OPéRATEURS MATHéMATIQUES utilisés en PHYSIQUE

-opérateurs mathématiques utilisés en Physique

Un opérateur est un objet mathématique destiné à effectuer une opération (transformation) mathématique sur l’expression d’une grandeur donnée :

Cela peut concerner :

-un tri (G pourra prendre seulement certaines valeurs triées parmi toutes)

-une opération différentielle envers la grandeur (comme dérivationlagrangien, intégration....)

-un choix (positif ou négatif)

-une inversion, un changement vectoriel, etc

Certains opérateurs mathématiques changent la structure de l’Equation aux dimensions structurelles (ce qu’il est fondamental de vérifier, bien sûr, avant tout calcul numérique)

On la symbolise souvent par un accent circonflexe (^g)

 

-L'INTÉGRATION  ne change pas la dimension de ce qui est impliqué sous le signe de l'intégrale

 

-LES DÉRIVATIONS (dG, δG, d²G, δ²G) qui sont les dérivées d’une grandeur G ,  ne changent pas la dimension de G

 

-LE GRADIENT, la DIVERGENCE, le ROTATIONNELde indiquent chacun une dérivée première par rapport à une longueur, donc cela revient à diviser l’Equation aux dimensions structurelles de par une longueur

 

LEHAMILTONIEN  H est (en Physique) la dérivée d’une grandeur par rapport au temps, donc la dimension de la grandeur est bien sûr divisée par le temps.

Quand le hamiltonien d'une grandeur est indépendant du temps, il est une constante de mouvement

 

-LE LAPLACIEN Δ (ou OPÉRATEUR de LAPLACE)

Un Laplacien d’une grandeur est une somme des dérivées secondes de par rapport aux coordonnées de longueur, soit Δ = (δ²/δx² + δ²/δy² + δ²/δ) 

où x, y, z sont les coordonnées.

Le Laplacien = divergence du gradient de G

L’équation aux dimensions d’une formule comportant un Laplacien doit être divisée par (longueur)²

 

-LE NABLA (symbole en delta inversé) est la racine d’un Laplacien (donc équivalant à un gradient) et entraîne la division de l’équation aux dimensions structurelles par une longueur

 

-LE D'ALEMBERTIEN  (symbole carré) est égal à (δ² / v².δt² - Δ), donc il entraîne la division d'une quelconque équation aux dimensions structurelles par une (longueur)²

 

-LA CIRCULATION est le produit d’une grandeur par une distance (refermée), donc multiplication de l’équation aux dimensions structurelles par une longueur

 

-LE LAGRANGIEN  L 

est (mathématiquement) une fonction caractérisant les mouvements de n variables dans un système de coordonnées généralisées. En Physique, le Lagrangien d’une grandeur est en général la dérivée de celle-ci par rapport au temps, donc la dimension de la grandeur G  est alors divisée par le temps

 

-L'INVERSION ALGÉBRIQUE d’une grandeur est la transformation de G  en (1/G) donc transforme la dimension de en inversant ses exposants

 

-L’INVERSION ALGÉBRIQUE d'un SEUL COMPOSANT DIMENSIONNEL d'une GRANDEUR   concerne dimensionnellement ce seul composant

Ex: si la grandeur force, de dimension L.M.T -2 est soumise à un opérateur d’inversion algébrique de son seul composant "longueur", cela deviendra la grandeur de dimension L-1.M.T -2 (qui est une pression)

 

-L’INVERSION GÉOMÉTRIQUE  d’une grandeur est la symétrie par rapport à l’origine des coordonnées spatio-temporelles; donc elle transforme en -et ne change pas la dimension.

Il est préférable de dire "contraire"   afin de ne pas confondre avec l’inversion algébrique ci-avant.

 

-LA MISE en VERSION SPATIALE  d’une grandeur G  (si l’angle est choisi comme "opérateur diviseur’’ de G) entraîne la division de la dimension de G  par l’angle.

Exemple: l'électrisation devient le champ d'induction électrique, sous l’action du diviseur (1 / angle solide)

 

-LE CHOIX, le TRI, le CHANGEMENT de PARITÉ ou de SENS  ne changent rien aux dimensions

 

-LA MISE en VECTEUR, en MATRICE, en TENSEUR .... ne change pas les dimensions

 

-LE LOGARITHME   par définition concerne un nombre, donc il n'est pas dimensionnel

 

-LA TRIGONOMÉTRIE

Les lignes trigonométriques usuelles (sinus, cosinus, tangentes et leurs versions hyperboliques) sont des rapports de longueurs, donc sans aucune incidence sur les dimensions des grandeurs qu'ils affectent.

Par contre la notion de ligne cardinale (par exemple un sinus cardinal de θ qui vaut sinθ/ θ ) change la dimension puisqu'il faut diviser celle-ci par θ (angle plan)

L'arc-tangente (Arc tan) de G représente un angle et modifie donc la dimension de G (elle est multipliée par l'angle)

 

-AUTRES OPÉRATEURS DIMENSIONNELS

S'ils sont utilisés en diviseurs: il faut alors diviser la dimension de G  par la dimension de l’opérateur introduit

S'ils sont utilisés en multiplicateurs, il faut multiplier la dimension de G   par la dimension de l’opérateur introduit

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