PENDULE, outil de Physique

-pendule (outil de Physique)

Un pendule est une masse présentant des oscillations partielles autour d’un axe ne passant pas par son centre d'inertie

 

PENDULE COMPOSE

-force de rappel

F = m.g.sinθ

F(N)= force de rappel du pendule

m(kg)= sa masse, soumise à la pesanteur g(m/s²)

θ(rad)= angle plan de son oscillation

θ maximum = élongation angulaire

 

 -accélération

g = f².I / m.l

avecg(m/s²)= accélération à laquelle le pendule est soumis

f(Hz)= fréquence de son oscillation

I(kg-m²)= moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe d'oscillation

m(kg)= masse totale du pendule

l(m)= distance entre centre de gravité du pendule et l'axe d'oscillation

 

-fréquence   f = [m.g.l / Iv]1/2

avec m(kg)= masse suspendue

g(m/s²)= accélération de la pesanteur

l(m)= longueur du fil du pendule

Iv(kg-m²)= moment d’inertie

f(Hz) est la fréquence (qui ne dépend pas de l’amplitude du mouvement)

 

-vitesse angulaire   ω = θ.(m.g.l / I)1/2

oùθ(rad)= angle de l’oscillation (dit parfois "élongation angulaire")

 

PENDULE SIMPLE  (qui est un cas particulier du pendule composé)

le pendule simple est une masse ponctuelle suspendue à un fil rigide de masse négligeable, ayant un mouvement supposé non amorti, dont l'angulation maximale est dite amplitude.

 

-fréquence du pendule simple

sachant que l'équilibre énergétique du système donne d²q / dt² + (g.sinq) / l = 0

et que par ailleurs, on veut bien confondre le sinus avec son angle (parce qu'il s'agit de petits angles), la solution de l'équation donne une fréquence f = [g / l]1/2

où f (Hz)= fréquence

q(rad)= angle de rotation

l(m)= longueur du fil pendulaire

g(m/s²)= accélération de la pesanteur

Nota: cette formule est souvent présentée sous la forme incohérente   f = 2p.[g / l]1/2

ce qui résulte d'une incohérence d'unités (car la fréquence n'est alors plus exprimée en Hertz, mais en pulsation, nouvelle unité de fréquence, valant 2 p Hertz) Or aucune formule rationnelle ne peut comporter en son sein des unités de systèmes différents et pas davantage de valeur numérique: donc cette formule est fausse.

 

-période d'oscillationdu pendule simple

c'est l'inverse de la fréquence, soit   t = [l / g]1/2

on voit qu'elle ne dépend pas de l'amplitude, mais seulement de la longueur.

Cette équation (comme celle de la fréquence) n'est valable que pour de petits angles d'oscillations (où il y a approximation entre l'angle et sa tangente -ou son sinus-)

-mais si l'angle maxi de balancement excède 5 degrés, le pendule n'est plus isochrone (n'a plus une période constante).La période devient exprimable à l'aide de viriels (de Duffing, de Borda....)

-la longueur d’un pendule simple est dite isotrope si -avec la même masse- il acquiert même fréquence que le pendule composé similaire (Exemple d'un pendule composé isotrope >> de longueur synchrone = l / 3)

 

-pendules en opposition de phase

2 pendules proches finissent par se balancer synchroniquement, exactement dans les directions opposéesl'une de l’autre. Cette synchronisation provient des ondes sonores que l'un des 2 pendules envoie vers l'autre, qui en ressent les effets (air ambiant)

 

-pendule de Foucault

Le plan d'oscillation d'un pendule tourne, à cause de la rotation de la Terre

Le pendule simple, installé par Foucault au panthéon de Paris tourne de 11°19 en 1 heure et a une période d'oscillation de 16,42 secondes (elle est très longue, car le pendule fait 67 mètres de haut)

La force de Coriolis intervient et on distingue la rotation terrestre grâce à l’écrètement d’un cercle de sable à la pointe dudit pendule

 

PENDULE de TORSION

Un corps subissant une torsion est soumis au moment des forces de torsion et au moment résistant du corps (réaction) d'où oscillation possible entre les 2

-relations entre les paramètres d'un pendule de torsion

--accélération angulaire a'(rad/s²) >>>              a’ = -Mf / I*

où I*(m²-kg/rad)= moment d’inertie centrifuge

--angle de rotation θ(rad)                                θ = Mf / MΓ

où Mf(N-m)= moment des forces F

--l'angle θ est aussi                                            θ = Vr.nc / MΓ  

où nc(N/m²)= contrainte

--moment du couple de torsion  MΓ(Joule-couple)     MΓ= -Mf / θ

où a(J-s)= action

--fréquence d'oscillation                                           f = (Mf / Î)1/2

où Î(m²-kg)= moment d’inertie

--vitesse angulaire ω(rad/s) :                                                ω= θ.(Mf / I)1/2

et c'est aussi w= θ.(MΓ / I*)1/2 

où If (m²-kg/rad)= moment d’inertie centrifuge

--énergie cinétique                                                                Ec(J)  Ec = f².I/2 = ω².If / 2θ

--module de torsion η*(Pa/rad)                                             η* = MΓ / Vr         

où Vr(m3)= moment résistant

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