HAMILTONIEN

-hamiltonien

Un hamiltonien est un opérateur mathématique, mais en Physique, on utilise souvent un cas particulier de cet opérateur, correspondant à une énergie

 

Afin de bien distinguer les deux cas, nous écrirons hamiltonien en minuscules, quand il s'agit de l'opérateur mathématique et HAMILTONIEN en majuscules, quand il s'agit de la grandeur physique (c'est alors une énergie, égale à la dérivée de l'action par rapport au temps = da/dt)

 

Equation aux dimensions du HAMILTONIEN : L2.M.T-2       Symbole de désignation : H       Unité S.I.+ : Joule(J)

 

RELATION ENTRE HAMILTONIEN et ACTION

En mécanique >>>

H = f.a

avec a(J-s)= action

H (J)= HAMILTONIEN (énergie)

f(Hz)= fréquence

En physique particulaire >>>

H = dh / dt     ou     h = H / ν

où t(s) le temps

h(J-s)= action (pour les particules, l'action est toujours la constante de Planck)

ν(Hz)= fréquence

 

RELATION ENTRE HAMILTONIEN et LAGRANGIEN

on passe du hamiltonien H au lagrangien L en faisant une transformation de Legendre (par dérivation de l’une des grandeurs composantes)

= Σv.Q’i-L 

et L(en J), la vitesse v(en m/s) et l’impulsion Q'i(en kg-m/s)

 

RELATION ENTRE HAMILTONIEN et MOMENT D'INERTIE

 H = d²/ dt²      avec  I(kg-m²)= moment d’inertie et t(s)=temps

 

UN SYSTÈME est dit HAMILTONIEN

s'il répond à l'équation de Hamilton, à savoir l = dE / dQ'i  

où l est la position, E l'énergie, Q'i l'impulsion

 

CAS d'ESPÈCE de HAMILTONIEN en MÉCANIQUE QUANTIQUE

HAMILTONIEN d’une particule libre

= Q’² / 2m

avec: m(kg)= masse, Q’(kg-m/s)= quantité de mouvement et v(m/s)= vitesse

HAMILTONIEN d’une particule dans un potentiel d’induction gravitationnel q’ :

= Q’² / 2m + m.q’ / 2       ou   = Q’² / 2m + m.ν².l² / 2

où q'(J/kg)= énergie massique de la particule, ν(Hz) la fréquence, m(kg) la masse,

Q’(kg-m/s) la quantité de mouvement et l(m) la position

HAMILTONIEN de l’atome d’hydrogène

= Q’² / 2m + e² / t*

avec : e(C)= charge élémentaire et t*(df)= élastance spatiale

L'HAMILTONIEN d'un atome, d'un ion ou d'une molécule est indépendant du temps (si la particule en question n'est pas soumise à un champ électromagnétique)

 

Nota : quand on lit ‘’moment conjugué’’ la terminologie est incomplète, il faut préciser s’il

s’agit d’un moment cinétique conjugué, ou un moment statique conjugué, ou un moment

d’inertie conjugué, ou un moment centrifuge conjugué, etc….

 

Chacun de ces moments est conjugué d’une grandeur différente

 

Tous répondent cependant à la relation >>> moment conjugué de telle grandeur = action

 

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