courbure

La courbure exprime la variation de l'angle de rotation d'un élément mobile, lié à un point fixe,en fonction de l'intensité du virage qu'il effectue sur sa trajectoire.

-la courbure d'une ligne courbe, dite courbure linéique, représente la variation (dθ) de l'angle plan de visée de la variation (dl) de la distance parcourue par un mobile sur la trajectoire

C'est T* = dθ / dl

-la courbure d'une courbe gauche est définie par 2 courbures linéiques, pour tenir compte des 2 coordonnées

-pour un arc, la courbure est aussi la norme du vecteur accélération pour le point mobile quand il parcourt l'arc à vitesse constante unité

 

Equation aux dimensions de la courbure linéique : L-1.A    

Symbole désignation : T*    Unité S.I.+ : rad/m

L'unité d'usage (en astronomie) est la seconde d'angle par millimètre

(qui vaut 4,848.10-3 rad/m)

Exemples: une courbure nulle est un point d'inflexion

--la courbure d'une hélice circulaire est constante

 

CAS PARTICULIERS

1-la courbure de flexion est une courbure en résistance des matériaux

Une poutre fléchie a une déformation de sa fibre neutre dite courbure, dont la définition est T* = Mf.θ / nG.Îq

avec T*(rad/m)= courbure de la fibre neutre

θ(rad)= angle (plan) entre la fibre neutre au repos et la tangente au cercle de déformation

Mf(N-m)= moment fléchissant

nG(N/m²)= module de rigidité

Iq(m4 )= moment d’inertie quadratique (de la section droite par rapport à la fibre neutre)

2-le pouvoir rotatoire intrinsèque (T*i ) est la courbure d'une lumière, déviée à cause de l'épaisseur du matériau traversé

3-la puissance optique intrinsèque (T*p ) -ou puissance nominale- est le rapport entre l'angle de visée d'un objet et la distance focale

4-le pouvoir séparateur angulaire est la partie de l'angle de visée d'un appareil rapportée à la largeur de son objectif; c'est (T* = 2θ / lro) lro étant le rayon de l'objectif

5-le  cambre  est le nom d'une courbure longitudinale d'une pièce longiligne (courbure d'un ski par exemple)

RAYON de COURBURE 

le rayon de courbure  est l’inverse de la courbure

Si, depuis un point A, on vise 2 points espacés entre eux de l0(m) sous un angle de visée de 2θ (rad) le rayon de courbure de la courbe décrite par l'un des 2 points, supposé en déplacement, est la variation de l'angle de visée (2θ) par rapport à l0

D* = dl0.sinα / d2θ

avec D*(m/rad)= rayon de courbure considéré pour 2 points visés

d2θ(rad)= variation de l'angle de visée (angle 2θ formé entre les 2 rayons de visées des extrémités de l0)

l0(m)= distance variable entre les 2 points visés

α(rad)= angle d'inclinaison de l0 par rapport à l'axe de visée (sina indique le redressement de l0 pour le rendre perpendiculaire à la droite de visée moyenne)

Equation aux dimensions  : L.A-1    Symbole désignation : D*   Unité S.I.+ : m/rad

Torsion: en cas de torsion, le rayon de courbure est dit rayon de torsion

 

Courbure d'une surface

Pour chacun des axes de coordonnées, on définit une courbure, qui est bien sûr variable.Les minima et maxima de ces courbures sont dits courbures principales (endomorphisme de Weingarten)

La moyenne des courbures principales est dite courbure moyenne

Le produit des courbures principales est dit courbure de Gauss

Son intégrale est la courbure totale  de la surface

C'est l'aire balayée par le vecteur normal sur la sphère tangente

Equation aux dimensions d'une courbure surfacique : L-2.A  

Symbole de désignation : T*       Unité S.I.+ : sr/m

 

-cas particuliers

---la courbure de champ

est un cas particulier de courbure surfacique en optique (aberration optique donnant une image courbe d’un objet plan)

---la section efficace différentielle est une courbure de section efficace

---la courbure de l’espace (en cosmologie) dite constante cosmologique KL

est une notion géométrique (car impliquant seulement longueur et angle)

C'est la courbure de la surface de la pseudo-sphère qui est supposée délimiter l'univers.

KL = g / 2D*.c²   où g est le champ gravitationnel inducteur, D* le rayon de courbure et c la constante d'Einstein

KL est cependant dépendante de la présence des masses distribuées dans l'espace, car d'après l'équation d'Einstein (voir § 463 Espace-temps et équation de Friedmann) les masses courbent l'espace >>  

KL = 2ρ'.G / c² 

G(m3-sr/kg-s²)= constante de gravitation[8,385.10-10 m3-sr/kg-s²]

ρ'(kg/m3)= densité volumique de matière de l’univers (5,6.10-27kg/m3)

V(J/m3-sr)= énergie volumique spatiale

On a aussi KL = Y*.ρ' / m.c²

où m(kg)= masse créée

KL(sr/m²)= constante cosmologique (# 3,2.10-55 sr/m²(unité S.I.+)

c(m/s)= constante d'Einstein (2,99792458 .108 m/s)

Y*(m3-sr/s²) = charge mésonique

C'est à travers les relations ci-dessus qu'on peut dire avec Einstein que 

la masse courbe l'espace-temps (à travers la constante cosmologique)