SUPERPOSITION des OSCILLATIONS

-superposition des oscillations

DÉCOMPOSITION d'une OSCILLATION

Une oscillation périodique quelconque est représentable par une superposition d’oscillations sinusoîdales, dont chaque élément est un constituant des coefficients de Fourier, qui sont:

-soit sinusoïdaux, du genre: l = (2 / tp) 0t.lA.sin(nt)dt

-soit cosinusoïdaux, du genre : l = (2 / tp)0tlA.cos(n.ωt)dt

où l(m)= élongation lA(m)= amplitude   n= nombre entier(0,1,2,3,...)   ω(rad/s)= vitesse angulaire    t(s)= temps   et    tp(s)= période

Cette décomposition est nommée "analyse de Fourier" et sa représentation graphique le "spectre de Fourier"

La recomposition d’une oscillation complexe à partir de plusieurs coefficients de Fourier se dénomme "synthèse de Fourier "et l’appareil qui la reconstitue un synthétiseur

 

SUPERPOSITION d’OSCILLATIONS (ou de VIBRATIONS) LIBRES 

Libres signifie qu'elles n'ont pas d'apport extérieur.On suppose qu'il s'agit d'oscillations sinusoïdales harmoniques, avec déphasage nul, de même amplitude mais de fréquences différentes

-formulation

Si lé1 = lA.sin(ω1.t)  est l’équation de la première oscillation et

lé2 = lA.sin(ω2.t)  celle de la seconde

l’élongation résultante est : lé(1+2) = 2lA.[cos(ω1-ω2).t / 2].[sin(ω1+ω2).t / 2]

où lA.et lB(m) sont les amplitudes

ωet ω2(rad/s)= vitesses angulaires et t(s)= temps

-cas de 2 oscillations sinusoïdales perpendiculaires (ou rectangulaires)

On les suppose de période identique

Si lx= lA.sin(ω3 .t) est l’équation de la première oscillation et

ly= lB.sin(ω4.t + φ) celle de la perpendiculaire,

L’élongation résultante est  lx² / l²A- (2.lx.ly.cosφ) / (lA.lB) + (ly²/ l²B) / sin²φ

c’est l’équation d’une conique

-cas particulier où les élongations ont des directions différentes

Le point représentant l'élongation résultante décrit des courbes de Lissajous (genre trèfle à 4 feuilles)

-cas de superposition avec oscillations mécaniques de même fréquence

f = (W'/ m)1/2        où (W'd en kg/s² = constante de rappel et m(kg)= masse)

 Nota: une onde stationnaire  est un ensemble de 2 ondes progressives usuelles, se propageant en directions opposées, avec les mêmes: fréquence, amplitude et phase (NOMBRES d’ondes identiques et opposés-- amplitudes mini aux noeuds et maxi aux ventres )

 

SUPERPOSITION d’OSCILLATIONS (ou de VIBRATIONS) FORCEES 

Forcées signifie qu'il y a apport d'une force excitatrice externe Fx

Si les fréquences s'accordent, on peut avoir une amplitude lAqui augmente: c’est la résonance:

l= F/ [(m.fx²-W'd)² + (M*².fx²)]1/2     si le dénominateur tend vers une valeur minimale, l’amplitude lA tend vers un maximum (en particulier quand le coefficient de frottement visqueux M* tend vers 0 )

Exemples d’évolution de la résonance d’un système soumis à un excitateur:

-pour un facteur d’amortissement faible F’s< 1%   >>lAest maximale (pic de résonance) avec une valeur > 5 fois la fréquence propre

-pour un facteur d’amortissement moyen  1% < F’s< 10%  >>

lA est maximale (pic de résonance) avec une valeur 2 fois la fréquence propre

-pour un facteur d’amortissement assez fort F’>10%

  lreste quasiment constant (la résonance disparaît)

La variation relative entre les amplitudes maximale et initiale est ys

-en mécanique, ys est m.f / M*

-en électricité, ys  est L.f / R (nommé coefficient de surtension)

Remarque : l’énergie est proportionnelle à lA² (car E = M*.lA²)

Elle devient énorme au pic de résonance et peut détruire l’oscillateur

Oscillateur de Hertz (dipôle créant un champ électrique localement), appelé aussi oscillateur linéaire

f= c / 2l       où fr(Hz)= fréquence de résonance

c(m/s)= constante d’Einstein(2,99792458 .108 m/s)

l(m)= longueur de l’oscillateur dipolaire

 

COUPLAGE de SYSTÈMES OSCILLANTS

Un couplage est une liaison mécanique fluctuante entre divers oscillateurs (Ex: 2 pendules ou 2 ressorts reliés par un autre ressort, ou un gyroscope)

Les modes propres sont les caractéristiques de leurs diverses possibilités d’osciller (type de phase, type de direction...)

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