Planck (formule de)

La loi (ou formule) de Planck exprime l'exitance d'un corps en fonction de ses paramètres

PREMIÈRE PRÉSENTATION, à PARTIR de l'EXITANCE MONOCHROMATIQUE

L'exitance spectrique Z’n est une énergie par volume, par angle solide et par longueur d'onde précisée

Z’n = 2h.c² / λ5.Ω[ex-1]

où Z’n(W/m3-sr)= exitance monochromatique (ou spectrique) émise par un corps noir

h(J-s)= constante de Planck (6,62606876.10-34 J-s)

c(m/s)= constante d'Einstein(2,99792458 .108 m/s)

λ(m)= longueur d’onde

Ω(sr)= angle solide dans lequel s’exerce le phénomène (= 4∏ sr seulement si c’est l’espace entier et si le système a le stéradian comme unité d’angle)

e est l’exponentielle avec un exposant x où apparaît l'incidence de la température

x = h.c / λ.k.T     où T(K) = température absolue et k est la constante de Boltzmann (1,3806.10-23 J/K)

 

SECONDE PRÉSENTATION, en FONCTION de la FRÉQUENCE d'ÉMISSION (n Hz)

r* = 2h.λ n4 / c2 [exph.ν/ (k.T)-1]

avec r*(W/msr)= RAYONNEMENT spectrique pour une fréquence rayonnée n(Hz)

c(m/s)= constante d'Einstein(2,99792458 .108 m/s)

λ(m)= longueur d'onde

exp est l’exponentielle et son exposant (F'B= h.n / k.T) = facteur de Boltzmann

T(K)= température absolue

h(J-s)= action, ayant ici la valeur particulière 6,626.10-34 J-s (constante de Planck)

k(J/K)= entropie, ayant ici valeur particulière (1,3806503. 10-23 J / K)= (constante de Boltzmann)

 

Attention: on trouve parfois cette loi de Planck écrite en abréviation, où le terme (c²) a disparu, car pris égal à 1 et alors Z’n se trouve avoir une dimension anormale -comme celle d’une viscosité- et un nom encore plus incongru (comme luminance thermique !)

 

CAS PARTICULIERS de cette FORMULE de PLANCK

1.Formule de Stefan-Boltzmann (déduite de la formule de Planck, quand la fréquence du rayonnement est proportionnelle à la température T)

C'est alors Z’ = Kr.T4/ Ω.λ

où Kr est le "coefficient de Stefan-Boltzmann", dit aussi "constante de rayonnement", dimensionnelle et égale en valeur à 5,6704.10-8 W/m² K-4)

Z’(W/m3-sr)= puissance volumique spatiale

λ(m)= longueur d’onde et Ω(sr)= angle solide

 

2.Formule de Wien:  la formule de Planck devient: Z’ = KW .T-5

quand(h.ν) > k.T     

KW est la constante de Wien, valant 4,071.10-6 unités S.I.+(W / m3-sr-K5) et calculable par  l'expression

KW = x2/ (λ.T)5.(exp.x1-1)

où x1= (h.c / k)(1 / λ.T)    avec (h.c / k)= 1,438786.10-2 m-K

et x2= (2∏.h.c²)= 3,741832.1016W-m2

 

3.Relation entre constante de Wien et exitance

KW = Dx.T5

où KW(W / m3-sr-K5)= coefficient (ou constante) de Wien, Dx(nt)= exitance du corps et T(K)= sa température absolue

On en déduit la loi du déplacement de Wien qui exprime le lieu géométrique des maxima des valeurs de Z’n -chacun de ces maximum se déplaçant vers des valeurs d’énergie photonique plus élevées, dès lors que T croît (T étant la température du corps noir)

En effet, comme l’énergie est (h.ν), chaque maximum se déplace vers une n plus élevée (ou vers une longueur d’onde λ  plus courte)

La longueur d'onde y est maximale   λmaxi.= 2,8978.10-3/ T avec (en ayant simplifié)

KW = (?.T)

(exemple du soleil où T # 5780° et l = 506 nanomètres, soit assez proche du maximum de sensibilité de l'œil envers les couleurs (sensibilité spectrale) qui a lieu pour 556 nm)