MOMENT CINéTIQUE

-moment cinétique

Un moment cinétique  est une action angulaire -c’est à dire une action rapportée à un angle-

C'est le moment d'une impulsion angulaire (mais ce n'est pas le moment d'une quantité de mouvement, car celle-ci n'est pas une grandeur angulaire) >>>

le moment d'une quantité de mouvement est une action

Il y a plusieurs types de moments cinétiques, selon les types de rotations qui sont en cause (dans le plan ou dans l'espace, ou dans les 2)

Equation aux dimensions structurelles identiques : L2.M.T-1.A-1

Symboles de désignation Mc indicé

Unité S.I.+ dans le plan >> le J-s/rad et dans l'espace >> le J-s/sr

On utilise aussi (dans le plan) le Joule seconde par tour

valant 1,591.10-1 J-s/rad

 

1.MOMENT CINETIQUE d'un CORPS TOURNANT sur LUI-MÊME,

avec AXE FIXE

Le moment cinétique est dit alors moment cinétique propre ou intérieur ou ordinaire (Mcp)

C'est l'angle plan qui est en cause, puisque le mobile se contente d'une rotation en plan fixe, donc tout tourne avec le même rythme angulaire plan

Mcp = F*s .l

Mcp (J-s/sr)= moment cinétique propre d’un mobile en rotation

F*s(kg-m/s-sr)= impulsion angulaire

l(m)= rayon moyen du cercle de rotation

 

2.MOMENT CINETIQUE d'un CORPS TOURNANT sur LUI-MÊME,

avec AXE de ROTATION VARIABLE

Le moment cinétique est dit alors moment cinétique intrinsèque (Mci)

S'il s'agit d'une particule, on le nomme moment de spin (Mcs)

Mci = Ís.f / θ

Mci(J-s/sr)= moment cinétique intrinsèque (ou de spin)

f(Hz)= fréquence de rotation du corps

θ(rad)= angle de rotation

Ís(kg-m²)= moment d’inertie du corps

 

3.MOMENT CINETIQUE d'un CORPS TOURNANT AUTOUR de

QUELQUE CHOSE, dans un PLAN FIXE

Le moment cinétique est dit alors moment cinétique azimutal ou secondaire (Mcz)

Comme le mobile tourne autour d'un corps dans le même plan en permanence (orbite plane), il n'est question que de l'angle plan

Mcz = m.v.l/ θ     et   Mcz = dÍ*/ dt

Mcz (J-s/rad)= moment cinétique azimutal

(mv) est la quantité de mouvement

lr (m) est le rayon moyen du mouvement

Í*est le moment d'inertie centrifuge

θ(rad) est l'angle plan de rotation

ω(rad/s)= vitesse angulaire

 

4.MOMENT CINETIQUE d'un CORPS TOURNANT AUTOUR de

QUELQUE CHOSE, avec variation de son plan de rotation

Il y a alternance de rotation dans des plans multiples et on dit alors moment cinétique orbital (Mco)

Le mobile change en permanence de plan orbital, il y a intégration débouchant sur l'angle solide, car il y a rapidement occupation de tout l'espace par des orbites multiples.

Le qualificatif "orbital", utilisé pour spécifier ce moment est un mot assez flou, mais c'est parce qu'on n'ose pas exprimer que c'est l'angle solide qui est ici en cause (et comme pour beaucoup de gens, l'angle solide est sans dimension, on n'ose pas le citer)

La formule est la même que si le corps tournait sur lui-même, mais la distance (lr) est alors  la distance entre le mobile et le c.d.g de ce autour de quoi il tourne

Ce moment cinétique orbital Mco est exprimé en J-s/stéradian et c'est :

Mco= impulsion spatiale (FLUX dynamique F*k) x distance lr

 

MOMENTS CINETIQUES REGROUPES

Quand il s'agit d'un système regroupant les mouvements d'un corps en rotation sur lui-même -d'une part- et en outre avec un ou plusieurs corps qui lui tournent autour,

On définit des moments cinétiques affectés à ces groupements :

5-Quand on ajoute les effets de 2 moments plans (cas 1 et 3 ci-dessus), on le nomme moment cinétique angulaire(Mca)

6-Quand on ajoute les effets de 2 moments plan et spatial (cas 1 et 4 ci-dessus, on le nomme moment cinétique de couplage (Mcc)

(avec 1 cas particulier : le moment de voie)

7-Quand on ajoute les effets de 2 moments plan et multi spatial, car il y a plusieurs corps en rotation autour de l'élément central rotatif

(cas 1 et plusieurs cas 4 ci-dessus, on le nomme moment cinétique total (Mct)

8-Quand on ajoute les effets de plusieurs moments spatiaux (cas 2 et plusieurs 4 ci-dessus, on le nomme moment cinétique global (Mcg)

Dans ces 4 derniers cas, il apparaît des facteurs 2 car il est nécessaire de distinguer le plan (impliquant en général 2 pi) et l'espace (où intervient 4 pi)

 

THEOREME du MOMENT CINETIQUE

 Mc= l.m.v/θ  = l.F*

où l(m)=coordonnée, v(m/s)=vitesse, F*(kg-m/s-sr)= impulsion angulaire, θ(rad)=angle plan, m(kg)=masse

 

THÉORÈME de KOENIG ou EQUATION du MOUVEMENT

Cas général du mouvement d’un solide en translation et en rotation autour d'un axe fixe passant par son centre de gravité

2ω.Mcp= (m.v²) + (I.f²)

où Mcp(J-s/rad)= moment cinétique propre du solide de masse m(kg)

v(m/s)= vitesse de translation de son c.d.g.

ω(rad/s)= vitesse angulaire

I(kg-m²)= moment d’inertie

f(Hz)= fréquence de balayage (nombre de fois dans la seconde, de situations répétitives de passage au même endroit)

Le 1° terme de droite indique l’incidence de la translation du centre de gravité et le 2° terme de droite indique l’incidence de la rotation autour du centre de gravité .

On peut aussi écrire : Mcp= (m.D*².ω) ou  Mcp = (m.D*²). dq / dt)

ou encore Mcp = D*.F.t

où D*(m/rad)= rayon de courbure , ω(rad/s)= vitesse angulaire, l(m) = distance et θ(rad)= angle

On a aussi : Mcp = (I s.f / δ.sinθ)

avec Mcp(J-s/sr)= moment cinétique d’un mobile tournant sur lui-même (et étant supposé symétrique)

θ(rad) = angle plan de rotation du mobile

Is(kg-m²)= moment d’inertie du solide par rapport à un axe D

f(Hz)= fréquence de balayage

δ(rad)= angle plan formé entre :

a)) la direction de la résultante des forces

et b)) la perpendiculaire à passant par le point d’application de cette résultante

 

MOMENT CINÉTIQUE et TORSION

dMcp/ dt = MΓ = F.D*

Mcp(J-s/rad)= moment cinétique d’un corps

θ(rad)= angle plan de rotation du corps

t(s)= temps

MΓ(J-couple)= moment de torsion (rotation) du couple

F(N)= chaque force du couple

D*(m/rad)= rayon de courbure

 

CONSERVATION du MOMENT CINETIQUE

-cas d'un corps isolé  tournant uniformément autour et à la même distance d’un centre de forces fixe

Le théorème de Koenig >> Mcp = D*.F.t   est désormais tel que D* et F sont inversement proportionnels, donc le moment cinétique est constant .

On en tire les conséquences d'une part dans

-le pendule de Foucault voir chapitre spécial

-la rotation des planètes solaires>>> en effet S = Mci.t.θ/ m  et comme le moment cinétique intrinsèque Mci(J-s/rad) de la planète de masse m(kg) est constant, S(m²), l'aire qu'elle décrit est proportionnelle au temps t(s) (θ, en rad, est l'angle de rotation)

-l'exemple d'un régulateur de vitesse à boules

A cause du même théorème de Koenig Mcp = (I.f²) / 2ω  le moment Mcp est constant, donc I(le moment d'inertie) et ω(la vitesse angulaire) varient inversement proportionnellement et comme I est fonction du carré de la distance (l) à l’axe d’une boule, ω varie comme le carré de la distance (l)

-conservation dans le cas de la torsion (ci-dessus)

si MΓ = 0, Mcp est indépendant du temps (donc se conserve, c’est à dire est constant). C’est une constante du mouvement

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