VITESSE d'une ONDE

-vitesses pour une onde

On utilise 3 notions de vitesse pour les phénomènes périodiques

1.La CÉLÉRITÉ

est la vitesse de propagation del'onde (elle est dite aussi vitesse de phase)

Cela désigne la propagation du déplacement de l’état du phénomène ondulatoire (sans déplacement de matière)

On parle donc de célérités de phase (cas général)--de lumière (onde lumineuse)--d'un son (onde acoustique)--etc....

 

-cas général

vc = λ .f  = λ / t    et  vc = ω / T*v    et encore  vc = f / Jn

où vc(m/s)= célérité d’une onde (déplacement du front de l'onde)

λ(m)= longueur d’onde

ω(rad/s)= vitesse angulaire

T*v(rad/m)= vecteur d'onde

t(s)= temps

f(s-1)= fréquence

Jn (m-1)= NOMBRE d'onde

 

-cas d'une onde électromagnétique dans un matériau

vc = 1 / (c².εr.μr)1/2

où c(m/s) est la constante d’Einstein (2,99792458 .108 m/s)

εr et μr sont les permittivité et perméabilité relatives du matériau (si c'est le vide εr = μr = 1)

 

-cas d'une onde acoustique dans un milieu isotrope

vc = (dp / dρ')1/2

avec dp(Pa)= variation de pression dans le milieu et dρ'(kg/m3)= variation de la masse volumique du milieu

 

-cas d'une onde longitudinale dans un liquide:

vc = (nk / ρ')1/2

où nk(N/m²)= module de compression (valeurs au chapître module) et ρ'(kg/m3) la masse volumique

 

-cas du son dans un fluide

vc = (1 / ρ'.βt)1/2    et vc = (g.R*.T / m)1/2

où vc (m/s)= célérité

ρ'(kg/m3)= masse volumique

βt(Pa-1)= coefficient de compressibolité

g(nombre)= coeff. adiabatique

R*(J/K)= constante des gaz parfaits

m(kg)= masse

 

-cas d'une onde lumineuse

vc = c (vitesse lumière)= λ / t = ν.λ

avec longueur d'onde λ(m), t(s) le temps, ν(Hz) la fréquence

Mais la lumière rouge (plus faible longueur d'onde) se déplace moins vite que la violette

Dans l’eau, la vitesse de la lumière tombe à ~ 225.000 km/s, dans le verre à ~ 200.000 km/s, dans le diamant à 125.000 km/s et dans un condensé de Bose-Einstein (à température proche de 0°K), elle tombe à 2 km/s

 

-cas d'une onde longitudinale dans un gaz

vc = [g.p / ρ']1/2

où  g(rapport)= coefficient adiabatique, ρ’(kg/m3)= sa masse volumique et p(Pa)= pression

 

-cas d'une onde longitudinale dans une corde

vc = (pt / ρ')1/2

où pt (N/m²)= tension de la corde et ρ'(kg/m3) = sa masse volumique

 

-cas d'une onde transversale dans une corde

vc = (F / S.ρ')1/2

où S(m²)= section du fil, F(N)= force de tension et [S.ρ’] est la masse linéique

 

-cas d'une onde longitudinale d’une succession d’atomes

vc  = (W’d.l² / m)1/2

où W’d(kg/s²)= raideur des atomes, l(m)= distance entre eux et m(kg)= masse

 

-cas d'une onde de torsion dans une tige cylindrique

vc = (η*.θ / ρ’)1/2

où η*(Pa/rad)= module de torsion et θ(rad)= angle de torsion

Nota: la position (élongation) est  lv = lA.ex  où x, l’exposant est j.(Jn.lb- f.t)   

  j est le symbole imaginaire, Jnle vecteur d'onde, f la fréquence, lAl’amplitude

-cas de deux ondes en isophaseelles sont dites "cohérentes"

 

2.La VITESSE de GROUPE

est utilisée quand plusieurs ondes de même amplitude mais de fréquences différentes sont groupées -elles forment un "groupe d'ondes" ou un "paquet d’ondes"

Il y a alors 1 onde globale "enveloppe" qui les rassemble.

Son déplacement se fait à la vitesse de groupe vg (qui est aussi la vitesse de transport de l’énergie, si ces ondes en sont porteuses).

L’amplitude du groupe d'ondes est ici fonction du temps et du déplacement

vg = dω / Jn.dθ

où vg(m/s)= vitesse de groupe des ondes

Jn(m-1)= NOMBRE d’onde

θ(rad/s)= vitesse angulaire

θ(rad)= angle de rotation

 

-relation entre vitesse de groupe et vitesse de phase, pour ondes lumineuses

vc – vg = vd

avec vg(m/s)= vitesse de groupe

vc(m/s)= vitesse de phase

vd(m/s)= vitesse différentielle

Quand l’indice de réfraction [qui, par définition est inversement proportionnel à v, est en outre inversement proportionnel à λ] vcdevient proportionnel à λ:

-si dvc  / dλ = 0    vc = vg il n’y a pas de dispersion

-si dvc / dλ > 0    vc > vg et il y a dispersion dite normale -cas usuel-

-si dvc / dλ < 0    vc < vg et il y a dispersion dite anormale (cas de l’arc en ciel)

 

3.La VITESSE d’ÉLONGATION

est la vitesse de déplacement d'éléments, oscillant de part et d’autre de leur position d’équilibre

 

-cas d'ondes acoustiques dans un milieu isotrope  

v = pa.Za / f²    ou   v = Δpa / ρ'.vc

où v(m/s)= vitesse d’élongation, pa(Pa)= pression acoustique, Za(m²/kg/s)=

impédance acoustique, ρ'(kg/m3) la masse volumique

et vc(m/s)= vitesse du son (célérité)

 

-cas de l'oscillation d’un ressort

v = [2E / m - W‘d.lé² / m ]1/2

où v(m/s)= vitesse correspondant à une élongation lé(m) sous l’action d’une masse m(kg), E(J)= énergie mécanique

et W’d(kg/s²)= raideur du ressort

Notons que l’énergie potentielle E dans ce cas est (1/2) (W'd.l²)

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