formule de Bernoulli

L'ÉQUATION de BERNOULLI

1° écriture >> c'est un bilan des pressions entre 2 points d'un circuit hydraulique

Δp = p1+ p2+ p3

où p1(Pa) est la pression statique du liquide (pression ambiante, isotrope, agissant dans toutes les directions internes du liquide)

p2(Pa) est la pression de pesanteur, qui vaut (l.ρ'.g) avec l(m)= différence de niveau entre les 2 points, ρ'(kg/m3)= masse volumique du liquide, supposée indépendante de la pression et g(m/s²)= accélération de la pesanteur

p3(Pa) est la pression dynamique (c’est à dire provenant de l’écoulement, donc cinétique) qui vaut (1/2) (ρ'.v²)   où v(m/s)= vitesse d’écoulement du liquide

 

2° écriture : l'équation de Bernoulli peut s'écrire avec des hauteurs d'eau :

on divise tous les termes par le poids spécifique et on a alors Δl = l1+ l2+ l3

où Δl(m)= hauteur manométrique (ou hauteur de charge) totale, l1(m) = hauteur statique du liquide, l2(m) est la hauteur piézométrique (qui vaut p / ρ'.g)

et l3(m) = hauteur résiduelle en sortie

 

3° écriture : l'équation de Bernoulli écrite avec des énergies

ΔEh = E1+ E2+ E3

on note ainsi que la différence d'énergie totale du liquide est égale à la somme de

E1(J) = énergie statique du liquide (E1 = m.g.lz),

avec m=masse, g=pesanteur, lz= hauteur

E2(J)=  énergie de mouvement (E2 = 1/2 de mv²), avec v= vitesse

E3(J)= énergie de pression (E3=dp / ρ'), avec p= pression, ρ'= masse volumique)

 

PERTURBATIONS dans le CIRCUIT

certaines anomalies d'un circuit imposent d'adjoindre un terme complémenatire à l'équation >>

-s'il y a un coude : il faut ajouter une pression pchqui est = K4.v² / 2g   où K4= 2 sin4θ

et θ est l'angle ouvert du coude (> 90°)

-s'ily a une pompe : le terme complémentaire de la loi de Bernoulli devient >>

-vrt².ρ' / 2g     où vrt est la vitesse tangentielle de la roue tournante et ρ'(kg/m3) la masse volumique du liquide

-s'il y a forte viscosité : la formule de Bernoulli devient Δp = p1+ p2+ p3+ pch

où pcv est la pression résultant du travail résistant de la viscosité (= p.v / V)