OPéRATEURS MATHéMATIQUES utilisés en PHYSIQUE

-opérateurs mathématiques utilisés en Physique

Un opérateur est un objet mathématique destiné à effectuer une opération

Cela peut concerner :

-un tri (G pourra prendre seulement certaines valeurs parmi toutes)

-une opération différentielle envers la grandeur (comme dérivation,Lagrangien, intégration....)

-un choix (positif ou négatif)

-une inversion, un changement vectoriel, etc

Certains opérateurs mathématiques changent la structure de l’Equation aux dimensions structurelles (ce qu’il est fondamental de vérifier, bien sûr, avant tout calcul numérique) On la symbolise souvent surmontée par un accent circonflexe (^g)

-L'INTÉGRATION ne change pas la dimension de ce qui est impliqué sous le signe

de l'intégrale

 

-LES DÉRIVATIONS (dG, δG, d²G, δ²G) qui sont les dérivées d’une grandeur G  ne

changent pas la dimension de G

 

-LE GRADIENT, la DIVERGENCE, le ROTATIONNEL de G indiquent chacun une dérivée

première par rapport à une longueur, donc cela revient à diviser l’Equation

aux dimensions structurelles de G par une longueur

Ce sont des tenseurs d'ordre 1

 

LE HAMILTONIEN  H (en Physique) est la dérivée d’une grandeur par rapport au temps,

donc la dimension de la grandeur est bien sûr divisée par le temps.

Quand le hamiltonien d'une grandeur est indépendant du temps, il est une constante de

mouvement

 

-LE LAPLACIEN Δ (ou OPÉRATEUR de LAPLACE)

est le gradient d'une divergence, donc une somme de dérivées secondes par

rapport à la longueur, soit   d²(x,y ou z) / dl²  où x, y, z sont les axes de coordonnées,

donc l’équation aux dimensions structurelles est à diviser par (longueur)²

C'est un tenseur d'ordre 2

 

-LE NABLA (delta inversé) est la racine d’un Laplacien (donc équivalant à un gradient) et

entraîne la division de l’équation aux dimensions structurelles par une longueur

 

-LE D'ALEMBERTIEN   (symbole carré) est égal à (δ² / v².δt² - Δ), donc il entraîne la

division d'une quelconque équation aux dimensions structurelles par une (longueur)²

 

-LA CIRCULATION est le produit d’une grandeur par une distance, donc multiplication de

l’équation aux dimensions structurelles par une longueur

 

-Le lagrangien  L 

est (mathématiquement) une fonction caractérisant les mouvements de n variables dans

un système de coordonnées généralisées.

En Physique, le lagrangien d’une grandeur est en général la dérivée de celle-ci

par rapport au temps, donc la dimension de la grandeur G est alors divisée

par le temps

 

-L'INVERSION ALGÉBRIQUE d’une grandeur G est la transformation de G  en 1/G) donc

transforme la dimension de en inversant ses exposants

 

-L’INVERSION ALGÉBRIQUE d'un SEUL COMPOSANT DIMENSIONNEL d'une

GRANDEUR  concerne ce composant seulement.

Ex: si la grandeur force de dimension L.M.T -2 est soumise à un opérateur d’inversion

algébrique de son seul composant "longueur", cela deviendra la grandeur de

dimension L-1.M.T -2 (qui est une pression)

 

-L’INVERSION GÉOMÉTRIQUE  d’une grandeur est la symétrie par rapport à l’origine

des coordonnées spatio-temporelles; donc elle transforme G en (-G) et ne

change pas la dimension.Mieux vaut dire "contraire", afin de ne pas confondre avec

l’inversion algébrique ci-avant.

 

-LA MISE en VERSION SPATIALE  d’une grandeur G  (si l’angle est choisi comme

"opérateur diviseur’’ de G) entraîne la division de la dimension de G  par

l’angle. Exemple: l'électrisation devient le champ d'induction électrique, sous

l’action du diviseur (1 / angle solide)

 

-LE CHOIX, le TRI, le CHANGEMENT de PARITÉ ou de SENS  ne changent rien aux

dimensions

 

-LA MISE en VECTEUR, en MATRICE, en TENSEUR .... ne change pas les dimensions

 

-LE LOGARITHME par définition concerne un nombre, donc il n'est pas dimensionnel

 

-LA TRIGONOMÉTRIE

Les lignes trigonométriques usuelles (sinus, cosinus, tangentes et leurs versions

hyperboliques) sont des rapports de longueurs, donc sans aucune incidence

sur les dimensions des grandeurs qu'ils affectent.

Par contre la notion de ligne cardinale (par exemple un sinus cardinal de θ qui vaut

sinθ/ θ ) change la dimension puisqu'il faut diviser celle-ci par θ (angle plan)

L'arc-tangente (Arc tan) de G représente un angle et modifie donc la dimension de G

(elle est multipliée par l'angle)

 

-AUTRES OPÉRATEURS DIMENSIONNELS

S'ils sont utilisés en diviseurs: il faut alors diviser la dimension de G  par la dimension de

l’opérateur introduit

S'ils sont utilisés en multiplicateurs, il faut multiplier la dimension de G   par la dimension

de l’opérateur introduit

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