dimension de l'angle (plan ou solide)

DIMENSION de l'ANGLE

L'angle est réputé ne pas avoir de dimension (on dit que c'est un nombre), ce qui est une belle absurdité, car en quoi un angle ressemble-t-il à cet objet mathématique qu'est le "nombre" ?

Et d'où vient cette habitude de dire que c'est un nombre ?

La cause réside dans la formule de comparaison entre angles et longueurs prises sur un arc de cercle

Dans le cas particulier d'un cercle entier, il vient :

(angle en tours) / (angle en radians) =  circonférence / rayon = 2

Donc 1 tour = 2 radians . Mais si soudain on supprime (on oublie, on ignore, on élimine volontairement) le mot radians, on pose qu'un tour c'est 2 rien, et donc tous les autres angles ne sont rien

A ce jeu stupide, on peut prouver que le poids n'a pas de dimension >>> si on le mesure avec le curseur d'une bascule (donc une longueur) et qu'on décide comme pour l'angle, que l'unité de longueur n'a pas de nom, pas de dimension, tous les poids -comparés à des longueurs- seront sans dimension , etc...

L'argumentation essayant d'occulter l'évidente dimension de l'angle provient de la confusion entre sa définition et sa mesure avec une autre grandeur (longueur en l'occurrence).

On retrouve l'angle dans les formules, caché sous le nombre 2 pi , sans vouloir se rendre compte que c'est 2 pi radians

D'ailleurs, si l'unité d'angle était le grade, on rencontrerait 400 au lieu de 2 dans les formules et si l'unité était le degré, on verrait 360 au lieu de 2 ,

mais comme pi est un nombre magique, on aime le magnifier (radian est à côté, un mot jugé trop plat pour être pris en compte...)

2 pi est cependant bien un nombre d'unités et pas un nombre absolu

Rappelons qu'une formule de Physique doit être cohérente et donc ne pas dépendre du système d'unités dans laquelle on l'énonce.

Donc aucune formule ne doit comporter 2 pi dans son contenu; elle doit comporter l'angle, qui en est la généralisation

Dans l’espace -où l'on rencontre l'angle solide- les mêmes remarques entraînent l’apparition fréquente de 4 stéradians dans les formules, car le mot stéradian est pareillement omis

Tout ceci créé l’un des plus importants embrouillaminis de la Physique, car le mélange est permanent entre telle grandeur G et la grandeur voisine--mais hautement distincte-- égale à (G / angle)

On a d’ailleurs vécu des périodes où furent inventés des systèmes d’unités dits "rationalisés", pour paraît-il simplifier !

On y faisait un paquet avec les (2 radians ou 4 stéradians) et on les incluait dans les unités pour les faire disparaître des formules usuelles.

Mais bien entendu, les 2 ou 4 pi réapparaissaient dans une formule voisine, quasi aussi usuelle. Et ainsi, de formule simplifiée en formule alourdie, on confondait tout.

C'était une simplification -au sens "simpliste"--car elle occultait la présence de l'angle dans les formules et aussi dans le langage.

L'idée en est cependant encore bien présente, car on trouve toujours des grandeurs distinctes qui ont des unités identiques (ce qui est un comble d'irrationnalité)

Voici un exemple : un champ d’induction électrique E et l’électrisation afférente E' sont exprimées dans la plupart des ouvrages en Volts par mètre.

Or il est évident que ces 2 grandeurs différentes (jugées partout comme grandeurs différentes, puisque possédant des appellations et des connotations différenciées (en l’occurrence champ et électrisation) ne peuvent avoir la même unité de mesure (le Volt par mètre) >> le champ est une (électrisation de tout un angle solide) et s'exprimera bien en V / m. Mais l'électrisation ne peut s'exprimer qu'en Volt-stéradian par mètre.

Grand nombre de confusions sont ainsi maintenues dans les cours de Physique où l’on mélange par exemple le FLUX avec la charge –ou bien le champ de rémanence avec l'aimantation, ou bien la fréquence avec la vitesse angulaire, etc.

Voir le distinguo entre des grandeurs usuelles et leurs soeurs "angulaires" dans le chapitre grandeurs angulaires

 

RELATION ENTRE ANGLE PLAN et ANGLE SOLIDE

La similitude dimensionnelle entre angle solide et angle plan est patente: l’angle plan est engendré par une 1/2 droite qui tourne autour de son origine en balayant une portion de plan .Quand cette portion de plan engage à son tour une autre rotation (dans un plan perpendiculaire), le phénomène engendre un angle solide mais il s'agit bien de la même notion: elle est simplement doublée.D’où la présence d’un facteur 2 entre l'unité de l’angle plan et celle de l’angle solide

On appelle "Groupe double" ce groupe de 2 rotations, impliquant de ce fait passage de 2 dimensions géométriques (le plan), à 3 (l'espace)

Selon le système d’unités utilisé, la valeur maxi d’un angle solide est 4 stéradians (si l’on est dans le système d’unités S.I.+) ou "1 espace" dit aussi "spat" (si l’on utilise un autre système bâtard)

Et celle de l’angle plan est 2 radians (en unités du système S.I +), qui devient "1 tour" si l’on utilise un système bâtard.