lagrangien

Le lagrangien L  est un opérateur mathématique exprimant (en Physique) la dérivée d'une grandeur par rapport au temps

Dans le domaine particulier de la mécanique, on considère qu'il s'agit surtout de la dérivée d'une action (a) par rapport au temps (t), donc une énergie

Afin de ne pas mélanger les notions, nous écrirons en minuscules lagrangien quand il s'agit de l'opérateur mathématique et pour le cas particulier de la Physique ce sera écrit en majuscules LAGRANGIEN (la dérivée da/dt), c'est à dire une énergie

Equation aux dimensions structurelles  : L2.M.T-2      

Symboles de désignation : L       Unité S.I.+ : Joule(J)

 

EQUATION GÉNÉRALE

L = Ec – Ep  ce qui signifie que le LAGRANGIEN est la différence entre l'énergie cinétique Ec(J) et l'énergie potentielle Ep(J) du système (fermé)

 

CAS D’ESPÈCES de LAGRANGIENS en MÉCANIQUE CLASSIQUE

( L étant exprimé en Joules), les expressions des énergies Ec et Ep ci-dessus sont :

-LAGRANGIEN L d’un point massique isolé:

Ec = m.v² / 2  (ou = Q’.v / 2)  et Ep= 0   avec: m(kg)= masse et v(m/s)= vitesse

-LAGRANGIEN L d’un point massique dans un potentiel d’induction gravitationnel q’ :

Ec = m.v² / 2    et    Ep = m.q’ / 2  avec q' exprimé en J/kg

-LAGRANGIEN L d’une masse en déplacement :

Ec = F.l     et   Ep = 0 avec l(m)= déplacement & F(N)= force

-LAGRANGIEN L  d’un pendule composé:   Ec = Î.f ²/ 2    et   Ep = -m.g.l.cosθ

avec: f(Hz)= fréquence, l(m)= distance entre (axe de rotation et c.d.g) et Î(kg-m²)=moment d’inertie

-LAGRANGIEN L d’un oscillateur harmonique:

Ec = m.v² / 2   et   Ep = W’d.l² / 2   avec: W’d(N/m)= constante de rappel et l(m)= coordonnée de position

-L’expression dL / dv est nommée l’impulsion généralisée (Q'g)

Cas d'espèce en mécanique quantique

-LAGRANGIEN d'un champ de fermions après une brisure de symétrie spontanée

L = EF - Ef - Eé - En     

où F, f, é, n sont les indices des champs de forces Forte, faible, électromagnétique et de courant neutre

 

RELATION ENTRE LAGRANGIEN et HAMILTONIEN

Lagrangien L et Hamiltonien H  sont des opérateurs mathématiques exprimant la situation énergétique d’une particule (ou d'un système particulaire)

-l’HAMILTONIEN H est issu du LAGRANGIEN L   par H = a.f  -L   où a(J-s) est l’action et f (Hz) la fréquence