FORMULES de PHYSIQUE
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P2.ÉVOLUTION d'un PHÉNOMENE PÉRIODIQUE
-amortissement d'onde
Un amortissement est l’évolution d’un phénomène vibratoire, survenant quand il n’est plus énergétiquement entretenu. Alors il subit une diminution d’énergie (par exemple énergie cinétique perdue par frottement -ou énergie perdue en effet Joule, etc...), d’où diminution de l’amplitude de l’onde porteuse
Il est spécifié à travers :
UNE CONSTANTE (ou COEFFICIENT) d’AMORTISSEMENT
c'est une variation de la fréquence (symbole fa et dimension T -1)
UNE CONSTANTE de TEMPS
C'est l'inverse de la constante d'amortissement, donc c'est la durée d’amortissement d’un phénomène périodique
Equation de dimensions : T Symbole de désignation : t0 Unité = seconde(s)
UNE PSEUDO-PÉRIODE
C'estts , la variation de la structure de sa période
UN FACTEUR de QUALITÉ
C'est F’q , le rapport -non dimensionnel- exprimant l’évolution énergétique comparative du système
UN FACTEUR d’AMORTISSEMENT
C'est F’s (dit aussi degré d’amortissement), qui est l’inverse de F’q ci-dessus
L'AMORTISSEMENT PROPREMENT DIT
Tout système a une équation de trajectoire du genre :
m.γ + M*.v + W'd.l = 0
où m(kg)= masse
γ(m/s²)= accélération
v(m/s)= vitesse
W'd(kg/s²)= constante de rappel
M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux
Si le frottement (donc l’amortissement) est faible, la solution (équation du déplacement de faible envergure autour de l’équilibre) est
l = e-ωt/ θ .lA.sin(ωt + φ)
où lA(m)= amplitude de l’oscillation
f(s-1)= fréquence
θ(rad)= angle plan de rotation (et ω = vitesse angulaire, en rad/s)
φ(rad)= angle de phase d’origine
S'il y a amortissement:
θ / ω = to (constante de temps) et lé = e-to.lA.sin(ωt + φ) : c’est une fonction sinusoïdale exponentielle amortie et l’élongation lA oscille
L’amortissement est dit "critique" quand le régime initialement oscillatoire devient apériodique
-atténuation d'une onde
L'atténuation d'une onde est la notion traduisant la diminution de l’énergie de l'onde, pendant son parcours dans un milieu
Synonyme = Affaiblissement
L’atténuation est appréhendée à travers les grandeurs ci-après
LE COEFFICIENT D'ATTÉNUATION LINÉAIRE
Synonymes : coefficient d'atténuation linéique etcoefficient d’affaiblissement
Equation de dimensions structurelles : L-1 Symbole : Jb Unité S.I.+ : m-1
Il intervient dans la comparaison des énergies (ou éventuellement des flux ou des impédances) en fonction de l’épaisseur (l) traversée, selon la relation :
Er = Eé.i*d
Eret Eé(J)= énergies respectivement reçue et émise
i*d= cosθ .exp(-Jb.l) est nommé coefficient de directivité
l(m)= distance entre émission et réception (éventuellement profondeur)
θ est l'angle d'émission
Jb(m-1)= coefficient d’atténuation (ou d’affaiblissement) qui est Jb= ρ'.Zé / f
ρ'(kg/m3)= masse volumique du milieu
f(Hz)= fréquence de l’onde
Zé(m²/kg-s)= impédance énergétique
LE FACTEUR d'ATTÉNUATION ACOUSTIQUE
ou FACTEUR d'AFFAIBLISSEMENT ACOUSTIQUE(F'a)
C'est F’a= (P'1/ P'0) = rapport entre les intensités (ou puissances) acoustiques avant et après l’affaiblissement
LE NIVEAU D'ATTÉNUATION
C'est la comparaison logarithmique du facteur
Pour un appareil -par exemple un transducteur (appareil servant à transformer un type d’énergie en un autre type, comme un quartz piézo-électrique) la comparaison est faite entre l’énergie mécanique et l’énergie électrique résultante
Comme ces énergies (ou puissances) sont à des échelles très variables, il y a nécessité de prendre des notions logarithmiques
On compare donc ici logarithmiquement les variations des énergies avant et après la transformation .
Unité: le Bel qui est, par définition, le logarithme (base 10) du rapport entre 2 puissances (ou 2 puissances surfaciques ou 2 énergies)
-l'atténuation linéique est un niveau (ci-dessus) ramené à l'épaisseur du matériau traversé .
Elle est exprimée en Bel par mètre (ou éventuellement en dB/km)
Exemple pour le verre, c'est # 5.103 dB/km
LA COUCHE DE DEMI-ATTÉNUATIONconcerne un corps qui, interposé sur le trajet d'un rayonnement, en réduit l’effet de 50% .
On l’exprime en kg/m² (c'est une masse surfacique)
-battement
Un battement est un mouvement oscillant lent, quand 2 oscillations de fréquences voisines sont superposées
Si leur amplitude est lA et leurs fréquences angulaires voisines :
(ω) d’une part et (ω +/- Δω) d’autre part, le battement est caractérisé par
lé = 2lA. cos Δω.t.sin2ωt (c’est une vibration modulée en amplitude, de vitesse
angulaire Δω)
La période du battement est tp = 2∏.f / Δω où f (Hz)= fréquence d’oscillation et Δω(rad/s)= écart entre les vitesses angulaires
-cambrure
La cambrure est un paramètre (non dimensionnel) d'une onde, représentant le rapport entre l'élongation (hauteur) et la longueur d'onde = lA / λ
Cette notion est surtout utilisée pour les calculs de houle
La houle est un mouvement oscillatoire des eaux de surface de la mer, sous l'influence des forces de frottement créées par le vent
La cambrure critique est la valeur de cambrure qui déclenche un déferlement en arrivant sur un rivage
Cette valeur est 0,142 pour une hauteur d'eau infinie
Elle s'amoindrit un peu, pour des profondeurs plus faibles
-différence de marche
Une différence de marche est la différence du chemin parcouru par 2 ondes pendant 1 période
Δl = Δφ / T*0
Δl(m)= différence de marche
Δφ (rad)= variation de déphasage
T*0(rad/m)= NOMBRE d’onde
CAS des LAMES à FACES PARALLÈLES MINCES en OPTIQUE :
Δl = 2lé.(n*²- sin²θ)1/2+ (2n +1).λ/ 2
Δl(m)= différence de marche (ou différence de chemin optique)
lé(m)= épaisseur de la lame mince
θ(rad)= angle d’incidence par rapport à la normale
λ(m)= longueur d’onde
n*(nombre)= indice de réfraction de la lame
n= nombre entier variable de -1 à + 6 (cause des interférences soit constructives soit destructives)
-diffraction d'onde
La diffraction est le phénomène de réémission à partir d’un point d’une surface matérielle, choqué par une onde et qui devient réémetteur d’une autre onde élémentaire, en créant interférence avec l’onde primitive
Souvent les obstacles gênant les ondes sont des ouvertures étroites (diaphragmes).
Cette réémission implique soit de la réflexion, soit de la réfraction
DIFFRACTION STRICTO SENSU
La diffraction est une puissance spatiale
On la nomme intensité lumineuse quand elle concerne les phénomènes où la lumière est transmise (entre production et réception)
Equation aux dimensions : L2.M.T-3.A-1 Symbole : P’d
Unité S.I.+: W/sr et pour la lumière la candela(cd)
Les formules ci-dessous concernent la lumière, mais elles sont applicables aux ondes électromagnétiques de fréquences différentes (rayons X, thermiques, ...) seules les unités changent
-cas d'un faisceau de rayons parallèles
>>> s'il passe près d’un bord d’écran (cas de Fresnel)
la courbe de diffraction (intensité lumineuse en fonction de la distance au bord et recueillie sur un plan normal à l’onde) est de type ondulatoire amorti
>>> s'il passe par un diaphragme (fente) de section rectangulaire peu large (cas de Fraunholer) et à bonne distance du plan de réception, l'intensité lumineuse est de type ondulatoire amorti, avec pic au centre
P’d = P’i.sin² φ
P’d et P’i(cd)= intensités lumineuses respectivement diffractée et incidente
φ(rad)= 2lf θ / λ avec lf(m)= largeur de fente, λ(m)= longueur d’onde et θ(rad)= angle de diffraction
(2lf / λ) est nommé nombre de Fresnel (nFr)
>>> s'il passe par un trou (circulaire)
La distance entre les 2 plans (objet & image) est égale à K.(lo / λ).(lo3 / λ)
où K est un nombre, l0 est l'ouverture, λ est la longueur d'onde (inférieure à l'ouverture) et on distingue 3 cas :
-
K.(lo / λ) est < 0,62
-
K.(lo / λ) est > 0,62 mais < à 2
-
K.(lo /λ) est > 2
>>> s'il passe dans un réseau plan :
P’d = P’i.(sin² φ1.sin².φ2) / sin² φ2
P’d et P’i(cd)= intensités lumineuses respectivement diffractée et incidente
φ1 (rad)= 2lf θ / λ et φ2(rad)= 2lé θ / λ
avec lf = largeur de fente, lé = constante de réseau
λ = longueur d’onde, θ = angle de diffraction
-cas d'un faisceau cônique de rayons divergents passant par un diaphragme circulaire quelconque
Après passage des rayons par ce diaphragme, l’image d’un point objet sur le récepteur forme une tache circulaire dégressivement lumineuse, entourée d’anneaux concentriques alternativement clairs et sombres, le tout avec dégradation d’éclairement vers les bords (figure dite disque d’Airy)
Pour 2 points-objets voisins, on obtient 2 zones-images (disques d’Airy) voisines; et si le maximum de luminosité de l’un des disques est superposé au minimum (de luminosité) le plus proche de lui sur le second disque d’Airy, l’angle θo du cône ayant pour sommet ce point et pour appui la circonférence du diaphragme est dit angle d’ouverture
-cas d'un cristal (loi de Bragg)
n.λ = 2 li.sinθ
où n(nombre)= ordre de la réflexion = nombre de plans réticulaires du réseau cristallin
(un plan réticulaire -qui peut être facial ou diagonal, contient divers nœuds)
λ(m)= longueur d’onde
li(m)= équidistance des plans réticulaires
θ(rad)= angle entre le plan incident recevant le rayonnement lumineux et le rayonnement lui-même ; donc θ(à cause du sinus) est < à 2 li / l
La constante de réseau lz (parfois appelée "pas") est la distance entre 2 éléments mitoyens du réseau (un réseau étant une trame de lignes ou points)
-cas d'un appareil optique
La diffraction est d’autant plus importante que le diamètre du diaphragme est plus proche de la longueur de l’onde ;le minimum de l’angle d’ouverture θo définit le pouvoir de résolution de l’appareil optique, qui est possible dès que
sinθo > 1,22 λ / ld c'est le critère de Rayleigh
θo(rad)= angle d’ouverture
λ(m)= longueur d’onde
ld(m)= diamètre du diaphragme
-la tache de diffraction est définie par son rayon linéaire (dimension L) et son rayon angulaire (dimension L.A-1)
PRINCIPE d’HUYGENS-FRESNEL
Un point de l’obstacle choqué par l’onde devient réémetteur d’une autre onde élémentaire de front sphérique, de même fréquence et d’amplitude proportionnelle à celle d’origine.
En outre, il y a interférences avec l’onde primitive.
L’équation d’onde est: ΨA= Ψo.∫[expx].dS
avec ΨA= équation d’onde en un point A de l’ondelette nouvelle
Ψo = équation d’onde en son origine
S(m²)= surface
x(exposant)= (j.K / l) avec l(m)= distance entre le point A et l’origine,
K(m)= cœfficient numérique
THÉORÈME de BABINET
La figure de diffraction issue par cause d'un obstacle opaque est la même que celle obtenue avec un obstacle "conjugué du premier dit"
-on entend par obstacle conjugué un corps qui est géométriquement négatif du premier (par ex. un trou en forme de croix de Lorraine dans une plaque sur le premier et une croix de Lorraine suspendue de même dimension, sur le second)
-dispersion d'onde dans matière
Le phénomène de dispersion exprime l'impact du milieu sur les paramètres de l'onde voyageant dans un milieu matériel (sauf acoustique, traitée par ailleurs)
DISPERSION stricto sensu
C'est le rapport entre une qualité relative du milieu où circule l'onde et la longueur d'onde
Equation de dimensions structurelles : L-1 Symbole de désignation Jd Unité S.I.+ : m-1
En milieu fluido-solide, c'est Jdf = (ρ'1 / ρ'2 ) / λ (rapport de masses volumiques sur longueur d'onde)
DISTANCE DE DISPERSION
C'est l'inverse de la dispersion
Equation de dimensions structurelles : L Symbole de désignation ld Unité S.I.+ : m
ld = 1 / Jd = vc / ν
où ld (m)= distance de dispersion
vc(m/s)= célérité de l'onde
ν(Hz)= fréquence d'onde
DISPERSION de MILIEU
Elle exprime la variabilité entre période et longueur d'onde
Equation de dimensions : L-1.T (inverse d’une vitesse) Symbole d'
Unité S.I.+ : s/m
-relation avec autre unité : 1 picoseconde par kilomètre vaut 10-15 s/m
-rappel de la relation de correspondance usuelle des vitesses dans une onde
vc – vg = vd où vc (m/s)= vitesse de phase, vg (m/s) = vitesse de l’onde globale, vd (m/s) = vitesse différentielle
-dispersion de milieu dite normale -cas usuel
--- dans les liquides et solides:
On a alors dvc / dλ > 0 avec vc > vg
La formule de Lorento donne la réfractivité :
yν = (n* -1) / (n* +1) / d
avec : n* (nombre)= indice de réfraction pour un corps
d(nombre)= densité (relative) du corps
yν= réfractivité (coefficient des propriétés chimico-physiques ambiantes)
---dispersion normale dans les gaz
Il s’agit de la variation de l’indice de réfraction en fonction de la densité du corps
Il en découle la formule de Gladstone-Dale
n* = yν.d +1 avec mêmes notations, mais l’indice n* ci-dessus est alors proche de l’unité
Valeurs pratiques de yν pour les gaz >>> Fréon(0,21)--Air(0,23)—C²H²(0,52)—H²(1,56)
La formule de Sellmeier (un peu complexe) donne -pour un milieu transparent- la relation entre l'indice n* et l'état ambiant (température, pression, nombre d’onde)
Pour une dispersion de milieu normale et s'il règne en outre un champ électrique E , la formule devient :
n* = σ / E.ε avec E(A/m-sr)= champ d'induction él.
σ(C/m²)= polarisation électrique
ε(F/m-sr)= constante diélectrique du milieu
-dispersion de milieu nulle c'est le cas du vide (pour les ondes électromagnétiques) On a alors dvc / dλ = 0
-dispersion de milieu anormale
On a alors dvc / dλ < 0
---dispersion anormale dans les liquides et solides: l’indice n* est tel que
n* = K1 + K2 / λ2 + K3 / λ4 +.. - (Kn.λ2) - (Kn+1.λ4) -.....) où les K indicés sont des coefficients numériques et λ la longueur d’onde
L'ARC EN CIEL est créé par la dispersion de milieu anormale (réfraction, liée à la réflexion sur gouttes d’eau)
Si cet arc est simple, il est sur un cône d’angle au sommet de 42° et l’angle de vue de son épaisseur est 1,5°
Par contre, s'il est doublé (avec arc secondaire) les angles ci-dessus deviennent 52° et 3° (les angles en question sont pris par rapport à l’axe soleil-observateur)
DISPERSION ENERGETIQUE
C'est une énergie >>> E = W'.V.Jd (énergie massique x volume x dispersion)
-dispersion d'onde en général
Le phénomène de dispersion exprime l'impact du milieu sur la certains paramètres d’une onde qui le traverse
Un milieu entraînant de la dispersion est dit milieu dispersif.
Le vide ne présente pas de dispersion
DISPERSION stricto sensu
C'est le rapport entre une qualité relative du milieu où circule l'onde et la longueur d'onde
Equation aux dimensions : L-1
Symbole de désignation Jd Unité S.I.+ : m-1
En optique, c'est Jdo = (n*1 / n*2) / λ (rapport d'indices sur longueur d'onde)
En acoustique, c'est Jda = (v1 / v2 ) / l (rapport de vitesses sur longueur d'onde)
En milieu fluido-solide, c'est Jdf = (ρ' 1 / ρ'2 ) / l (rapport de masses volumiques sur longueur d'onde)
La fluctuation de dispersion est l’intervalle entre les maxima et minima d’une dispersion
DISPERSION RELATIVE
C'est un rapport (sans dimension) entre 2 dispersions, du genre >>> (n*1 – n*2) / (n*3- n*4)
-coefficient de dispersion relative
c'est -pour une grandeur- le rapport (exprimé en %) entre une dispersion et une valeur étalon choisie
DISPERSION GEOMETRIQUE (ou de MILIEU)
Elle exprime la variabilité due à la fréquence ou à la longueur d'onde
Equation aux dimensions : L-1.T(inverse d’une vitesse) Symbole d' Unité S.I.+: s/m
-autre unité : 1 picoseconde par kilomètre = 10-15 s/m
d' = Jd / f
d' (s/m)= dispersion de milieu, Jn est la dispersion et f (Hz) la fréquence
Pour l'acoustique d' = tp / λ où λ(m)= longueur d’onde et tp(s)= période
Pour l'optique d' = aussi tp / λ mais comme par ailleurs
λ= n*.v / f , il vient d' = 1 / n*.vc (n* est l'indice et vc la célérité)
Pour la matière d' = aussi tp / λ mais comme par ailleurs
λ = W'.d' / v.ρ' , il vient d' = v / W'
-la dispersion géométrique angulaire est la même chose qu'un coefficient phénoménologique >>
c'est A (s/m-rad) = d' / θ
et aussi A = Jd /.ω
DISTANCE DE DISPERSION
C'est dimensionnellement inverse de la dispersion
Equation aux dimensions structurelles : L
Symbole de désignation ld Unité S.I.+ : m
ld = 1 / Jd = vc / ν
où ld (m)= distance de dispersion
vc(m/s)= célérité de l'onde
ν(Hz)= fréquence d'onde
ANGLE de DISPERSION (ou ANGLE DISPERSIF)
C'est l'angle entre la direction incidente et la direction de sortie d'un rayon dispersé précis
-dans un réseau la lumière se réfléchit dans plusieurs directions avec angles de dispersions calculables (spectre lumineux perturbé)
-dispersion en matière
Le phénomène de dispersion exprime l'impact d'un milieu fluido-solide sur les paramètres de l'onde qui y circule
(sauf la dispersion acoustique, traitée par ailleurs)
DISPERSION stricto sensu
C'est le rapport entre une qualité relative du milieu et la longueur d'onde
Equation de dimensions structurelles : L-1 Symbole de désignation Jd Unité S.I.+ : m-1
Sa définition est Jdf = (ρ'1 / ρ'2 ) / λ
C'est le (rapport de masses volumiques) sur (la longueur d'onde)
DISTANCE DE DISPERSION
C'est l'inverse de la dispersion
Equation de dimensions structurelles : L Symbole de désignation ld Unité S.I.+ : m
C'est ld= 1 / Jd= vc/ ν
où ld (m)= distance de dispersion
vc(m/s)= célérité de l'onde
ν(Hz)= fréquence d'onde
DISPERSION de MILIEU
Elle exprime la variabilité entre période et longueur d'onde
Equation de dimensions : L-1.T(inverse d’une vitesse)
Symbole d' Unité S.I.+: s/m
autre unité utilisée: 1 picoseconde par kilomètre, qui vaut 10-15 s/m
-rappel de la relation de correspondance usuelle des vitesses
dans une onde : vc – vg= vd
où vc(m/s)= vitesse de phase, vg(m/s) = vitesse de l’onde globale, vd(m/s) = vitesse différentielle
-dispersion de milieu dite normale(le cas usuel)
---dispersion dans les liquides et solides, on a alors dvc/ dλ > 0 avec vc > vg
La formule de Lorento donne la réfractivité :
yν= (n* -1) / (n* +1) / d
avec: n* (nombre)= indice de réfraction pour un corps
d(nombre)= densité (relative) du corps
yν= réfractivité (coefficient des propriétés chimico-physiques ambiantes)
---dispersion normale dans les gaz (il s’agit de la variation de l’indice de réfraction en fonction de la densité du corps)
Il en découle la formule de Gladstone-Dale
n* = yν.d +1 avec mêmes notations, mais l’indice n* ci-dessus est alors proche de l’unité
Valeurs pratiques de yν pour les gaz >>> Fréon(0,21)--Air(0,23)—C²H²(0,52)—H²(1,56)
La formule de Sellmeier (un peu complexe) donne -pour un milieu transparent- la relation entre l'indice n* et l'état ambiant (température, pression, nombre d’onde)
Pour une dispersion normale de milieu où il règne en outre un champ électrique E, la formule devient n* =σ/ E.ε
avec E(A/m-sr)= champ d'induction électrique
σ(C/m²)=polarisation électrique
ε(F/m-sr)= constante diélectrique du milieu
-dispersion de milieu est nulle dans le cas du vide (pour les ondes électromagnétiques) On a alors dvc/ dλ = 0
-dispersion de milieu anormale
On a alors dvc/ dλ < 0
---dispersion anormale dans les liquides et solides: l’indice n* est tel que
n* = K1+ K2/ λ2+ K3/ λ4+.. - (Kn.λ2) - (Kn+1.λ4) -.....) où les K indicés sont des coefficients numériques et λ la longueur d’onde
L'ARC EN CIEL est créé par la dispersion de milieu anormale (réfraction, liée à la réflexion sur gouttes d’eau)
Si cet arc est simple, il est sur un cône d’angle au sommet de 42° et l’angle de vue de son épaisseur est 1,5°
Par contre, s'il est doublé (avec arc secondaire) les angles ci-dessus deviennent 52° et 3° (les angles en question sont pris par rapport à l’axe soleil-observateur)
DISPERSION ENERGETIQUE
C'est Jd, telle que Jd = W'.V/ E (W' = énergie massique, V= volume)
-distorsion (en général)
La distorsion est une déformation multiple d’un phénomène périodique, au cours de sa traversée d’un milieu.
TYPES de DISTORSIONS
Comme les causes sont variées, on distingue:
La distorsion linéaire (ou de fréquence)
le rapport des amplitudes (sortie et entrée) dépend alors de la fréquence.
La distorsion de phase est la variation de la phase mais dépend aussi de la fréquence
La distorsion d’amplitude
le rapport des amplitudes dépend (est fonction de) l’amplitude d’entrée
La distorsion harmonique(ou non linéaire)
la fréquence de sortie est ici différente de la fréquence d’entrée
La distorsion d'une grandeur électrique sinusoïdale
intéresse la tension ou le courant électrique alternatif Voir ces chapitres
flux de DISTORSION
C’est une notion ambiguë, qui indique l’importance des diverses distorsions d’une onde envers sa forme sinusoïdale (lmais ce n'est pas un flux, au sens propre)
Le FACTEUR de DISTORSION
indique le défaut de proportionnalité entre le signal de sortie et le signal d'entrée
F’x = S [(Asx.fx)²]1/2/ Ae²
avec F’x(s/m)= facteur de distorsion
As et Ae(m)= amplitudes respectivement de sortie et d’entrée
x = indice de la position
f(Hz)= fréquence
DISTANCE PHOTOMÉTRIQUE
Les émetteurs lumineux donnent en général des ondes à front sphérique et les récepteurs sont au contraire souvent plans d’où une distorsion des phénomènes récepteurs.
Pour conserver une validité des mesures, on estime que la distorsion ne doit pas dépasser 2%.
En optique, cela est possible pour une distance d'objet suffisamment grande.
Cette distance, dite "photométrique" est de l’ordre de 10 fois la largeur du récepteur
-effet Doppler Fizeau
L'effet Doppler Fizeau exprime les relations entre fréquences et vitesses des sons: un observateur en déplacement par rapport à une source sonore, perçoit les sons à une fréquence différente de celle d’émission
Si fs et f0 (Hz) sont respectivement la fréquence de la source et celle perçue par l’observateur, si vs , vo et vc(m/s) sont respectivement la vitesse de la source, la vitesse de l’observateur et celle de la phase de l'onde:
1.pour une source de sons qui s’éloigne d’un récepteur-observateur fixe
fo = fs / (1 + vs / vc )
2.pour une source de sons qui s'approche d’un récepteur-observateur fixe
fo = fs / (1 - vs / vc )
3.pour un observateur qui s’éloigne d’une source sonique fixe
fo = fs (1 - vo / vc )
4.pour un observateur qui se rapproche d’une source sonique fixe
fo = fs (1 + vo / vc )
-élasticité pour une onde
L'élasticité d'une onde caractérise une onde qui retrouve sa structure après cessation d’une cause perturbatrice
ONDE ÉLASTIQUE
Les vibrations -autour de leurs positions d’équilibre- des atomes sis aux nœuds d’un réseau, créent des déformations qui se propagent comme une onde, dite élastique, dont l’élongation est lé = ex
avec x(exposant)= j.(Jé.lr – ν.t) où j(opérateur)= symbole imaginaire, Jé(m-1)= vecteur d’onde, lr(m)= rayon, ν(s-1)= fréquence et t(s)= temps
Pour l’un de ces atomes de réseau, l’équation de mouvement
(équation d’onde) est m’.d²l0 / dt² -Σli.W’.NA
avec m’(kg/mol)= masse molaire
l0(m)= élongation dans un plan 0 choisi d’un réseau
t(s)= temps
W’(kg/s²)= constante de rappel (dite ici "élastique")
NA(mol-1)= constante d’Avogadro (6,02214 mol-1)
li(m)= chacune des élongations des plans réticulaires de rang i par rapport au plan 0 choisi (un plan réticulaire insère divers nœuds)
Les énergies d'oscillations de ces ondes, formant un spectre discret, sont multiples entiers de (h.ν) (transmises par des phonons) où h =constante de Planck (6,62606876.10-34J-s)
et ν(Hz)= fréquence
QUANTUM d’ONDE ÉLASTIQUE
Un phonon (quantum) est associé à une production de vibrations de groupes d’atomes dans les réseaux cristallins
On distingue des phonons mécaniques, acoustiques, optiques....
-cas d'une onde représentant les déformations d’un réseau cristallin
Exemple d'une onde élastique progressive dans un réseau de corps cristallin
Ea = h.f.(np+ J/2)
h(J-s)= action de phonon (créé quand il y a perturbation thermique des atomes)
f (Hz)= fréquence de la vibration élastique, J le nombre quantique et np= le nombre de phonons