FONCTION D'ONDE dont Schrödinger

-fonction d'onde dont Schrödinger

FONCTION D’ONDE Ψ concernant les coordonnées d'une particule libre

Elle exprime la position (l)   Ψ = l.expx

où l’exposant x = j.(T*.l -ω.t) / θ

avec j = symbole imaginaire

T*(rad/m)= vecteur d’onde

ω(rad/s)= vitesse angulaire, θ(rad) = angle de rotation et t(s)= temps

Par ailleurs l’équation de Schrödinger (concernant l'état d'une particule) est

(h.δΨ) / j. δt + H.Ψ = 0        ou bien (h.θ.δΨ) / j.δt + (Q'm² / 2m + Ep)Ψ = 0

avec H(J)= HAMILTONIEN = Q'm² / 2m + Ep

Cette équation concerne l'onde porteuse de la particule, à la fois dans sa partie position (1° terme, qui est le quadrivecteur) et sa partie énergétique (2° terme, qui est l'énergie)

j est le symbole imaginaire, δ le symbole différentiel partiel

Q’(quantité de mouvement) = δh / δl

l(m) étant la position

h(J-s)= action (pour une particule, constante de Planck = 6,62606876.10-34 J-s)

h = moment cinétique quantifié, dit "Dirac h", valant 1,054.10-34J-s/rad

θ(rad)= angle de rotation (égal à 2 rad seulement si l’on est en unités S.I.+)

t(s)= temps

m(kg)= masse de la particule

Δ(m-2) est le Laplacien (c’est à dire = δ²/δx² + δ²/δy² + δ²/δz²  si x, y, z sont les coordonnées)

Ep(J)= potentiel d’énergie newtonienne auquel la particule est soumise

 

Schrödinger écrivit son équation en coordonnées sphériques (r, θ , φ ) sous la forme

(δ/δr)(r².δψ/δr) + δ²ψ/sin²θ.δφ²+ δ(sinθ.δφ /δθ)/(sinθ.δθ) + 

ψ.(8².μ.l²/h²) + Z.ε²/r  

 

-une fonction d’onde Ψ est antisymétrique si elle change de signe quand il y a simple échange de 2 particules de même nature

C'est le cas des fermions, particules ayant un spin égal à un nombre impair de fois 1/2 (ce 1/2 signifie que le moment cinétique interne est représenté par une demi-unité h)

La symétrie est perdue par le fait de cette imparité (spin fractionnaire)



LA FONCTION D'ONDE SERT à EXPRIMER la PROBABILITÉ de PRÉSENCE d'une PARTICULE en un LIEU

w = Σ∫(Ψ)².(dl)n/ dl(2+n)

où w(nombre) exprime la probabilité de présence d’une particule dans la (ou les) coordonnée(s) espérée(s) (l)

Ψ(ici longueur) est la fonction d’onde

nl(nombre) est le nombre de degrés de liberté de la particule

w = S(ψ)².(δl)n/ δ+n

où w(nombre) exprime la probabilité de présence d’une particule dans la (ou les) coordonnée(s) espérée(s) (l)

ψ(longueur) est la fonction d’onde

nl(nombre) est le nombre de degrés de liberté de la particule

Si n = 1, la probabilité sera de la trouver sur une ligne de coordonnée, si n= 2 de la trouver sur une surface et si n= 3, de la trouver dans un volume [w est alors égale à (Vp / Vt ) rapport entre Vp le volume occupé possible et Vt le volume total offert]

On a toujours (quel que soit le cas) w = 1, puisque la particule a toujours une présence obligatoire dans la zone de liberté qu'elle posséde et on nomme celà l'unitarité

 

CAS PARTICULIERS de l'ÉQUATION de SCHRÖDINGER

-équation de Klein-Gordon

C'est l'équation de Schröedinger en version relativiste

 h².δ2ψ/δt² = h².c².Δψ+ m².c4.ψ       mêmes notations que ci-dessus

En simplifiant cette équation, elle donne l'énergie E d'une particule neutre et libre, sous la forme : E² = Q'².c² + m².c4.

où Q' est la quantité de mouvement

 

-équation de Dirac (en mécanique quantique)

C'est la même que ci-dessus, mais pour des particules de spin = 1/2 (comme l'électron) 

d'où (j.h.δψ/ δt)= (m.c².M0+ c.Q'm.M1).ψ    

mêmes symboles que ci-dessus avec en outre : Met 1= matrices de Dirac

-onde de Bloch

C'est la fonction d'onde décrivant les états quantiques d'électrons soumis à un potentiel périodique

ψ = l.expi Kl    où l est un potentiel périodique (coordonnée périodique) et K = constante

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