moments d'inertie polaire et quadratique

Le moment d’inertie de masses réparties uniformément sur 1 surface (Is)

 est le produit de la masse distribuée sur la surface, par le carré de la distance d’où le c.d.g de cette masse est considéré

Nota: attention de déduire --dans le calcul de Is – l’influence des trous, si une surface en est dotée

La formule générale du moment d’inertie (I = m.l²), devient ici 

Is= (y’.S).ld²

où la surface est S(m²), la masse surfacique répartie constante y’(kg/m²), et  ld(m) la distance de puis laquelle on mesure

1° cas : quand cette distance est prise par rapport à un point de référence de la mesure

il est dénommé Moment d'inertie polaire(Ip)

Ip = Isx+ Isy (qui sont les 2 moments d’inertie par rapport aux axes orthogonaux passant par le point-pôle) (mesurés en m4)--

 

Ce point-pôle est en général le centre de gravité

 

Le moment polaire d’une surface S par rapport à un point O de son plan est 

 

Ip= Σ(Si.li²)

 

avec Si= surface élémentaire à distance élémentaire lide O

 

2° cas : quand le moment d'inertie de surface est pris par rapport à une droite, il est dit Moment quadratique(Iq) 

Iq= ∫l².dS

 

avec Iq(m4)= moment quadratique de la surface S(m²) supposée de masse surfacique homogène unitaire

 

l(m)= distance moyenne de chaque élément de surface jusqu’à l’axe

 

-cas particulier de moment quadratique, applicable pour une section droite d'un corps >>> formule de Steiner-Huygens   Iq1= Iq2+ S.l²

avec Iq1(kg-m²)= moment quadratique d’une section droite S(m²) d’un corps par rapport à un axe

Iq2(kg-m²)= moment quadratique de S par rapport à un autre axe, parallèle au premier et à distance l(m) et passant, lui, par le centre d‘inertie (ou c.d.g.) du corps

-remarque comme on a une surface (exprimée en m²) et qu'on considère un moment à une distance au carré (encore des mètres carrés) on obtient une unité exprimable en (mètre puissance 4)

Equation aux dimensions  : L4       Symboles de désignation : Ipet Iq      

Unité S.I.+ : le mètre bicarré (m4)

 

-relation entre moments d'inertie polaire et centrifuge    Ip .y' / θ = Ir

avec Ip(m4)= moment polaire

y'(kg/m²)= masse surfacique de la surface dont on prend le moment d'inertie

θ(rad)= angle plan

I'(m²-kg/rad)= moment centrifuge

Relation entre moment quadratique et élancement  Iq= l².S / yl

avec Iq(m4)= moment quadratique d’un poteau de section droite S(m²) la section droite d’un corps rigide est la section perpendiculaire à l’axe de révolution

l(m)= longueur du poteau

yl= élancement (non dimensionnel)

 

Valeurs de quelques moments d’inertie quadratiques(Iq) - moments usuellement rencontrés- de  figures planes (par rapport à un axe passant par leur centre de gravité)

Les symboles étant toujours l(m)= longueurs, l'indice q= quadratique, l'indice a= petit côté, l'indice b= grand côté, d= diamètre, h= hauteur

Carré de côté l : moment Iq= l4/ 12

Rectangle de côtés laet lb : moment Iq= la.lb3/ 12

Triangle de base laet de hauteur Iq= la.lh3/ 36

Trapèze de grande et petite bases lBet lbet hauteur lh:

moment Iq= lh3.(lB² + 4lB.lb+ lb²) / 36(lB+ lb) 

Hexagone régulier de côté la: moment Iq= 0,06 la4   

Cercle de diamètre ld: moment Iq= ∏.ld4 / 64

Ellipse d’axes laet lb: moment Iq= ∏.la.lb3/ 64