FORMULES de PHYSIQUE
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TORSION
-torsion
La torsion est un cas particulier de cisaillement: c’est le glissement de 2 tranches d’un matériau l’une par rapport à l’autre, provoqué par des forces non concourantes appliquées sur chacune d’elles).
C’est l'effort produit quand on visse quelque chose, ce qui introduit la notion de TORSION pouvant se définit à l'aide de 3 paramètres:
Le couple >> mot exprimant qu’il y a 2 forces appliquées en sens inverses aux 2 points opposés sur le cercle extérieur de la tête de vis (vis étant supposée de révolution)
La rotation >> qui est l'angle plan dont pourra tourner la vis.
Le moment (de torsion) >> qui est la prise en compte du phénomène à partir de l'axe autour duquel la rotation est possible
Il règne malheureusement un brouillage fondamental autour de ces notions, provenant des abréviations ridicules dont fait l’objet le mot COUPLE :
-couple est utilisé pour remplacer “couple des 2 forces” (2 fois F) et ça, c'est à peu près admissible
-couple est utilisé pour remplacer l’expression “moment du couple de forces” (avant même qu'il y ait torsion) c’est à dire le moment 2F.l”, pris au point médian entre les forces) et ça, c’est une inepsie
-couple est enfin utilisé en remplacement de “moment de rotation du couple de forces” (soit 2F.l / θ) c'est à dire après la torsion, et là c'est une magistrale erreur
MOMENT de TORSION
(ou moment de rotation ou moment angulaire de forces)
Equation aux dimensions du moment de torsion: L2.M.T-2.A-1
Symbole MG Unité : Joule-couple
MΓ = dF.l / dθ ou MΓ = Mf / θ et également MΓ = f².I / θ
F(N)= chacune des 2 forces parallèles, égales, opposées, appliquées à un solide avec une distance l(m) entre les 2 forces
θ(rad)= angle de rotation-torsion
Mf(N-m)= moment du couple (de forces) et il n'y a pas ici de rotation
Î(kg-m²)= moment d’inertie du corps
f(s-1)= fréquence de rotation
-cas général de l’équilibre d’un système mobile autour d’un axe
le système est soumis à divers moments (dont celui du couple de sa torsion) et il est en équilibre : Î*.d²θ/ dt² + Mcp.dθ/ dt + MΓ.θ = 0
Î*(kg-m²/rad)= moment d’inertie centrifuge du corps
θ(rad)= angle plan de rotation et t(s)= temps de la rotation
Mcp(J-s/rad)= moment cinétique
MΓ(J/rad)= (moment du) couple de torsion -ou moment de torsion du couple-
Nota : à l’équilibre statique d’un corps, la Σ des moments appliqués = 0 (pas de rotation)
-le moment de rotation d'un couple de forces (hélas souvent abrégé au simple mot «couple»)
est le moment d'un couple de forces, tendant à entraîner un déplacement rotatif (rotation ou torsion) du corps auquel elles sont appliquées
Dans un vissage, le moment du couple de torsion est dynamique (actif) bien qu’il soit compensé à chaque instant (selon le principe d'action et de réaction) par un moment stagnant (réactif), de la part de l'objet qui subit -cette réaction étant provoquée par l'inertie de l'objet ou sa cohésion ou les frottements.
Le moment des forces, lui, est par contre statique (il n'y a pas de rotation)
Couple est le très mauvais synonyme de “moment de torsion”
-il ne faut pas l’utiliser car qui dit "couple" sous-entend paire de forces et une paire de forces n’a jamais été un "moment" de forces-
On relève hélas de nombreuses confusions, comme :
1.couple de torsion MΓ = 2F.lr / θ où MΓ (J/rad) est le moment (et pas le couple) de torsion
lr(m) est le rayon du cercle décrit quand les forces F sont distantes de 2 lr
θ(rad) est la rotation
Ce dernier moment est un torseur de somme nulle.
Equation aux dimensions structurelles du moment (alias couple) de torsion: L2.M.T-2.A-1 Symbole de désignation : MΓ
Unité S.I.+ : Joule par radian, ou Joule-couple
2.couple gyroscopique est un cas particulier de moment de rotation
(voir paragraphe gyroscope)
3.couple d'un moteur automobile
MΓ = a’.Ir / θ et MΓ = P / ω
a’(rad/s²)= accélération angulaire P(W)= puissance
ω(rad/s)= vitesse angulaire
donc quand la vitesse angulaire diminue, le moment de rotation-(alias couple) augmente.
Le moment (alias couple) aux roues est supérieur au moment (alias couple) de l'arbre moteur, car le vilebrequin du moteur tourne plus vite que l'arbre des roues
4.couple d'un moteur électrique
MΓ = n.Φ.i / θ où n = nombre d'enroulements
MΓ est le moment (alias couple) moteur (donc un moment de torsion) en J-couple (ou J/rad)
Φ(Wb)= FLUX d’induction magnétique
θ(rad)= angle de rotation (égal à 2p si le système d'unités a le radian comme unité)
i(A)= intensité du courant dans l'induit
5.couple exercé par une charge électrique en rotation
l'abrégé "couple" est le moment de rotation du couple
MΓ = Mg.H' où MΓ(J-couple)= moment de torsion (c'est à dire moment de rotation du couple des forces antagonistes) et Mg(A-m²)= moment magnétique ampèrien
H'(T-sr)= magnétisation
6.couple de serrage est un abrégé de moment de torsion pour une vis
7.couple d'un galvanomètre
un galvanomètre est muni d’un cadre mobile bobiné, placé dans l’entrefer d’un électroaimant et permet une mesure (du courant) à travers la mesure du moment de torsion du couple de ce cadre, à travers la relation
i = q.MΓ / 2n.S.B où MΓ(J-couple)= moment de rotation du couple
(T)= champ d’induction magnétique créé par l’électroaimant
n = nombre de spires du bobinage, parcouru par un courant i(A)
S(m²)= surface du cadre qui tourne d'un angle θ(rad)
-module de torsion (ou contrainte de torsion)
c'est une contrainte de cisaillement, ramenée à l'angle θ de torsion
Equ.° aux dimensions : L-1.M.T-2.A-1 Symbole de grandeur : η* Unité S.I.+ : Pa/rad
η* = nG / θ = MΓ / Vr ou η* = Mf / Vr.θ
η*(Pa/rad)= module de torsion
nG(N/m²)= contrainte de cisaillement (Voir valeurs chapitre Module)
MΓ(J-couple)= moment de torsion, qui vaut (F .D*t)
D*t(m/rad)= rayon de torsion
Vr(m3)= moment résistant (dit aussi module d’inertie)
Mf(N-m)= moment des forces F qui font tourner le corps de θ(rad)
-le coefficient de torsion
est l'inverse du module de torsion ci-dessus
-valeurs des moments et modules de torsion
barre de section rectangulaire Vr = MΓ / η*
barre de section circulaire pleine Vr = p.l3/ 16
et le module de torsion est η* = MΓ.l / lr4
Les symboles des 3 formules ci-dessus sont :
MΓ(J-couple)= moment de rotation du couple de forces attaché au mobile
l(m)= longueur de la barre et lr(m)= rayon de la section
η*(Pa/rad)= module de torsion
Vr(m3)= moment résistant (dit aussi module d’inertie)
ANGLE de TORSION
la torsion entraîne une variation d'angle θ nommée parfois "élongation angulaire" quand il s'agit de l'angle maxi possible et "restriction angulaire" quand il s'agit de sa variation
Il est tel que :
θ = Mf / MΓ = F / z ou θ = Vr.nc / MΓ ou encore θ = l.Vr.nc / η*.Îp
θ(rad)= angle plan dont tourne une tige encastrée soumise à un couple de forces Mf à son extrémité libre
MΓ (J/rad)= moment (du couple) de torsion
l(m)= longueur de la barre, F(N)= chaque force du couple
z(N/rad)= constante de torsion η*(Pa/rad)= module de torsion
yP = coefficient de Poisson (Voir valeurs chapitre Module)
Îp(m4)= moment d’inertie polaire (pris par rapport au centre de gravité)
Vr(m3)= moment de résistance
nc(N/m²)= module (contrainte) de cisaillement
CONSTANTE de TORSION
cette "constante" (dimensionnelle) compare chacune des 2 forces du couple, à l’angle θ de torsion: c’est donc une constante angulaire de rappel
Equation aux dimensions : L.M.T-2.A-1 Symbole de grandeur : z Unité S.I.+ : N/rad
z = F / θ ou z = MΓ / l ou z = η*.l² et encore z = Mf / l.θ
z(N/rad)= constante de torsion correspondant à l’angle de rotation θ(rad)
MΓ(J-couple)= moment de torsion η*(N/rad)= module de torsion
l(m)= distance entre les forces(F) du couple
Mf(N-m)= moment des forces qui vont faire tourner le corps de θ(rad)
RAYON de TORSION
c’est la même notion qu’un rayon de courbure
Equation aux dimensions : L.A-1 Symbole : D*t Unité S.I.+ : m/rad
D*t = l / θn
Le rayon de torsion est le rapport entre l’abscisse curviligne l du point et l’angle θn(entre la normale et la binormale)
ÉNERGIE (TRAVAIL) d'un COUPLE de FORCES de TORSION
Le travail Wu = produit du déplacement (donc l'arc parcouru la) x (la force F)
ou encore Wu = MΓ.θ
où Wu(J)= énergie (travail) fourni par une rotation de θ rad, d'un couple de 2 forces F (parallèles, égales, opposées et distantes de l mètres) appliquées à un solide
MΓ(J/rad)= moment de rotation du couple des 2 forces (MΓ valant F.l / θ)
θ(rad) est l’angle plan dont tourne chacune des forces du couple
-énergie potentielle de torsion
c’est l’énergie emmagasinée par un corps ayant subi une torsion
Dimensions :L2.M.T-2 Symbole de grandeur : Ep Unité S.I.+ : J
Cas d’un ressort (loi de Hooke) :
Ep = MΓ.θ ou Ep = Vr.∫nn.dl / l
où MΓ(J/rad)= moment de torsion du couple de rappel du ressort
θ(rad)= angle de torsion (dit aussi élongation angulaire quand il est maxi)
nn(N/m²)= module (contrainte) normale
dl / l (nombre)= allongement relatif et Vr(m3)= moment résistant du ressort
OSCILLATION de TORSION
Si la torsion s'arrête et repart dans l'autre sens, il y a oscillation et à chaque instant la somme de l’énergie cinétique Ec et de l’énergie potentielle Ep est constante:
Ec + Ep = K (constante) soit f².I /2 + z.l.θ = K