FONCTION D'ONDE dont Schrödinger

-fonction d'onde dont Schrödinger

FONCTION D’ONDE Ψ concernant les coordonnées d'une particule libre

Elle exprime la position (l)   Ψ = l.expx

où l’exposant x = j.(T*.l -ω.t) / θ

avec j = symbole imaginaire

T*(rad/m)= vecteur d’onde

ω(rad/s)= vitesse angulaire, θ(rad) = angle de rotation et t(s)= temps

Par ailleurs l’équation de Schrödinger (concernant l'état d'une particule) est

(h.δΨ) / j. δt + H.Ψ = 0        ou bien (h.θ.δΨ) / j.δt + (Q'm² / 2m + Ep)Ψ = 0

avec H(J)= HAMILTONIEN = Q'm² / 2m + Ep

Cette équation concerne l'onde porteuse de la particule, à la fois dans sa partie position (1° terme, qui est le quadrivecteur) et sa partie énergétique (2° terme, qui est l'énergie)

j est le symbole imaginaire, δ le symbole el partiel

Q’(quantité de mouvement) = δh / δl

l(m) étant la position

h(J-s)= action (pour une particule, constante de Planck = 6,62606876.10-34 J-s)

h = moment cinétique quantifié, dit "Dirac h", valant 1,054.10-34J-s/rad

θ(rad)= angle de rotation (égal à 2∏ rad seulement si l’on est en unités S.I.+)

t(s)= temps

m(kg)= masse de la particule

Δ(m-2) est le Laplacien (c’est à dire = δ²/δx² + δ²/δy² + δ²/δz²  si x, y, z sont les coordonnées)

Ep(J)= potentiel d’énergie newtonienne auquel la particule est soumise

 

Schrödinger écrivit son équation en coordonnées sphériques (r, θ φ ) sous la forme (δ/δr)(r².δψ/δr) + δ²ψ/sin²θ.δφ²+ δ(sinθ.δφ /δθ)/(sinθ.δθ) + ψ.(8².μ.l²/h²) + Z.ε²/r  

 -une fonction d’onde Ψ est symétrique

si elle reste identique quand on l'applique à une autre particule similaire à la première. C'est le cas des bosons

-la fonction d'onde est antisymétrique si elle change de signe quand on l'applique à une autre particule, apparemment identique

C'est le cas des fermions, particules ayant un spin égal à un nombre impair de fois 1/2 (ce 1/2 signifie que le moment cinétique interne est représenté par une demi-unité h)

La symétrie est perdue par le fait de cette imparité (spin fractionnaire)

Ces particules ne peuvent donc pas être dans un état quantique similaire (principe d'exclusion de Pauli)

(toutefois, dans un cristal, sous l'influence d'un champ éléctromagnétique et à très faible température, il apparaît des paires de Cooper et ils se comportent alors comme des bosons)

 

LA FONCTION D'ONDE SERT à EXPRIMER la PROBABILITÉ de PRÉSENCE d'une PARTICULE en un LIEU

w = Σ∫(Ψ)².(dl)n/ dl(2+n)

où w(nombre) exprime la probabilité de présence d’une particule dans la (ou les) coordonnée(s) espérée(s) (l)

Ψ(ici longueur) est la fonction d’onde

nl(nombre) est le nombre de degrés de liberté de la particule

Si n = 1, la probabilité sera de la trouver sur une ligne de coordonnée, si n= 2 de la trouver sur une surface et si n= 3, de la trouver dans un volume [w est alors égale à (V/ V) rapport entre Vle volume occupé possible et Vle volume total offert]

On a toujours (quel que soit le cas) w = 1, puisque la particule a toujours une présence obligatoire dans la zone de liberté qu'elle posséde et on nomme celà l'unitarité

 

CAS PARTICULIERS de l'ÉQUATION de SCHRÖDINGER

---enversion relativiste, l'équation devient l'équation de Klein-Gordon  

h².δ2ψ/δt² = h².c².Δψ+ m².c.ψ       mêmes notations que ci-dessus

--en mécanique quantique, l'équation devient l'équation de Dirac

Elle s'applique pour des particules de spin = 1/2 (dont l'électron) 

soit (j.h.δψ/ δt)= (m.c².M0+ c.Q'm.M1).ψ    

mêmes symboles que ci-dessus avec en outre : Met= matrices de Dirac

--pour les états quantiques d'électrons soumis à un potentiel périodique, c'est

l'onde de Bloch   ψ = l.expiKl    où l est un potentiel ou une fonction périodique (par ex. une coordonnée, dans les cristaux) et K = constante

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