TORSION

-torsion

La torsion est un cas particulier de cisaillement: c’est le glissement de 2 tranches d’un matériau l’une par rapport à l’autre, provoqué par des forces non concourantes appliquées sur chacune d’elles).

C’est l'effort produit quand on visse quelque chose, ce qui introduit la notion de TORSION pouvant se définit à l'aide de 3 paramètres:

Le couple >> mot exprimant qu’il y a 2 forces appliquées en sens inverses aux 2 points opposés sur le cercle extérieur de la tête de vis (vis étant supposée de révolution)  

La rotation >> qui est l'angle plan dont pourra tourner la vis. 

Le moment(de torsion) >> qui est la prise en compte du phénomène à partir de l'axe depuis lequel la rotation est possible

 

Il règne malheureusement un brouillage fondamental autour de ces notions, provenant des abréviations ridicules dont fait l’objet le mot COUPLE :

-couple est utilisé pour remplacer “couple des 2 forces” (2 fois F) et ça, c'est à peu près conforme

-couple est utilisé pour remplacer plusieurs forces composantes (diverses F) et là c'est anormal

-couple est utilisé pour remplacer l’expression “moment normal du couple de forces” (sans torsion, c’est à dire le moment 2F.l”, pris au point médian entre les forces) et ça, c’est une inepsie

-couple est enfin utilisé en remplacement de “moment de rotation du couple de forces” (soit 2F.l / θ) et là c'est une magistrale erreur

 

MOMENT de TORSION

(ou moment de rotation ou moment angulaire de forces)

Equation aux dimensions du moment de torsion:  L2.M.T-2.A-1   

Symbole MG          Unité : Joule-couple

MΓ = dF.l / dθ      ou     MΓ = Mf  / θ  et également  MΓ = f².I / θ

F(N)= chacune des 2 forces parallèles, égales, opposées, appliquées à un solide avec une distance l(m) entre les 2 forces

θ(rad)= angle de rotation-torsion

Mf(N-m)= moment du couple (de forces) et il n'y a pas ici de rotation

Î(kg-m²)= moment d’inertie du corps

f(s-1)= fréquence de rotation

 

-cas général de l’équilibre d’un système mobile autour d’un axe

le système est soumis à divers moments (dont celui du couple de sa torsion) et il est en équilibre :  Î*.d²θ/ dt² + Mcp.dθ/ dt + MΓ.θ = 0

Î*(kg-m²/rad)= moment d’inertie centrifuge du corps

θ(rad)= angle plan de rotation  et   t(s)= temps de la rotation

Mcp(J-s/rad)= moment cinétique

MΓ(J/rad)= (moment du) couple de torsion -ou moment de torsion du couple-

Nota : à l’équilibre statique d’un corps, la Σ des moments appliqués = 0 (pas de rotation)

 

-le moment de rotation d'un couple de forces (hélas souvent abrégé au simple mot «couple»)

est le moment d'un couple de forces, tendant à entraîner un déplacement rotatif (rotation ou torsion) du corps auquel elles sont appliquées

Dans un vissage, le moment du couple de torsion est dynamique (actif) bien qu’il soit compensé à chaque instant (selon le principe d'action et de réaction) par un moment stagnant (réactif), de la part de l'objet qui subit -cette réaction étant provoquée par l'inertie de l'objet ou sa cohésion ou les frottements.

Le moment des forces, lui, est par contre statique (il n'y a pas de rotation)

Couple est le mauvais synonyme de “moment de torsion”

-il ne faut pas l’utiliser car qui dit "couple" sous-entend paire de forces et une paire de forces n’a jamais été un "moment" de forces-

On relève hélas de nombreuses confusions, comme :

1.couple de torsion  MΓ = 2F.lθ   où MΓ (J/rad) est le moment (et pas le couple) de torsion

lr(m) est le rayon du cercle décrit quand les forces sont distantes de 2 lr

θ(rad) est la rotation

Ce dernier moment est un torseur de somme nulle.

Equation aux dimensions structurelles du moment (alias couple) de torsion: L2.M.T-2.A-1 Symbole de désignation : MΓ   

Unité S.I.+ : Joule par radian, ou Joule-couple

2.couple gyroscopique est un cas particulier de moment de rotation

(voir paragraphe gyroscope)

3.couple d'un moteur automobile

MΓ = a’.I/ θ         et   MΓ =  P / ω

a’(rad/s²)= accélération angulaire   P(W)= puissance

ω(rad/s)= vitesse angulaire

donc quand la vitesse angulaire diminue, le moment de rotation-(alias couple) augmente.

Le moment (alias couple) aux roues est supérieur au moment (alias couple) de l'arbre moteur, car le vilebrequin du moteur tourne plus vite que l'arbre des roues

4.couple d'un moteur électrique

MΓ = n.Φ.i / θ   où n = nombre d'enroulements

MΓ est le moment (alias couple) moteur (donc un moment de torsion) en J-couple (ou J/rad)

Φ(Wb)= FLUX d’induction magnétique

θ(rad)= angle de rotation (égal à 2p si le système d'unités a le radian comme unité)

i(A)= intensité du courant dans l'induit

5.couple exercé par une charge électrique en rotation

l'abrégé "couple" est le moment de rotation du couple

MΓ = Mg.H'     où MΓ(J-couple)= moment de torsion (c'est à dire moment de rotation du couple des forces antagonistes) et Mg(A-m²)= moment magnétique ampèrien

H'(T-sr)= magnétisation

6.couple de serrage est un abrégé de moment de torsion pour une vis

7.couple d'un galvanomètre

un galvanomètre est muni d’un cadre mobile bobiné, placé dans l’entrefer d’un électroaimant et permet une mesure (du courant) à travers la mesure du moment de torsion du couple de ce cadre, à travers la relation

i = q.MΓ / 2n.S.B  où MΓ(J-couple)= moment de rotation du couple

B(T)= champ d’induction magnétique créé par l’électroaimant

n = nombre de spires du bobinage, parcouru par un courant i(A)

S(m²)= surface du cadre qui tourne d'un angle θ(rad)

 

-module de torsion (ou contrainte de torsion)

c'est une contrainte de cisaillement, ramenée à l'angle θ de torsion

Equ.° aux dimensions : L-1.M.T-2.A-1    Symbole de grandeur : η*   Unité S.I.+ : Pa/rad

η* = n/ θ = MΓ / Vr        ou  η* = M/ Vr.θ

η*(Pa/rad)= module de torsion

nG(N/m²)= contrainte de cisaillement (Voir valeurs chapitre Module)

MΓ(J-couple)= moment de torsion, qui vaut (F .D*t)

D*t(m/rad)= rayon de torsion

Vr(m3)= moment résistant (dit aussi module d’inertie)

Mf(N-m)= moment des forces F qui font tourner le corps de θ(rad)

 

-le coefficient de torsion

est l'inverse du module de torsion ci-dessus

 

-valeurs des moments et modules de torsion

barre de section rectangulaire       V= MΓ / η  

barre de section circulaire pleine   V= p.l3/ 16    

et le module de torsion est             η* = MΓ.l / lr4     

Les symboles des 3 formules ci-dessus sont :

MΓ(J-couple)= moment de rotation du couple de forces attaché au mobile

l(m)= longueur de la barre  et lr(m)= rayon de la section

η*(Pa/rad)= module de torsion

Vr(m3)= moment résistant (dit aussi module d’inertie)

 

ANGLE de TORSION

la torsion entraîne une variation d'angle θ nommée parfois "élongation angulaire" ou "restriction angulaire" telle que :

θ = M/ MΓ = / z     ou  θ = Vr.n/ MΓ   ou encore  θ = l.Vr.n/ η*.Îp

θ(rad)= angle plan dont tourne une tige encastrée soumise à un couple de forces Mà son extrémité libre

MΓ (J/rad)= moment (du couple) de torsion

l(m)= longueur de la barre, F(N)= chaque force du couple

z(N/rad)= constante de torsion     η*(Pa/rad)= module de torsion

yP = coefficient de Poisson (Voir valeurs chapitre Module)

 Îp(m4)= moment d’inertie polaire (pris par rapport au centre de gravité)

Vr(m3)= moment de résistance

nc(N/m²)= module (contrainte) de cisaillement

 

CONSTANTE de TORSION

cette "constante" (dimensionnelle) compare chacune des 2 forces du couple, à l’angle θ de torsion: c’est doncune constante angulaire de rappel

Equation aux dimensions  : L.M.T-2.A-1        Symbole de grandeur : z       Unité S.I.+ : N/rad

z = θ    ou    z = MΓ / l      ou   z = η*.l²       et encore   z = M/ l.θ   

z(N/rad)= constante de torsion correspondant à l’angle de rotation θ(rad)

MΓ(J-couple)= moment de torsion    η*(N/rad)= module de torsion

l(m)= distance entre les forces F(N) du couple

Mf(N-m)= moment des forces qui vont faire tourner le corps de θ(rad)

 

RAYON de TORSION

c’est la même notion qu’un rayon de courbure

Equation aux dimensions : L.A-1        Symbole  : D*t       Unité S.I.+ : m/rad

D*= l / θn

Le rayon de torsion est le rapport entre l’abscisse curviligne l du point et l’angle θn(entre la normale et la binormale)

 

ÉNERGIE (TRAVAIL) d'un COUPLE de FORCES de TORSION

Le travail Wu = produit du déplacement (donc l'arc parcouru la) x (la force F)

ou encore   W= MΓ.θ

où Wu(J)= énergie (travail) fourni par une rotation de θ rad, d'un couple de 2 forces F (parallèles, égales, opposées et distantes de l mètres) appliquées à un solide

MΓ(J/rad)= moment de rotation du couple des 2 forces (MΓ valant F.l / θ)

θ(rad) est langle plan dont tourne chacune des forces du couple

 

-énergie potentielle de torsion

c’est l’énergie emmagasinée par un corps ayant subi une torsion

Dimensions :L2.M.T-2        Symbole de grandeur : Ep        Unité S.I.+ : J

Cas d’un ressort (loi de Hooke) :

E= MΓ.θ      ou    E= Vr.∫nn.dl / l

où MΓ(J/rad)= moment de torsion du couple de rappel du ressort

θ(rad)= angle de torsion (dit aussi élongation angulaire)

nn(N/m²)= module (contrainte) normale

dl / l (nombre)= allongement relatif et Vr(m3)= moment résistant du ressort

 

OSCILLATION de TORSION

Si la torsion s'arrête et repart dans l'autre sens, il y a oscillation et à chaque instant la somme de l’énergie cinétique Eet de l’énergie potentielle Eest constante:

E+ Ep = K (constante)    soit    f².I /2 + z.l.θ = K

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