HAMILTONIEN

-hamiltonien

Un hamiltonien est un opérateur mathématique, mais en Physique, on rencontre le plus souvent cet opérateur, correspondant à une énergie

Afin de ne pas mélanger les notions, nous écrirons:

hamiltonien en minuscules quand il s'agit de l'opérateur mathématique

 HAMILTONIEN en MAJUSCULES quand il s'agit d'une énergie:c'est alors la dérivée (da/dt), dérivée d'une action par rapport au temps, c'est à dire une énergie

Equation aux dimensions du HAMILTONIEN : L2.M.T-2       Symbole de désignation : H       Unité S.I.+ : Joule(J)

 

RELATION ENTRE HAMILTONIEN et ACTION

En mécanique >>>

H = f.a

avec a(J-s)= action

H (J)= HAMILTONIEN (énergie)

f(Hz)= fréquence

En physique particulaire >>>

H = dh / dt     ou     h = H / ν

où t(s) le temps

h(J-s)= action (pour les particules, l'action est toujours la constante de Planck)

ν(Hz)= fréquence

 

RELATION ENTRE HAMILTONIEN et LAGRANGIEN

on passe du HAMILTONIEN H au LAGRANGIEN L en faisant une transformation de Legendre (par dérivation de l’une des grandeurs composantes)

H = Σv.Q’i - L 

H et L(en J), la vitesse v(en m/s) et l’impulsion Q'i(en kg-m/s)

 

RELATION ENTRE HAMILTONIEN et MOMENT D'INERTIE

 H = d²I / dt²      avec  I(kg-m²)= moment d’inertie et t(s)=temps

 

UN SYSTÈME est dit hamiltonien

s'il répond à l'équation de Hamilton, à savoir l = dE / dQ'i  

où l est la position, E l'énergie, Q'i l'impulsion

 

CAS d'ESPÈCES de HAMILTONIENS en MÉCANIQUE QUANTIQUE

HAMILTONIEN d’une particule libre

H = Q’² / 2m

avec: m(kg)= masse, Q’(kg-m/s)= quantité de mouvement et v(m/s)= vitesse

HAMILTONIEN d’une particule dans un potentiel d’induction gravitationnel q’ :

H = Q’² / 2m + m.q’ / 2       ou   H = Q’² / 2m + m.ν².l² / 2

où q'(J/kg)= énergie massique de la particule, ν(Hz) la fréquence, m(kg) la masse,

Q’(kg-m/s) la quantité de mouvement et l(m) la position

HAMILTONIEN de l’atome d’hydrogène

H = Q’² / 2m + e² / t*

avec : e(C)= charge élémentaire et t*(df)= élastance spatiale

L'HAMILTONIEN d'un atome, d'un ion ou d'une molécule est indépendant du temps (si la particule en question n'est pas soumise à un champ électromagnétique)

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