résonance

La résonance est la sensibilisation d'un système vibro-oscillant envers une perturbation périodique externe qui l'atteint.Il apparaît alors:

-une superposition des oscillations avec possible couplage entre l'existante et l'importée

-une modification de la puissance énergétique développée

On parle ici d'oscillation forcée (c'est à dire à laquelle on apporte un appoint qui va modifier l'amplitude (et l'énergie) en les régulant par une nouvelle fréquence après une courte durée d'application

Quand les fréquences s'accordent, il y a résonance

 

EVOLUTION de l'AMPLITUDE

Supposons une oscillation soumise à un excitateur :

-si son facteur d’amortissement est faible (F’s < 1%)  l'amplitude lA devient maximale (pic de résonance) pour au moins 5 fois sa valeur initiale, quand la fréquence d'apport est = à la fréquence propre) Mais pour une fréquence un peu inférieure à la fréquence propre, elle n’atteint plus que la moitié de la valeur du pic précédent

-si son facteur d’amortissement est moyen (1% < F’s< 10%)   l'amplitude lA n'atteint que 2 ou 3 fois sa valeur initiale propre

-si son facteur d’amortissement estassez fort F’s > 10%   l'amplitude lA reste quasiment constante (la résonance disparaît)

 

 

Exemple d’un système mécanique, oscillant en milieu visqueux

auquel est ajoutée une oscillation excitatrice externe, représentée par une force Fx sinusoïdale dont l’équation est Fx = F0x.cos(ωx.t)

-l'indice (x) concerne l'excitation externe

Les nouvelles oscillations dans le système deviennent vite telles que :

Fx = m.g + M*.v + W’d.lé 

avec m(kg)= masse suspendue au système oscillant

g(m/s²)= pesanteur

M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux

lé(m)= lA .sin(ωxt + φ) =  élongation

amplitude   lA(m) = Fx / [(m.fx²-W'd)² + (M*².fx²)]1/2

avec fx(Hz)= fréquence de l’oscillation excitatrice

W'd(kg/s²)= constante de rappel (ou raideur ou dureté du ressort)

φ(rad)= déphasage et ωx.t(rad)= phase

 

DOMAINES où APPARAISSENT les RESONANCES

ACOUSTIQUE

Il y a modification dela fréquence d’une onde acoustique quand elle est soumise à une autre perturbation périodique dont la fréquence s’accorde à la première. Il y a favoritisme d'apparition des harmoniques (en musique par exemple)

CIRCUIT ELECTRIQUE ALTERNATIF

Un circuit oscillant a comme équation générale L.d²Q / dt² = R.dQ / dt + Q / C = 0

la fréquence de résonance (en Hz) est  fr = 1 / (L.C)1/2

où L(H) est l'inductance, C(F) est la capacité, Q(C) la charge, t(s) le temps, R(W) la résistance

-cas d’un microoscillateur (dipôle créant un champ électrique localement) fr = c / 2l

avec c(m/s)= constante d’Einstein(2,99792458 .108 m/s) et l(m)= longueur de l’oscillateur dipolaire

COSMOLOGIE

--dans les étoiles, le 8Béryllium et le 4Hélium entrent en résonance pour produire du 12Carbone

--la résonance orbitale concerne par ailleurs, 2 astres orbitant autour d'un troisième, et dont les périodes de révolution sont en rapport fractionnaire simple entre elles (par exemple Pluton et Neptune sont en résonance car ledit rapport est 2/3)

ÉLECTRONIQUE

il s'agit d'une variation d’oscillateurs, créant conjugaison au niveau électronique

IONOSPHERE

L'ionosphère (la zone située entre ~ 70 et 600 km d'altitude autour de la Terre et comportant une quantité importante d'ions positifs) forme, avec la Terre chargée négativement, un énorme condensateur de capacité ~  10-4 Farad, d'où création d'un champ électrique  E de l'ordre de 200 V/m qui varie (oscille)

La résonance entre ce champ et le champ terrestre établit une fréquence de résonance fr d'environ 8 Hertz qui varie au cours des temps (elle a tendance à augmenter)

On la dénomme fréquence de résonance de Schuman

MAREES

L'onde d'une marée peut parfois être amplifiée par résonance (les formes géométriques de certains bassins océaniques créant des ondes de période quotidienne)

MÉCANIQUE

Si une force excitatrice nouvelle externe F vient agir sur un système oscillant, celui-ci peut prendre une nouvelle amplitudede résonance plus importante (lA) >>

On a vu qu'une oscillation forcée est telle que lA = Fx / [(m.fx²-W'd)² + (M*².fx²)]1/2

où m(kg)= masse suspendue au système oscillant

g(m/s²)= pesanteur

M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux

amplitude lA(m)

fx(Hz)= fréquence de l’oscillation excitatrice

W'd(kg/s²)= constante de rappel (ou dureté ou raideur pour ressort)

Remarque: si le dénominateur tend vers une valeur minimale, lA tend vers un maximum

(en particulier quand le coefficient de frottement visqueux M* tend vers 0, lA augmente fortement)

--cas de la balançoire

quand on apporte une nouvelle force de relance en phase avec l'acquise, il y a augmentation d'amplitude et d'énergie

PARAMÉTRIQUE ÉLECTRIQUE

Dite aussi (R.P.E ou E.S.R) cette résonance intervient pour les électrons seuls

RADIO

Les fréquences des oscillateurs radio sont de l’ordre de 3 à 5.103 Hz (en modulation d’amplitude) et vont jusqu’à 1,5.104 Hz (en modulation de fréquence)

R.M.N. et I.R.M.

Certains noyaux atomiques placés dans un champ magnétique d'induction B(T) , absorbent une énergie produite par ce champ et la relâchent à une fréquence précise, lors de la relaxation (v.chapitre 1474).

Quand un proton reçoit un électron, son spin change de sens et la transition d’énergie vaut :

E = 2h .g'.H'    ou   E = μ'.Ω.B    avec  fν = γ'.B

E(J)= transition d’énergie

h = moment cinétique quantifié, dit Dirac h, valant 1,054.10-34 J-s/rad

g'(C/kg)= rapport gyromagnétique du noyau

H'(T)= magnétisation extérieure où est plongé le noyau (c'est B / 4p)

Ω(sr)= angle solide dans lequel s’exerce l’interaction(c'est en général 4p)

μ'(J/T-sr)= magnéton

fν= fréquence de R.M.N (en pratique de 107 à 8 Hz)

Quand la fréquence de l'onde photonique résonne avec la protonique, il y a un pic d’énergie rayonnante, qu'on nomme Résonance magnétique nucléaire (RMN)

-Utilisation médicale : la terminologie R.M.N a tendance à devenir I.R.M (Imagerie de résonance magnétique)

Ici le déplacement des fréquences d'absorption entre les diverses molécules organiques soumises à B s'exprime en Hertz, mais quand on les compare entre elles, on exprime le rapport en p.p.m.

On mesure en particulier la résonance de l’hydrogène (présent dans l’eau du corps humain).

Exemple pour un proton, avec champ de 1,4 Tesla, la fréquence est ~ 6.107 Hz

Le champ magnétique interne Br agissant sur une cellule vivante est plus faible que Bc'est

Br= K.B  (K étant une constante d'atténuation, dite constante d’écran, qui est un nombre de l'ordre de 10-6 représentant les pertes dues au champ induit qui s'oppose à B (loi de Lenz)

RÉSONANCE QUADRUPOLAIRE(ou R.Q.N)

C'est celle des noyaux de spin ≥ 1 (c'est à dire 70% des noyaux connus, qui sont dits quadrupolaires)

 

ANTIRÉSONANCE

Supposons une excitation extérieure imposant des oscillations forcées à un oscillateur

Supposons aussi que l’amplitude de l’un des paramètres d’oscillation de l’onde (élongation, vitesse, fréquence, courant électrique...) passe alors par une valeur minimale :

on est dans un cas d’antirésonance

 

APPAREILS

-un oscillateur

est un appareil générateur d'oscillations

-un excitateur (par exemple magnétique)

est un oscillateur offrant un appoint externe à un système oscillant

-un résonateur

est un appareil créateur de fréquence, permettant d'entrer en résonance avec un autre appareil vibrant proche, ce qui en atténue la fréquence

Utilisé en sono, en motorisation, en acoustique de salle, etc.

Cas particulier : le résonateur de Helmholtz est une cavité acoustique pleine de gaz, en forme de bouteille avec goulot, pour sortie du son.Un son complexe y est insufflé, alors un ton fondamental (et ses harmoniques) s'en dégage, à cause d'une résonance causée par la géométrie de la cavité.

La fréquence du son émis est   f = vc / 2p (S / V.l)1/2

où f(Hz)= fréquence émise par le résonateur

vc(m/s)= célérité du gaz, qui est par ailleurs = g. p / ρ'  avec g= constante adiabatique, p(Pa)= pression et ρ'(kg/m3)= masse volumique du gaz inclus

S(m²)= section du col (choisi cylindrique régulier)

V(m3)= volume du corps-cavité

l(m)= longueur du col

-un synchronisateur

est un appareil permettant de synchroniser un même paramètre périodique sur plusieurs appareils proches