

 

COURBURE

Notion basique de rotation, la courbure est un angle linéique

T* = dθ / dl

où T*(rad/m) = courbure

l(m)= abscisse de la projection d’un point mobile M en rotation sur une courbe plane

θ(rad)= angle entre la tangente à la courbe au point M et l’axe des abscisses

Nota : le rayon de courbure D* (exprimé en m/rad) est l'inverse de la courbure



OSCILLATION HARMONIQUE

Si un point se déplace en rotation uniforme sur un cercle, la continuité des projections de son mouvement sur un axe parallèle à un diamètre du cercle, représente une oscillation harmonique

Ψ(t) = lr.cos(ωt + φ)

avec Ψ(t) (fonction d’onde)= projection sur l’axe des x

lr(m)= rayon du cercle

(ωt + φ)(rad)= phase (avec φ = phase initiale= angle entre le rayon passant par le point et l’axe des x) et ω(rad/s)= vitesse angulaire

 

PENDULE

C’est un exemple de rotation (partielle) d'un corps autour d’un axe

lé = lA.sin(ωt + φ)

avec lé(m)= élongation, m(kg)= masse du pendule

lA(m)= amplitude, ω(rad/s)= vitesse angulaire, φ(rad)= déphasage

 

PÉRIODE DE RÉVOLUTION

Synonyme = période de rotation totale = c'est le temps tr mis par un mobile pour revenir au même point de sa trajectoire soit

tr = θ / ω     où ω(rad/s)= vitesse angulaire du mobile et θ(rad)=angle de rotation

Cas d'un point fixé sur le globe terrestre: ω est # 7,29.10-5 rad/s, θ = 2∏ d'où la période de révolution = 86.400 s (soit 24 heures)



VECTEUR ROTATION

C’est le vecteur représentant la vitesse angulaire

ω = Mcp / ID

ω(rad/s)= valeur du vecteur rotation

Mcp(J-s/rad)= vecteur moment cinétique propre

ID(kg-m²)= moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation



VITESSE ANGULAIRE

Pour un mobile parcourant une circonférence : la vitesse angulaire est le balayage effectué dans un angle plan sous-tendant la trajectoire du mobile, pendant l’unité de temps. 

Synonymes: fréquence angulaire ou fréquence de rotation ou fréquence de balayage

Equation aux dimensions structurelles : T-1.A       Symbole de grandeur : ω      

Unité S.I.+ : rad/s

Relations entre unités :

1 tour par seconde= 60 tours par minute

= 2∏ rad/s = 2∏ x 60 (# 377) radians par minute

1 tour par minute = 1/60 tour par seconde = 2∏ radians par minute

= 2∏ / 60 (# 0,1) rad/s

1 rad/s = 60 radians par minute = 1/2∏ (soit # 0,6  tour par seconde)

= 60/2∏ (soit # 10) tours par minute

1 radian par minute = 1/60 rad/s= 1/2∏ (soit # 0,6  tour par minute)

= 1/2∏.60 (soit # 0,0026) tour par s

1 degré d’angle par seconde= 1/360 tr/s= 1/6 tr/mn= 2∏ / 360 (soit # 0,017 rad /s)

= ∏ / 3(soit # 1,047  rad/mn)

1 grade par seconde = 1/400 tr/s = 6/40, soit 0,15 tr/mn

= 2∏ / 400 (soit # 0,016 rad /s) = 3∏ / 10 (soit # 0,943 rad/mn)

Attention: on voit trop souvent l’expression abrégée "nombre de tours", qui laisse à penser qu’il s’agit d’un nombre, mais la vraie expression est "nombre de tours par seconde" et c’est une unité de vitesse angulaire

-formules pour la vitesse angulaire

ω = θ / t     ou   ω = θ.f       ou   ω = θ.v / lr

ω(rad/s)= vitesse angulaire d’un mobile parcourant une circonférence

θ(rad)= angle balayé uniformément pendant le temps t(s)

f(Hz)= fréquence

lr(m)= rayon de la circonférence

v(m/s)= vitesse de rotation

Nota : θ(rad) l'angle de rotation, ne peut être représenté par 2∏ que s'il s'agit d'une rotation complète et que si le système d’unités a comme angle unité le radian

Donc une formule qui comporte spontanément 2 pi n'est pas une formule générale de Physique, mais un cas particulier arrangé avec une unité particulière