moment cinétique

Le moment cinétique est le moment d'une impulsion angulaire

(alors que l’action est le moment d'une impulsion simple)

Attention de ne pas confondre les 2 notions comme le font les gens qui n'acceptent pas de dimension pour l'angle ! On le nomme d'ailleurs moment angulaire (en synonymie)

Il se rapporte donc à une rotation.

Mais comme on distingue plusieurs types de rotations (dans le plan ou dans l'espace, ou dans les 2), il faut également distinguer plusieurs types de moments cinétiques

Equation aux dimensions identique : L2.M.T-1.A-1     Symboles de désignation Mc indicé

Unité S.I.+ dans le plan >> le J-s/rad et dans l'espace >> le J-s/sr (qui vaut 2 fois moins)

On utilise aussi (dans le plan) le Joule seconde par tour valant 1,591.10-1 J-s/rad

Et pour les particules on utilise  h (Dirac h) valant 1,054.10-34 J-s/rad

 

1.MOMENT CINETIQUE d'un CORPS TOURNANT sur LUI-MÊME, avec AXE FIXE

Le moment cinétique est alors moment cinétique propre ou intérieur ou ordinaire

C'est l'angle plan qui est en cause, puisque le mobile se contente d'une rotation en plan fixe, donc tout tourne avec le même rythme angulaire plan

Mcp = F*s .lr

Mcp (J-s/sr)= moment cinétique propre d’un mobile en rotation

F*s(kg-m/s-sr)= impulsion angulaire

lr(m)= rayon moyen du cercle de rotation

 

2.MOMENT CINETIQUE d'un CORPS TOURNANT sur LUI-MÊME, avec AXE de ROTATION VARIABLE

Le moment cinétique est dit alors moment cinétique intrinsèque (Mci)

Et s'il s'agit d'une particule, on le nomme moment de spin (Mcs)

Sa formulation est Mci = Is.f / θ

Mci(J-s/sr)= moment cinétique intrinsèque (ou de spin)

f(Hz)= fréquence de rotation du corps

θ(rad)= angle de rotation

Is(kg-m²)= moment d’inertie du corps en rotation (particule en infiniment petit)

 

3.MOMENT CINETIQUE d'un CORPS TOURNANT AUTOUR de QUELQUE CHOSE, dans un PLAN FIXE

Le corps à ce moment tourne autour d’un autre corps (une planète, le marteau d’un lanceur sportif, des électrons...)Le moment cinétique est dit alors moment cinétique azimutal ou secondaire (Mcz) ce qui suppute une distance maîtrisée autour d’un second corps.La rotation se fait dans le même plan en permanence (orbite plane) et il n'est donc question que d'angle plan

Mcz = m.v.lr / θ     et   Mcz = dÍ*/ dt

Mcz (J-s/rad)= moment cinétique azimutal

(mv) est la quantité de mouvement

lr (m) est le rayon moyen du mouvement

Í*est le moment d'inertie centrifuge (I.e.comparé à son angle de rotation)

θ(rad) est l'angle plan de rotation

ω(rad/s)= vitesse angulaire

 

4.MOMENT CINETIQUE d'un CORPS TOURNANT AUTOUR de QUELQUE CHOSE, dans un plan d’inclinaison variable

Il y a ici alternance de rotation dans des plans multiples et on dit alors moment cinétique orbital (Mco)

Le mobile change en permanence de plan orbital, id’où une nécessaire intégration débouchant sur l'angle solide, car il y a rapidement occupation de tout l'espace par des orbites multiples.

Le qualificatif "orbital", utilisé pour spécifier ce moment est un mot assez flou, mais c'est parce qu'on n'ose pas exprimer que c'est l'angle solide qui est ici en cause (et comme pour beaucoup de gens, l'angle solide est sans dimension, on ne le cite pas)

La formule est la même que si le corps tournait sur lui-même, mais la distance (lr) est alors la distance entre le mobile et le c.d.g de (ce autour de quoi il tourne)

Ce moment cinétique orbital Mco est exprimé en J-s/stéradian et c'est :

Mco= impulsion spatiale (donc FLUX dynamique F*k) x distance lr

 

5.MOMENTS CINETIQUES REGROUPES

Quand il s'agit d'un système regroupant les mouvements d'un corps en rotation sur lui-même -d'une part- et en outre un ou plusieurs corps qui lui tournent autour, on définit des moments cinétiques affectés à ces groupements :

5.1-Quand on ajoute les effets de 2 moments plans (cas 1 avec 3 ci-dessus), on le nomme moment cinétique angulaire (Mca)

5.2-Quand on ajoute les effets de 2 moments plan et spatial (cas 1 avec 4 ci-dessus, on le nomme moment cinétique de couplage (Mcc)

(avec cas particulier = moment de voie)

5.3-Quand on ajoute les effets de 2 moments plan et multi spatial car il y a plusieurs corps en rotation autour de l'élément central rotatif (cas 1 avec plusieurs 4 ci-dessus, on le nomme moment cinétique total (Mct)

5.4-Quand on ajoute les effets de plusieurs moments spatiaux (cas 2 avec plusieurs 4 ci-dessus, on le nomme moment cinétique global (Mcg)

Dans ces 4 derniers cas, il apparaît des facteurs 2 car il est nécessaire de distinguer le plan (impliquant 2p radians) et l'espace (où intervient 4p radians) d’où 4p / 2p = 2

 

MOMENT CINÉTIQUE si TORSION

dMcp/ dt = MΓ = F.D*

Mcp(J-s/rad)= moment cinétique d’un corps

θ(rad)= angle plan de rotation du corps

t(s)= temps

MΓ(J-couple)= moment de torsion (rotation) du couple

F(N)= chaque force du couple

D*(m/rad)= rayon de courbure

 

THÉORÈME de KOENIG (THEOREME du MOMENT CINETIQUE ou EQUATION du MOUVEMENT)

Quand un solide est en translation et en rotation autour d'un axe fixe passant par son centre de gravité et quand il n’y a pas de forces extérieures appliquées, on a

Mcp= [(m.v²) + (I .f²)] / 2ω

où Mcp(J-s/rad)= moment cinétique propre du solide de masse m(kg)

v(m/s)= vitesse de translation de son c.d.g.

ω(rad/s)= vitesse angulaire

I(kg-m²)= moment d’inertie

f(Hz)= fréquence de balayage (nombre de passages répétitifs au même endroit, par seconde)

La première parenthèse de droite indique l’incidence de la translation du centre de gravité

et la seconde parenthèse de droite indique l’incidence de la rotation autour du c.d.g.

On peut aussi écrire : Mcp= (m.D*².ω)    ou  Mcp= (m.D*²). dq/ dt)

où D*(m/rad)= rayon de courbure, θ(rad)= angle plan de rotation du mobile

On a aussi : Mcp = (I s.f / δ.sinθ)

avec Mcp(J-s/sr)= moment cinétique d’un mobile (supposé symétrique) tournant sur lui-même

Is(kg-m²)= moment d’inertie du solide par rapport à un axe D

f(Hz)= fréquence de balayage

δ(rad)= angle plan formé entre :

a)) la direction de la résultante des forces

et b)) la perpendiculaire à D  passant par le point d’application de cette résultante

 

 

CONSERVATION du MOMENT CINETIQUE

Si un corps isolé tourne uniformément autour et à la même distance d’un axe colinéaire (au vecteur des forces et à la direction de la translation), le théorème de Koenig >>

Mcp = D*.F.t  montre que le moment cinétique(Mcp) est constant, quand la distance angulaire (D*) et la résultante des forces (F) sont inversement proportionnels.

On dit qu’il y a conservation du moment cinétique (il est indépendant du temps)

-exemple dupendule de Foucault  voir chapitre spécial

-exemple des planètes solaires on a alors  Mcp = S.m/t.θ

c’est le moment cinétique propre Mcp(J-s/rad) de la planète de masse m(kg) et comme il est constant, l'aire qu'elle décrit (S m²) est proportionnelle au temps t(s) (θ, en rad, est l'angle de rotation)

-exemple d'un régulateur de vitesse à boules

à cause du même théorème de Koenig Mcp= (I.f²) / 2ω  le moment Mcp est constant, donc le moment d'inertie (I) et la vitesse angulaire (ω) varient inversement proportionnellement et comme I est fonction du carré de la distance à l’axe d’une boule (l), ω varie comme le carré de la distance (l)

-exemple de la torsion

en reprenant l’équation de ce mouvement: dMcp/ dt = MΓ

si MΓ(le moment de torsion-rotation du couple) est = 0, Mcp est indépendant du temps (donc se conserve, c’est à dire est constant et c’est une constante de mouvement)