FORMULES de PHYSIQUE
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P2.ÉVOLUTION d'un PHÉNOMENE PÉRIODIQUE
-amortissement d'onde
Un amortissement est l’évolution d’un phénomène vibratoire, survenant alors qu’il n’est plus énergétiquement entretenu. Alors il subit une diminution d’énergie (par exemple énergie cinétique perdue par frottement -ou énergie perdue en effet Joule, etc...), d’où diminution de l’amplitude de l’onde porteuse
Il est spécifié à travers :
UNE CONSTANTE (ou COEFFICIENT) d’AMORTISSEMENT
c'est une variation de la fréquence (symbole fa et dimension T -1)
UNE CONSTANTE de TEMPS
C'est l'inverse de la constante d'amortissement, donc c'est la durée d’amortissement d’un phénomène périodique
Equation de dimensions : T Symbole de désignation : t0 Unité = seconde(s)
UNE PSEUDO-PÉRIODE
C'estts , la variation de la structure de sa période
UN FACTEUR de QUALITÉ
C'est F’q , le rapport -non dimensionnel- exprimant l’évolution énergétique comparative du système
UN FACTEUR d’AMORTISSEMENT
C'est F’s (dit aussi degré d’amortissement), qui est l’inverse de F’q ci-dessus
L'AMORTISSEMENT PROPREMENT DIT
Tout système a une équation de trajectoire du genre :
m.γ + M*.v + W'd.l = 0
où m(kg)= masse
γ(m/s²)= accélération
v(m/s)= vitesse
W'd(kg/s²)= constante de rappel
M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux
Si le frottement (donc l’amortissement) est faible, la solution (équation du déplacement de faible envergure autour de l’équilibre) est
l = e-ωt/ θ .lA.sin(ωt + φ)
où lA(m)= amplitude de l’oscillation
f(s-1)= fréquence
θ(rad)= angle plan de rotation (et ω = vitesse angulaire, en rad/s)
φ(rad)= angle de phase d’origine
S'il y a amortissement:
θ / ω = to (constante de temps) et lé = e-to.lA.sin(ωt + φ) : c’est une fonction sinusoïdale exponentielle amortie et l’élongation lA oscille
L’amortissement est dit "critique"quand le régime initialement oscillatoire devient apériodique
-atténuation d'une onde
L'atténuation d'une onde est la notion traduisant la diminution de l’énergie de l'onde, pendant son parcours dans un milieu
Synonyme = Affaiblissement
L’atténuation est appréhendée à travers les grandeurs ci-après
LE COEFFICIENT D'ATTÉNUATION LINÉAIRE
Synonymes : coefficient d'atténuation linéique etcoefficient d’affaiblissement
Equation de dimensions structurelles : L-1 Symbole : Jb Unité S.I.+ : m-1
Il intervient dans la comparaison des énergies (ou éventuellement des flux ou des impédances) en fonction de l’épaisseur (l) traversée, selon la relation :
Er = Eé.i*d
Eret Eé(J)= énergies respectivement reçue et émise
i*d= cosθ .exp(-Jb.l) est nommé coefficient de directivité
l(m)= distance entre émission et réception (éventuellement profondeur)
θ est l'angle d'émission
Jb(m-1)= coefficient d’atténuation (ou d’affaiblissement) qui est Jb= ρ'.Zé / f
ρ'(kg/m3)= masse volumique du milieu
f(Hz)= fréquence de l’onde
Zé(m²/kg-s)= impédance énergétique
LE FACTEUR d'ATTÉNUATION ACOUSTIQUE
ou FACTEUR d'AFFAIBLISSEMENT ACOUSTIQUE(F'a)
C'est F’a= (P'1/ P'0) = rapport entre les intensités (ou puissances) acoustiques avant et après l’affaiblissement
LE NIVEAU D'ATTÉNUATION
C'est la comparaison logarithmique du facteur
Pour un appareil -par exemple un transducteur (appareil servant à transformer un type d’énergie en un autre type, comme un quartz piézo-électrique) la comparaison est faite entre l’énergie mécanique et l’énergie électrique résultante
Comme ces énergies (ou puissances) sont à des échelles très variables, il y a nécessité de prendre des notions logarithmiques
On compare donc ici logarithmiquement les variations des énergies avant et après la transformation .
Unité: le Bel qui est, par définition, le logarithme (base 10) du rapport entre 2 puissances (ou 2 puissances surfaciques ou 2 énergies)
-l'atténuation linéique est un niveau (ci-dessus) ramené à l'épaisseur du matériau traversé .
Elle est exprimée en Bel par mètre (ou éventuellement en dB/km)
Exemple pour le verre, c'est # 5.103 dB/km
LA COUCHE DE DEMI-ATTÉNUATIONconcerne un corps qui, interposé sur le trajet d'un rayonnement, en réduit l’effet de 50% .
On l’exprime en kg/m² (c'est une masse surfacique)
-battement
Un battement est un mouvement oscillant lent, quand 2 oscillations de fréquences voisines sont superposées
Si leur amplitude est lA et leurs fréquences angulaires voisines :
(ω) et (ω +/- Δω), le battement est caractérisé par
lé = 2lA. cos Δω.t.sin2ωt (c’est une vibration modulée en amplitude, de vitesse
angulaire Δω)
La période du battement est tp = 2∏.f / Δω où f (Hz)= fréquence d’oscillation et Δω(rad/s)= écart entre les vitesses angulaires
-diffraction d'onde
La diffraction est le phénomène de réémission à partir d’un point d’une surface matérielle, choqué par une onde et qui devient réémetteur d’une autre onde élémentaire, en créant interférence avec l’onde primitive
Souvent les obstacles gênant les ondes sont des ouvertures étroites (diaphragmes).
Cette réémission implique soit de la réflexion, soit de la réfraction
DIFFRACTION STRICTO SENSU
La diffraction est une puissance spatiale
On la nomme intensité lumineuse quand elle concerne les phénomènes où la lumière est transmise (entre production et réception)
Equation aux dimensions : L2.M.T-3.A-1 Symbole : P’d
Unité S.I.+: W/sr et pour la lumière la candela(cd)
Les formules ci-dessous concernent la lumière, mais elles sont applicables aux ondes électromagnétiques de fréquences différentes (rayons X, thermiques, ...) seules les unités changent
-cas d'un faisceau de rayons parallèles
>>> s'il passe près d’un bord d’écran (cas de Fresnel)
la courbe de diffraction (intensité lumineuse en fonction de la distance au bord et recueillie sur un plan normal à l’onde) est de type ondulatoire amorti
>>> s'il passe par un diaphragme (fente) de section rectangulaire peu large (cas de Fraunholer) et à bonne distance du plan de réception, l'intensité lumineuse est de type ondulatoire amorti, avec pic au centre
P’d = P’i.sin² φ
P’d et P’i(cd)= intensités lumineuses respectivement diffractée et incidente
φ(rad)= 2lf θ / λ avec lf(m)= largeur de fente, λ(m)= longueur d’onde et θ(rad)= angle de diffraction
(2lf / λ) est nommé nombre de Fresnel (nFr)
>>> s'il passe par un trou (circulaire)
La distance entre les 2 plans (objet & image) est égale à K.(lo / λ).(lo3 / λ)
où K est un nombre, l0 est l'ouverture, λ est la longueur d'onde (inférieure à l'ouverture) et on distingue 3 cas :
-
K.(lo / λ) est < 0,62
-
K.(lo / λ) est > 0,62 mais < à 2
-
K.(lo /λ) est > 2
>>> s'il passe dans un réseau plan :
P’d = P’i.(sin² φ1.sin².φ2) / sin² φ2
P’d et P’i(cd)= intensités lumineuses respectivement diffractée et incidente
φ1 (rad)= 2lf θ / λ et φ2(rad)= 2lé θ / λ
avec lf = largeur de fente, lé = constante de réseau
λ = longueur d’onde, θ = angle de diffraction
-cas d'un faisceau cônique de rayons divergents passant par un diaphragme circulaire quelconque
Après passage des rayons par ce diaphragme, l’image d’un point objet sur le récepteur forme une tache circulaire dégressivement lumineuse, entourée d’anneaux concentriques alternativement clairs et sombres, le tout avec dégradation d’éclairement vers les bords (figure dite disque d’Airy)
Pour 2 points-objets voisins, on obtient 2 zones-images (disques d’Airy) voisines; et si le maximum de luminosité de l’un des disques est superposé au minimum (de luminosité) le plus proche de lui sur le second disque d’Airy, l’angle θo du cône ayant pour sommet ce point et pour appui la circonférence du diaphragme est dit angle d’ouverture
-cas d'un cristal (loi de Bragg)
n.λ = 2 li.sinθ
où n(nombre)= ordre de la réflexion = nombre de plans réticulaires du réseau cristallin
(un plan réticulaire -qui peut être facial ou diagonal, contient divers nœuds)
λ(m)= longueur d’onde
li(m)= équidistance des plans réticulaires
θ(rad)= angle entre le plan incident recevant le rayonnement lumineux et le rayonnement lui-même ; donc θ(à cause du sinus) est < à 2 li / l
La constante de réseau lz (parfois appelée "pas") est la distance entre 2 éléments mitoyens du réseau (un réseau étant une trame de lignes ou points)
-cas d'un appareil optique
La diffraction est d’autant plus importante que le diamètre du diaphragme est plus proche de la longueur de l’onde ;le minimum de l’angle d’ouverture θo définit le pouvoir de résolution de l’appareil optique, qui est possible dès que
sinθo > 1,22 λ / ld c'est le critère de Rayleigh
θo(rad)= angle d’ouverture
λ(m)= longueur d’onde
ld(m)= diamètre du diaphragme
-la tache de diffraction est définie par son rayon linéaire (dimension L) et son rayon angulaire (dimension L.A-1)
PRINCIPE d’HUYGENS-FRESNEL
Un point de l’obstacle choqué par l’onde devient réémetteur d’une autre onde élémentaire de front sphérique, de même fréquence et d’amplitude proportionnelle à celle d’origine.
En outre, il y a interférences avec l’onde primitive.
L’équation d’onde est: ΨA= Ψo.∫[expx].dS
avec ΨA= équation d’onde en un point A de l’ondelette nouvelle
Ψo = équation d’onde en son origine
S(m²)= surface
x(exposant)= (j.K / l) avec l(m)= distance entre le point A et l’origine,
K(m)= cœfficient numérique
THÉORÈME de BABINET
La figure de diffraction issue par cause d'un obstacle opaque est la même que celle obtenue avec un obstacle "conjugué du premier dit"
-on entend par obstacle conjugué un corps qui est géométriquement négatif du premier (par ex. un trou en forme de croix de Lorraine dans une plaque sur le premier et une croix de Lorraine suspendue de même dimension, sur le second)
-dispersion d'onde dans matière
Le phénomène de dispersion exprime l'impact du milieu sur les paramètres de l'onde voyageant dans un milieu matériel (sauf acoustique, traitée par ailleurs)
DISPERSION stricto sensu
C'est le rapport entre une qualité relative du milieu où circule l'onde et la longueur d'onde
Equation de dimensions structurelles : L-1 Symbole de désignation Jd Unité S.I.+ : m-1
En milieu fluido-solide, c'est Jdf = (ρ'1 / ρ'2 ) / λ (rapport de masses volumiques sur longueur d'onde)
DISTANCE DE DISPERSION
C'est l'inverse de la dispersion
Equation de dimensions structurelles : L Symbole de désignation ld Unité S.I.+ : m
ld = 1 / Jd = vc / ν
où ld (m)= distance de dispersion
vc(m/s)= célérité de l'onde
ν(Hz)= fréquence d'onde
DISPERSION de MILIEU
Elle exprime la variabilité entre période et longueur d'onde
Equation de dimensions : L-1.T (inverse d’une vitesse) Symbole d'
Unité S.I.+ : s/m
-relation avec autre unité : 1 picoseconde par kilomètre vaut 10-15 s/m
-rappel de la relation de correspondance usuelle des vitesses dans une onde
vc – vg = vd où vc (m/s)= vitesse de phase, vg (m/s) = vitesse de l’onde globale, vd (m/s) = vitesse différentielle
-dispersion de milieu dite normale -cas usuel
--- dans les liquides et solides:
On a alors dvc / dλ > 0 avec vc > vg
La formule de Lorento donne la réfractivité :
yν = (n* -1) / (n* +1) / d
avec : n* (nombre)= indice de réfraction pour un corps
d(nombre)= densité (relative) du corps
yν= réfractivité (coefficient des propriétés chimico-physiques ambiantes)
---dispersion normale dans les gaz
Il s’agit de la variation de l’indice de réfraction en fonction de la densité du corps
Il en découle la formule de Gladstone-Dale
n* = yν.d +1 avec mêmes notations, mais l’indice n* ci-dessus est alors proche de l’unité
Valeurs pratiques de yν pour les gaz >>> Fréon(0,21)--Air(0,23)—C²H²(0,52)—H²(1,56)
La formule de Sellmeier (un peu complexe) donne -pour un milieu transparent- la relation entre l'indice n* et l'état ambiant (température, pression, nombre d’onde)
Pour une dispersion de milieu normale et s'il règne en outre un champ électrique E , la formule devient :
n* = σ / E.ε avec E(A/m-sr)= champ d'induction él.
σ(C/m²)= polarisation électrique
ε(F/m-sr)= constante diélectrique du milieu
-dispersion de milieu nulle c'est le cas du vide (pour les ondes électromagnétiques) On a alors dvc / dλ = 0
-dispersion de milieu anormale
On a alors dvc / dλ < 0
---dispersion anormale dans les liquides et solides: l’indice n* est tel que
n* = K1 + K2 / λ2 + K3 / λ4 +.. - (Kn.λ2) - (Kn+1.λ4) -.....) où les K indicés sont des coefficients numériques et λ la longueur d’onde
L'ARC EN CIEL est créé par la dispersion de milieu anormale (réfraction, liée à la réflexion sur gouttes d’eau)
Si cet arc est simple, il est sur un cône d’angle au sommet de 42° et l’angle de vue de son épaisseur est 1,5°
Par contre, s'il est doublé (avec arc secondaire) les angles ci-dessus deviennent 52° et 3° (les angles en question sont pris par rapport à l’axe soleil-observateur)
DISPERSION ENERGETIQUE
C'est une énergie >>> E = W'.V.Jd (énergie massique x volume x dispersion)
-dispersion d'onde en général
Le phénomène de dispersion exprime l'impact du milieu sur la certains paramètres d’une onde qui le traverse
Un milieu entraînant de la dispersion est dit milieu dispersif.
Le vide ne présente pas de dispersion
DISPERSION stricto sensu
C'est le rapport entre une qualité relative du milieu où circule l'onde et la longueur d'onde
Equation aux dimensions : L-1
Symbole de désignation Jd Unité S.I.+ : m-1
En optique, c'est Jdo = (n*1 / n*2) / λ (rapport d'indices sur longueur d'onde)
En acoustique, c'est Jda = (v1 / v2 ) / l (rapport de vitesses sur longueur d'onde)
En milieu fluido-solide, c'est Jdf = (ρ' 1 / ρ'2 ) / l (rapport de masses volumiques sur longueur d'onde)
La fluctuation de dispersion est l’intervalle entre les maxima et minima d’une dispersion
DISPERSION RELATIVE
C'est un rapport (sans dimension) entre 2 dispersions, du genre >>> (n*1 – n*2) / (n*3- n*4)
-coefficient de dispersion relative
c'est -pour une grandeur- le rapport (exprimé en %) entre une dispersion et une valeur étalon choisie
DISPERSION GEOMETRIQUE (ou de MILIEU)
Elle exprime la variabilité due à la fréquence ou à la longueur d'onde
Equation aux dimensions : L-1.T(inverse d’une vitesse) Symbole d' Unité S.I.+: s/m
-autre unité : 1 picoseconde par kilomètre = 10-15 s/m
d' = Jd / f
d' (s/m)= dispersion de milieu, Jn est la dispersion et f (Hz) la fréquence
Pour l'acoustique d' = tp / λ où λ(m)= longueur d’onde et tp(s)= période
Pour l'optique d' = aussi tp / λ mais comme par ailleurs
λ= n*.v / f , il vient d' = 1 / n*.vc (n* est l'indice et vc la célérité)
Pour la matière d' = aussi tp / λ mais comme par ailleurs
λ = W'.d' / v.ρ' , il vient d' = v / W'
-la dispersion géométrique angulaire est la même chose qu'un coefficient phénoménologique >>
c'est A (s/m-rad) = d' / θ
et aussi A = Jd /.ω
DISTANCE DE DISPERSION
C'est dimensionnellement inverse de la dispersion
Equation aux dimensions structurelles : L
Symbole de désignation ld Unité S.I.+ : m
ld = 1 / Jd = vc / ν
où ld (m)= distance de dispersion
vc(m/s)= célérité de l'onde
ν(Hz)= fréquence d'onde
ANGLE de DISPERSION (ou ANGLE DISPERSIF)
C'est l'angle entre la direction incidente et la direction de sortie d'un rayon dispersé précis
-dans un réseau la lumière se réfléchit dans plusieurs directions avec angles de dispersions calculables (spectre lumineux perturbé)
-dispersion en matière
Le phénomène de dispersion exprime l'impact d'un milieu fluido-solide sur les paramètres de l'onde qui y circule
(sauf la dispersion acoustique, traitée par ailleurs)
DISPERSION stricto sensu
C'est le rapport entre une qualité relative du milieu et la longueur d'onde
Equation de dimensions structurelles : L-1 Symbole de désignation Jd Unité S.I.+ : m-1
Sa définition est Jdf = (ρ'1 / ρ'2 ) / λ
C'est le (rapport de masses volumiques) sur (la longueur d'onde)
DISTANCE DE DISPERSION
C'est l'inverse de la dispersion
Equation de dimensions structurelles : L Symbole de désignation ld Unité S.I.+ : m
C'est ld= 1 / Jd= vc/ ν
où ld (m)= distance de dispersion
vc(m/s)= célérité de l'onde
ν(Hz)= fréquence d'onde
DISPERSION de MILIEU
Elle exprime la variabilité entre période et longueur d'onde
Equation de dimensions : L-1.T(inverse d’une vitesse)
Symbole d' Unité S.I.+: s/m
autre unité utilisée: 1 picoseconde par kilomètre, qui vaut 10-15 s/m
-rappel de la relation de correspondance usuelle des vitesses
dans une onde : vc – vg= vd
où vc(m/s)= vitesse de phase, vg(m/s) = vitesse de l’onde globale, vd(m/s) = vitesse différentielle
-dispersion de milieu dite normale(le cas usuel)
---dispersion dans les liquides et solides, on a alors dvc/ dλ > 0 avec vc > vg
La formule de Lorento donne la réfractivité :
yν= (n* -1) / (n* +1) / d
avec: n* (nombre)= indice de réfraction pour un corps
d(nombre)= densité (relative) du corps
yν= réfractivité (coefficient des propriétés chimico-physiques ambiantes)
---dispersion normale dans les gaz (il s’agit de la variation de l’indice de réfraction en fonction de la densité du corps)
Il en découle la formule de Gladstone-Dale
n* = yν.d +1 avec mêmes notations, mais l’indice n* ci-dessus est alors proche de l’unité
Valeurs pratiques de yν pour les gaz >>> Fréon(0,21)--Air(0,23)—C²H²(0,52)—H²(1,56)
La formule de Sellmeier (un peu complexe) donne -pour un milieu transparent- la relation entre l'indice n* et l'état ambiant (température, pression, nombre d’onde)
Pour une dispersion normale de milieu où il règne en outre un champ électrique E, la formule devient n* =σ/ E.ε
avec E(A/m-sr)= champ d'induction électrique
σ(C/m²)=polarisation électrique
ε(F/m-sr)= constante diélectrique du milieu
-dispersion de milieu est nulledans le cas du vide (pour les ondes électromagnétiques) On a alors dvc/ dλ = 0
-dispersion de milieu anormale
On a alors dvc/ dλ < 0
---dispersion anormale dans les liquides et solides: l’indice n* est tel que
n* = K1+ K2/ λ2+ K3/ λ4+.. - (Kn.λ2) - (Kn+1.λ4) -.....) où les K indicés sont des coefficients numériques et λ la longueur d’onde
L'ARC EN CIEL est créé par la dispersion de milieu anormale (réfraction, liée à la réflexion sur gouttes d’eau)
Si cet arc est simple, il est sur un cône d’angle au sommet de 42° et l’angle de vue de son épaisseur est 1,5°
Par contre, s'il est doublé (avec arc secondaire) les angles ci-dessus deviennent 52° et 3° (les angles en question sont pris par rapport à l’axe soleil-observateur)
DISPERSION ENERGETIQUE
C'est Jd, telle que Jd = W'.V/ E (W' = énergie massique, V= volume)
-distorsion (en général)
La distorsion est une déformation multiple d’un phénomène périodique, au cours de sa traversée d’un milieu.
TYPES de DISTORSIONS
Comme les causes sont variées, on distingue:
La distorsion linéaire (ou de fréquence)
le rapport des amplitudes (sortie et entrée) dépend alors de la fréquence.
La distorsion de phase est la variation de la phase mais dépend aussi de la fréquence
La distorsion d’amplitude
le rapport des amplitudes dépend (est fonction de) l’amplitude d’entrée
La distorsion harmonique(ou non linéaire)
la fréquence de sortie est ici différente de la fréquence d’entrée
La distorsion d'une grandeur électrique sinusoïdale
intéresse la tension ou le courant électrique alternatif Voir ces chapitres
flux de DISTORSION
C’est une notion ambiguë, qui indique l’importance des diverses distorsions d’une onde envers sa forme sinusoïdale (lmais ce n'est pas un flux, au sens propre)
Le FACTEUR de DISTORSION
indique le défaut de proportionnalité entre le signal de sortie et le signal d'entrée
F’x = S [(Asx.fx)²]1/2/ Ae²
avec F’x(s/m)= facteur de distorsion
As et Ae(m)= amplitudes respectivement de sortie et d’entrée
x = indice de la position
f(Hz)= fréquence
DISTANCE PHOTOMÉTRIQUE
Les émetteurs lumineux donnent en général des ondes à front sphérique et les récepteurs sont au contraire souvent plans d’où une distorsion des phénomènes récepteurs.
Pour conserver une validité des mesures, on estime que la distorsion ne doit pas dépasser 2%.
En optique, cela est possible pour une distance d'objet suffisamment grande.
Cette distance, dite "photométrique" est de l’ordre de 10 fois la largeur du récepteur
-effet Doppler Fizeau
L'effet Doppler Fizeau exprime les relations entre fréquences et vitesses des sons: un observateur en déplacement par rapport à une source sonore, perçoit les sons à une fréquence différente de celle d’émission
Si fs et f0 (Hz) sont respectivement la fréquence de la source et celle perçue par l’observateur, si vs , vo et vc(m/s) sont respectivement la vitesse de la source, la vitesse de l’observateur et celle de la phase de l'onde:
1.pour une source de sons qui s’éloigne d’un récepteur-observateur fixe
fo = fs / (1 + vs / vc )
2.pour une source de sons qui s'approche d’un récepteur-observateur fixe
fo = fs / (1 - vs / vc )
3.pour un observateur qui s’éloigne d’une source sonique fixe
fo = fs (1 - vo / vc )
4.pour un observateur qui se rapproche d’une source sonique fixe
fo = fs (1 + vo / vc )
-élasticité pour une onde
L'élasticité d'une onde caractérise une onde qui retrouve sa structure après cessation d’une cause perturbatrice
ONDE ÉLASTIQUE
Les vibrations -autour de leurs positions d’équilibre- des atomes sis aux nœuds d’un réseau, créent des déformations qui se propagent comme une onde, dite élastique, dont l’élongation est lé = ex
avec x(exposant)= j.(Jé.lr – ν.t) où j(opérateur)= symbole imaginaire, Jé(m-1)= vecteur d’onde, lr(m)= rayon, ν(s-1)= fréquence et t(s)= temps
Pour l’un de ces atomes de réseau, l’équation de mouvement
(équation d’onde) est m’.d²l0 / dt² -Σli.W’.NA
avec m’(kg/mol)= masse molaire
l0(m)= élongation dans un plan 0 choisi d’un réseau
t(s)= temps
W’(kg/s²)= constante de rappel (dite ici "élastique")
NA(mol-1)= constante d’Avogadro (6,02214 mol-1)
li(m)= chacune des élongations des plans réticulaires de rang i par rapport au plan 0 choisi (un plan réticulaire insère divers nœuds)
Les énergies d'oscillations de ces ondes, formant un spectre discret, sont multiples entiers de (h.ν) (transmises par des phonons) où h =constante de Planck (6,62606876.10-34J-s)
et ν(Hz)= fréquence
QUANTUM d’ONDE ÉLASTIQUE
Un phonon (quantum) est associé à une production de vibrations de groupes d’atomes dans les réseaux cristallins
On distingue des phonons mécaniques, acoustiques, optiques....
-cas d'une onde représentant les déformations d’un réseau cristallin
Exemple d'une onde élastique progressive dans un réseau de corps cristallin
Ea = h.f.(np+ J/2)
h(J-s)= action de phonon (créé quand il y a perturbation thermique des atomes)
f (Hz)= fréquence de la vibration élastique, J le nombre quantique et np= le nombre de phonons
-fréquence pour phénomène vibratoire ou ondulatoire
Pour un phénomène ondulatoire, la fréquence est la répétition (ou reproduction) de l'oscillation pendant l’unité de temps
C’est l’inverse de la période
OSCILLATION
Une oscillation supérieure à une trentaine de Hertz prend le nom de Vibration
Un oscillateur harmonique est un ensemble où le mouvement présente une proportionnalité entre la position du point mobile et son accélération linéaire (avec un amortissement supposé nul ou très faible) L’équation est alors
f = -(γ / l)1/2
avec γ(m/s²)= accélération, l(m)= abscisse du mobile, f(Hz)= fréquence
Les fréquences des oscillateurs sont de l’ordre de 3 à 5.103 Hz (en modulation d’amplitude) et vont jusqu’à 1,5.104 Hz (en modulation de fréquence)
ÉQUATION GÉNÉRALE d'OSCILLATION
Dans une oscillation, si la fréquence varie, on est dans le cas d’une "modulation de fréquence"
f = ω / θ où f(Hz)= fréquence, ω(rad/s)= vitesse angulaire et θ (rad)= angle
-cas du ressort à boudin avec masse m(kg) suspendue
f = (W’d / m)1/2 f (Hz)= fréquence
W'd(N/m)= dureté (ou raideur) du ressort (-dureté égale à F/ l ) si F est la force (en Newton) et l la longueur (m)
-cas du ressort spiralé
f = (MΓ / I*)1/2 MΓ(J-couple)= moment du couple de torsion
I*(kg-m²/rad)= moment d’inertie centrifuge du volant (coeur du ressort)
-cas du condensateur électrique (qui est branché sur une bobine)
f = 1 / (L.C)1/2 L(H)= inductance(self) de la bobine
C(F)= capacité du condensateur
-cas du pendule composé
f = [m.g.l / Iv]1/2 avec m(kg)= masse suspendue
g(m/s²)= accélération de la pesanteur
l(m)= longueur du fil du pendule
Iv(kg-m²)= moment d’inertie
Nota : cette fréquence ne dépend pas de l’amplitude du mouvement
-cas du pendule simple
(cas particulier de ci-dessus)
f = [g / l]1/2 avec l(m)= longueur du pendule et g(m/s²)= accélération de pesanteur
La formule du pendule simple peut s’écrire aussi : f = ω / θ = (g / l)1/2
où ω (rad/s)= vitesse angulaire et θ(rad)= angle de l’amplitude maximale
Nota : cette formule est souvent présentée sous la forme incohérente :
f = 2∏.[g / l]1/2, ce qui résulte d’un changement d’unités: on y mélange les tours pour exprimer la vitesse angulaire, alors qu'on garde les radians pour l'angle ! C'est un système d'unités incohérentes , ce qui débouche sur une formule impossible, car aucune formule ne doit comporter le nombre pi (une formule se doit d'être applicable, quel que soit le choix d'unités)
FREQUENCE
-fréquence d’une onde
n = v / l = ω / θ = E / h
où n(Hz)= fréquence--rappelons les ordres de grandeur de ν(Hz) pour les ondes électromagnétiques >> 104(radio) 1014(lumière visible) 1020 (rayons gamma)--
ω(rad/s)= vitesse angulaire (dite aussi fréquence angulaire)
θ(rad)= angle de rotation -vaut 2pi rad si l’on est en système d’unités S.I.+
E(J)= énergie
h(J-s)= action (constante de Planck = 6,62606876.10-34J-s)
-fréquence fondamentale
La fréquence fondamentale d’une vibration correspond à la vibration fondamentale, caractéristique de l’oscillateur -sans incidence des sollicitations extérieures-
f = v / l où f(Hz)= fréquence fondamentale
v(m/s)= vitesse de phase et λ(m)= longueur d’onde
-fréquence de résonance (en électricité)
C’est la fréquence fr à laquelle se produit une résonance :
-cas d’un circuit électrique (alternatif) : fr = 1 / (L.C)1/2
où L(H) est l'inductance, fr la fréquence résonante (en Hz) et C(F) la capacité
-cas d’un oscillateur de Hertz(dipôle créant un champ électrique localement)
fr = c / 2l où c(m/s)= constante d’Einstein(2,99792458 .108 m/s) et
l(m)= longueur de l’oscillateur dipolaire
-fréquence intrinsèque (ou Broglienne)
C’est, pour une particule de masse m, la fréquence
f = m.c² / h avec h(J-s)= action de la particule (constante de Planck = 6,62606876.10-34 J-s), m(kg)= masse et c(m/s)= constante d'Einstein
La vitesse de phase qui caractérise l'onde qui la porte, est supraluminique
-taux de récurrence
En mathématiques, la récurrence est une forme de démonstration exprimant que ce qui est vrai pour les cas (1 à n) est encore vrai pour le cas (n+1)
En Physique, le taux de récurrence est une fréquence applicable à un phénomène récurrent (vibrations)
-interférences
Les interférences sont des phénomènes apparaissant lors de la superposition de plusieurs ondes
Quand 2 ondes sont cohérentes (différence de leurs phases ne dépendant pas du temps, ce qui est un cas usuel) et synchrones (leurs périodes sont les mêmes), leur rencontre crée un mélange de leurs caractéristiques, pour former des interférences, qui se manifestent par des zones de caractéristiques différentes.
TYPES d'INTERFERENCES
-constructives >>> quand les zones de ventres (où les élongations s'ajoutent) sont des zones d'excès .Par ex. zone à brillance renforcée, pour les ondes de lumière
-destructives >>> quand les zones de nœuds (où les élongations s'annulent) sont vides
par exemple zones de silence pour ondes acoustiques
La différence de marche est la différence du chemin parcouru par les 2 ondes pendant 1 période Voir ce chapitre
INTERFÉRENCES en ACOUSTIQUE
Cas d'ondes à la fois cohérentes (la différence de leurs phases est indépendante du temps) et synchrones (même période)
La rencontre de 2 de ces ondes crée un mélange de leurs caractéristiques, pour former des interférences
Effet Larsen: pour un émetteur électromécanique (type Haut-parleur), apparaît un sifflement, provenant d’un son qui, émis par le haut-parleur, est repris par un micro voisin, créant des interférences de résonance, avec augmentation de l’amplitude jusqu’au maximum de ce que peut retransmettre le haut-parleur
INTERFÉRENCES LUMINEUSES
Elles concernent 2 ondes lumineuses cohérentes (différence de leurs phases ne dépendant pas du temps) et synchrones (leurs périodes sont les mêmes)
leurs interférences peuvent être constructives (zones visibles) ou destructives (zones sombres) constituant ainsi des franges spectrales
Il y a des franges spectrales soit dans les zones mixtes, soit dans les zones de rencontres après réflexions
Les anneaux de Newton en optique sont des anneaux apparaissant si l’on regarde un faisceau incident à travers une lentille convexo-plane posée, par sa face convexe, sur une plaque de verre.
On a alors lrN = S1/2
avec lrN(m)= rayon d’un anneau de Newton
S(mxm)= produit des 2 longueurs (lrl.λ)
lrl(m)= rayon de convexité de la lentille et λ(m)= longueur d’onde
Quand S est impair, l’anneau est éclairé -quand S est nul ou pair, l’anneau est sombre
INTERFÉRENCES de YOUNG
2 faisceaux de lumière issus d'une même source lumineuse, sont envoyés vers un écran, mais doivent auparavant passer à travers 2 fentes réservées dans un obstacle opaque.
-intensité de lumière au-delà des fentes
P' = E.ν.[cos²A.sin²B] / Ω.C
avec P'(W/sr)= intensité lumineuse
E(J) = énergie lumineuse
ν(Hz)= fréquence et λ(m) = longueur d'onde
Ω(sr)= angle solide
cos²A = incidence de la différence de marche avec A = p.lef.lpc / λ.loé
et où lef(m)= distance entre fentes , lpc(m)= distance d'un point d'écran jusqu'au centre de l'écran et loé(m)= distance entre l'obstacle fendu et l'écran
sin²B = incidence de la diffraction, avec B= p.llf.lpc/ λ.loé
et où llf(m)= largeur des fentes , lpc(m)= distance d'un point d'écran jusqu'au centre de l'écran et loé(m)= distance entre l'obstacle fendu et l'écran
C = incidence de la sphéricité de l'onde, avec C = (loé² + lpc²) où loé(m)= distance entre l'obstacle fendu et l'écran , lpc(m)= distance d'un point d'écran jusqu'au centre de l'écran
-interférences
1))-Les particules portées par l'onde maintenant, peuvent être des photons, des électrons, des neutrons, des atomes et même des grosses molécules
Les 2 faisceaux donnent des interférences sur l'écran, avec des parties sombres (interférences destructives) pour les parties des ondes qui sont en phase avec des multiples impairs de pi – et des parties claires (interférences constructives) avec les parties d'onde en multiples pairs de pi
Les franges sont séparées de λ x (loé / lef)
Dans ces phénomènes, les ondes sont cohérentes (issues de la même source)
2))-Si maintenant on fait passer les particules une par une, on obtient quand même des interférences, au motif que chaque particule interfère avec elle-même (elle passe à la fois par une fente et par l'autre fente, selon la théorie quantique)
3))-Mais si l'on veut essayer de savoir par quelle fente elle passe vraiment, le regard de l'observateur, qui est accompagné de photons d'ambiance, perturbe l'état de la particule visée qui alors n'a plus la même fonction d'onde (cette fonction est dite détruite ou effondrée ou réduite ou écrasée ou écroulée....)