P2.ÉVOLUTION d'un PHÉNOMENE PÉRIODIQUE

-amortissement d'onde

Un amortissement est l’évolution d’un phénomène vibratoire, survenant quand il n’est plus énergétiquement entretenu. Alors il subit une diminution d’énergie (par exemple énergie cinétique perdue par frottement -ou énergie perdue en effet Joule, etc...), d’où diminution de l’amplitude de l’onde porteuse

Il est spécifié à travers :

 

UNE CONSTANTE (ou COEFFICIENT) d’AMORTISSEMENT

c'est une variation de la fréquence (symbole fa et dimension T -1)

 

 

UNE CONSTANTE de TEMPS

C'est l'inverse de la constante d'amortissement, donc c'est la durée d’amortissement d’un phénomène périodique

Equation de dimensions : T   Symbole de désignation : t0   Unité = seconde(s)

 

UNE PSEUDO-PÉRIODE

C'estts , la variation de la structure de sa période

 

UN FACTEUR de QUALITÉ

C'est F’q , le rapport -non dimensionnel- exprimant l’évolution énergétique comparative du système

 

UN FACTEUR d’AMORTISSEMENT

C'est F’s (dit aussi degré d’amortissement), qui est l’inverse de F’q ci-dessus

 

L'AMORTISSEMENT PROPREMENT DIT

Tout système a une équation de trajectoire du genre :

m.γ + M*.v + W'd.l = 0

où m(kg)= masse

γ(m/s²)= accélération

v(m/s)= vitesse

W'd(kg/s²)= constante de rappel

M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux

Si le frottement (donc l’amortissement) est faible, la solution (équation du déplacement de faible envergure autour de l’équilibre) est

l = e-ωt/ θ .lA.sin(ωt + φ)

où lA(m)= amplitude de l’oscillation

f(s-1)= fréquence

θ(rad)= angle plan de rotation  (et ω = vitesse angulaire, en rad/s)

φ(rad)= angle de phase d’origine

S'il y a amortissement:

θ / ω = to (constante de temps) et lé = e-to.lA.sin(ωt + φ) : c’est une fonction sinusoïdale exponentielle amortie et l’élongation lA oscille

 

L’amortissement est dit "critique"  quand le régime initialement oscillatoire devient apériodique

 

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-atténuation d'une onde

L'atténuation d'une onde est la notion traduisant la diminution de l’énergie de l'onde, pendant son parcours dans un milieu

Synonyme = Affaiblissement

L’atténuation est appréhendée à travers les grandeurs ci-après

 

LE COEFFICIENT D'ATTÉNUATION LINÉAIRE

Synonymes : coefficient d'atténuation linéique etcoefficient d’affaiblissement

Equation de dimensions structurelles : L-1         Symbole : Jb        Unité S.I.+ : m-1

Il intervient dans la comparaison des énergies (ou éventuellement des flux ou des impédances) en fonction de l’épaisseur (l) traversée, selon la relation :

Er = Eé.i*d

Eret Eé(J)= énergies respectivement reçue et émise

i*d= cosθ .exp(-Jb.l)  est nommé coefficient de directivité

l(m)= distance entre émission et réception (éventuellement profondeur)

θ est l'angle d'émission

Jb(m-1)= coefficient d’atténuation (ou d’affaiblissement) qui est Jb= ρ'.Zé / f

ρ'(kg/m3)= masse volumique du milieu

f(Hz)= fréquence de l’onde

Zé(m²/kg-s)= impédance énergétique

 

LE FACTEUR d'ATTÉNUATION ACOUSTIQUE

ou FACTEUR d'AFFAIBLISSEMENT ACOUSTIQUE(F'a)

C'est  F’a= (P'1/ P'0) = rapport entre les intensités (ou puissances) acoustiques avant et après l’affaiblissement

 

LE NIVEAU D'ATTÉNUATION

C'est la comparaison logarithmique du facteur

Pour un appareil -par exemple un transducteur (appareil servant à transformer un type d’énergie en un autre type, comme un quartz piézo-électrique) la comparaison est faite entre l’énergie mécanique et l’énergie électrique résultante

Comme ces énergies (ou puissances) sont à des échelles très variables, il y a nécessité de prendre des notions logarithmiques

On compare donc ici logarithmiquement les variations des énergies avant et après la transformation .

Unité: le Bel qui est, par définition, le logarithme (base 10) du rapport entre 2 puissances (ou 2 puissances surfaciques ou 2 énergies)

-l'atténuation linéique est un niveau (ci-dessus) ramené à l'épaisseur du matériau traversé .

Elle est exprimée en Bel par mètre (ou éventuellement en dB/km)

Exemple pour le verre, c'est # 5.103 dB/km

 

LA COUCHE DE DEMI-ATTÉNUATIONconcerne un corps qui, interposé sur le trajet d'un rayonnement, en réduit l’effet de 50% .

On l’exprime en kg/m² (c'est une masse surfacique)

 

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-battement

Un battement  est un mouvement oscillant lent, quand 2 oscillations de fréquences voisines sont superposées

Si leur amplitude est lA et leurs fréquences angulaires voisines :

(ω) d’une part et (ω +/- Δω) d’autre part, le battement est caractérisé par 

lé = 2lA. cos Δω.t.sin2ωt    (c’est une vibration modulée en amplitude, de vitesse

angulaire Δω)

La période du battement est  tp = 2.f / Δω    où f (Hz)= fréquence d’oscillation et Δω(rad/s)= écart entre les vitesses angulaires

 

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-cambrure

La cambrure est un paramètre (non dimensionnel) d'une onde, représentant le rapport entre l'élongation (hauteur) et la longueur d'onde = lA / λ

Cette notion est surtout utilisée pour les calculs de houle

La houle est un mouvement oscillatoire des eaux de surface de la mer, sous l'influence des forces de frottement créées par le vent

La cambrure critique est la valeur de cambrure qui déclenche un déferlement en arrivant sur un rivage

Cette valeur est 0,142 pour une hauteur d'eau infinie

Elle s'amoindrit un peu, pour des profondeurs plus faibles

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-différence de marche

Une différence de marche est la différence du chemin parcouru par 2 ondes pendant 1 période

Δl = Δφ / T*0

Δl(m)= différence de marche

Δφ (rad)= variation de déphasage

T*0(rad/m)= NOMBRE d’onde

 

CAS des LAMES à FACES PARALLÈLES MINCES en OPTIQUE :

Δl = 2lé.(n*²- sin²θ)1/2+ (2n +1).λ/ 2

Δl(m)= différence de marche (ou différence de chemin optique)

lé(m)= épaisseur de la lame mince

θ(rad)= angle d’incidence par rapport à la normale

λ(m)= longueur d’onde

n*(nombre)= indice de réfraction de la lame

n= nombre entier variable de -1 à + 6 (cause des interférences soit constructives soit destructives)

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-diffraction d'onde

La diffraction est le phénomène de réémission à partir d’un point d’une surface matérielle, choqué par une onde et qui devient réémetteur d’une autre onde élémentaire, en créant interférence avec l’onde primitive

Souvent les obstacles gênant les ondes sont des ouvertures étroites (diaphragmes).

Cette réémission implique soit de la réflexion, soit de la réfraction

 

DIFFRACTION STRICTO SENSU

La diffraction est une puissance spatiale

On la nomme intensité lumineuse quand elle concerne les phénomènes où la lumière est transmise (entre production et réception)

Equation aux dimensions : L2.M.T-3.A-1       Symbole : P’d      

Unité S.I.+: W/sr et pour la lumière la candela(cd)

Les formules ci-dessous concernent la lumière, mais elles sont applicables aux ondes électromagnétiques de fréquences différentes (rayons X, thermiques, ...) seules les unités changent

-cas d'un faisceau de rayons parallèles

>>> s'il passe près d’un bord d’écran (cas de Fresnel)

la courbe de diffraction (intensité lumineuse en fonction de la distance au bord et recueillie sur un plan normal à l’onde) est de type ondulatoire amorti

>>> s'il passe par un diaphragme (fente) de section rectangulaire peu large (cas de Fraunholer) et à bonne distance du plan de réception, l'intensité lumineuse est de type ondulatoire amorti, avec pic au centre

P’= P’i.sin² φ 

P’d et P’i(cd)= intensités lumineuses respectivement diffractée et incidente

φ(rad)= 2lf θ / λ avec lf(m)= largeur de fente, λ(m)= longueur d’onde et θ(rad)= angle de diffraction

(2lf / λ) est nommé nombre de Fresnel (nFr)

>>> s'il passe par un trou (circulaire)

La distance entre les 2 plans (objet & image) est égale à K.(lo / λ).(lo3 / λ)

où K est un nombre, l0 est l'ouverture, λ est la longueur d'onde (inférieure à l'ouverture) et on distingue 3 cas :

  • K.(lo / λest < 0,62

  • K.(lo / λ) est > 0,62 mais < à 2

  • K.(lo /λ) est > 2 

>>> s'il passe dans un réseau plan :

P’d = P’i.(sin² φ1.sin².φ2) / sin² φ2

P’d et P’i(cd)= intensités lumineuses respectivement diffractée et incidente

φ1 (rad)= 2lf  θ / λ   et  φ2(rad)= 2lé θ / λ

avec lf = largeur de fente, lé = constante de réseau

λ = longueur d’onde, θ = angle de diffraction 

-cas d'un faisceau cônique de rayons divergents passant par un diaphragme circulaire quelconque

Après passage des rayons par ce diaphragme, l’image d’un point objet sur le récepteur forme une tache circulaire dégressivement lumineuse, entourée d’anneaux concentriques alternativement clairs et sombres, le tout avec dégradation d’éclairement vers les bords (figure dite disque d’Airy)

Pour 2 points-objets voisins, on obtient 2 zones-images (disques d’Airy) voisines; et si le maximum de luminosité de l’un des disques est superposé au minimum (de luminosité) le plus proche de lui sur le second disque d’Airy, l’angle θdu cône ayant pour sommet ce point et pour appui la circonférence du diaphragme est dit angle d’ouverture

 

-cas d'un cristal (loi de Bragg)

n.λ = 2 li.sinθ

n(nombre)= ordre de la réflexion = nombre de plans réticulaires du réseau cristallin

(un plan réticulaire -qui peut être facial ou diagonal, contient divers nœuds)

λ(m)= longueur d’onde

li(m)= équidistance des plans réticulaires

θ(rad)= angle entre le plan incident recevant le rayonnement lumineux et le rayonnement lui-même ; donc θ(à cause du sinus) est < à 2 li / l

La constante de réseau l(parfois appelée "pas") est la distance entre 2 éléments mitoyens du réseau (un réseau étant une trame de lignes ou points)

 

-cas d'un appareil optique

La diffraction est d’autant plus importante que le diamètre du diaphragme est plus proche de la longueur de l’onde ;le minimum de l’angle d’ouverture  θo définit le pouvoir de résolution de l’appareil optique, qui est possible dès que

sinθ> 1,22 λ / ld    c'est le critère de Rayleigh

θo(rad)= angle d’ouverture

λ(m)= longueur d’onde

ld(m)= diamètre du diaphragme

-la tache de diffraction est définie par son rayon linéaire (dimension L) et son rayon angulaire (dimension L.A-1)

 

PRINCIPE d’HUYGENS-FRESNEL

Un point de l’obstacle choqué par l’onde devient réémetteur d’une autre onde élémentaire de front sphérique, de même fréquence et d’amplitude proportionnelle à celle d’origine.

En outre, il y a interférences avec l’onde primitive.

L’équation d’onde est: ΨAΨo.[expx].dS

avec ΨA= équation d’onde en un point A de l’ondelette nouvelle

Ψo = équation d’onde en son origine

S(m²)= surface

x(exposant)= (j.K / l) avec l(m)= distance entre le point A et l’origine,

K(m)= cœfficient numérique

THÉORÈME de BABINET

La figure de diffraction issue par cause d'un obstacle opaque est la même que celle obtenue avec un obstacle "conjugué du premier dit"

-on entend par obstacle conjugué un corps qui est géométriquement négatif du premier (par ex. un trou en forme de croix de Lorraine dans une plaque sur le premier et une croix de Lorraine suspendue de même dimension, sur le second)

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-dispersion d'onde dans matière

Le phénomène de dispersion exprime l'impact du milieu sur les paramètres de l'onde voyageant dans un milieu matériel (sauf acoustique, traitée par ailleurs)

DISPERSION stricto sensu

C'est le rapport entre une qualité relative du milieu où circule l'onde et la longueur d'onde

Equation de dimensions structurelles : L-1           Symbole de désignation Jd             Unité S.I.+ : m-1

En milieu fluido-solide, c'est Jdf = (ρ'1 / ρ'2 ) / λ (rapport de masses volumiques sur longueur d'onde)

 

DISTANCE DE DISPERSION

C'est l'inverse de la dispersion

Equation de dimensions structurelles : L           Symbole de désignation ld                Unité S.I.+ : m

ld = 1 / Jd = vc / ν

où ld (m)= distance de dispersion

vc(m/s)= célérité de l'onde

ν(Hz)= fréquence d'onde

 

DISPERSION de MILIEU

Elle exprime la variabilité entre période et longueur d'onde

Equation de dimensions  :  L-1.T (inverse d’une vitesse)         Symbole d'        

Unité S.I.+ : s/m

-relation avec autre unité : 1 picoseconde par kilomètre vaut 10-15 s/m

-rappel de la relation de correspondance usuelle des vitesses dans une onde

vcvg = vd      où vc (m/s)= vitesse de phase, vg (m/s) = vitesse de l’onde globale, vd (m/s) = vitesse différentielle

-dispersion de milieu dite normale -cas usuel

--- dans les liquides et solides:

On a alors dvc / dλ > 0   avec vc > vg

La formule de Lorento donne la réfractivité :

yν = (n* -1) / (n* +1) / d

avec : n* (nombre)= indice de réfraction pour un corps

d(nombre)= densité (relative) du corps

yν= réfractivité (coefficient des propriétés chimico-physiques ambiantes)

---dispersion normale dans les gaz

Il s’agit de la variation de l’indice de réfraction en fonction de la densité du corps

Il en découle la formule de Gladstone-Dale

n* = yν.d +1 avec mêmes notations, mais l’indice n* ci-dessus est alors proche de l’unité

Valeurs pratiques de yν pour les gaz >>> Fréon(0,21)--Air(0,23)—C²H²(0,52)—H²(1,56)

La formule de Sellmeier (un peu complexe) donne -pour un milieu transparent- la relation entre l'indice n* et l'état ambiant (température, pression, nombre d’onde)

Pour une dispersion de milieu normale et s'il règne en outre un champ électrique E , la formule devient :

n* = σ / E.ε    avec E(A/m-sr)= champ d'induction él.

σ(C/m²)= polarisation électrique

ε(F/m-sr)= constante diélectrique du milieu

-dispersion de milieu nulle c'est le cas du vide (pour les ondes électromagnétiques) On a alors dvc / dλ = 0

-dispersion de milieu anormale

On a alors dvc / dλ < 0 

---dispersion anormale dans les liquides et solides: l’indice n* est tel que

n* = K1 + K2 / λ2 + K3 / λ4 +.. - (Kn.λ2) - (Kn+1.λ4) -.....) où les K indicés sont des coefficients numériques et λ la longueur d’onde

 

L'ARC EN CIEL  est créé par la dispersion de milieu anormale (réfraction, liée à la réflexion sur gouttes d’eau)

Si cet arc est simple, il est sur un cône d’angle au sommet de 42° et l’angle de vue de son épaisseur est 1,5°

Par contre, s'il est doublé (avec arc secondaire) les angles ci-dessus deviennent 52° et 3° (les angles en question sont pris par rapport à l’axe soleil-observateur)

 

DISPERSION ENERGETIQUE

C'est une énergie >>> E = W'.V.Jd (énergie massique x volume x dispersion)

 

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-dispersion d'onde en général

Le phénomène de dispersion exprime l'impact du milieu sur la certains paramètres d’une onde qui le traverse

Un milieu entraînant de la dispersion est dit milieu dispersif.

Le vide ne présente pas de dispersion

 

DISPERSION stricto sensu

C'est le rapport entre une qualité relative du milieu où circule l'onde et la longueur d'onde

Equation aux dimensions : L-1          

Symbole de désignation Jd                Unité S.I.+ : m-1

En optique, c'est Jdo = (n*1 / n*2) / λ (rapport d'indices sur longueur d'onde)

En acoustique, c'est Jda = (v1 / v2 ) / l (rapport de vitesses sur longueur d'onde)

En milieu fluido-solide, c'est Jdf = (ρ' 1 / ρ'2 ) / l (rapport de masses volumiques sur longueur d'onde)

La fluctuation de dispersion  est l’intervalle entre les maxima et minima d’une dispersion

 

DISPERSION RELATIVE

C'est un rapport (sans dimension) entre 2 dispersions, du genre >>> (n*1n*2) / (n*3- n*4)

-coefficient de dispersion relative

c'est -pour une grandeur- le rapport (exprimé en %) entre une dispersion et une valeur étalon choisie

 

DISPERSION GEOMETRIQUE (ou de MILIEU)

Elle exprime la variabilité due à la fréquence ou à la longueur d'onde

Equation aux dimensions  : L-1.T(inverse d’une vitesse)         Symbole d'         Unité S.I.+: s/m

-autre unité : 1 picoseconde par kilomètre = 10-15 s/m

d= J/ f   

d' (s/m)= dispersion de milieu, Jn est la dispersion et f (Hz) la fréquence

Pour l'acoustique  d' = t/ λ  λ(m)= longueur d’onde et tp(s)= période

Pour l'optique d' = aussi t/ λ  mais comme par ailleurs

λ= n*.v / f , il vient d' = 1 / n*.v(n* est l'indice et vla célérité)

Pour la matière d' = aussi t/ λ  mais comme par ailleurs

λ = W'.d' / v.ρ' , il vient d' = v / W'

-la dispersion géométrique angulaire  est la même chose qu'un coefficient phénoménologique >>

c'est A (s/m-rad) = d' / θ

et aussi A = Jd /.ω   

 

DISTANCE DE DISPERSION

C'est dimensionnellement inverse de la dispersion

Equation aux dimensions structurelles : L          

Symbole de désignation ld                Unité S.I.+ : m

l= 1 / J= v/ ν

où ld (m)= distance de dispersion

vc(m/s)= célérité de l'onde

ν(Hz)= fréquence d'onde

 

ANGLE de DISPERSION (ou ANGLE DISPERSIF)

C'est l'angle entre la direction incidente et la direction de sortie d'un rayon dispersé précis

-dans un réseau  la lumière se réfléchit dans plusieurs directions avec angles de dispersions calculables (spectre lumineux perturbé)

 

 

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-dispersion en matière

Le phénomène de dispersion exprime l'impact d'un milieu fluido-solide sur les paramètres de l'onde qui y circule

(sauf la dispersion acoustique, traitée par ailleurs)

 

DISPERSION stricto sensu

C'est le rapport entre une qualité relative du milieu et la longueur d'onde

Equation de dimensions structurelles : L-1     Symbole de désignation Jd       Unité S.I.+ : m-1

Sa définition est Jdf = (ρ'1 / ρ'2 ) / λ

C'est le (rapport de masses volumiques) sur (la longueur d'onde)

 

DISTANCE DE DISPERSION

C'est l'inverse de la dispersion

Equation de dimensions structurelles : L      Symbole de désignation ld         Unité S.I.+ : m

C'est ld= 1 / Jd= vc/ ν

où ld (m)= distance de dispersion

vc(m/s)= célérité de l'onde

ν(Hz)= fréquence d'onde

 

DISPERSION de MILIEU

Elle exprime la variabilité entre période et longueur d'onde

Equation de dimensions  : L-1.T(inverse d’une vitesse)        

Symbole d'         Unité S.I.+: s/m

autre unité utilisée: 1 picoseconde par kilomètre, qui vaut 10-15 s/m

-rappel de la relation de correspondance usuelle des vitesses

dans une onde : vcvg= vd 

où vc(m/s)= vitesse de phase, vg(m/s) = vitesse de l’onde globale, vd(m/s) = vitesse différentielle

-dispersion de milieu dite normale(le cas usuel)

---dispersion dans les liquides et solides, on a alors dvc/ dλ > 0 avec vc > vg

La formule de Lorento donne la réfractivité :

yν= (n* -1) / (n* +1) / d

avec: n* (nombre)= indice de réfraction pour un corps

d(nombre)= densité (relative) du corps

yν= réfractivité (coefficient des propriétés chimico-physiques ambiantes)

---dispersion normale dans les gaz (il s’agit de la variation de l’indice de réfraction en fonction de la densité du corps)

Il en découle la formule de Gladstone-Dale

n* = yν.d +1 avec mêmes notations, mais l’indice n* ci-dessus est alors proche de l’unité

Valeurs pratiques de yν pour les gaz >>> Fréon(0,21)--Air(0,23)—C²H²(0,52)—H²(1,56)

La formule de Sellmeier (un peu complexe) donne -pour un milieu transparent- la relation entre l'indice n* et l'état ambiant (température, pression, nombre d’onde)

Pour une dispersion normale de milieu il règne en outre un champ électrique E, la formule devient n* =σ/ E.ε   

avec E(A/m-sr)= champ d'induction électrique

σ(C/m²)=polarisation électrique

ε(F/m-sr)= constante diélectrique du milieu

-dispersion de milieu est nulle dans le cas du vide (pour les ondes électromagnétiques) On a alors dvc/ dλ = 0

-dispersion de milieu anormale

On a alors dvc/ dλ < 0

---dispersion anormale dans les liquides et solides: l’indice n* est tel que

n* = K1+ K2/ λ2+ K3/ λ4+.. - (Kn.λ2) - (Kn+1.λ4) -.....) où les K indicés sont des coefficients numériques et λ la longueur d’onde

 

L'ARC EN CIEL est créé par la dispersion de milieu anormale (réfraction, liée à la réflexion sur gouttes d’eau)

Si cet arc est simple, il est sur un cône d’angle au sommet de 42° et l’angle de vue de son épaisseur est 1,5°

Par contre, s'il est doublé (avec arc secondaire) les angles ci-dessus deviennent 52° et 3° (les angles en question sont pris par rapport à l’axe soleil-observateur)

 

DISPERSION ENERGETIQUE

C'est Jd, telle que Jd = W'.V/ E (W' = énergie massique, V= volume)

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-distorsion (en général)

La distorsion est une déformation multiple d’un phénomène périodique, au cours de sa traversée d’un milieu.

TYPES de DISTORSIONS

Comme les causes sont variées, on distingue:

La distorsion linéaire (ou de fréquence)

le rapport des amplitudes (sortie et entrée) dépend alors de la fréquence.

La distorsion de phase  est la variation de la phase mais dépend aussi de la fréquence

La distorsion d’amplitude

le rapport des amplitudes dépend (est fonction de) l’amplitude d’entrée

La distorsion harmonique(ou non linéaire)

la fréquence de sortie est ici différente de la fréquence d’entrée

La distorsion d'une grandeur électrique sinusoïdale

intéresse la tension ou le courant électrique alternatif   Voir ces chapitres

 

flux de DISTORSION

C’est une notion ambiguë, qui indique l’importance des diverses distorsions d’une onde envers sa forme sinusoïdale (lmais ce n'est pas un flux, au sens propre)

 

Le FACTEUR de DISTORSION

indique le défaut de proportionnalité entre le signal de sortie et le signal d'entrée

F’= S [(Asx.fx)²]1/2/ Ae²

avec F’x(s/m)= facteur de distorsion

As et Ae(m)= amplitudes respectivement de sortie et d’entrée

x = indice de la position

f(Hz)= fréquence

 

DISTANCE PHOTOMÉTRIQUE

Les émetteurs lumineux donnent en général des ondes à front sphérique et les récepteurs sont au contraire souvent plans d’où une distorsion des phénomènes récepteurs.

Pour conserver une validité des mesures, on estime que la distorsion ne doit pas dépasser 2%.

En optique, cela est possible pour une distance d'objet suffisamment grande.

Cette distance, dite "photométrique" est de l’ordre de 10 fois la largeur du récepteur



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-effet Doppler Fizeau

L'effet Doppler Fizeau exprime les relations entre fréquences et vitesses des sons: un observateur en déplacement par rapport à une source sonore, perçoit les sons à une fréquence différente de celle d’émission

Si fs et f0 (Hz) sont respectivement la fréquence de la source et celle perçue par l’observateur, si vs , vo et  vc(m/s) sont respectivement la vitesse de la source, la vitesse de l’observateur et celle de la phase de l'onde:

1.pour une source de sons qui s’éloigne d’un récepteur-observateur fixe

fo = fs / (1 + vs / vc )

2.pour une source de sons qui s'approche d’un récepteur-observateur fixe 

fo = fs / (1 - vs / vc )

3.pour un observateur qui s’éloigne d’une source sonique fixe            

fo = fs (1 - vo / vc )

4.pour un observateur qui se rapproche d’une source sonique fixe       

 fo = fs (1 + vo / vc )

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-élasticité pour une onde

L'élasticité d'une onde caractérise une onde qui retrouve sa structure après cessation d’une cause perturbatrice

ONDE ÉLASTIQUE

Les vibrations -autour de leurs positions d’équilibre- des atomes sis aux nœuds d’un réseau, créent des déformations qui se propagent comme une onde, dite élastique, dont l’élongation est  lé = ex

avec x(exposant)= j.(Jé.lrν.t)     où j(opérateur)= symbole imaginaire, Jé(m-1)= vecteur d’onde, lr(m)= rayon, ν(s-1)= fréquence et t(s)= temps

 

Pour l’un de ces atomes de réseau, l’équation de mouvement

(équation d’onde) est m’.d²l0 / dt² -Σli.W’.NA

avec m’(kg/mol)= masse molaire

l0(m)= élongation dans un plan 0 choisi d’un réseau

t(s)= temps

W’(kg/s²)= constante de rappel (dite ici "élastique")

NA(mol-1)= constante d’Avogadro (6,02214 mol-1)

li(m)= chacune des élongations des plans réticulaires de rang i par rapport au plan 0 choisi  (un plan réticulaire insère divers nœuds)

Les énergies d'oscillations de ces ondes, formant un spectre discret, sont multiples entiers de (h.ν(transmises par des phonons) où h =constante de Planck (6,62606876.10-34J-s)

et ν(Hz)= fréquence

 

QUANTUM d’ONDE ÉLASTIQUE

Un phonon (quantum) est associé à une production de vibrations de groupes d’atomes dans les réseaux cristallins

On distingue des phonons mécaniques, acoustiques, optiques....

-cas d'une onde représentant les déformations d’un réseau cristallin

Exemple d'une onde élastique progressive dans un réseau de corps cristallin

E= h.f.(np+ J/2)

h(J-s)= action de phonon (créé quand il y a perturbation thermique des atomes)

f (Hz)= fréquence de la vibration élastique, J le nombre quantique et np=  le nombre de phonons



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