FORMULES de PHYSIQUE
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OSCILLATION
-oscillation
Une oscillation estla variation périodique d’une grandeur (qui peut être une masse, un champ inducteur, un circuit, etc.) ayant certains degrés de liberté d’évolution.
-par exemple pour 1 seul degré de liberté, on a l'oscillation par rotation partielle d'un pendule, ou l'oscillation par rotation totale d'une hélice, ou l'oscillation par translation aller-retour d'un ressort....
-par exemple pour 2 degrés de liberté on a l'oscillation des pendules interdépendants, ou l'oscillation des particules couplées ...
La variation périodique est représentable par une onde qui uniquement fonction du temps.
IL Y A 2 TYPES d'OSCILLATIONS
traitées chacune dans un chapitre spécial::
1-les oscillations libres fonctionnant idéalement sans nouvel apport d’énergie (donc indéfiniment) On y distingue:
--les oscillations libres non amorties (sans freinage)
Exemple de l’oscillation libre d’un ressort
accélération g = - lA.f².coswt
élongation lé = lA.sin(wt + j )
énergie E = (m.lA².f²) / 2
période tp = (m / W'd)1/2
fréquence f = (W'd / m)1/2
constante de rappel W'd = m.f²
vitesse v = [2E / m - W'd.l² / m ]1/2
avec f(Hz)= fréquence d’oscillation
E(J)= énergie mécanique engagée
j(rad)= déphasage
lA(m)= amplitude m(kg)= masse suspendue au ressort (dont la masse supposée # 0)
v(m/s)= vitesse correspondant à une élongation lé(m)
W'd(kg/s²)= constante de rappel (ou raideur, ou dureté du ressort)
Autres exemples similaires (à voir au chapitre spécial des oscillations libres)
Oscillation d’un pendule simple // oscillation d’un pendule composé // oscillation de torsion // oscillation d’un niveau à eau // oscillation d’une aiguille aimantée // oscillation d’un circuit électrique oscillant inamorti...
Cas particulier de l’oscillation harmonique
l’oscillation harmonique est une oscillation libre (donc supposée sans pertes énergétiques) et telle que l’amplitude soit fonction sinusoïdale (ou cosinusoïdale) du temps
Elle est symbolisable par l’exemple-type suivant: si un point se déplace uniformément sur un cercle, la continuité des projections de son mouvement sur un axe parallèle à un diamètre du cercle, représente une oscillation harmonique
y(t) = lr.cos (wt + j ) (ce qui équivaut à sa fonction d’onde)
avec y(t)= projection sur l’axe des x
lr(m)= rayon du cercle
(wt + j)(rad)= phase (j = phase initiale, c'est à dire angle entre le rayon passant par le point et l’axe des x) et w(rad/s)= vitesse angulaire
Il y a proportionnalité entre la position du point mobile et son accélération linéaire : la relation est alors f = -(g / l)1/2
g(m/s²)= accélération
l(m)= abscisse du mobile
f(Hz)= fréquence
--les oscillations libres amorties (donc avec freinage)
Exemples à voir chapitre spécial des oscillations libres)
Oscillateur mécanique // Oscillateur amorti // Oscillation, amortie par frottement solide // Oscillation d’un circuit électrique oscillant amorti
2-les oscillations forcées (alimentées parun appoint périodique d'énergie externe)
--les oscillations forcées sans freinage (donc non amorties)
--les oscillations forcées avec freinage (donc amorties)
PARAMETRES d'une OSCILLATION
-la fonction d’onde de l'oscillation
Ψ= Ψ0(t) exprime la dépendance de l’élongation envers le temps.
-si(Ψ) a une amplitude qui varie, elle est dite modulée en amplitude
-si (Ψ) concerne un déplacement à structure sinusoïdale (du genre (Ψ0.cosθ),
l’oscillation est dite harmonique
-l'ènergie de l'oscillation (E)
L'énergie développée est différente selon les cas:
-les oscillations libres amorties ont une énergie qui baisse (le frottement consomme et diffuse de l’énergie ailleurs)
-les oscillations libres non amorties ont une énergie stable (constante)
-les oscillations forcées amorties (dites "entretenues") ont une énergie soit augmentée (si le frottement est plus faible que l’apport) soit diminuée (si le frottement est plus fort que l’apport reçu de l’extérieur), soit même en équilibre (s’il y a égalité entre frottement et apport)
-les oscillations forcées non amorties n’ont plus de cause d’amortissement, donc prennent (encaissent) une énergie en hausse
Ces dernières (forcées ou non -ou insuffisamment- amorties et quand l’apport est dominant) entraînent le phénomène de résonance
-le freinage de l'oscillation
Le freinage (ou atténuation) est causé par les frottements, l'effet Joule, les pertes, etc
Il y a diminution de l'amplitude et de l'énergie
Cas d'un milieu visqueux
Si l'oscillation a lieu dans un fluide visqueux, il y a frottement, donc amortissement (dit "de Stokes")
Cet amortissement est exponentiel (la représentation de l’amplitude vibratoire est tangente, à chaque pseudo-période, à 2 courbes décroissantes exponentielles symétriques à l’axe des temps)
L'élongation est alors lé = lA.ex
avec lé(m) et lA(m)= élongation et amplitude
x(nombre, exposant de l’exponentielle)= (+ ou -) [ j.fa(1-F’²)1/2.t ]
avec fa(s-1)= coefficient d’amortissement
t(s)= temps
j = symbole imaginaire
F’s(nombre)= facteur d’amortissement (valant M*/2m.f )
où m(kg)= masse et M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux
Selon la valeur de F’s on est
-dans un régime oscillatoire -ou pseudo-périodique (si F’s<1)
-dans un régime critique (si F’s=1)
-dans un régime apériodique (si F’s >1)
Le coefficient de frottement visqueux (M*) a la dimension d’un débit-masse - (en kg/s)
est le rapport M* = Ff / v avec Ff (N)= force de frottement et v(m/s)= vitesse
Le décrément logarithmique est M*/ 2m.fa, où M* est le coefficient de frottement,
m la masse et fa le coefficient d’amortissement
Exemple d'un ressort en zone d’amortissement en un milieu visqueux
m.g + M*.v + W’d.l = 0
avec m(kg)= masse
g(m/s²)= accélération
M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux
W’d(kg/s²)= dureté du ressort
l(m)= déplacement
Le coefficient (ou constante) d’amortissement est alors : fa= M*/ 2m
Et la pseudo-période est : t0 = (W’/m - M*² / 4m²)1/2
S'il s'agit d'un fluide très visqueux
l'amortissement est dénommé amortissement de Newton
-la fréquence de l'oscillation f (ou périodicité temporelle d'oscillation)
est la répétition (ou reproduction) de l'oscillation ondulatoire pendant l’unité de temps -c’est l’inverse de la période-
Si cette fréquence f varie, on est dans le cas d’une "modulation de fréquence"
Equation générale de la fréquence d'une oscillation
f = ω / θ où f(Hz)= fréquence, ω (rad/s) = vitesse angulaire et θ(rad)= angle
Fréquence d'oscillation d'un ressort à boudin avec masse m(kg), suspendue
f = (W’d/ m)1/2
f (Hz)= fréquence
W'd(N/m)= dureté (ou raideur) du ressort -dureté égale à F / l si F est la force (en N) et l la longueur (en m)
Fréquence d'oscillation d'un ressort spiralé
f = (MΓ/ I*)1/2 MΓ(J-couple)= moment du couple de torsion
I*(kg-m²/rad)= moment d’inertie centrifuge du volant (cœur du ressort)
Fréquence de résonance d'un circuit oscillant
f =1 / (L.C)1/2
L(H)= inductance
C(F)= capacité du condensateur
Fréquences pratiques des oscillateursde l’ordre de 3 à 5.103 Hz (en modulation d’amplitude) et jusqu’à 1,5.104 Hz (en modulation de fréquence)
-l'impulsion d'une oscillation (Q'o)
Par ex. pour des émissions instantanées des ondes électromagnétiques en haute fréquence >> Q'o= E / l.ν
avec Q'o(kg-m/s) = impulsion
E(J)= énergie
l(m)= longueur d'onde
ν(Hz)= fréquence
-la phase de l'oscillation
s’il y a des impulsions sur la phase, on est dans le cas d’une modulation d’impulsion
-la vitesse d’oscillation
Exemple d'un ressort >>> v = [2E / m - W‘d.dl² /m ]1/2
où v(m/s)= vitesse correspondant à un allongement dl(m) sous l’action d’une masse m(kg)
E(J)= énergie mécanique
W’d(kg/s²)= raideur (ou dureté -ou constante de rappel) du ressort
Notons que l’énergie potentielle dans ce cas est (1/2) (W'd.dl²)
-la dégénérescence d'un oscillateur
-à plusieurs degrés de liberté- est le nombre de modes normaux ayant même fréquence, parmi les diverses fréquences des composants élémentaires de l’onde
GROUPAGE d'OSCILLATIONS
Si 2 oscillations de directions différentes s’ajoutent, la courbe de l’oscillation résultante est une courbe dite de Lissajous, de forme en "ailes de papillon"
L'équation d'un point sur une telle courbe est du genre la = K1 sin θ pour l'abscisse
et lo = K2 sin (K3θ + φ) pour l'ordonnée
-superposition de vibrations libres (c'est à dire superposition avec fréquences différentes, en supposant des oscillations sinusoïdales harmoniques, d’amplitude identique avec déphasage nul)
Si lé1= lA.sin(w1.t) est l’équation de la première oscillation et si lé2 = lA.sin(w2.t) celle de la seconde, l’élongation résultante est lé(1+2) = 2lA.[cos(w1-w2).t/2].[sin(w1+ w2).t/2]
lA.et lB(m) sont les amplitudes, w1 et w2(rad/s)= vitesses angulaires et t(s)= temps
-superposition de vibrations forcées c'est un cas de résonance:
VIBRATIONS
Si une oscillation a une fréquence supérieure à une trentaine de Hertz, c'est une "vibration".Les formules pour les vibrations sont donc les mêmes que pour les oscillations.
-la fréquence fondamentale d’une vibration
d'un oscillateur correspond à la vibration fondamentale, caractéristique de l’oscillateur -sans incidence des sollicitations extérieures- C'est f = v / l
f(Hz)= fréquence fondamentale
v(m/s)= vitesse de phase
l(m)= longueur d’onde
-le noeud de vibration
est le point où l'amplitude lA est minimale (Ex: le point d'attache d'un pendule, ou les points d'une corde auxquels il n'y a plus d'amplitude latérale...)
-le nombre quantique de vibration (V)
est le nombre de niveaux énergétiques dans lesquels s'effectuent les vibrations des structures atomiques ou moléculaires.
(ces niveaux sont d’ailleurs souvent équidistants de quelques centiélectrons-volts)
-excitation de vibration
c'est l’acquisition d’une énergie nouvelle, apportée par une cause externe en surface des noyaux atomiques) C'est Ea = h.w.(np +J /2)
Ea(J)= énergie de vibration
h = moment cinétique quantifié, ou constante de Planck réduite = 1,054.10-34 J-s/rad
w(rad/s)= vitesse angulaire
np= nombre de phonons
J = nombre quantique de moment cinétique global
-amplitudes des vibrations acoustiques
entre 10-11 et 10-6 mètre
-corde vibrante
Equation de mouvement d'une corde vibrante
(d²lc / dlé²) = - f² / (F / m*.lc)
où F(N)= force de tension de la corde ayant une longueur lc(m)
lé(m)= élongation
m*(kg/m)= masse linéique de la corde
f(Hz)= fréquence