oscillations libres

OSCILLATIONS LIBRES NON AMORTIES

-oscillation harmonique (ou libre)

L’oscillation harmonique est une oscillation sans pertes énergétiques et telle que l’amplitude soit fonction sinusoïdale (ou cosinusoïdale) du temps

Elle est symbolisée par l’exemple type suivant: si un point se déplace uniformément sur un cercle, la continuité des projections de son mouvement sur un axe parallèle à un diamètre du cercle, représente une oscillation harmonique

y(t) = lr.cos(ωt + φ)

avec y(t)= projection sur l’axe des x (équivalent d’une fonction d’onde)

lr(m)= rayon du cercle

(ωt + φ)(rad)= phase (φ = phase initiale= angle entre le rayon passant par le point et l’axe des x)

ω(rad/s)= vitesse angulaire

-cas particuliers d’oscillations libres non amorties

Cas d’un oscillateur mécanique >>>

F = -W’d.lé - Ff

avecF et Ff(N)= forces mécaniques et forces de frottement

W’d (J/m²)= raideur -ou constante de rappel (ressort par exemple)

lé(m)= élongation

Cas d’un ressort >>>

accélération              γ = - lA.f².cosωt

élongation                  lé = lA.sin(ωt +φ )

énergie                       E = (m.lA².f²) / 2

période                       tp = (m / W'd)1/2

fréquence                   f = (W'd/ m)1/2

constante de rappel    W'd = m.f²

vitesse                       v = [2E / m - W'd.l² / m]1/2

avec f(Hz)= fréquence d’oscillation

E(J)= énergie mécanique engagée

φ(rad)= déphasage

lA(m)= amplitude

m(kg)= masse suspendue au ressort (lui-même ayant une masse supposée # 0)

v(m/s)= vitesse correspondant à une élongation lé(m)

W'd(kg/s²)= constante de rappel (ou raideur, ou dureté du ressort)

Cas d'un pendule simple >>> pour des petits mouvements d’oscillations (angle < 10°)

accélération                  γ = a’.l

accélérat° angulaire         a’ = -γ.θ / l

élongation                      lé = l.sin θ   donc # l.θ   car l'angle est petit

période                          tp = (l /g)1/2

force de rappel                 F = -m.g.sinθ

vitesse                            v = l.f

avec l(m)= longueur du pendule

f(Hz)= fréquence d’oscillation

m(kg)= masse du pendule (concentrée au centre de gravité)

g(m/s²)= pesanteur

v(m/s)= vitesse correspondant à une élongation lé(m)

Nota: s'il y a isochronisme des petites oscillations : tp est constante (et ne dépend pas de la masse)

Cas d’un pendule composé (dit aussi "pendule pesant, ou pendule physique") pour des petits mouvements d’oscillations (angle <10°)

accélération angulaire        a’ = - l.m.g.θ/ I

élongation                          lé = lA.sin(ωt + φ)

fréquence :                         f = (m.g.l / I)1/2

période :                             tp = (I / m.g.l)1/2

vitesse angulaire :              ω = θ.(m.g.l / I)1/2

longueur synchrone = longueur d’un pendule simple équivalent, qui aurait même

masse et même fréquence que le pendule composé en cause.

où l(m)= distance entre axe d’oscillation et c.d.g.de la masse (Ex: pour un pendule

composé isotrope, la longueur synchrone est l / 3)

lA(m)=amplitude, m(kg)= masse du pendule et I(kg-m²)= moment d’inertie

θ(rad)= angle de l’oscillation (dit parfois "élongation angulaire")

φ(rad)= déphasage

g(m/s²)= pesanteur

Cas d'une oscillation de torsion >>> Voir chapitre Torsion

Cas d’un niveau à eau >>>

Le niveau à eau (ancestral) est un tube en U, dans lequel les niveaux, usuellement égaux (vases communicants) sont soudain déséquilibrés: il y a alors oscillation et les relations sont, comme pour les pendules :

accélération      γ = - 2g.lé / lt

élongation         lé = lA.cos(ωt + φ)

période             tp = (l / 2g)1/2

masse              m = lt.S.ρ’

avec lé(m)= élongation (niveau du liquide au-dessus du plan d’équilibre des vases

communicants)

lt(m)= longueur totale de liquide dans le tube (entre le + bas et le + haut)

lA(m)= amplitude

g(m/s²)= accélération de la pesanteur

m(kg)= masse du liquide pour S(m²) la section

ρ'(kg/m3) pour la masse volumique

Cas d’une aiguille d'aimant >>>

Si un aimant oscille par rapport à son axe vertical, sa période d’oscillation est :

tp = 2∏. (Iv / Mg.B)1/2

avec tp(s)= période

Iv(kg-m²)= moment d’inertie

Mg(A-m²)= moment magnétique ampèrien

B(T)= champ d’induction magnétique

Cas d’un circuit électrique oscillant (non amorti) >>>

Un circuit oscillant est un circuit fermé, comprenant au moins une inductance (self) et un condensateur : l’énergie électrique oscille entre les 2 composants qui sont donc assimilables à un circuit oscillant.

Les relations sont :

charge du condensateur :     Q = QA.sin(ωt + φ)

fréquence :                           f = (1 / L.C)1/2

période :                               tp = (L.C)1/2

vitesse angulaire :                ω = θ / (L.C)1/2

potentiels:                            UC = (Q / C)   ainsi que  [UC+ UL] = 0   et  UL = L.(i / t)

avec les notations:

QA(C)= charge maximale

C(F)= capacité

L(H)= inductance

UL(V)= différence de potentiel aux bornes de L

UC (V)= d.d.p. aux bornes de C

i(A)= ampérage

t(s)= temps

φ(rad)= angle de déphasage

 

OSCILLATIONS LIBRES AMORTIES

-cas particuliers d’oscillations libres amorties

Cas d'un oscillateur amorti >>>

f = [q’/ m –fa² ]1/2/ l

avec f(Hz)= fréquence d’oscillation d’un corps de masse m(kg)

q’(J/kg)= énergie massique du corps

fa(s-1)= coefficient d’amortissement

l(m)= longueur

Cas d’une oscillation, amortie par frottement solide >>>

-si le temps t est considéré avant la demi période : Δlé = ΔlA.cos(ωt + p /2)

-si le temps t est considéré après la demi période : Δlé = (ΔlA - 2lo).cos(ωt + p /2)

lé(m)et lA(m)= élongation et amplitude, l0(m)=élongation initiale

Δ= variation entre finale et initiale

La puissance est également amortie (à distance de la source ponctuelle) :

P = P0.e-F'x  où est la puissance initiale et F' le coefficient d'atténuation

Cas de l’oscillation d’un circuit électrique oscillant (amorti) >>>

Le circuit oscillant fermé comprend en série: une inductance (self), un condensateur (capacité) et une résistance (ohmique) et l’énergie électrique oscille entre les composants d’où l’assimilation avec un circuit oscillant ;la résistance jouant le rôle de l’amortisseur.

Les relations sont :

fréquence :                                                         f = (1/ L.C)1/2

coefficient d’amortissement électrique (en s-1)  fa = R / 2L

pseudo-période :                                      f(en s-1) = [(L.C)- 2L / R²]1/2

facteur(ou degré) d’amortissement                    F’s = (R/2).(C/L)1/2 -qui est un nombre-

tension globale                                                   [UC+ UL+ UR] = 0

la tension UC(V)- aux bornes de C (valant Q / C)

puis la tension UL (V) aux bornes de L (valant L.i / t)

et la tension UR (V) aux bornes de R (valant R.i)

avec C(F)= capacité, L(H)= self, R(Ω)= résistance

Cas d'un milieu visqueux >>>

Si l'oscillation a lieu dans un fluide visqueux, il y a frottement, donc amortissement (dit "de Stokes")

L’amortissement est exponentiel (la représentation de l’amplitude vibratoire est tangente, à chaque pseudo-période, à 2 courbes décroissantes exponentielles symétriques à l’axe des temps)

L'oscillation, amortie par frottement visqueux est telle que lé = lA.ex

avec lé(m) et lA(m)= élongation et amplitude

x(nombre, exposant de l’exponentielle)= (+ ou -) [ j.fa(1-F’²)1/2.t ]

avec fa(s-1)= coefficient d’amortissement

t(s)= temps

j= symbole imaginaire

F’s(nombre)= facteur d’amortissement (valant M*/2m.f )

où m(kg)= masse et M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux

Selon la valeur de F’s on est

-dans un régime oscillatoire -ou pseudo-périodique (si F’s<1)

-dans un régime critique (si F’s=1)

-dans un régime apériodique (si F’s >1)

Le coefficient de frottement visqueux (M*) est le rapport

M* = Ff / v

avec v(m/s)= vitesse

Ff (N)= force de frottement

M* le coefficient de frottement, qui a la dimension d’un débit-masse - (en kg/s)

Le décrément logarithmique est M*/ 2m.fa, où M* est le coefficient de frottement,

m la masse et fa le coefficient d’amortissement

Cas d'un ressort en zone d’amortissement en un milieu visqueux >>>

m.g + M*.v + W’d.lé = 0

avec m(kg)= masse

g(m/s²)= accélération

M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux

W’d(kg/s²)= dureté du ressort

lé(m)= élongation

Le coefficient (ou constante) d’amortissement est alors : fa= M*/ 2m

Et la pseudo-période est : t0 = (W’/m - M*² / 4m²)1/2

S'il s'agit d'un fluide très visqueux, l'amortissement est dénommé amortissement de Newton