FORMULES de PHYSIQUE
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M5.DYNAMIQUE
-action (mécanique standard)
Dans le langage courant, "action" suppose agir avec mouvement
Mais en Physique, l’action est une grandeur exprimant plus précisément
le produit masse x vitesse x distance
Elle souligne donc l'importance active d'une masse quand elle est en mouvement
Nota : l’énergie est par ailleurs une fréquence d’action
Equation de dimensions de l'action: L2.M.T-1 Symbole de désignation : a
Unité S.I.+ le (J-s)
ACTION
-définition
a = ∫12(m.v.dl)
avec a(J-s)= action d’un corps se déplaçant sur une trajectoire
1 et 2 = positions du corps avant et après son déplacement dl
m(kg)= masse du corps
v(m/s)= vitesse du corps, m(kg) la masse du corps
l(m)= distance de déplacement du corps
-l'action est le moment d'une quantité de mouvement
a = (m.v).l
(mv) exprimé en kg-m/s est la quantité de mouvement (impulsion)
PRINCIPE de MOINDRE ACTION
Ce principe a été énoncé initialement sous le nom de son auteur >> principe de Maupertuis
Puis il a été copié par un Anglais et est devenu le principe d’Hamilton
Puis il a été adapté à l'optique pour devenir là le principe de Fermat
En fait il s'agit, plus généralement du principe de moindre action
Puis il a été généralisé sous la forme du théorème de Noether
Enoncé >>> la trajectoire d’un corps est déterminée à chaque instant par la valeur minimale de son action (qui est souvent = à 0)
En d'autres termes, la trajectoire qu'un corps emprunte dans son mouvement est celle qui implique la moindre quantité d'action (a)
Donc la position de ce corps -à un moment donné- est déterminée par une trajectoire globale prévisible, mais cependant non encore actualisée (finalité)
Formule a = ∫t1t2(Q’.v - E).dt = 0
avec a(J-s) = action d’un corps
∫t1t2 est l’intégrale entre les temps t1 et t2
Q’(kg-m/s)= quantité de mouvement
v(m/s)= vitesse du corps
E(J)= énergie potentielle
dt(s)= différentielle du temps
RELATION ACTION >> ÉNERGIE
-l'action est une accumulation temporelle d'énergie (c'est toute l'énergie accumulée pendant un temps)
da = E x dt
avec a(J-s)= action
E(J)= énergie
t(s)= temps
-action et HAMILTONIEN
a = H / f
avec a(J-s)= action
H(J)= HAMILTONIEN (énergie)
f(Hz)= fréquence
-amortissement mécanique
L'amortissement est l’évolution d’un phénomène vibratoire, subissant une diminution d’énergie à cause des obstacles rencontrés
ÉQUATION de l'AMORTISSEMENT
Tout système a une équation de trajectoire du genre:
m.g + M*.v + W'd.l = 0
avec m(kg)= masse
g(m/s²)= accélération
v(m/s)= vitesse
W'd(kg/s²)= constante de rappel
M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux
ÉVOLUTION de la QUANTITÉ de MOUVEMENT
Le coefficient exprimant la variation de la quantité de mouvement en fonction de la variation d’amplitude a
-pour équation de dimensions : T -1
-pour symbole : fa
-pour unité S.I.+: s-1
-pour définition fa = ΔQ'm / 2m.ΔlA ou fa = M* / 2m
où ΔQ'm(m-kg/s)= variation de quantité de mouvement (impulsion)
m(kg)= masse
ΔlA(m)= variation d’amplitude
M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux
ÉVOLUTION de l'AMPLITUDE
Le frottement entre solides crée des vibrations (il est dit aussi "frottement de Coulomb"), L’amortissement de ce frottement dans le temps est linéaire (l’amplitude vibratoire est graphiquement tangente, à chaque pseudo-période, aux côtés d’un angle aigu dont le sommet est sis à la fin du temps d’amortissement)
ÉVOLUTION de la PÉRIODE
La période est à chaque fois voisine de la période précédente et c'est
ts =θ /ω.[1 - F’q]1/2
avec ts(s)= pseudo-période
θ(rad)= angle plan de la rotation du phénomène sinusoïdal
ω(rad/s)= vitesse angulaire
F’q(nombre)= facteur de qualité (ci-après)
ÉVOLUTION de l'ÉNERGIE
On définit un facteur de qualité mécanique F’qqui est le rapport entre l’énergie stockée avant la cause d’amortissement et celle dissipée par l’amortissement :
F’q= Em / Ed
avec Em(J)= énergie maximale stockée
Ed(J)= énergie dissipée pendant 1 pseudo-période de l’amortissement
On a également :
F’q = (m.W’d)1/2 / M*
avec m(kg)= masse
M*(kg/s)= coefficient de frottement
W’d(J/m²)= constante de rappel
Plus F’q est faible, plus l’amortissement est rapide
Quelques valeurs du facteur de qualité >>> amortisseur d'automobile (0,5)--atome excité (107)--circuit électrique RLC (10²)--corde de guitare (103)--diapason (103)--oscillateur à quartz (104 à 6)
-choc
Un Choc, avec ses synonymes Percussion et Collision (ce dernier terme étant plutôt utilisé pour les particules) est une notion exprimant qu’un mobile est soumis à des grandes variations énergétiques en un temps très court
Les conséquences en sont : conservation de la quantité de mouvement, conservation de l’énergie globale, modification des vitesses et des directions
Le choc est un cas particulier d'impulsion simple (quantité de mouvement)
Le choc (ou collision) est une interaction
CHOC ÉLASTIQUE(exemple: choc de boules rigides)
-l’état interne des 2 corps choqués n’est pas altéré (ils restent invariables, non déformés)
-l’énergie mécanique est conservée >>> Énergie cinétique apportée par chacun des protagonistes avant le choc = énergie cinétique reçue (donc après) + variation d'énergie interne des corps participant au choc
-la quantité de mouvement globale est conservée >>> (Σ m.v apportées = Σ m.v encaissées) où m= masse et v= vitesse
-les vitesses et les directions sont échangées selon les mêmes lois de réflexion qu’en optique
CHOC INÉLASTIQUE (exemple: choc entre 2 voitures)
-l’état interne de chaque participant est partiellement déformé
-l’énergie cinétique subit des modifications durables (d’énergie interne, ou de forme) et des transformations (calorifiques, chimiques)
la perte d’énergie est la différence entre les énergies cinétiques avant et après et où chacune d’entre elles est (m.v²) / 2
-la quantité de mouvement globale (Σ m.v) est conservée
-la vitesse résultante est
v = (Σ quantités de mouvement des participants) / (Σ leurs masses)
CHOC MOU (exemple: choc d'un clapotis d'eau sur une rive)
-l’état interne du mobile -ou fluide- (et son aspect) sont totalement déformés
-l’énergie cinétique subit des modifications durables (d’énergie interne, ou de forme), ou des transformations connexes (calorifiques, chimiques)
-la quantité de mouvement Q’ est conservée mais la vitesse v devient commune aux 2 participants (Q’ = v x Σ masses)
LIGNE DE CHOC : c’est la normale au point de choc
CONSTANTE de REBOND
C'est le rapport = (vitesse avant choc) / (vitesse après choc)
qui vaut aussi = [(hauteur de rebond) / (hauteur de chute)]1/2
COEFFICIENT de RESTITUTION
C'est le rapport (vitesse avant choc)² / (vitesse après choc)²
Ce coeff. vaut 0 ,6 pour une balle de tennis et 0,8 pour des balles plus dures (squash ou pelote basque)
-chute (et projection) des corps
Pour le mouvement d'un projectile, il y a 8 cas à examiner :
1-le jet de projectile a lieu dans une direction quelconque, en milieu non résistant
On supposera un corps (projectile) de masse m(kg) lancé depuis un point d'altitude lh0avec vitesse v0 sous une pesanteur g dans de l'air supposé non résistant
Le temps d'arrivée est t = 2v.sinθ / g
La vitesse acquiseest vmaxi = (2m.g / K.S.r')1/2 selon l'équation dumaître-couple
La distance (portée) atteinte est lp = v0².sin 2ω / g
La hauteur atteinte maximale (dite apogée lha) est lha = lh0+ vo².sin²q/ 2g
où q(rad) est l'angle de tir au départ, vo(m/s) est la vitesse initiale et lh0 est la hauteur initiale]
2-le jet de projectile a lieu dans une direction quelconque, en milieu résistant
La vitesse acquise est vmaxi = (2m.g / ycx.S.r')1/2 selon l'équation du maître-couple
ycx(nombre)= coefficient de résistance (0,4 à 0,7)
S(m²)= surface
ρ'(kg/m3)= masse volumiquede l'air
3-le jet de projectile a lieu à l'horizontale, en milieu non résistant
idem ci-dessus, avec angle nul
4-le jet de projectile a lieu à l'horizontale, en milieu résistant
idem ci-dessus, avec angle nul
5-le jet de projectile a lieu vers le haut, en milieu non résistant
L'altitude acquise est lh= v²0/ 2g et le temps mis aller-retour est ta-r= 2v0/ g
6-le jet de projectile a lieu vers le haut, en milieu résistant
7-le jet de projectile a lieu vers le bas (chute libre), en milieu non résistant
Un corps lâché (sur Terre) sans vitesse initiale depuis une hauteur lh dans un air supposé non résistant, arriverait en un temps t = (2lh.g)1/2
et avec une vitesse v = (2g.lh)1/2
8-le jet de projectile a lieu vers le bas, en milieu résistant
La chute libre d'un homme dans l'air (résistant) se stabilise vers 4,5 m/s, car elle dépend du coefficient aérodynamique (ou de résistance) qui est de l'ordre de 0,5 pour une sphère, de 0,9 pour un plan (normal au mouvement) et de 0,1 pour une flèche colinéaire
-parachute : la force de frottement pour un parachute ouvert sur un parachutiste allant à une vitesse v(m/s) est F = m*.v² où m*(équivalent à une masse linéique) est un facteur dont la valeur numérique est de l'ordre de 40 kg/m
-chute des corps
Pour le mouvement d'un projectile, il y a 8 cas à examiner :
1-le jet de projectile a lieu dans une direction quelconque, en milieu non résistant
On supposera un corps (projectile) de masse m(kg) lancé depuis un point d'altitude lh0 avec vitesse v0 sous une pesanteur g dans de l'air supposé non résistant
Le temps d'arrivée est t = 2v.sinθ / g
La vitesse acquise est vmaxi = (2m.g / K.S.r')1/2 selon l'équation du maître-couple
La distance (portée) atteinte est lp = v0².sin 2ω / g
La hauteur atteinte maximale (dite apogée lha) est lha = lh0+ vo².sin²q / 2g
où q(rad) est l'angle de tir au départ (dit angle de hausse), vo(m/s) est la vitesse initiale et lh0 est la hauteur initiale]
2-le jet de projectile a lieu dans une direction quelconque, en milieu résistant
La vitesse acquise est vmaxi = (2m.g / ycx.S.r')1/2 selon l'équation du maître-couple
ycx(nombre)= coefficient de résistance (0,4 à 0,7)
S(m²)= surface
ρ'(kg/m3)= masse volumique de l'air
3-le jet de projectile a lieu à l'horizontale, en milieu non résistant
4-le jet de projectile a lieu à l'horizontale, en milieu résistant
5-le jet de projectile a lieu vers le haut, en milieu non résistant
L'altitude acquise est lh = v²0 / 2g et le temps mis aller-retour est ta-r = 2v0 / g
6-le jet de projectile a lieu vers le haut, en milieu résistant
7-le jet de projectile a lieu vers le bas (chute libre), en milieu non résistant
Un corps lâché (sur Terre) sans vitesse initiale depuis une hauteur lh dans un air supposé non résistant, arriverait au sol en un temps
t = (2lh.g)1/2 et avec une vitesse v = (2g.lh)1/2
8-le jet de projectile a lieu vers le bas, en milieu résistant
Dans l'air réel (résistant) la chute libre d'un homme se stabilise vers 45 m/s (160 km/h), mais elle dépend du coefficient aérodynamique lié à la position adoptée (de 0,9 en vol plané, de 0,5 si ramassé, et de 0,1 si vertical)
-parachute : la force de frottement pour un parachute ouvert sur un parachutiste allant à une vitesse v(m/s) est F = m*.v² où m*(équivalent à une masse linéique) est un facteur dont la valeur numérique est de l'ordre de 40 kg/m
-compliance
La compliance représente une possibilité de dilatation volumique, en fonction d'une variation de pression ambiante
Dimensions L4.M-1.T2 Symbole : Com
Unité S.I.+ m4-s² par kg et unité d'usage N/cm5 qui vaut 1010 unité S.I.+
Com = ΔV / Δp où V(m3) est le volume V qui peut se distendre sous effet de la pression p(Pa)
On a par ailleurs Com = Iq / W' où Iqest le moment d'inertie quadratique et W' la raideur (dureté)
-relations avec autres grandeurs
Compliance = complaisance x (longueur)4
Compliance = coefficient d'élasticité (cé) x volume
Compliance = inverse de l'élastance médicale (qui a pour dimension L-4.M.T-2)
-couple de forces
Un couple est une paire d’objets, donc en mécanique un couple de forces signifie une paire de forces.
Et plus précisément un couple de forces est une paire de 2 forces, d’intensités égales, parallèles et de sens opposés, appliquées à un corps (leur somme est nulle) Dimensionnellement, il s’agit bien de forces (L.M.T-2)
Mais il ne faut pas confondre ce couple (de forces) avec le moment du couple de forces qui est un moment purement statique (potentiel) d’un couple de 2 forces égales F(N), appliquées en opposition sur un corps et distantes de l(m) en distance droite, dont la dimension est L2.M.T-2 le symbole Mf et ayant pour unité S.I.+ : le mètre-Newton (m-N) On a Mf = F.l où Mf (N-m)= moment par rapport à un point médian
Et il ne faut pas davantage confondre ce couple (de forces) avec le moment de rotation du couple de forces qui est le moment Mf ci-dessus, ramené à l'angle (q) de la rotation qu'il a initiée (c'est alors la grandeur de dimension L2.M.T-2.A-1 de symbole MΓ et ayant pour unité S.I.+ le mètre-Newton par radian (m-N/rad) nommé aussi Joule-couple.
Voir cette grandeur dans un chapitre séparé On a MΓ = Mf / θ
HELAS on trouve fréquemment les 3 notions ci-dessus soulignées, énoncées sous la même abréviation de «couple» Car les partisans de l'angle sans dimension (pour qui une rotation, n'est RIEN), confondent volontiers les 3 notions
ÉNERGIE (ou TRAVAIL) d’UN COUPLE
il s’agit du travail issu du mouvement résultant de la torsion Wu = la.F
Wu(J)= travail (énergie) fourni par un couple de 2 forces F
la(m)= distance (arc) décrite par les forces pour développer ce travail
l(m)= distance entre les 2 forces F
lr(m)= rayon du cercle décrit par l’un des points d’attache des forces
Pour 1 tour complet, la formule devient présentable sous une forme particulière >> Wu = p.l.F = 2p.lr.F
-débit de fluence
Un débit de fluence énergétique est un synonyme d'exitance -c'est une puissance surfacique spatiale -
Ce qui veut dire en clair: une quelconque énergie, considérée pendant un certain temps, dans une certaine section et à l'intérieur d'un certain angle solide.
Equation aux dimensions : M.T-3.A-1 Symbole de désignation Dt
Unité S.I.+ W/m²-sr
Dt = φ'.E / t
Dt (W/m²-sr)= débit de fluence énergétique d’une source d'énergie
E(J)= énergie mise en cause
φ’(m-2 -sr-1)= fluence
t(s)= temps
-densité surfacique d'énergie
Densité signifie répartition, superficielle signifie que la répartition s'effectue sur une surface et énergie indique que la grandeur à répartir est une énergie
Equation aux dimensions : M.T-2 Symbole : W' Unité S.I.+ : J/m²
-définition
W' = E / S
où W'(J/m²)= énergie E(J) répartie sur une surface (ou section) S(m²).
Relation valable pour corps émetteur ou récepteur d'énergie
-cette densité peut être molaire
Equation aux dimensions : M.T-2.N-1Symbole : j* Unité S.I.+ : le J/m²-mol
c'est une densité surfacique molaire (ramenée à la quantité de matière)
j* = E / S.q
où j*(J/m²-mol)= densité superficielle d’énergie de q (mol)= quantité de matière) passant dans la surface S(m2) où transite E, l'énergie globale des particules impliquées dans ladite quantité de matière
-cette densité peut être spatiale
Synonymes : Fluence énergétique, Énergie surfacique spatiale
Equation aux dimensions structurelles : M.T-2.A-1 Symbole de désignation : S’
Unité S.I.+ : Joule par m² stéradian (J/m²-sr)
c'est une densité surfacique ramenée à la portion d'angle solide intéressée
S' = W' / Ω
où S'(lm-s/m²-sr)= énergie surfacique spatiale émise en une zone d’un milieu
W’(lm-s/m²)= énergie surfacique dans la zone
Ω(sr)= angle solide d’émission
Nota: la fluence φ' d’une énergie E est = φ'.E donc E / S.Ω
où S(m²)= surface
-densité volumique d'énergie
La densité volumique d'énergie, avec ses synonymes ou cas d'espèce: énergie volumique, pression, contrainte) est une énergie répartie dans un certain volume
Equation aux dimensions : L-1.M.T -2 Symbole p ou n Unité S.I.+ : J/m3
pv(ou ns)= énergie / volume
Ce peut être une contrainte (en résistance des matériaux)
Ce peut être une notion utilisée pour l'espace intergalactique (critique = 1,1.10-20 J/m3)
Voir aussi chapitre densité volumique
-densité volumique de force
La densité volumique de force est une force ramenée au volume dans lequel elle est appliquée
Lepoids spécifique et le gradient de pression en sont des cas particuliers
Equation de dimensions : L-2.M.T -2 Symbole de désignation : Å
Unité S.I.+ : N / m3
DÉFINITION
Å= F / V ou Å = ρ'.γ
où Å (N/m3)= densité volumique de forces d’un corps de volume V(m3)
F(N)= force à laquelle est soumis le corps sous accélération γ(m/s²)
ρ'(kg/m3)= masse volumique (ex "masse spécifique") du corps
POIDS SPECIFIQUE
La force en cause sur Terre est le poids et sa densité volumique est nommée poids spécifique.
L'accélération est ici la pesanteur g , d'où la relation Åp= Fp/ V = ρ'.g
où Åp(N /m3) = poids spécifique d’un corps de poidsFp(N), de volume V(m3)
et de masse volumique r'
GRADIENT de PRESSION
La pression (p) est une force répartie sur une surface (S)et le gradient (1/lh) est une répartition de la pression sur une hauteur (lh), d'où la relation
Åp= Fp/ V = p.S / lh.S = gradient de p
-densité volumique de matière baryonique
La densité volumique de matière (baryonique) a le synonyme plus judicieux de "Masse volumique"
Attentionà la confusion avec la terminologie voisine: densité de quantité de matière, abrégé de "densité volumique de quantité de matière",
dont la dimension estL-3.N
Il est donc opportun de préciser ici: densité volumique de matière baryonique (car il s’agit là de masse et pas de quantité de matière).
Equation de dimensions de la présente masse volumique : L-3.M
Symbole de désignation : ρ'Unité S.I.+ : le kg/m3
DÉFINITION
ρ' = m / V
où m(kg)= masse de matière
V(m3)= volume occupé par ladite masse