SUPERPOSITION des OSCILLATIONS

-superposition des oscillations

CAS de SUPERPOSITION d’OSCILLATIONS (ou VIBRATIONS) LIBRES 

C'est à dire superposition avec fréquences différentes

-cas général

On suppose qu'il s'agit d'oscillations sinusoïdales harmoniques, d’amplitude identique avec déphasage nul

Si lé1 = lA.sin(ω1.t)  est l’équation de la première oscillation et

lé2 = lA.sin(ω2.t)  celle de la seconde

l’élongation résultante est : lé(1+2) = 2lA.[cos(ω1-ω2).t / 2].[sin(ω1+ω2).t / 2]

où lA.et lB(m) sont les amplitudes

ωet ω2(rad/s)= vitesses angulaires et t(s)= temps

-cas de 2 oscillations sinusoïdales perpendiculaires (ou rectangulaires)

Elles ont période identique

Si lx = lA.sin(ω3 .t) est l’équation de la première oscillation et ly = lB.sin(ω4.t + φ) celle perpendiculaire.

L’élongation résultante est  lx² / l²A- (2.lx.ly.cosφ) / (lA.lB) + (ly²/ l²B) / sin²φ

c’est l’équation d’une conique

-cas particulier de directions différentes pour les élongations

Le point représentant la résultante décrit des courbes de Lissajous (genre trèfle à 4 feuilles)

-superposition avec même fréquence

f = (W'/ m)1/2        où (W'd en kg/s² = constante de rappel et m(kg)= masse)

 

L'onde stationnaire est un ensemble de 2 ondes progressives usuelles, se propageant en directions opposées, avec les mêmes: fréquence, amplitude et phase (NOMBRES d’ondes identiques et opposés-- amplitudes mini aux noeuds et maxi aux ventres )

 

CAS de SUPERPOSITION d’OSCILLATIONS (et VIBRATIONS) FORCÉES

Cas de la résonance:

Quand il n’y a plus assez de potentialités d’amortissement pour ralentir l’action de la force excitatrice externe Fx le système oscillant peut avoir une amplitude lA qui augmente: c’est la résonance

Dans la formulation des Oscillations (forcées)

l= F/ [(m.fx²-W'd)² + (M*².fx²)]1/2     si le dénominateur tend vers une valeur minimale, l’amplitude lA tend vers un maximum (en particulier quand le coefficient de frottement visqueux M* tend vers 0 )

Exemples d’évolution de la résonance d’un système soumis à un excitateur:

-pour un facteur d’amortissement faible F’s < 1%   >>

lA est maximale (pic de résonance) avec une valeur > 5 fois sa valeur initiale pour une fréquence égale à la fréquence propre

-pour un facteur d’amortissement moyen  1% < F’s < 10%  >>

lA est maximale (pic de résonance) pour une fréquence un peu inférieure à la fréquence propre, mais n’atteint que la moitié de la valeur du pic précédent

-pour un facteur d’amortissement assez fort (F’>10%)

  lreste quasiment constant (la résonance disparaît)

La variation relative entre les amplitudes maximale et initiale est ys

-en électricité, ys est L.f / R (nommé coefficient de surtension ou facteur de surtension)

-en mécanique, ys est m.f / M*

L’énergie est proportionnelle à lA² (car E = M*.lA²), elle devient énorme à l'atteinte du pic de résonance et peut détruire l’oscillateur

 

Autre exemple de l'oscillateur de Hertz (dipôle créant un champ électrique localement), appelé aussi oscillateur linéaire

f= c / 2l       où fr(Hz)= fréquence de résonance

c(m/s)= constante d’Einstein(2,99792458 .108 m/s)

l(m)= longueur de l’oscillateur dipolaire

 

COUPLAGE de SYSTÈMES OSCILLANTS

Un couplage est une liaison mécanique fluctuante entre divers oscillateurs (Ex: 2 pendules ou 2 ressorts reliés par un autre ressort, ou gyroscope)

Les modes propres sont les caractéristiques de leurs diverses possibilités d’osciller (type de phase, type de direction...)

 

DÉCOMPOSITION d'une OSCILLATION

Une oscillation périodique quelconque est représentable par une superposition d’oscillations sinusoîdales, dont chaque élément est un constituant des coefficients de Fourier, qui sont:

-soit sinusoïdaux, du genre: l = (2 / tp) 0t.lA.sin(nt)dt

-soit cosinusoïdaux, du genre : l = (2 / tp)0tlA.cos(n.ωt)dt

où l(m)= élongation lA(m)= amplitude   n= nombre entier(0,1,2,3,...)   ω(rad/s)= vitesse angulaire    t(s)= temps   et    tp(s)= période

Cette décomposition est nommée "analyse de Fourier" et sa représentation graphique le "spectre de Fourier"

La recomposition d’une oscillation complexe à partir de plusieurs coefficients de Fourier se dénomme "synthèse de Fourier "et l’appareil qui la reconstitue un synthétiseur

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