FORMULES de PHYSIQUE
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Q1.GÉNÉRALITÉS sur les PARTICULES
-albédo (pour neutrons)
L'albédo est utilisé en physique nucléaire, pour la réflexion des neutrons par une substance
C'est le rapport entre la (puissance incidente reçue par un corps) et la (puissance qu’il réfléchit)-
Cet albédo est de 0,35 en moyenne
-antimatière et antiparcules
ANTIMATIERE et ANTIPARTICULES
On désigne sous ces termes l’ensemble des antiparticules élémentaires ayant des propriétés symétriques de celles des particules élémentaires de même nom
Mais le terme d’antimatière est inapproprié car, si l’on peut comprendre ce que représente une symétrie de charge ou de parité, on ne peut pas comprendre ce que pourrait représenter une symétrie de la notion de masse ?
Il faut donc seulement parler d’antiparticules
CARACTERISTIQUES d'ANTIPARTICULES
-une antiparticule a une identité de masse avec la particule de référence
-elle a des nombres quantiques (de charges et de parité), de signes opposés à ceux de la particule référencée
L'ensemble (particule & antiparticule) est dénommé couple et il est symbolisé (p) et (?)
La théorie quantique des champs (dite Q.F.T): étudie des champs où apparaissent des créations et des annihilations de particules
-l’annihilation (ou dématérialisation) est l'avenir normal d’une antiparticule rencontrant sa particule similaire, leurs énergies étant oppositionnellement cumulatives
L'annihilation se traduit en un temps très court (~ 10-8 s) sous la forme d'une émission énergétique E = 2m.c² (m étant la masse de chaque particule/antiparticule et c la constante d'Einstein valant 2,99792458 .108 m/s)
Une annihilation développe une énergie phénoménale (~1020J par kilo de matière)
Réciproquement, si un photon dispose d’une énergie suffisante Es(dite de seuil) il peut créer une paire (particule + antiparticule)
Exemple du couple proton-antiproton, l'énergie de seuil est
Es # 2.940 MeV (soit 4,7.10-10 J)
Exemple du couple électron-positron, Es = 1022 keV- soit # 1,7.10-13 Joule
Certaines particules sont leurs propres antiparticules, comme les photons (cette propriété des photons a des conséquences importantes, car elle rend difficile la détection d'hypothétiques objets antiparticulaires.
Le positronium (Ps) est le nom d'une molécule constituée de deux atomes formés l’un de particules et l’autre d'antiparticules. Cette molécule a été fabriquée artificiellement et
la cohabitation atomique est possible pendant une fraction de seconde avant l'inévitable annihilation
Des couples (p) et (?) peuvent toutefois se cotoyer sans annihilation s'ils sont inclus dans des structures comme les quarks où la force forte est suffisamment puissante (à ces courtes distances) pour qu'elles ne puissent s'approcher suffisamment pour réagir
La quasi absence d'antiparticules à l'état naturel serait due à une brisure de symétrie (mal définie) aux premiers temps de l'univers
PRINCIPALES PARTICULES AYANT des ANTIPARTICULES
Leurs nombres quantiques sont donnés ci-après, avec les notations suivantes :
Q est le nombre pour la charge électrique, B est le nombre baryonique et L le nombre leptonique:
quark q (Q = +/- 1/3 ou 2/3)
neutron n (Q = 0, B = +1, L = 0)
proton p (Q = +1, B = +1, L = 0)
électron e (Q = -1, B = 0, L = +1)
neutrino ν (Q = 0, B = 0, L = +1)
pion∏ (Q = +1, ou 0 ou -1, selon que le pion est ∏ +, ∏° ou ∏ - et B = 0, L = 0)
Certaines particules (baryons, mésons, neutrinos) sont réputées être formées d'assemblages de (particule + antiparticule) : c'est évidemment pour une période fugace.…
-condensat particulaire
Un condensat de particules
est un ensemble de bosons-hadrons (donc à spin entier, comme les mésons, pions kaons...) dont un petit pourcentage passe en état de faible énergie, dès que baisse fortement la température
CONDENSAT de BOSE-EINSTEIN
C'est un ensemble d’atomes ou de molécules qui –quand la température est proche du zéro absolu-- entre en résonance pour qu’il n’y ait plus qu’une seule onde exprimée dans leur oscillation (leur longueur d’onde est alors plus grande que la distance moyenne qui les sépare)
-TEMPÉRATURE d'APPARITION du CONDENSAT
T = (0,3828 nxB)2/3.(2h² / Ω.m.k)
k = constante de Boltzmann (1,3806503. 10-23 J / K)
Ω(sr)= angle solide (4p stéradians en général)
nxB = nombre de bosons existant en l’état condensé "x" (C'est de l'ordre de quelques %)
m(kg)= masse d'un boson
h(6,62606876.10-34 J-s)= constante de Planck
-LA STATISTIQUE de BOSE-EINSTEIN
Elle donne le pourcentage de particules obéissant à ce changement d'état énergétique :
nxB = (2S +1 ) / [exp(U – Wi / k.T)- 1]
S= nombre quantique de spin de ces particules (nombre identique pour toutes)
U et Wi(J)= énergies interne et chimique à l’état "x"
k(J/K)= constante de Boltzmann (1,3806503. 10-23 J / K)
T(K)= température absolue
-ladite statistique redevient de Maxwell-Boltzmann dès qu’on retrouve une haute température
-constante de Planck
La grandeur "action" souligne l'importance active de la vitesse dans un mouvement
L'action est le produit >>> (force x vitesse)
C'est aussi un moment d'impulsion >>> distance x impulsion
C'est en outre une énergie temporelle >>> énergie x temps
La mesure d'une action, pour une particule, ne peut s’appréhender que par multiples d’une quantité unitaire insécable (dite quantum d’action) ou dite >>
CONSTANTE de PLANCK (symbole h)
1 quantum d'action, la constante de Planck (h) est une unité dont la valeur est
6,626 068.10-34 Joule-seconde (J-s)
1 autre unité d'action est l'électronvolt-seconde (eV-s) qui vaut 2,42.1014 fois (h) c'est à dire 1,602 176 462 10-19 J-s
h = E / ν où E(J) est l’énergie de la particule ayant fréquence de rayonnement ν(Hz)
Ce quantum d'action est le produit (v.m.l) = (vitesse x masse x longueur)
Conséquence >> pour une particule donnée, dont la masse et la vitesse sont constantes, le quantum implique que la longueur présente une valeur "limite unitaire" (dite de Compton)
Par exemple pour l'électron, le calcul donne comme limite de sa propre coordonnée (un diamètre)
ld # 4.10-12 m C'est le diamètre théorique de l'électron (mais ce n'est pas son diamètre réel !!)
LA CONSTANTE de PLANCK RÉDUITE est une toute autre chose:
c'est un cas particulier de moment cinétique intrinsèque et ce n'est pas une action.
La terminologie de "constante de Planck réduite" (h) est d’ailleurs ridicule, car la constante de Planck ne peut pas être "réduite", puisqu'elle est la plus petite entité d'action envisageable
Donc mieux vaut dire (moment h barre), ou (h bar moment, en anglais) ou (Dirac h)
Sa dimension est L2.M.T-1.A-1
Symbole de désignation : h (ou "h bar" ou " Dirac-h")
sa valeur est 1,054.10-34 J-s/rad -et bien spécifier ‘’par radian’’ car c’est un moment cinétique (qui est une action angulaire)
Attention: on lit cependant partout que h = (h / 2p) mais ceci n'est qu'une relation de valeur numérique et dans un système d'unités privilégié où l'on parle en radian
La relation serait h = h, si l’unité d’angle était le tour, ou h = (h / 400) si l’unité d’angle était le grade, etc. (h / 2p) n'est qu'un cas particulier de la relation générale h = h /θ
et ce cas particulier implique d'être dans un système d'unités particulier utilisant le radian comme unité d'angle
-décohérence
La décohérenceest une théorie essayant de relier les mécaniques quantique et rationnelle (pourquoi le micromonde et le macromonde n'ont pas les mêmes lois et aspects ?)
L'idée est de supposer que la mécanique quantique exprime que chaque particule a une fonction d'ondequi est en interaction avec chaque fonction d'onde de particules voisines et donc (au bout d'un certain temps) ces interactions ont tendance à déphaser la fonction d'onde spécifique de telle particule et à écrouler (réduire) le paquet d'ondes qu'elle forme avec ses voisines, ce qui entraîne la disparition de leurs cohérences.
Cette décohérence est supposée fonctionner grâce aux fluctuations du fond diffus cosmologique. Ce qui causerait (pour des associations particulaires suffisamment grosses, c'est à dire au moins de la taille d'une molécule)une transformation d'aspect en usuel macroscopique
La durée de passage à la décohérence des fonctions d'onde serait variable selon les caractéristiques du milieu :
-pour une molécule de 10-9 m. >>> elle serait dans l'air(de 10-27s), dans un vide de labo(de 10-15 s), dans le vide interstellaire(de 10+18 s)
-pour une poussière de 10-6 m. >>> elle serait dans l'air(de 10-33 s), dans un vide de labo(de 10-20 s), dans le vide interstellaire(de 10 s)
-densités de particules
Densité de particules est l'abréviation de densité volumique de particules, c'est à dire une quantité (ou nombre) de particules incluses dans une unité de volume.
Les termes "densité nucléaire" ou "densité ionique"....en sont bien sûr des cas d'espèces (volumiques)
Equation aux dimensions : L-3 (il s’agit d’objets par unité de volume)
Symbole de désignation : h*v Unité : particule/m3
Unité plus grande : la particule / cm3 qui vaut 106 particule / m3
La densité volumique particulaire intervient dans les formules concernant la viscosité dynamique, les plasmas, les collisions de particules, l’impulsion, la réaction nucléaire, la cosmologie
Attention: cette notion est différente d’une "densité volumique de quantité de matière" (de dimension L-3.N et non L-3 comme ici)
-définition d'une densité volumique de particules
h*v= n / V où n est le nombre de particules inclus dans le volume V(m3)
-relation avec la densité de matière baryonique (ou masse volumique)
h*v = ρ' / m où m(kg) est la masse de particules et ρ' leur masse volumique (dite parfois abusivement en abrégé densité)
-relation avec la densité massique de particules
h*v= densité massique de particules).ρ'
-exemples
-Pour l’univers la densité particulaire volumique moyenne h*v est d’environ 1 particule par m3 car la densité volumique de masse (matière baryonique) y est ρ' ~ 10-26 kg / m3
-Pour le soleil qui a une masse de 2.1030 kg et un volume de 1,4.1027 m3 la masse volumique moyenne est ρ' = 1,4.103 kg/m3
Une seule particule moyenne du soleil (qui est surtout constitué d'éléments très légers) a une masse ~ de 2.10-26 kg. Donc le soleil possède
~ 2.1030 / 2.10-26 = 1056 particules et son h*v est donc = 1056 / 1,4.1027 = 7.1028 particules / m3 ou encore 5.1025 partic/kg
-Pour la Terre dont la masse est ~ 6.1024 kg, le volume 1021 m3 la masse volumique moyenne est ρ' ~ 6.103 kg/m3
Comme 1 particule moyenne de la Terre (qui a des éléments lourds) est ~ de 1,4.10-25 kg, la Terre possède ~ 6.1024 / 1,4.10-25 = 4.1049 particules
Son h*v est donc = 4.1028 particules / m3 ou encore 7.1024 partic/kg
En ce qui concerne les ions (sur Terre) leur densité particulaire volumique moyenne est fonction de la qualité du support, par exemple
>>> sur l'océan, on a une moyenne de 1000 ions/cm3 (avec mini de 1 et maxi de 40.000), dont beaucoup d'ions légers
>>> sur les sols terreux, on a en moyenne 10.000 ions/cm3 (mini de 1.000 et maxi de 300.000)
>>> dans les villes, on a en moyenne 100.000 ions/cm3 (avec mini de 1.000 et maxi de 4.000.000) avec peu d'ions léger
Les ions négatifs légers ont une répercussion faste sur la santé
La DENSITÉ SPATIALE de PARTICULES
est un nombre de particules distribué dans un angle solide
Ce n'est oas une densité volumique de particules, mais spatiale c'est à dire répartie dans un angle solide (qui est une espèce de volume infini)
Equation aux dimensions : A-1 Symbole : x*
L'unité est la (particules/sr)
x* = n / Ω où x*(particules/sr)= densité spatiale de n particules incluses dans un angle solide Ω(sr)
-désintégration
La désintégration est la modification spontanée et aléatoire d'un noyau d'atome, lui permettant d’atteindre un niveau d’énergie plus fondamental (donc à tendance minimale) Cela suscite des émissions de particules et de rayonnements
5 MODES de DÉSINTÉGRATION sont constatés >>
-1.émission de α (noyau d’He), quand le noyau a trop de protons et neutrons, il éjecte des alpha (2 protons liés à 2 neutrons) jusqu'à une limitation due à l'effet tunnel
-2.émission de β- (électron), quand le noyau a trop de neutrons >> il mute un
neutron en proton, ce qui provoque et éjecte un électron
-3.émission de β+(positron), quand le noyau a trop de protons >> il les dissocie en (neutron + positron + 1 neutrino) ce qui implique qu'il extraie parallèlement 1 antineutrino au milieu universel
-4.émission de g (photon), quand le noyau estfatigué par une précédente désintégration >>il émet des g pour diminuer son énergie
-5.capture d’électron (un proton devient neutron, sans émission), quand le noyau a un excès de protons par rapport aux neutrons >> il prend un électron de sa propre nappe.Le réarrangement du cortège électronique se fait ensuite en cascade
ACTIVITÉ de DÉSINTÉGRATION(fd)
L'activité est un terme exprimant une variation énergétique
Pour les corps radioactifs, elle est mesurée par le nombre de désintégrations particulaires obtenu en un temps donné
Cette activité est parfois nommée vitesse de désintégration, ce qui est impropre, car vitesse implique un déplacement or ici, il n'est pas question de mouvement, car les désintégrations ne dépendent que du seul temps qui s'écoule. Il faut donc dire fréquence ou activité (de désintégration)- et non pas "vitesse"
Equation de dimensions de cette activité de désintégration: T-1
Symbole fa Unité S.I.+ : Becquerel (Bq)
L'activité est fa = Kdé.n où n est le nombre d'atomes présents et Kdé est une constante dite constante radioactive (ou constante de désintégration) qui est immuable pour un corps donné (avec toutefois quelques variations, dues à la pureté chimique, la pression, la température....)
Kdé est une probabilité du nombre de désintégrations. C'est une constante de dimension T-1(et c'est aussi l'inverse de la constante de temps)
Les valeurs de Kdé s'échelonnent entre 1,6.10-18 et 3.106 s-1
On a par ailleurs l'équation d'activité >> n = n0.e-dt.Kdé où n et n0 sont respectivement les nombres probables d'atomes radioactifs au temps t et au temps zéro et dt est la durée
STABILITÉ et PERIODE
La stabilitéest la durée de vie d'un particule.Par exemple (électron, proton...) disparaissent dans un délai moyen (stabilité) allant de 1030 à 1033 secondes
L'instabilité d'une particule correspond à une vie courte = rapidité de désintégration (en anglais: decay) et c'est également un temps
Exemples d'instabilités (exprimées en seconde)
méson p (10-16)--tauon, mésons B & D(10-12)--baryons, méson K(10-10)-- muon(10-6)--neutron(103)
La période (ou demi-vie) d'une substance radioactive est la durée pendant laquelle le corps perd la moitié de sa masse par émissions de particules ou de rayons.
Donc la période est telle que nt/ n0= 1/2 où nt= nombre de particules restant au temps t et n0nombre de particules présentes au temps 0
Si la probabilité de désintégration est w , la période est tp(s) = 0,693 / w
Quelques périodes de désintégration de corps radioactifs (arrondies)
8 4 Béryllium(2.10-16 s )
233 90Thorium(1320 s. soit 22 minutes)
90 46 Zirconium(5.1013 s )
234 Uranium(250.000 ans)
235 Uranium(700 millions ans)
238 Uranium(4,5 milliards ans)
226 Radon(1600 ans)
227Actinium(22 ans)
LOI de SADY
t = t0/ Log e(nt /n0)
où t(s)= durée de vie moyenne de la particule (la durée de vie d'une particule est évidemment plus longue que sa période de désintégration) .
Exemples : pour un proton, la durée de vie = 1033 à 40 secondes, pour un électron c'est 1032 s. et pour des baryons et mésons c'est 10-8 à -12 s.)
t0(s)= temps origine (où il y avait no particules)
nt= nombre de particules restant au temps t
-état de particules
Un nombre de particules (infra-atomiques) est, la plupart du temps, un stock d’éléments baryoniques formant un ensemble donné.
Plutôt que de raisonner sur leur nombre, la théorie quantique des champs préfère considèrer les états des particules (état signifiant occupation d’une situation, au sens de la géométrie ou de la présence de charge).
Il en résulte un calcul de probabilité d’état, dit Statistique (nombre, sans dimension, dont le symbole de désignation est ici nx)
Densité d'état
Une densité d'état est la fonction de partition microcanonique d'un système
Nota : la fonction de partition est une notion impliquant les propriétés statistiques des éléments constitutifs d'un système en équilibre thermodynamiqueet microcanonique signifie "faisant partie de l'ensemble des systèmes thermodynamiques isolés (de l'extérieur) et d'énergie constante"
Etat de vibrations
td = dE / h.f.nxB.df
avec td(s)= densité d’états de vibrations par zone de fréquences propres
E(J)= énergie interne du cristal
h(J-s)= constante de Planck (6,62606876.10-34 J-s)
f(Hz)= fréquence
nxB(nombre)= distribution de Bose-Einstein
Etat de probabilité énergétique
w = 1 / e(F’B) - 1
où w(nombre)= probabilité pour trouver(dans un réseau, à température T et
à un état d’énergie à l’équilibre
F’B(nombre)= facteur de Boltzmann
Etat d’énergie volumique ou densité volumique d’état (?')
Il se définit par rapport à une zone d’énergie dans un cristal
τ ’ = n / V.E
où E(J)= énergie interne du cristal
n(nombre)= nombre d’états
V(m3)= volume
Etat quantique
situation (non déterministe), exprimant toutes les probabilités (possibilités) de mesures pour les paramètres d'un système particulaire
-excitation de particules
L'excitation au sens large, est un apport énergétique externe à un système, qui va alors se modifier (énergétiquement et géomètriquement)
L'excitation d'une particule est la conséquence de son acquisition d’une énergie excitatrice externe, entraînant en général modification de sa position (translation, rotation, vibration) et de son niveau énergétique - surtout s'il est minimum (c'est à dire en état fondamental)-
Nota : si un niveau précédemment excité redescend (énergétiquement), il se produit un phénomène inverse, créant la plupart du temps une désintégration (éjection d'une particule créée dans la foulée).
Si l'état excité se maintient plus longuement, il est dit "état métastable"
-calcul d'un état d'excitation
On connaît diverses méthodes (fort complexes) de calculs des énergies d'excitation particulaires (perturbation de Möller-Plesset, théorie fonctionnelle de densité, etc)
-exemples d'excitation particulaires
--le niveau d'excitation est proportionnel à la température
--excitation d'un gaz, quand certaines de ses molécules sont en augmentation d'énergie
--excitation d'un électron dans un atome, ce qui donne un atome ionisé
--répulsion moléculaire, ce qui engendre une décomposition
-fluence de particule
La fluence (ou densité superficielle spatiale) de particules est une distribution de particules dans un dièdre
Dimension de cette fluence >> L-2.A-1
L'unité de fluence de particules est le nombre de particules par m² et par stéradian
La fluence de particules est souvent confondue avec la "densité superficielle de particules", ce qui est dû à la méconnaissance de l'angle solide, mais comme cet angle a une réalité, il est logique d'exprimer 2 notions distinctes :
-la densité superficielle de particules a pour dimension L-2
-et la fluence de particules a pour dimension L-2.A-1
DÉBIT de FLUENCE de PARTICULES
C’est un paquet de particules considéré en un temps, dans une surface et dans un angle solide donnés
Equation aux dimensions : L-2.T-1.A-1 Symbole : ψ’
Unité S.I.+ : part/s - m2-sr
ψ' = v / V.Ω et aussi ψ' = x* / γ
ψ’(s-1- m-2-sr -1)= débit de fluence de particules
Ω(sr)= angle solide où sont diffusées des particules incluses en un volume V(m3)
v(m/s)= vitesse moyenne de déplacement des particules
x*(particules-sr-1)= densité spatiale de n particules et γ(m/s²)= accélération
Ex: le débit de fluence des rayons cosmiques au niveau de la mer est de 180 particules par (s- m²-sr) (ce flux -ou débit- est 2 fois plus intense sur l’Everest)
-fonction d'onde dont Schrödinger
FONCTION D’ONDE Ψ concernant les coordonnées d'une particule libre
Elle exprime la position (l) Ψ = l.expx
où l’exposant x = j.(T*.l -ω.t) / θ
avec j = symbole imaginaire
T*(rad/m)= vecteur d’onde
ω(rad/s)= vitesse angulaire, θ(rad) = angle de rotation et t(s)= temps
Par ailleurs l’équation de Schrödinger (concernant l'état d'une particule) est
(h.δΨ) / j. δt + H.Ψ = 0 ou bien (h.θ.δΨ) / j.δt + (Q'm² / 2m + Ep)Ψ = 0
avec H(J)= HAMILTONIEN = Q'm² / 2m + Ep
Cette équation concerne l'onde porteuse de la particule, à la fois dans sa partie position (1° terme, qui est le quadrivecteur) et sa partie énergétique (2° terme, qui est l'énergie)
j est le symbole imaginaire, δ le symbole de dérivée partielle
Q’m (quantité de mouvement) = δh / δl
l(m) étant la position
h(J-s)= action (pour une particule, constante de Planck = 6,62606876.10-34 J-s)
h = moment cinétique quantifié, dit "Dirac h", valant 1,054.10-34 J-s/rad
θ(rad)= angle de rotation (égal à 2p rad seulement si l’on est en unités S.I.+)
t(s)= temps
m(kg)= masse de la particule
Δ(m-2) est le Laplacien (c’est à dire = δ²/δx² + δ²/δy² + δ²/δz² si x, y, z sont les coordonnées)
Ep(J)= potentiel d’énergie newtonienne auquel la particule est soumise
Schrödinger écrivit son équation en coordonnées sphériques (r, θ , φ ) sous la forme (δ/δr)(r².δψ/δr) + δ²ψ/sin²θ.δφ²+ δ(sinθ.δφ /δθ)/(sinθ.δθ) + ψ.(8∏².μ.l²/h²) + Z.ε²/r
-une fonction d’onde Ψ est symétrique
si elle reste identique quand on l'applique à une autre particule similaire à la première. C'est le cas des bosons
-la fonction d'onde est antisymétrique si elle change de signe quand on l'applique à une autre particule, apparemment identique
C'est le cas des fermions, particules ayant un spin égal à un nombre impair de fois 1/2 (ce 1/2 signifie que le moment cinétique interne est représenté par une demi-unité h)
La symétrie est perdue par le fait de cette imparité (spin fractionnaire)
Ces particules ne peuvent donc pas être dans un état quantique similaire (principe d'exclusion de Pauli)
(toutefois, dans un cristal, sous l'influence d'un champ éléctromagnétique et à très faible température, il apparaît des paires de Cooper et ils se comportent alors comme des bosons)
LA FONCTION D'ONDE SERT à EXPRIMER la PROBABILITÉ de PRÉSENCE d'une PARTICULE en un LIEU
w = Σ∫(Ψ)².(dl)n/ dl(2+n)
où w(nombre) exprime la probabilité de présence d’une particule dans la (ou les) coordonnée(s) espérée(s) (l)
Ψ(ici longueur) est la fonction d’onde
nl(nombre) est le nombre de degrés de liberté de la particule
Si n = 1, la probabilité sera de la trouver sur une ligne de coordonnée, si n= 2 de la trouver sur une surface et si n= 3, de la trouver dans un volume [w est alors égale à (Vp / Vt ) rapport entre Vp le volume occupé possible et Vt le volume total offert]
On a toujours (quel que soit le cas) w = 1, puisque la particule a toujours une présence obligatoire dans la zone de liberté qu'elle posséde et on nomme celà l'unitarité
CAS PARTICULIERS de l'ÉQUATION de SCHRÖDINGER
---enversion relativiste, l'équation devient l'équation de Klein-Gordon
h².δ2ψ/δt² = h².c².Δψ+ m².c.ψ mêmes notations que ci-dessus
Nota : on trouve parfois cette équation de Klein-Gordon écrite avec le système d'unités prétendu "naturel", c'est à dire où c = h = k = 1 et cela devient
(à peu près) δ2ψ/δt² +Δψ = m².ψ
--en mécanique quantique, l'équation devient l'équation de Dirac
Elle s'applique pour des particules de spin = 1/2 (dont l'électron)
soit (j.h.δψ/ δt)= (m.c².M0+ c.Q'm.M1).ψ
mêmes symboles que ci-dessus avec en outre : M0 et1 = matrices de Dirac
--pour les états quantiques d'électrons soumis à un potentiel périodique, c'est
l'onde de Bloch ψ = l.expiKl où l est un potentiel ou une fonction périodique (par ex. une coordonnée, dans les cristaux) et K = constante