COURBURE

-courbure

La courbure est la notion exprimant la comparaison entre un angle et une donnée de longueur mitoyenne

-il peut s'agir de l'angle plan, comparé à une longueur (qui est en général un segment sous-tendu ou un arc sous-tendu ou un segment latéral)

c'est alors une courbure linéique

-mais s'il s'agit d'un angle solide, on le compare à une longueur au carré (surface ou section) et c'est une courbure surfacique

 

COURBURE LINEIQUE

C'est l’inverse du rayon de courbure soit donc

T* = 1 / D*       ou    T* = angle / longueur

Equation aux dimensions  : L-1.A        Symbole de désignation : T*       Unité S.I.+ : rad/m

 

-le centre de courbure  est le point d'où est considéré le rayon de courbure

-la courbure de flexion est un cas particulier de courbure en résistance des matériaux

Pour une poutre fléchie, la déformation de sa fibre neutre présente une courbure :

T* = Mf.θ / nGq

avec T*(rad/m)= courbure de la fibre neutre

θ(rad)= angle (plan) entre la fibre neutre au repos et la tangente au cercle de déformation

Mf(N-m)= moment fléchissant

nG(N/m²)= module de rigidité

Iq(m4 )= moment d’inertie quadratique (de la section droite par rapport à la fibre neutre)

Cas particulier : pour certaines pièces mécaniques, la courbure est nommée "cambre" (pour un ski, par exemple)

 

-cas particuliers de courbure linéique

Les grandeurs ci-après sont des courbures lijnéiques :

-le pouvoir rotatoire intrinsèque (T*i ) est la courbure d'une lumière, en fonction de l'épaisseur du matériau traversé

-la puissance optique intrinsèque (T*p ) -ou puissance nominale- est le rapport entre l'angle de visée d'un objet et la distance focale

 

COURBURE SURFACIQUE

Equation aux dimensions  : L-2.A        Symbole de désignation : T*       Unité S.I.+ : sr/m

 

-la courbure de champ

est un cas particulier de courbure surfacique en optique (aberration optique donnant une image courbe d’un objet plan)

-la courbure de l’espace (en cosmologie) est la constante cosmologique Kλ, notion géométrique (puisqu’elle implique seulement longueur et angle)

C'est la courbure de la surface de la pseudo-sphère qui est supposée délimiter l'univers.

Kλ = g / 2D*.c²   où g est le champ gravitationnel inducteur, D* le rayon de courbure et c la constante d'Einstein

Elle est cependant dépendante de la présence des masses distribuées dans l'espace, car d'après l'équation d'Einstein ( voir § Espace-temps et équation de Friedmann) les masses courbent l'espace >>  Kλ = 2ρ'./ 3c² 

G(m3-sr/kg-s²)= constante de gravitation[8,385.10-10 m3-sr/kg-s²]

ρ'(kg/m3)= densité volumique de matière(baryonique) de l’univers (10-25kg/m3)

V(J/m3-sr)= énergie volumique spatiale

C'est à travers la relation ci-dessus qu'on peut dire avec Einstein que la masse courbe l'espace-temps (à travers la constante cosmologique)

 

valeur de Kλ # 5.10-52 unité S.I.+ (sr/m²)

Cette constante cosmologique (courbure Kλ) dépend de la masse en création, selon l'équation  Kλ = Y*.ρ' / m.c²

où m(kg)= masse créée

Kλ(sr/m²)= constante cosmologique

c(m/s)= vitesse de la lumière dans le vide (2,99792458 .108 m/s)

Y*(m3-sr/) est la charge mésonique

ρ'(kg/m3)= masse volumique du milieu

C'est à travers la relation ci-dessus qu'on peut dire avec Einstein que la masse courbe l'espace-temps (à travers la constante cosmologique)

 

ÉVOLUTION de la COURBURE

l'équation de Robertson-Walker (R.W. en abrégé)  exprime l’évolution de l’univers depuis son origine (variation de sa courbure, de sa décélération....) et l'équation de Friedman ci-après -qui est issue de celle de R.W.- définit la situation actuelle d’évolution de l’univers

D'une part, elle comporte la présence de la constante cosmologique Kλ (la courbure surfacique de l'espace)

D'autre part, elle propose des coefficients applicables à l'état actuel de l'univers

T*² / Ω=[0,68.G.ρ' / c² ] + [0,34.Kλ] - [0,03.H0².Ω/ c²]

avec H0(s-1)= paramètre de Hubble

T*(rad/m)= courbure de l’univers

G(m3-sr/kg-s²)= constante de gravitation [8,385.10-10 m3-sr/kg-s²]

c(m/s)= constante d'Einstein (2,99792458 .108 m/s)

Ω(sr)= angle solide dans lequel se passe le phènomène (ici 4∏ sr)

D*(m/rad)= rayon de courbure de l’univers

Kλ(sr/m²)= constante cosmologique (5.10-52 unité S.I.+ )

ρ'(kg/m3)= masse volumique d'univers

 

DISCUSSION >>>

la somme des 3 coefficients des termes de droite de l'équation de Friedmann est égale à # 1, selon la répartition respective estimée à ce jour (0,68 + 0,34 - 0,03)

Ceci signifie qu’elles impliquent une courbure T* quasi unité (terme de gauche de l’équation) et ce cas correspond à un espace "plan"(euclidien) qui est le cas actuel de l’univers

Si cette répartition changeait, par suite d’une diminution de H0 (lui-même lié au facteur d’échelle F’e) ceci entraînerait l’augmentation du 3° terme de droite dans l'équation, la courbure T* augmenterait, donc le rayon de courbure diminuerait et l’espace se refermerait en tendant vers une contraction finale dite "big crunch" (tendance de courbure dite "elliptique")

Au contraire, si cette répartition changeait par suite d’une augmentation de H0 (qui entraînerait la diminution du 3° terme de l'équation de Friedmann), la courbure T* diminuerait, donc le rayon de courbure augmenterait et l’espace s’ouvrirait, tendrait à s’évaporer, à se vider (tendance dite "hyperbolique").La matière- devenant alors trop diluée- perdrait sa qualité de gravité

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