astronautique

RAPPEL de NOTIONS d'AERONAUTIQUE

-vitesse angulaire (ou fréquence angulaire)

C'est le parcours d’un angle plan dans l’unité de temps

Dimensions structurelles : T-1.A       Symbole de grandeur : ω         Unité S.I.+ : rad/s

Relations entre unités :

1 tour par seconde= 60 tours par minute = 2p rad/s = 2p x 60 (soit # 377) radians/mn

1 tour par minute = 1/60 tour par seconde = 2p rad/mn = 2p / 60 (soit # 0,1) rad/s

1 rad/s = 60 rad par minute = 1/2p (soit # 0,6 ) tour par s. = 60/2p (soit # 10) tours/mn

1 radian/ mn = 1/60 rad/s= 1/2p (soit # 0,6 ) tour par mn = 1/2p.60 (soit # 0,0026) tr/s

Attention : "nombre de tours"(expression abrégée) laisse à penser qu’il s’agit d’un nombre, mais la vraie expression est "nombre de tours par seconde", qui est bien entendu une unité de vitesse angulaire

ω = θ / t      ou   ω = θ.f     ou   ω = θ.v / lr

avec ω(rad/s)= vitesse angulaire d’un mobile parcourant une circonférence

θ(rad)= angle balayé uniformément pendant le temps t(s)

f(Hz)= fréquence de balayage

ω(rad/s)= vitesse angulaire du barycentre d’un mobile parcourant une circonférence de rayon

lr(m) et ayant une vitesse tangentielle v(m/s)

θ(rad)= angle plan balayé

-fréquence de balayage

f = ω / θ

avec f(s-1)= fréquence de balayage

θ(rad)= angle de rotation (vaut 2p seulement pour une rotation complète et si le système d’unités a comme angle unité le radian)

ω(rad/s)= vitesse angulaire

-poussée

La force résultante d'avancement (la poussée) est donnée par le 

théorème du maître-couple  F = (Sm.C.ρ’.v²) / 2

avec F(N)= force de poussée

Sm(m²)= maître-couple du mobile se déplaçant à une vitesse v(m/s)

Sm est la surface maximale présentée par l'une des sections du mobile, perpendiculairement à son déplacement

ρ’(kg/m3)= masse volumique du fluide dans lequel évolue ce mobile

Le coefficient C(non dimensionnel) = coefficient de maître-couple dépend de la forme du mobile (son aérodynamisme), de l'angle d'incidence de l'aile (angle entre les filets d'air et la tangente au profil d'attaque alaire), du point d'attache de l'aile ou de la voile, de la viscosité (et du nombre de Reynolds), des tourbillons en extrémités, des chocs ondulatoires (cavitation ou nombre de Mach, éventuellement supersonique), etc...

 

LES FUSÉES

-accélération de fusée

g = (Fp+ Fg) / m

avec Fp(N)= poussée sur une fusée, l’accélération étant g(m/s²)

Fg(N)= force d’attraction de pesanteur

m(kg)= masse -variable- de la fusée

Les valeurs pratiques arrondies de g sont (en m/s²) :

fusées usuelles(30 à 50)--fusées énormes(400 à 500)-

On entend souvent dire que les astronautes ou pilotes ont subi une accélération de Xg : il s’agit de X fois la pesanteur, prise comme unité imagée (g ≈10 m/s² )

 

-altitude atteinte par une fusée

En supposant les frottements de l’air négligeables et pour une zone circumterrestre :

lh = v.mf [i*-1-Log.i*] / M*- g.η.t²/2

avec lh(m)= hauteur atteinte en fin de combustion

v(m/s)= vitesse d’éjection des gaz

i*(nombre)= rapport entre la masse initiale (avec son plein de carburant) et la masse finale mf (vide de carburant)

M*(kg/s)= débit-masse de carburant et η(ps)= sa viscosité dynamique

g(m/s²)= pesanteur

t(s)= durée de consommation de carburant

 

-consommation spécifique d'une fusée

C'est la quantité de propergol pouvant produire une force de (9,81 N)

Equation aux dimensions : L-1.T        Symbole de désignation : d'       

Unité S.I.+ : kg / s.N

Unité pratique : le gramme par seconde et kiloNewton, qui vaut 10-6 kg / s.N

d' = m / F.t = m.v.r / F.l

d'(kg/s-N)= consommation spécifique

t(s)= temps nécessaire pour donner une force F de 9,81 N

v(m/s)= vitesse acquise à la distance l(m)

r(nombre)= rendement du moteur

En pratique les fusées peuvent consommer jusqu'à 200 tonnes de carburants (pour fusée lunaire, ayant 3000 tonnes de masse totale et 120 tonnes de charge utile)

 

-poussée sur une fusée

C'est la force de translation ou pulsion :

Fp = Δm.v / t

avec Fp(N)= pulsion (poussée) sur une fusée

Δm (kg)= variation (perte) de sa masse pendant le temps t(s)

v(m/s)= vitesse d’échappement des gaz

En pratique, la poussée atteint 15 tonnes-poids (Ariane) ou 30 tonnes-poids (fusée lunaire)

 

-recul pour une fusée

Il y a d'une part le recul géométrique, qui est le recul habituel d'une arme, si la fusée est sur un support mobile

lq= (mp.v² / W'.ma)1/2

avec lq(m)= recul

mp(kg)= masse du projectile

ma(kg)= masse de la fusée

W'(N/m)= équivalent raideur de la fusée (qui vaut pratiquement 1000 à 2000 N/m)

v(m/s)= vitesse du projectile au départ

Ce recul est négligeable pour des fusées spatiales puisque le support est fixe

Il y a d'autre part le recul d'impulsion qui est la variation de la quantité de mouvement

La masse varie en fonction de l'avancement, donc la quantité de mouvement Q’ (masse x vitesse) varie aussi de :

ΔQ’ = m.Δv(fusée) - Δv.m(carburant)  m étant la masse et v la vitesse

 

-temps spécifique d'impulsion d'une fusée

C’est le temps correspondant à la notion de consommation spécifique ci-dessus (le mot impulsion étant ici pris dans le sens commun de "communication rapide de mouvement")

t = m.r.v / F

où t(s)= temps nécessaire pour donner une force F de 9,81 N

v(m/s)= vitesse acquise et r(nombre)= rendement du moteur

m(kg)= masse nécessaire de carburant (propergol en l’occurence)

 

-vitesse de fusée (formule de Tsiolkovski)

v1 = v0.Log.(m0/ m1)

avec v1(m/s)= vitesse de la fusée au moment où elle a une masse m1(kg)

m0(kg)= sa masse au départ

v0(m/s)= vitesse d’échappement du gaz par rapport à la fusée (environ # 103 m/s)

Log est le logarithme népérien

En pratique la vitesse atteinte par fusée Ariane par exemple, est 29.000 km/h (soit 8.000 m/s) donc la vitesse de mise en orbite

 

-vitesse pour mise en orbite terrestre d'une fusée

Cette vitesse est nommée : 1° vitesse cosmique

vc1 = [G.m / Ω.(lr+ ls)]1/2

avec (G / Ω) = 6,673.10-11 m3-sr/kg-s²

m = 5,974.1024 kg        lr = 6,37.106 m        ls = 3.105 m(environ)

d'où la valeur de vc1 (première vitesse cosmique) = 7910 m/s

 

-satellisation

Pour un corps qui est dans l’emprise gravitationnelle d’un autre corps (astre par exemple) la vitesse de son déplacement est:

v = ls.ω/ θ     ou bien   v = (G/ Ω)1/2.(m / (lr+ ls)]1/2

avec v(m/s)= vitesse d’un mobile parcourant un cercle de rayon ls

ω(rad/s)= vitesse angulaire

θ(rad)= angle décrit (qui vaut 2p radians s’il s’agit d’1 tour)

Ω(sr)= angle solide dans lequel se déroule le phénomène-(vaut 4p sr si l’unité d’angle solide est le stéradian)

G(8,385.10-10 m3-sr/kg-s²)= constante de gravitation en unités S.I.+

m(kg)= masse de l’astre

Nota : G est souvent évaluée en une autre unité -dite rationalisée-

soit 6,673 .10-11m3-sp/kg-s² c’est à dire 4p fois moins que la valeur S.I.+, car on a alors confondu G et (G / Ω), Ω étant l'angle solide

lr (m) = rayon de l’astre

et ls(m) = hauteur (altitude du corps qui doit soit rester, soit satelliser, soit s'échapper de l'emprise de la gravité)

1))-la formule ci-dessus permet de calculer la vitesse d’un point (ou d’un être) situé sur la surface du globe terrestre >> par exemple à 45° de latitude (cas moyen pour la France)

v45 = l.f   l étant égal à 2p.(sin 45°.lr) et f = (1/86400) s-1 on en déduit la vitesse d'un individu fixé sur la surface de la France centrale  v45 = 330 mètres / s

2))-on en tire aussi la vitesse de mise en orbite terrestre (ou 1° vitesse cosmique)

vc1 = [G.m / Ω.(lr + ls)]1/2

avec (G / Ω) = 6,673.10-11 m3-sr/kg-s²

m = 5,974.1024 kg

lr = 6,37.106 m

ls = 3.105 m(environ)

d'où la valeur de vc1 (première vitesse cosmique) = 7910 m/s

La durée de révolution d’un satellite est :

t = 2pi(lr+ ls) / v  (v étant la vitesse du satellite)

3))-on y trouve encore la vitesse de libération de l’attraction terrestre (dite aussi  vitesse d'échappement ou 2° vitesse cosmique ou vitesse de fuite ou vitesse parabolique....) >> c'est la vitesse à partir de laquelle un mobile peut quitter l’attraction du corps dont il dépend.

Pour la Terre, comme alors

G = 8,385.10-10 m3-sr/kg-s²

m = 5,974.1024 kg    et Ω = 4p sr

lr = 6,37.106 m

ls= 3.104 m(environ)

la valeur de vc2 = 11.190 m/s (donc # 40.000 km/h)

4))-on en tire enfin la vitesse de libération de l’attraction solaire vc3 

(ou 3° vitesse cosmique) 

On a alors lr = 1,496.1011 m   et ls = négligeable >> ce qui donne la valeur de

vc3 = 42.100 m/s

 

SATELLITE GÉOSTATIONNAIRE

Il reste fixe par rapport à un lieu terrestre

-son altitude est fournie par l’équation ci-dessus

-sa vitesse de révolution se déduit de la même formule, pour t = durée d’un jour pour le satellite, soit 86400 secondes et (lr + ls) = 3,578.107 m.

donc v = 3,074.103 m/s 

 

CONSTANTE de GAUSS

La constante de Gauss KG est définie égale à (G.Ms)1/2 où G est la constante de gravitation et Ms la masse du soleil. (dimension L3.T-2.A) Mais c’est aussi égal à (V/t).w dont la dimension est identique (puisque L3.T-1x A.T-1) où V est le volume engendré pendant le temps t par une planète prototype qui tournerait autour du soleil avec une vitesse angulaire w = 0,01720209895. rad / jour (ou 0,9856076686 degré d'angle par jour ou encore mieux # 2.10-7 rad/seconde, l’unité S.I.+)

On trouve alors que le rayon décrit par cette planète-modèle est de 149597870691 m

On arrondit en pratique à 150 millions de kilomètres, car cette planète-modèle est la TERRE