HAMILTONIEN et LAGRANGIEN

-hamiltonien et lagrangien

Un HAMILTONIEN est un opérateur mathématique, mais en Physique des particules, il s'agit d'une énergie

Afin de ne pas mélanger les notions, nous écrirons en minuscules hamiltonien quand il s'agit d'opérateur mathématique et le cas particulier de la physique, sera écrit en majuscules HAMILTONIEN qui est alors la dérivée (dh/dt), dérivée d'une action, c'est à dire une énergie

Equation aux dimensions du HAMILTONIEN : L2.M.T-2       Symbole de désignation : H       Unité S.I.+ : Joule(J)

 

RELATION ENTRE HAMILTONIEN et ACTION

H = dh / dt     ou     h = H / ν

où t(s) le temps

h(J-s)= action (pour les particules, l'action est toujours la constante de Planck)

ν(Hz)= fréquence

 

CAS d'ESPÈCE de HAMILTONIEN en MÉCANIQUE QUANTIQUE

HAMILTONIEN d’une particule libre

= Q’² / 2m

avec: m(kg)= masse, Q’(kg-m/s)= quantité de mouvement et v(m/s)= vitesse

HAMILTONIEN d’une particule dans un potentiel d’induction gravitationnel q’ :

= Q’² / 2m + m.q’ / 2       ou   = Q’² / 2m + m.ν².l² / 2

où q'(J/kg)= énergie massique de la particule, ν(Hz) la fréquence, m(kg) la masse,

Q’(kg-m/s) la quantité de mouvement et l(m) la position

HAMILTONIEN de l’atome d’hydrogène

= Q’² / 2m + e² / t*

avec : e(C)= charge élémentaire et t*(df)= élastance spatiale

L'HAMILTONIEN d'un atome, d'un ion ou d'une molécule est indépendant du temps (si la particule en question n'est pas soumise à un champ électromagnétique)

 

Le LAGRANGIEN  est un opérateur mathématique exprimant (en Physique) la dérivée d'une grandeur par rapport au temps

Dans le domaine particulier de la mécanique particulaire, il s'agit de la dérivée d'une action (a) par rapport au temps (t), donc une énergie

Equation aux dimensions structurelles  : L2.M.T-2    

Symboles de désignation : L       Unité S.I.+ : Joule(J)

RELATION ENTRE HAMILTONIEN et LAGRANGIEN

on passe du hamiltonien H au lagrangien L en faisant une transformation de Legendre (par dérivation de l’une des grandeurs composantes)

 

H = Σv.Q’i- L    où H et L(en J) sont les HAMILTONIEN et LAGRANGIEN, la vitesse v(en m/s) et l’impulsion Q'i(en kg-m/s)

Cas d'espèce en mécanique quantique

 -LAGRANGIEN d'un champ de fermions après une brisure de symétrie spontanée

L = E- Ef - Eé - En     où F, f, é, n sont les indices des champs de forces Forte, faible, électromagnétique et de courant neutre

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