FONCTION d'ONDE

-fonction d'onde

Une fonction d’onde est une fonction décrivant par une formule, tous les éléments d’information sur l’état d’une grandeur

ÉQUATION d'ONDE

Dans tous les phénomènes ondulatoires, on constate la pérennité de la

relation  Δψ = (δ² ψ / δt².v ²)

C'est une équation d'onde ψ est dénommée fonction d'onde

(t et v étant le temps et la vitesse)

Δ(m-2)= Laplacien, c’est à dire la somme des dérivées secondes par rapport à chaque coordonnée

 

Selon la nature de la grandeur ψ,  cette équation d'onde prend une présentation différente, dont les cas usuels sont :

 

CAS où  Ψ EST une LONGUEUR (DONC Ψ INDÉPENDANTE du TEMPS)

-pour une onde qui se propage dans les 3 directions géométriques 

[δ²ψ / δlx² + δ²ψ / δly² + δ²Ψ / δlz²] - (δ²Ψ / δt².vc²) = 0

avec ψ (l)= fonction d’onde

l(m)= position de la particule sur la trajectoire où lx ly lz (m)= ses 3 coordonnées dans l’espace

t(s)= temps

vc(m/s)= vitesse constante de l’onde (> 0). vc est égale à c (constante d’Einstein) pour les ondes électromagnétiques

-cas particulier d’une particule librevoir chapître spécial

la fonction d'onde est alors l'équation de Schrödinger >>>

(h.δΨ) / j. δt + H.Ψ = 0  

-cas macroscopique d'équation d'onde (mécanique standard)   où ψest une longueur

C'est l'équation d’onde d’une charge massique élastiquement liée et elle exprime le déplacement d’une masse soumise à une oscillation (accrochée à 1 pendule, à 1 ressort...)

ψ = l (longueur)       d’où Δ= l.cos (ωt +φ) / (vc².t²)    et cela devient  

l = lA.cos (ωt +φ) l'équation usuelle d'une oscillation

-cas macroscopique d'équation d’onde (mécanique standard)pour une masse accrochée à une corde.

Le déplacement impliqué dans la fonction d’onde ψ est alors limité à une seule direction lz

δ²ψ/ δlz² = ρ'.δ²ψ / p.δt²    ρ' étant la masse volumique et p la contrainte

-cas macroscopique d'équation d'onde (mécanique standard) pour une masse attachée à 4 ressorts en croix.

Il y a 2 équations du mouvement : 

l’une pour l’axe des x (abscisses)   lx= lA1.cos(ω1.t +φ1)

et l’autre pour l’axe des y (ordonnées) :  ly= lA2.cos(ω2.t + φ2.)

 

CAS où Ψ EST DIFFÉRENTE d'une LONGUEUR

1))-la fonction d’onde peut être un temps (Ψ = t (temps)

2))-la fonction d’onde peut être une accélération (Ψ = g)d’où l'équation d'onde ci-après 

(Δg = F/ m.vc². t²)  ce qui est l'équivalent de l'équation de d'Alembert  = m. g

où vc(m/s) = célérité, g(m/s²) = potentiel gravitationnel (accélération), t = temps et F = force

3))-la fonction d'onde peut être une capacité (électrique) C, l'équation devient

(Δt = C.R / vc². t²)   équivalente à la relation classique C.R = 1 / f

(f = fréquence et R = résistance)

4))-la fonction d’onde peut être Ψ = p’(un flux massique de chaleur) d’où l'équation d'onde

Δp’= f*.grad.T / m.vc².t²   et on reconnaît l'équation de Fourier, qui s'écrit aussi :

p*= -l*.grad T    l*(W-m/K)= conductivité thermique(résistance linéique thermique)

p*t(W/m²)= densité de flux (ou flux surfacique) de chaleur (= énergie thermique)

T(K)= température

5))-la fonction d’onde (en électricité) peut être Ψ = E(champ d’induction électrique) d'où

ΔE - ε0.μ0.δ²E / δt²) = 0

où εest la permittivité du vide, μla perméabilité du vide, t le temps et Δ le Laplacien

6))- en magnétisme, on peut avoir Ψ = B(champ d’induction magnétique) d’où

ΔB - ε0.μ0.δ²B / δt²)= 0

 

RÉDUCTION de la FONCTION D'ONDE

Pour les particules, l'incertitude de Heisenberg  exprime l'impossibilité, lors de mesures, de connaître précisément et simultanément 2 paramètres canoniques  concernant une particule.

On suppute que c'est dû à l'invasivité des appareils de mesure envers les composants particulaires infiniment ténus -et donc infiniment sensibles- de la particule observée.

Par exemple s'il s'agit de l'énergie d'une particule (E = h.ν) :

si on mesure E (l'énergie) avec certitude, la fréquence(ν) n'est pas mesurable avec certitude

ou bien-- réciproquement--siν(la fréquence) est mesurée avec certitude, l'énergie E ne sera qu'incertainement mesurable.

La fonction d'onde (équation qui devrait donner le renseignement évolutif d'un paramètre) n'est plus valable.On dit qu'elle est réduite

C'est la réduction de la fonction d'onde(ou réduction du paquet d'onde)* de la particule.

Heisenberg écrit alors Δν < ΔE / h
Parallèlement, si on cherche à mesurer la quantité de mouvement (Q' = m.v) on a pareillement:

-certitude sur la mesure de la vitesse(v) maisincertitude sur la mesure de Q' au même moment et Heisenberg écrit alors Δv < ΔQ'/ m

 

*un paquet d'ondes est un ensemble de fonctions d'onde;chacune d'elles est une distribution des positions possibles de la particule

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