COURBURE

-courbure

COURBURE d’une LIGNE

La courbure exprime la variation de l'angle de visée d'un élément linéaire d'une courbe plane, par rapport à la longueur dudit élément

Equation aux dimensions  : L-1.A    Symbole désignation : T*   Unité S.I.+ : rad/m

-la courbure d'une ligne courbe plane (dite courbure linéique) est T* = lim.dθ / dl c'est à dire la limite de la variation (dθ) de l'angle plan de visée d'un élément (dl) donné, pris sur la courbe

La définition de Frénet est très proche, en faisant intervenir les coordonnées polaires >>

T* = dθ1 / dl où T* est dit "vitesse de variation de l'angle polaire q1" et (l1) est l'abscisse curviligne

-la courbure d'une courbe gauche est la somme de 2 courbures linéiques, chacune prise depuis un point de la 3° coordonnée

-la courbure d’un arc est aussi la norme du vecteur accélération pour le mobile, quand il parcourt l'arc à vitesse constante unité

-une courbure nulle est un point d'inflexion

-la courbure d'une hélice circulaire est constante

 

CAS PARTICULIERS de COURBURES LINEIQUES

1-la courbure de flexion en résistance des matériaux, est calculée pour apprécier la déformation de la fibre neutre d'une poutre soumise à flexion. 

C'est T* = Mf.θ / nGq  avec T*(rad/m)= courbure de la fibre neutre

θ(rad)= angle (plan) entre la fibre neutre au repos et la tangente au cercle de déformation

Mf(N-m)= moment fléchissant

nG(N/m²)= module de rigidité

Iq(m4 )= moment d’inertie quadratique (de la section droite par rapport à la fibre neutre)

2-le pouvoir rotatoire intrinsèque (T*) est la courbure d'une lumière, déviée à cause de l'épaisseur du matériau traversé

3-la puissance optique intrinsèque (T*) -ou puissance nominale- est une courbure : c’est le rapport entre l'angle de visée d'un objet et la distance focale

4-le pouvoir séparateur angulaire est la partie de l'angle de visée d'un appareil optique, rapportée à la largeur de son objectif; c'est

T* = 2θ / lro lro est le rayon de l'objectif

5-le cambre est le nom de la courbure longitudinale d'une pièce longiligne (courbure d'un ski par exemple)

6-la courbure linéique de l'univers est T* = 2,9.10-26 rad/m 

 

Le RAYON de COURBURE  

est l’inverse de la courbure

Si, depuis un point A, on vise 2 points espacés entre eux de l0(m) sous un angle de visée de 2θ (rad) le rayon de courbure de la courbe décrite par l'un des 2 points, supposé en déplacement, est la variation de l'angle de visée (2θ) par rapport à l0

D* = dl0.sinα / d

avec D*(m/rad)= rayon de courbure considéré pour 2 points visés

d2θ(rad)= variation de l'angle de visée (angle 2θ formé entre les 2 rayons de visées des extrémités de l0)

l0(m)= distance variable entre les 2 points visés

α(rad)= angle d'inclinaison de l0 par rapport à l'axe de visée (sina indique le redressement de l0 pour le rendre perpendiculaire à la droite de visée moyenne)

Equation aux dimensions  : L.A-1     Symbole désignation : D*   Unité S.I.+ : m/rad

Torsion: en cas de torsion, le rayon de courbure est dit rayon de torsion

 

COURBURE d’une SURFACE

Pour chacun des axes de coordonnées, on définit une courbure, qui est bien sûr variable.

Les minima et maxima de ces courbures sont dits courbures principales (endomorphisme de Weingarten)

La moyenne des courbures principales est dite courbure moyenne

Le produit des courbures principales est dit courbure de Gauss

Son intégrale est la courbure totale  de la surface = c'est l'aire balayée par le vecteur normal sur la sphère tangente

Equation aux dimensions d'une courbure surfacique : L-2.A  

Symbole de désignation : T*       Unité S.I.+ : rad/m²

 

-cas particuliers de courbures

--la courbure exprime la variation de l'angle de rotation d'un (élément mobile lié à un point fixe), en fonction de la surface du virage qu'il décrit sous sa trajectoire.

---la courbure de champ

est un cas particulier de courbure surfacique en optique (aberration optique donnant une image courbe d’un objet plan)

---la section efficace différentielle est une courbure de section efficace

---la courbure de l’espace (en cosmologie) est dite constante cosmologique KL

C'est une notion géométrique (car impliquant seulement longueur et angle)

KL est la courbure de la surface de la pseudo-sphère qui est supposée délimiter l'univers.

KL = g / 2D*.c²   où g est le champ gravitationnel inducteur, D* le rayon de courbure et c la constante d'Einstein

KL est cependant dépendante de la présence des masses distribuées dans l'espace, car d'après l'équation d'Einstein (voir § Espace-temps et 

équation de Friedmann) les masses courbent l'espace >>  KL = 2ρ'.G / c² 

G(m3-sr/kg-s²)= constante de gravitation [8,385.10-10 m3-sr/kg-s²]

ρ'(kg/m3)= densité volumique de matière critique de l’univers (1,2.10-25 kg/m3)

V(J/m3-sr)= énergie volumique spatiale

 

Il ne faut pas oublier l’importance de KL dans la création d’une masse >>>  

m = Y*.ρ' / KL.c²  où m(kg)= masse créée

KΛ(rad/m²)= constante cosmologique (~ 2,2. 10-51 rad/m²(unité S.I.+)

c(m/s)= constante d'Einstein (2,99792458 .10m/s)

Y*(m3-sr/s²) = charge mésonique

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