P1.CRÉATION d'une ONDE

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-amplitude d'une onde

L'amplitude d'un phénomène ondulatoire est l’écart maximal atteint par une variable de l’oscillation , cette variable pouvant être une longueur (en cas de marée ou de ressort...) ou bien une intensité (en électricité), ou bien une vitesse...etc

ONDE à EQUATION SINUSOÏDALE

lé = lA.sin(ωt + φ )

avec lé(m)= élongation au temps t(s)

 ω(rad/s= vitesse angulaire

φ(rad)= angle de déphasage

lA(m)= amplitude -ici une longueur- qui est l'extrêmum de l'élongation (quand le sinus = - 1 ou +1 )

 

Un ventre est le point où l'amplitude lA est maximale (Ex: le point bas d'un pendule, ou certains points d'une corde quand lA est maxi, ou bien l'extrémité d'un diapason...)

Un noeud est le point où l'amplitude lA est minimale (Ex: le point d'attache d'un pendule, ou bien les points d'une corde quand il n'y a plus d'amplitude latérale...)

Le décrément d'oscillation est le rapport : amplitude maximale d’une oscillation / amplitude maximale de l’oscillation précédente

Le facteur de réflexion en amplitude F’0 désigne le rapport entre l’amplitude de l’onde "aller" et celle de l’onde "retour"

La distorsion d’amplitude existe quand le rapport des amplitudes dépend de (est fonction de) l’amplitude d’entrée

La modulation d'amplitude (A.M) est une variation faible de l’amplitude de l’onde porteuse (Exemple: pour les ondes électromagnétiques)

D'une façon générale, si l’onde porteuse est   x0 = lA0.sinθ0.   et si le signal à transmettre est aussi de structure sinusoïdale du type  x1 = lA1.sinω1.t ,  alors l’onde modulée en amplitude (A.M) sera  x = [lA0+ lA1.sinω0.t].[sinω1.t]

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-analyse de Fourier

Une oscillation périodique quelconque est représentable par une superposition d’oscillations  sinusoîdales

Cette opération (nommée décomposition) est effectuée sous un ensemble d'éléments dont chacun est un coefficient de Fourier

CES COEFFICIENTS SONT SOIT SINUSOÏDAUX,

du genre : l = (2 / tp)0t.lA.sin(nt)dt

SOIT COSINUSOÏDAUX ,

du genre : l = (2 / tp)0tlA.cos(n.ωt)dt

avec l(m)= élongation

lA(m)= amplitude

n= nombre entier (0,1,2,3,...)

ω(rad/s)= vitesse angulaire

t(s)= temps

tp(s)= période

Cette décomposition est nommée analyse de Fourier et sa représentation graphique est le spectre de Fourier

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-cambrure

La cambrure est un paramètre (non dimentionnel) d'une onde, représentant le rapport entre l'élongation (hauteur) et la longueur d'onde = lA / λ

Cette notion est surtout utilisée pour les calculs de houle

La houle est un mouvement oscillatoire des eaux de surface de la mer, sous l'influence des forces de frottement créées par le vent

La cambrure critique est la valeur de cambrure qui déclenche un déferlement en arrivant sur un rivage

Cette valeur est 0,142 pour une hauteur d'eau infinie

Elle s'amoindrit un peu, pour des profondeurs plus faibles

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-cohérence pour les ondes

La cohérence est la qualité commune de choses qui sont liées

COHÉRENCE D'ONDES

Des ondes sont cohérentes si certaines de leurs caractéristiques sont identiques (fréquences, phases....)

Par exemple, un émetteur lumineux est cohérent si, depuis plusieurs points de sa surface émettrice, on constate des égalités de fréquence, de phase et autres

Le soleil n'est pas cohérent (sa surface n'émet pas le même type d'onde en chaque point), une lampe à incandescence non plus

Mais un laser est cohérent

Des ondes incohérentes, entraînent des interférences

La cohérence d'une source implique la production d'interférences stables

Par exemple, une source lumineuse, constituée de divers éléments qui émettent chacun, en indépendance, des ondes de caractéristiques différentes n'est pas cohérente (les éléments peuvent par exemple avoir des fréquences différentes ou bien une polarisation entre eux)

Cette cohérence peut ne concerner que certains paramètres de l’onde



LONGUEUR de COHÉRENCE

La longueur de cohérence est λ(m)= (longueur moyenne d’un groupe d’ondes) permettant de réaliser une cohérence  λ = v/ f

avec : vg(m/s)= vitesse de groupe

f(Hz)= fréquence d’émission du groupe d’ondes

 

Valeurs pratiques de longueurs de cohérence (en mètre):

soleil(10-6 pour fréquence moyenne)--

lampe à vapeur de Hg ou de Na(10-3)--

lampe spectrale(10-1 si fréquence f de 5.109 Hz)--

laser(1 à 150 pour une f de 106 Hz)

 

TEMPS de COHÉRENCE

Si test le temps de cohérence (inverse de la fréquence de l'onde) et si Δt est la différence entre 2 instants successifs >>>

quand Δt < t0  la différence de phase  Δφ entre lesdits instants est constante

 

PHASE en COHÉRENCE

Si les phases de 2 ondes sont du genre sinusoïdal et que la différence de ces phases est indépendante du temps, elles sont cohérentes

 

 

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-déphasage

Le déphasage (terme utilisé pour une onde) est tiré de l'

EQUATION d'une ONDE SINUSOÏDALE à partir de l'ELONGATION

lé = lA.sin(ωt + φ) >>> la phase est l’expression (ωt + φ) et l'angle φ est nommé "déphasage"

L'onde en ωt et celle en (ωt + φ) sont similaires, mais décalées en trajectoire.

>> Si φ = 0 rad, les 2 ondes sont en phase.

>> Si φ = ( /2) rad, les 2 ondes sont en quadrature (décalées d'un quart de longueur d'onde)

>> Si φ = rad, les 2 ondes sont en opposition de phase

 

EQUATION d'une ONDE SINUSOÏDALE à partir de l'ANGLE

θp = (ωt -T*0.lA + φ)    où ω(rad/s)= vitesse angulaire

T*0(rad/m)= NOMBRE (ou vecteur)d’onde

lA(m)= amplitude

φ(rad)= (constante de) déphasage

 

CAS PARTICULIER du COURANT ELECTRIQUE ALTERNATIF

Le déphasage φ est la différence angulaire entre l'équation sinusoïdale de la tension et celle du courant (intensité)

i1 = i0.cos(ωt - φ)   mais U1 = U0.cos(ωt) 

où i1(A)= intensité au temps t(s) et i0(A)= intensité au temps initial

U(V) est la tension

ω(rad/s)= vitesse angulaire

φ(rad)= (angle de) déphasage du courant

 

Cas de l'angle de déphasage pour un circuit comportant des résistances R et des selfs L:

tgφ = (L.f) / R     et    cosφ = R / (R² + L².f²)1/2

où φ(rad)= angle de déphasage

et cosφ = facteur de puissance (ou mieux facteur de déplacement)

où f(Hz)= fréquence du courant sinusoïdal alternatif

(L.f ) (en Ohms)= capacitance

R(Ω)= résistance

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-différence de marche

DIFFÉRENCE DE MARCHE

Une différence de marche est la différence du chemin parcouru par 2 ondes pendant 1 période

Δl = Δφ/ T*0

Δl(m)= différence de marche

Δφ (rad)= variation de déphasage

T*0(rad/m)= NOMBRE d’onde

 

CAS des LAMES à FACES PARALLÈLES MINCES en OPTIQUE :

Δl = 2lé.(n*²- sin²θ)1/2 + (2n +1).λ/ 2

Δl(m)= différence de marche

lé(m)= épaisseur de la lame mince

θ(rad)= angle d’incidence par rapport à la normale

λ(m)= longueur d’onde

n*(nombre)= indice de réfraction de la lame

n = nombre entier variable de -1 à + 6 (cause des interférences soit constructives soit destructives)

 

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-directivité

La directivité exprime l’importance de la direction d'une onde, pour définir certaines qualités de ladite onde émise par une source (surtout en acoustique)

Voir Directivité en acoustique et Directivité en lumière

 

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-élongation d'onde

L'élongation d'onde est la distance d’évolution d’un point autour de sa position d’équilibre.

Si l'onde est régulière (sinusoïdale par exemple) l'élongation est :

lé = lA.sin(ωt + φ)

où lé(m)= élongation (abscisse) au temps t(s), pour une onde d’amplitude lA(m)

ω(rad/s)= vitesse angulaire

φ(rad)= angle de déphasage

L'amplitude est l’extremum de l’élongation (quand le sinus ci-dessus vaut -1 ou +1)

 

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-équation et fonction d'onde

L'équation d'onde est la relation pérenne qui existe dans tout phénomène de nature ondulatoire à savoir

Δ= d²/ δt².vc²)

Y(fonction entre autres de la longueur et du temps) est la fonction d'onde , t est le temps et vc la célérité

Une fonction d’onde est donc une formule décrivant tous les éléments d’information sur l’état d’une grandeur ondulatoire

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-fonction d'onde

Une fonction d’onde est une fonction décrivant par une formule, tous les éléments d’information sur l’état d’une grandeur

ÉQUATION d'ONDE

Dans tous les phénomènes ondulatoires, on constate la pérennité de la

relation  Δψ = (δ² ψ / δt².v ²)

C'est une équation d'onde ψ est dénommée fonction d'onde

(t et v étant le temps et la vitesse)

Δ(m-2)= Laplacien, c’est à dire la somme des dérivées secondes par rapport à chaque coordonnée

 

Selon la nature de la grandeur ψ  cette équation d'onde prend une présentation différente, dont les cas usuels sont :

 

CAS où  Ψ EST une LONGUEUR (DONC Ψ INDÉPENDANTE du TEMPS)

-pour une onde qui se propage dans les 3 directions géométriques 

[δ²ψ / δlx² + δ²ψ / δly² + δ²Ψ / δlz²] - (δ²Ψ / δt².vc²) = 0

avec ψ (l)= fonction d’onde

l(m)= position de la particule sur la trajectoire où lx ly lz (m)= ses 3 coordonnées dans l’espace

t(s)= temps

vc(m/s)= vitesse constante de l’onde (> 0). vc est égale à c (constante d’Einstein) pour les ondes électromagnétiques

-cas particulier d’une particule libre voir chapître spécial

-cas macroscopique d'équation d'onde (mécanique standard)ψ est une longueur

C'est l'équation d’onde d’une charge massique élastiquement liée et elle exprime le déplacement d’une masse soumise à une oscillation (accrochée à 1 pendule, à 1 ressort...)

ψ = l (longueur)       d’où Δ= l.cos (ωt +φ) / (vc².t²)    et cela devient  

l = lA.cos (ωt +φ) l'équation usuelle d'une oscillation

-cas macroscopique d'équation d’onde (mécanique standard) pour une masse accrochée à une corde.

Le déplacement impliqué dans la fonction d’onde ψ est alors limité à une seule direction lz

δ²ψ/ δlz² = ρ'.δ²ψ / p.δt²    ρ' étant la masse volumique et p la contrainte

-cas macroscopique d'équation d'onde (mécanique standard) pour une masse attachée à 4 ressorts en croix.

Il y a 2 équations du mouvement : 

l’une pour l’axe des x (abscisses)   lx= lA1.cos(ω1.t +φ1)

et l’autre pour l’axe des y (ordonnées) :  ly= lA2.cos(ω2.t + φ2.)

 

CAS où Ψ EST DIFFÉRENTE d'une LONGUEUR

1))-la fonction d’onde peut être un temps donc Ψ= t (temps)

2))-la fonction d’onde peut être une accélération, alors Ψ = γ d’où l'équation d'onde ci-après  (Δγ = F/ m.vc². t²) 

et cela se traduit sous forme usuelle par >>> l'équation de d'Alembert  = m.γ

où vc(m/s) est la célérité, γ(m/s²) le potentiel gravitationnel (ou accélération), t est le temps et F la force

3))-la fonction d'onde peut être une capacité (électrique) C, l'équation devient

(Δt = C.R / vc². t²) et on a la relation classique C.R = 1 / f (f est la fréquence et R la résistance)

4))-la fonction d’onde peut être Ψ = p’(flux massique de chaleur) d’où l'équation d'onde

Δp’= f*.grad.T / m.vc².t²   et on reconnaît l'équation de Fourier, qui s'écrit aussi :

p*= -c*.grad T    où f*(W-m/K)= résistivité thermique

p*t(W/m²)= densité de flux (ou flux surfacique) de chaleur (énergie thermique)

T(K)= température et c*(W/m-K )= conductibilité thermique

5))-la fonction d’onde (en électricité) peut concerner Ψ = E(champ d’induction électrique) d'où   ΔE - ε0.μ0.δ²E / δt²) = 0

où εest la permittivité du vide, μla perméabilité du vide, t le temps et Δ le Laplacien

6))-et en magnétisme, c'est Ψ = B(champ d’induction magnétique) d’où

ΔB - ε0.μ0.δ²B / δt²)= 0

 

RÉDUCTION de la FONCTION D'ONDE

Pour les particules, l'incertitude de Heisenberg indique l'impossibilité, lors de mesures, de connaître précisément et simultanément 2 paramètres canoniques concernant une particule.

On suppute que c'est dû à l'invasivité des appareils de mesure sur les composants infiniment petits -et donc infiniment sensibles- de la particule observée.

On a donc, par exemple dans l'énergie (h.ν) :

ou bien E (l'énergie) mesurée avec certitude, mais ν(la fréquence) est impossible à mesurer avec certitude

ou bien-- réciproquement-- ν(la fréquence) est mesurée avec certitude, mais la mesure de E est incertaine

D'où : h < à  ΔE / Δν 
Cette incertitude sur les mesures peut aussi concerner la mesure sur la position (l) jointe à la mesure sur la quantité de mouvement (Q') (et alors h < à ΔQ'/ Δl)

On dénomme cela la "réduction" de la fonction d'onde de la particule

 

PAQUET d'ONDES

C'est un ensemble de fonctions d'onde de particules

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-fréquences pour une ondes

Une fréquence -pour une onde- est la répétition (ou reproduction) de la vibration ondulatoire pendant l’unité de temps. C’est l’inverse de la période

Dimension de la fréquence  T-1    et unité le Hertz  (Hz) 

Le symbole est  ν pour les phénomènes particulaires et c'est  f  pour les autres fréquences

ν = v / λ= ω / θ = E / h

ν(Hz)= fréquence

ω(rad/s)= vitesse angulaire (dite aussi fréquence angulaire)

θ(rad)= angle de rotation (vaut 2rad si l’on est en système d’unités S.I.+)

E(J)= énergie

h(J-s)= action (pour particules c'est la constante de Planck = 6,62606876.10-34 J-s)

Fréquence fondamentale

Pour une oscillation (ou vibration) c'est la fréquence prise spontanément par le phénomène, s'il n'y a pas d'autre incidence de sollicitations extérieures ou complémentaires

ν = v / λ     où ν(Hz)= fréquence fondamentale, v(m/s)= vitesse de phase,

λ(m)= longueur d’onde

Fréquences harmoniques

Pour des ondes complexes, les fréquences harmoniques sont les fréquence multiples de la fondamentale

Fréquence intrinsèque (ou Broglienne)

C’est, pour une particule de masse m, la notion :

f = m.c².θ/ h

h= Dirac h = 1,0545716.10-34 J-s/rad

m(kg)= masse

c(m/s)= constante d'Einstein

θ(rad)= angle de rotation de la particule (en général 2∏ radians)

 

-bande de fréquence

Une bande est une zone de fréquences d’émission d’ondes (radio par exemple)

Idem pour bande de réception (zone de fréquence de réception) = gamme de fréquences comprises entre le mini et le maxi acceptés par l’antenne

Une bande passante (ou B.P.) pour un appareil électromécanique, est la plage de fréquences commençant à un minimum où le gain logarithmique de tension (γ*) doit être supérieur à un pourcentage arbitrairement défini de la valeur maxi dudit gain

 

-fréquence des ondes électromagnétiques

ν= E / h      ν(Hz)= fréquence du rayonnement portant une particule qui perd une énergie E(J)

h(J-s)= action de la particule (constante de Planck = 6,62606876.10-34 J-s)

Nota: il résulte de ci-dessus que h = E / ν   or h = m.v. λ (si λ = longueur d’onde et m = masse de la particule) Donc si v = c (vitesse de la lumière, pour une onde électromagnétique) λ est inversement proportionnelle à ν(fréquence)

Pour un photon, plus ν est élevée, plus sa longueur d’onde est courte et plus il est énergétique

 

-gamme de fréquences des ondes électromagnétiques:

Pour une onde électromagnétique, la vitesse v du corps(photon) est la même pour toutes les ondes (c’est la vitesse de la lumière dans le vide c) et ν= c / λ

Donc la fréquence est inversement proportionnelle à la longueur d’onde.Plus la fréquence ν est élevée, plus la longueur d’onde est courte

Valeurs pratiques de ν(en Hertz et par ordre croissant) :

>>> 3. à 3.10 Hz (ondes EBF ou ELF en anglais)

donc gamme de longueurs d’onde = 108 à 107 m

>>> 3.10 à 3.10² Hz (ondes SBF ou SLF en anglais)

donc gamme de longueurs d’onde = 107 à 106 m

>>> 3.102 à 3.103 Hz (ondes UBF ou ULF en anglais)

donc gamme de longueurs d’onde = 1million à 100.000 m

>>> 3.103 à 3.104 Hz (ondes TBF ou VLF en anglais)

donc gamme de longueurs d’onde = 100.000 à 10.000 m

>>> 3.104 à 3.105 (ondes BF ou LF en anglais ou grandes ondes radio)

gamme de longueurs d’onde de 10.000 à 1.000 m

>>> 3.105 à 3.106 (ondes MF ou petites ondes radio)

gamme de longueurs d’onde de 1.000 à 100 m

>>> 3.106 à 3.107 (ondes HF ,zone courtes radio)

donc gamme de longueurs d’onde de 100 à 10 m

>>> 3.107 à 3.108 (THF ou VHF en anglais ou F.M radio et télévision)

donc gamme de longueurs d’onde de 10 à 1 m

>>>3.108 à 3.109 (ondes UHF zone micro-ondes,maser,radar)

donc gamme de longueurs d’onde = 1 à 10-1 m

>>> 3.109 à 3.1010 (ondes SHF zone micro-ondes,radar,laser)

donc gamme de longueurs d’onde = 10-1 à 10-2 m

>>> 3.1010 à 3.1013(ondes EHF zone radar,laser,rayons T(Térahertz),infrarouge)

donc longueurs onde = 10-2 à 10-5 m

>>> 3.1013 à 3.1014 (zonelaser,infrarouge)

donc gamme de longueurs d’onde = 10-5 à 10-6 m

>>> 3.1014 à 8.1014 (zone lumière visible -laser)

donc gamme de longueurs d’onde # 10-6 à 4.10-7 m

pour le rouge(4,3 +/- 0,46.10-7m.)-- pour l'orange(4,9 +/- 0,1.10-7m.)--pour le jaune(5,1 +/- 0,1.10-7 m.)--pour le vert(5,6 +/- 0,45.10-7 m.)--

pour le bleu(6,3 +/- 0,25.10-7 m.)--pour l'indigo(6,9 +/- 0,3.10-7 m.)--pour le violet(7,5 +/- 0,3.10-7 m.)

Nota: les intervalles affectés à chacune de ces couleurs sont très inégaux (par exemple il y a 5 fois plus de place pour qualifier un rouge qu’un jaune).

>>> 8.1014 à 1015 (zone ultraviolet proche)

donc gamme de longueurs d’onde de 4.10-7 à 3.10-7 m

>>> 1015 à 1016 (zone ultraviolet lointain-dont court-)

donc gamme de longueurs d’onde = 3.10-7 à 3.10-8 m

>>> 1017 à 1019 (zone rayons X) d'où longueurs d’onde de 3.10-9 à 3.10-11 m

>>> au-delà de 1019 (zone rayons gamma) donc longueurs d’onde < 10-11 m

Les sources d'émissions cosmiques sont surtout le soleil, notre galaxie et les corps extragalactiques, toutes pouvant émettre dans n'importe quelle gamme des fréquences ci-dessus 

Si l’on accélère artificiellement les particules,les fréquences d’onde sont encore plus grandes (1020 à 1026)

 

-autres fréquences usuelles

courant alternatif en France(50)--fréquences audibles par l'oreille(2.101 à 4 Hz)-- ondes des téléphones portables(109)--

 

-fréquence de Larmor

Quand un champ d’induction magnétique extérieur Best appliqué à une particule aimantée et si ses moments magnétique et angulaire sont parallèles, il y a précession de l’aimantation autour de l’axe du champ B.

La fréquence de cette précession est telle que

fL= Q.B/ Z.m     ou  fL= 2γ'.H’/ Ω

avecfL(Hz)= fréquence de précession (dite de Larmor)

Z= numéro atomique(dit aussi "nombre de charge")

m et Q= masse(kg) et charge(C) de la particule

B(T)= champ d’induction magnétique uniforme extérieur

Ω(sr)= angle solide (vaut 4sr uniquement si le système d’unités a le stéradian comme unité)

H’(T-sr)= magnétisation

γ'(C/kg)= rapport gyromagnétique de la particule (= rapport Q/ m )

Cas de l’électron:fL= e.B/2mée(C) est la charge élémentaire(1,6021733.10-19C)

 

-calcul de la fréquence d'un émetteur de télévision:

f = n².ll/ 2.lh.t

avec f(Hz)= fréquence nécessaire pour l'émetteur

n(= nombre de lignes (d'exploration)

ll(m)= largeur de l'écran de télévision

lh(m)= hauteur de l'écran

t(s)= temps mis par le cerveau pour confondre 2 images consécutives

Exemple usuel en France: la définition n(625 lignes)--le poste T.V(57 x 43 cm)--t(1/25 seconde, cerveau moyen)--d'où f = (625)².57/ 2.(1/25).43 = 6,5.106Hz

Rappel: la DEFINITION (ou norme) d'un poste de télé. composante de la netteté de l'image, elle-même fonction du nombre de lignes verticales où se situent l'ensemble des points de brillance sur l'écran et la vitesse avec laquelle chacun de ces points est atteint pour en définir -à chaque passage- ladite brillance

 

-fréquence d'un rayonnement solaire

Formule permettant d'évaluer la fréquence d'un rayonnement issu du soleil en fonction de la zone solaire d'où elle est émise

ν= 9.(h*)1/2

avec ν

 

ν(Hz)= fréquence rayonnement

h*(part/m3)= densité volumique de particules (du plasma solaire de cette zone)

Exemple pour la chronosphère où la température est de l'ordre de 20.000 K et où h* vaut 1018part/m3 >>> ν est très voisin de 1010Hz

 

 

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