circuit de courant alternatif

Un circuit électrique est un ensemble fermé, composé (d’émetteurs, de récepteurs, de conducteurs de liaisons) et où circule un courant, ici alternatif

Ce genre de circuit, en fonction de ses composants, est dénommé en abrégé >>

R (s'il ne comporte que des résistances)

RC, s'il comporte résistances et capacités (condensateurs)

RCL, s'il comporte résistances, capacités et inductances

CL s'il comporte capacités et inductances

-les circuits CL et RCL sont dits oscillants et un circuit avec L est dit inductif

 

LOIS de RESEAU

-lois de Kirchhoff dans un circuit

pour les intensités(i) >>> en un nœud, la Σ des courants complexes = 0

pour les tensions(U) >>> en une maille  ΣU = 0

pour les impédances(Z) en série >>>

Z résultante en une maille = Σ des Z des composants

pour les impédances en parallèle >>>

1/Z de la résultante en une maille = Σ des (1/Z) des composants

 

COMPOSANTES du COURANT ALTERNATIF

Dans tout ce qui suit, il est supposé que le courant suit une fonction alternative sinusoïdale Comme il y a variation permanente des composantes alternatives du courant, on est tenu de définir plusieurs valeurs pour chacune d'entre elles (tout ça variant dans le temps) :

 

LE DÉPHASAGE

C'est φ , la différence angulaire entre la tension et le courant.

Calcul de φ (déphasage), si le circuit comporte des résistances R et des selfs L:

tgφ = (L.f) / R      et   cosφ = R / (R² + L².f²)1/2

cosφ est dit facteur de puissance (ou mieux facteur de déplacement)

sinφ est dit  facteur de réactance

tgφ est nommée la pente

où f(Hz)= fréquence du courant sinusoïdal alternatif,

(L.f ) en (Ω)= capacitance, R(Ω)= résistance

la fonction sinus : est la valeur de l'élongation soit  lé = lA.sin(ωt + φ)

où lé (m) est la valeur instantanée, lA (m) l'amplitude (ou valeur de crête) et ω(rad/s) la vitesse angulaire

 

L’INTENSITÉ du COURANT ALTERNATIF

ié = iAsin(ω.t + φ0)

où ié (A) est la valeur instantanée de l'intensité

iA(A) la valeur de crête de l'intensité

ω(rd/s) est la vitesse angulaire

t(s) le temps

φ0 (rad) la phase initiale

La valeur de crête est la valeur correspondant à l'amplitude maxivaleur (amplitude maxi)

La valeur moyenne absolue = 0,637 fois la valeur de crête

La valeur moyenne arithmétique = 0 (compensation de 1 sur 2 périodes)

La valeur moyenne efficace (ou intensité efficace ieff) est la valeur moyenne des valeurs instantanées prises par i durant une période.

Si le courant est sinusoïdal  >>>  ieff = i / (2)1/2 = 0,707 fois la valeur de crête

-facteur de crête  = rapport entre amplitude (valeur de crête) et valeur efficace (soit 1,414)

-facteur de forme  = rapport entre (valeur efficace) et valeur moyenne absolue (soit 1,111) 

 

LA TENSION ALTERNATIVE

Ué = UA.sin(ω.t + φ0)   mêmes notations que précédemment, avec U= tension

 

LA FRÉQUENCE

Un courant alternatif parcourant un circuit où sont insérées des capacités, des selfs et des résistances, a une fréquence (f) dépendant de ces composants:

Cette fréquence est dans la gamme des SBF (30 à 300 Hz)

f = R.tgφ / L  elle intervient dans l'équation générale  Z = [R² + (L.f - 1 / Cf )²]1/2 

Z(Ω)= impédance d'un circuit comportant--en série--

résistances R(Ω), capacités C(F) et selfs L(H)

f(Hz)= fréquence du courant sinusoïdal alternatif

φ(rad)= angle de déphasage

L.f (Ω)= réactance selfique et 1/Cf = réactance capacitive

Nota 1 : le terme "fréquence de rotation" est souvent utilisé mais il signifie "vitesse angulaire"

Nota 2: on trouve souvent l'expression: "nombre de tours par seconde, effectué par le rotor d'une machine" : c'est une fréquence, car il s'agit du nombre de fois par seconde (où l'objet rotor effectue une rotation) et ce n'est pas une vitesse angulaire, qui -elle -est un nombre (d'unités d'angles cependant dénommées tours)

Nota 3: la fréquence de résonance (ou pulsation propre) est la fréquence fr à laquelle se produit une résonance dans un circuit électrique (alternatif R.L.C.) :

c'est fr = 1 / (L.C)1/2  

où L(H) est l'inductance, fr la fréquence résonante (en Hz) et C(F) la capacité

 

L’IMPEDANCE

Un circuit parcouru par un courant alternatif et comportant à la fois des résistances, des capacités et des selfs, aura une impédance Z représentée par une équation dite complexe. 

En effet, les composantes de Z liées à la présence des capacités et selfs dépendent de l’angle de déphasage φ du courant, à travers tgφ

Or, en trigonométrie, tgφ vaut [(1-cos²φ) / cos²φ)]1/2 d’où la présence de racines carrées de valeurs négatives, qui impliquent l’imaginaire ( j ) selon la formule :

Z = R + j.L.f - j / C.f

avec Z(Ω)= impédance complexe

R(Ω)= résistances (partie réelle) dite résistance ohmique

j = symbole imaginaire

C(F)= capacité

L(H) = inductance

L'impédance se décompose donc en plusieurs éléments :

Zr(Ω) = L.f  = réactance selfique

Zc(Ω) = 1 / C.f = réactance capacitive

f(Hz)= fréquence

 

CIRCUIT OSCILLANT

-le circuit oscillant est un circuit fermé, comprenant au moins une inductance (self) et un condensateur : l’énergie électrique oscille entre ces 2 composants qui sont donc assimilables à un circuit oscillant. Les relations sont :

charge du condensateur : Q = QA.sin(ωt + φ)

fréquence : f = (1 / L.C)1/2

période : tp= (L.C)1/2

vitesse angulaire : ω = θ / (L.C)1/2

potentiels: UC = (Q / C)   ainsi que  [UC + UL] = 0   et  UL = L.(i / t)

où QA(C)= charge maximale, C(F)= capacité, L(H)= inductance, UL(V)= différence de potentiel aux bornes de L, UC(V)= d.d.p. aux bornes de C

i(A)= ampérage

 

-la constante de temps

La durée d’amortissement d’un phénomène périodique est nommée constante de temps, inverse d’une constante d’amortissement

Equation aux dimensions : T       Symbole de désignation : t0       Unité = seconde(s)

Dans un circuit électrique parcouru par un courant alternatif sinusoïdal et comportant des selfs, des résistances mais des capacités négligeables, la constante de temps est t0 telle que

i = Ué / R + y.e- t / to

avec Ué(V)= force électromotrice du circuit parcouru par un courant variable i(A)

R(Ω)= résistance

y = un coefficient dépendant des conditions initiales

t(s)= temps auquel est mesuré i

t0(s)= constante de temps

Constante de temps pour un conducteur

t0 = ρ' / V’.B

avec t0(s)= constante de temps

ρ'(kg/m3)= masse volumique

V’(C/m3)= densité cubique (ou volumique) de charges

B(T)= champ d’induction magnétique

Cas d’un bon conducteur : la constante de temps est très petite (< 10-12 s)

Constante de temps pour circuit non amorti

t0 = L / R

L(H) = inductances et R(Ω) = résistances

 

-le facteur d’amortissement  F’s est le rapport numérique résistance / réactance >>>

F’s= R / Zr

 

-le facteur de qualité F’q:  est le rapport numérique entre l’énergie stockée avant la cause d’amortissement et celle dissipée par l’amortissement

F’q = Zr / R        ou   F’q = Ya / Yd

avec Zr(Ω)= réactance

R(Ω)= résistance

Ya(S)= susceptance et Yd(S)= condensance

Pour un circuit (R.C.L):  F’q = f.L / R = (L)1/2/ (R.C)1/2= 1 / R.C.f

 

FORMULES concernant un CIRCUIT en ALTERNATIF

1.la PUISSANCE dans un CIRCUIT ALTERNATIF

1.1. Il y a d'abord la puissance créée ou puissance fournie ou puissance effective ou puissance apparente ou puissance distribuée ou puissance souscrite

c'est Peff = Ueff.ieff  les indices eff signifiant efficace et efficace signifiant quadratique (racine carrée de la moyenne des carrés de i ou U calculés sur une période) C'est la partie réelle de la puissance complexe et elle est exprimée en Volt-Ampère (VA) 

En triphasé, d'après la formule d'Al Kashi, Ueff. vaut [2U.cos(p/6)] soit (3)1/2.U

De même ieff. d'après la même formule vaut [2i.cos(p/6)] soit (3)1/2.i

Donc pour les 3 phases d'un courant triphasé  Peff = 3.U.i  

1.2. Il y a ensuite la puissance active ou puissance réelle ou puissance wattée ou puissance utile qui est la partie offrant la production de travail, de chaleur, de mouvement...

C'est l'une des 2 composantes de la ci-dessus puissance apparente, à savoir Pact = Ueff.ieff.cosj

cosφ est le facteur de puissance (le cosinus du déphasage entre i et U) qui représente la difficulté à obtenir quelque chose d'utile quand le courant est plus que douteusement sinusoïdal.Ce cosφ est donc un rendement qui est pratiquement de l'ordre de 0,75.

Pact est exprimée en Watts(W) et on a 1 Watt = 1 VA.cos φ 

1.3. Il y a enfin la puissance réactive ou puissance magnétique ou puissance déwattéequi est la partie imaginaire de la puissance complexe et ne servant qu'à des fonctions subalternes (mise en bonne excitation des circuits magnétiques, échauffements, régulation de transfos....)

On a Préa = Ueff.ieff.sinj   exprimée en Var (Volt-ampère réactif) et les relations entre unités de puissances sont:

1 Watt = 1 VA.cosφ= 1 Var/tgj

1 VA = 1 W/cosj= 1 Var/sinj

1 Var = 1 VA.sinj= 1 W.tgj

 

-pour un circuit équilibré (3 phases de même amplitude) >>>

en mode étoile, la tension est divisée par (racine de 3 = 31/2)

en mode triangle,  l'intensité est divisée par (racine de 3 = 31/2)

d'où (idem) Pact = 31/2.U.i.cosφ  exprimée en W et Préa = 31/2.U.i.sinφ exprimée en Var (Volt-ampère réactif)

i(A) est l’intensité par fil de chaque phase, U(V) est leur différence de potentiel et φ(rad) le déphasage entre U et i.

-pour un réseau >>> théorème de Boucherot

dans un réseau où la fréquence du courant est constante, il y a conservation de la puissance active et de la puissance réactive

CALCUL de l'IMPEDANCE dans un CIRCUIT ALTERNATIF

-Impédance pour circuit R.C en série : >>> Z = [R² + (1 / f.C)²]1/2

où Z(Ω) est l’impédance, R(Ω) la résistance, C(F) la capacité, f(Hz) la fréquence

-Impédance pour circuit R.C en parallèle : >>> 1 / Z = Ya= [1 / R² + (f.C)²]1/2

où Ya(S) = admittance, R = résistance, C(F) = capacité, f(Hz)=fréquence

-Impédance  pour circuit R.L en série : >>> Z = [R² + (f.L)²]1/2

où R(Ω) est la résistance, L(H) l’inductance et  f(Hz)la fréquence

-Impédance pour circuit R.L en parallèle : >>> 1 / Z = Ya= [1 / R² + (1/f.L)²]1/2

où Ya(S) est l’admittance, R la résistance, C(F) la capacité, f(Hz) la fréquence

-Impédance d'un circuit R.C.L (oscillant) en série : >>> Z = [R² + (f.L-1 / f.C)²]1/2

où R(Ω) est la résistance, L(H) l’inductance et f(Hz) la fréquence

-Impédance d'un circuit R.C.L (oscillant) en parallèle : >>>

1 / Z = Ya= [1/R² + (f.C-1 / f.L)²]1/2 mêmes notations que ci-dessus

-Impédance pour circuit (anti-résonant) >>>

Z = R.ys  avec (C) et (L + R, en parallèle à C)

où Z(Ω) = impédance et  ys (nombre) = coefficient de surtension (qui peut atteindre une valeur de plusieurs dizaines d’unités)

 

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