FORMULES de PHYSIQUE
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opérateurs mathématiques utilisés en Physique
Un opérateur est un objet mathématique destiné à effectuer une opération
(transformation) mathématique sur l’expression d’une grandeur G donnée :
Cela peut concerner :
--un tri (G prendra seulement certaines valeurs parmi toutes)
--une opération envers telle grandeur (comme dérivation, Lagrangien, intégration....)
--un choix (positif ou négatif)
--une inversion
--etc
Certains opérateurs mathématiques changent la structure de l’Equation aux dimensions
(qu’il est fondamental de vérifier, bien sûr, avant tout calcul numérique)
L'intégration ne change pas la dimension de ce qui est impliqué
Une dérivée première par rapport à une longueur, donc cela revient à diviser l’Equation
aux dimensions structurelles de G par une longueur
C'est un tenseur d'ordre 1
-LE HAMILTONIEN H (en Physique) est la dérivée d’une grandeur par rapport au temps,
donc la dimension de la grandeur est bien sûr divisée par le temps.
Quand le hamiltonien d'une grandeur est indépendant du temps, il est une constante de
mouvement
-LE LAPLACIEN Δ (ou OPÉRATEUR de LAPLACE)
est le gradient d'une divergence, donc une somme de dérivées secondes par
rapport à la longueur, soit d²(x,y ou z) / dl² où x, y, z sont les axes de coordonnées,
donc l’équation aux dimensions structurelles est à diviser par (longueur)²
C'est un tenseur d'ordre 2
-LE NABLA (delta inversé) est la racine d’un Laplacien (donc équivalant à un gradient) et
entraîne la division de l’équation aux dimensions structurelles par une longueur
-LE D'ALEMBERTIEN (symbole carré) est égal à (δ² / v².δt² - Δ), donc il entraîne la
division d'une quelconque équation aux dimensions structurelles par une (longueur)²
est le produit d’une grandeur par une distance, donc multiplication de
l’équation aux dimensions structurelles par une longueur
est (mathématiquement) une fonction caractérisant les mouvements de
un système de coordonnées généralisées.
En Physique, le lagrangien d’une grandeur est en général la dérivée de celle-ci
par rapport au temps, donc la dimension de la grandeur G est alors divisée
par le temps
d’une grandeur
transforme la dimension de G en inversant ses exposants
-L’INVERSION ALGÉBRIQUE d'un SEUL COMPOSANT DIMENSIONNEL d'une
concerne ce composant seulement.
Ex: si la grandeur force
algébrique de son seul composant "longueur", cela deviendra la grandeur de
dimension L-1.M.T -2 (qui est une pression)
d’une grandeur
des coordonnées spatio-temporelles; donc elle transforme G en (-G) et ne
change pas la dimension.Mieux vaut dire "contraire", afin de ne pas confondre avec
l’inversion algébrique ci-avant.
d’une grandeur
"opérateur diviseur’’ de G) entraîne la division de la dimension de G par
l’angle. Exemple: l'électrisation devient le champ d'induction électrique, sous
l’action du diviseur (1 / angle solide)
ne changent rien aux dimensions
. ne change pas les dimensions
-LE LOGARITHME
-LA TRIGONOMÉTRIE
Les lignes trigonométriques usuelles (sinus, cosinus, tangentes et leurs versions
hyperboliques) sont des rapports de longueurs, donc sans aucune incidence
sur les dimensions des grandeurs qu'ils affectent.
Par contre la notion de ligne cardinale (par exemple un sinus cardinal de θ qui vaut
sinθ/ θ ) change la dimension puisqu'il faut diviser celle-ci par θ (angle plan)
L'arc-tangente (Arc tan) de G représente un angle et modifie donc la dimension de G
(elle est multipliée par l'angle)
-AUTRES OPÉRATEURS DIMENSIONNELS
S'ils sont utilisés en diviseurs: il faut alors diviser la dimension de G par la dimension de
l’opérateur introduit
S'ils sont utilisés en multiplicateurs, il faut multiplier la dimension de G par la dimension
de l’opérateur introduit