M5.DYNAMIQUE

-action (mécanique standard)

Dans le langage courant, "action" suppose agir avec mouvement

Mais en Physique, l’action est une grandeur exprimant plus précisément

le produit  masse x vitesse x distance

Elle souligne donc l'importance active d'une masse quand elle est en mouvement

 

Nota : l’énergie est par ailleurs une fréquence d’action

Equation de dimensions de l'action:  L2.M.T-1       Symbole de désignation : a      

Unité S.I.+ le (J-s)

 

ACTION

-définition

a = 12(m.v.dl)

avec a(J-s)= action d’un corps se déplaçant sur une trajectoire

1 et 2 = positions du corps avant et après son déplacement dl

m(kg)= masse du corps

v(m/s)= vitesse du corps, m(kg) la masse du corps

l(m)= distance de déplacement du corps

-l'action est le moment d'une quantité de mouvement

a = (m.v).l

(mv) exprimé en kg-m/s est la quantité de mouvement (impulsion)



PRINCIPE de MOINDRE ACTION

Ce principe a été énoncé initialement sous le nom de son auteur >> principe de Maupertuis

Puis il a été copié par un Anglais et est devenu le principe d’Hamilton

Puis il a été adapté à l'optique pour devenir là le  principe de Fermat

En fait il s'agit, plus généralement du principe de moindre action 

Puis il a été généralisé sous la forme du théorème de Noether

Enoncé >>> la trajectoire d’un corps est déterminée à chaque instant par la valeur minimale de son action (qui est souvent = à 0)

En d'autres termes, la trajectoire qu'un corps emprunte dans son mouvement est celle qui implique la moindre quantité d'action (a)

Donc la position de ce corps -à un moment donné- est déterminée par une trajectoire globale prévisible, mais cependant non encore actualisée (finalité)

Formule >>>  a = t1t2(Q’.v - E).dt = 0

avec a(J-s) = action d’un corps

t1t2 est l’intégrale entre les temps t1 et t2

Q’(kg-m/s)= quantité de mouvement

v(m/s)= vitesse du corps

E(J)= énergie potentielle

dt(s)= différentielle du temps

 

RELATION ACTION >> ÉNERGIE

-l'action est une accumulation temporelle d'énergie (c'est toute l'énergie accumulée pendant un temps)

da = E x dt

avec a(J-s)= action

E(J)= énergie

t(s)= temps

-action et HAMILTONIEN

a = H / f

avec a(J-s)= action

H(J)= HAMILTONIEN (énergie)

f(Hz)= fréquence

 

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-amortissement mécanique

L'amortissement est l’évolution d’un phénomène vibratoire, subissant une diminution d’énergie à cause des obstacles rencontrés

ÉQUATION de l'AMORTISSEMENT

Tout système a une équation de trajectoire du genre:

m + M*.v + W'd.l = 0

avec m(kg)= masse

γ(m/s²)= accélération

v(m/s)= vitesse

W'd(kg/s²)= constante de rappel

M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux

 

ÉVOLUTION de la QUANTITÉ de MOUVEMENT

C’est le coefficient exprimant la variation de la quantité de mouvement en fonction de la variation d’amplitude, exprimée par un coefficient  fa >>

Equation de dimensions  : T -1        Symbole : fa         Unité S.I.+: s-1

fa = ΔQ'm / 2m.ΔlA       ou   fa = M* / 2m

avec fa(s-1)= coefficient d’amortissement

ΔQ'm(m-kg/s)= variation de quantité de mouvement (impulsion)

m(kg)= masse

ΔlA(m)= variation d’amplitude

M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux

 

ÉVOLUTION de l'AMPLITUDE

Le frottement entre solides crée des vibrations (il est dit aussi "frottement de Coulomb"), L’amortissement de ce frottement dans le temps est linéaire (l’amplitude vibratoire est tangente, à chaque pseudo-période, aux côtés d’un angle aigu dont le sommet est sis à la fin du temps d’amortissement)

 

ÉVOLUTION de la PÉRIODE

La période est à chaque fois voisine de la précédente période et c'est

ts =θ /ω.[1 - F’q]1/2

avec ts(s)= pseudo-période

θ(rad)= angle plan de la rotation du phénomène sinusoïdal

ω(rad/s)= vitesse angulaire

F’q(nombre)= facteur de qualité  (ci-après)

 

ÉVOLUTION de l'ÉNERGIE

On définit un facteur de qualité mécanique  F’q qui est le rapport entre l’énergie stockée avant la cause d’amortissement et celle dissipée par l’amortissement :

F’q= Em / Ed

avec Em(J)= énergie maximale stockée

Ed(J)= énergie dissipée pendant 1 pseudo-période de l’amortissement

On a également :

F’q= (m.W’d)1/2 / M*

avec m(kg)= masse

M*(kg/s)= coefficient de frottement

W’d(J/m²)= constante de rappel

Plus F’q est faible, plus l’amortissement est rapide

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-choc

Un Choc, avec ses synonymes Percussion et Collision (ce dernier terme étant plutôt utilisé pour les particules) est une notion exprimant qu’un mobile est soumis à des grandes variations énergétiques en un temps très court

Les conséquences en sont : conservation de la quantité de mouvement, conservation de l’énergie globale, modification des vitesses et des directions

Le choc est un cas particulier d'impulsion simple (quantité de mouvement)

Le choc (ou collision) est une interaction

CHOC ÉLASTIQUE(exemple: choc de boules rigides)

-l’état interne des 2 corps choqués n’est pas altéré (ils restent invariables, non déformés)

-l’énergie mécanique est conservée >>> Énergie cinétique apportée par chacun des protagonistes avant le choc = énergie cinétique reçue (donc après) + variation d'énergie interne des corps participant au choc

-la quantité de mouvement globale est conservée >>> (Σ m.v apportées = Σ m.v encaissées) où m= masse et v= vitesse

-les vitesses et les directions sont échangées selon les mêmes lois de réflexion qu’en optique

 

CHOC INÉLASTIQUE (exemple: choc entre 2 voitures)

-l’état interne de chaque participant est partiellement déformé

-l’énergie cinétique subit des modifications durables (d’énergie interne, ou de forme) et des transformations (calorifiques, chimiques)

la perte d’énergie est la différence entre les énergies cinétiques avant et après et où chacune d’entre elles est (m.v²) / 2

-la quantité de mouvement globale (Σ m.v) est conservée

-la vitesse résultante est

v = (Σ quantités de mouvement des participants) / (Σ leurs masses)

 

CHOC MOU (exemple: choc d'un clapotis d'eau sur une rive)

-l’état interne du mobile -ou fluide- (et son aspect) sont totalement déformés

-l’énergie cinétique subit des modifications durables (d’énergie interne, ou de forme), ou des transformations connexes (calorifiques, chimiques)

-la quantité de mouvement Q’ est conservée mais la vitesse v devient commune aux 2 participants (Q’ = v x Σ masses)

 

LIGNE DE CHOC : c’est la normale au point de choc

 

CONSTANTE de REBOND

C'est le rapport = (vitesse avant choc) / (vitesse après choc)

qui vaut aussi = [(hauteur de rebond) / (hauteur de chute)]1/2

 

COEFFICIENT de RESTITUTION  

C'est le rapport  (vitesse avant choc)² / (vitesse après choc)²

Ce coeff. vaut 0 ,6 pour une balle de tennis et 0,8 pour des balles plus dures (squash ou pelote basque)

 

 

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-chute (et projection) des corps

Pour le mouvement d'un projectile, il y a 8 cas à examiner :

1-le jet de projectile a lieu dans une direction quelconque, en milieu non résistant

On supposera un corps (projectile) de masse m(kg) lancé depuis un point d'altitude lh0 avec vitesse v0 sous une pesanteur g dans de l'air supposé non résistant

Le temps d'arrivée est  t = 2v.sinθ / g

La vitesse acquise est vmaxi = (2m.g / K.S.r')1/2  selon l'équation du maître-couple

La distance (portée) atteinte est l= v0².sin 2ω / g

La hauteur atteinte maximale (dite apogée lha) est lha = lh0+ vo².sin²q/ 2g

q(rad) est l'angle de tir au départ, vo(m/s) est la vitesse initiale et lh0 est la hauteur initiale]

  

2-le jet de projectile a lieu dans une direction quelconque, en milieu résistant

La vitesse acquise est  vmaxi = (2m.g / ycx.S.r')1/2 selon l'équation du maître-couple

ycx(nombre)= coefficient de résistance (0,4 à 0,7)

S(m²)= surface

ρ'(kg/m3)= masse volumique de l'air

3-le jet de projectile a lieu à l'horizontale, en milieu non résistant

4-le jet de projectile a lieu à l'horizontale, en milieu résistant

5-le jet de projectile a lieu vers le haut, en milieu non résistant

L'altitude acquise est lh = v²0 / 2g et le temps mis aller-retour est ta-r = 2v0 / g

6-le jet de projectile a lieu vers le haut, en milieu résistant

7-le jet de projectile a lieu vers le bas (chute libre), en milieu non résistant

Un corps lâché (sur Terre) sans vitesse initiale depuis une hauteur lh dans un air supposé non résistant, arriverait en un temps t = (2lh.g)1/2

et avec une vitesse  v = (2g.lh)1/2

8-le jet de projectile a lieu vers le bas, en milieu résistant

La chute libre d'un homme dans l'air (résistant) se stabilise vers 4,5 m/s, car elle dépend du coefficient aérodynamique (ou de résistance) qui est de l'ordre de 0,5 pour une sphère, de 0,9 pour un plan et de 0,1 pour une flèche

-parachute : la force de frottement pour un parachute ouvert sur un parachutiste allant à une vitesse v(m/s) est  F = m*.v²    où m*(équivalent à une masse linéique) est un facteur dont la valeur numérique est de l'ordre de 40 kg/m



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-chute des corps

Pour le mouvement d'un projectile, il y a 8 cas à examiner :

1-le jet de projectile a lieu dans une direction quelconque, en milieu non résistant

On supposera un corps (projectile) de masse m(kg) lancé depuis un point d'altitude lh0 avec vitesse v0 sous une pesanteur g dans de l'air supposé non résistant

Le temps d'arrivée est  t = 2v.sinθ / g

La vitesse acquise est vmaxi = (2m.g / K.S.r')1/2  selon l'équation du maître-couple

La distance (portée) atteinte est l= v0².sin 2ω / g

La hauteur atteinte maximale (dite apogée lha) est lha = lh0+ vo².sin²/ 2g

 q(rad) est l'angle de tir au départ (dit angle de hausse), vo(m/s) est la vitesse initiale et lh0  est la hauteur initiale]

  

2-le jet de projectile a lieu dans une direction quelconque, en milieu résistant

La vitesse acquise est  vmaxi = (2m.g / ycx.S.r')1/2 selon l'équation du maître-couple

ycx(nombre)= coefficient de résistance (0,4 à 0,7)

S(m²)= surface

ρ'(kg/m3)= masse volumique de l'air

3-le jet de projectile a lieu à l'horizontale, en milieu non résistant

4-le jet de projectile a lieu à l'horizontale, en milieu résistant

5-le jet de projectile a lieu vers le haut, en milieu non résistant

L'altitude acquise est lh = v²0 / 2g et le temps mis aller-retour est ta-r = 2v0 / g

6-le jet de projectile a lieu vers le haut, en milieu résistant

7-le jet de projectile a lieu vers le bas (chute libre), en milieu non résistant

Un corps lâché (sur Terre) sans vitesse initiale depuis une hauteur lh dans un air supposé non résistant, arriverait en un temps t = (2lh.g)1/2

et avec une vitesse  v = (2g.lh)1/2

8-le jet de projectile a lieu vers le bas, en milieu résistant

La chute libre d'un homme dans l'air (résistant) se stabilise vers 4,5 m/s, car elle dépend du coefficient aérodynamique (ou de résistance) qui est de l'ordre de 0,5 pour une sphère, de 0,9 pour un plan et de 0,1 pour une flèche

-parachute : la force de frottement pour un parachute ouvert sur un parachutiste allant à une vitesse v(m/s) est  F = m*.v²    où m*(équivalent à une masse linéique) est un facteur dont la valeur numérique est de l'ordre de 40 kg/m

 

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-compliance

La compliance est l’inverse de la raideur

Dimensions L4.M-1.T2     Symbole : Com

Unité S.I.+ m4-s² par kg  et unité d'usage N/cm5 qui vaut 1010 unité S.I.+

 

C’est une possibilité de dilatation volumique, en fonction de la pression ambiante

Com = ΔV / Δp    où V(m3) est le volume V qui peut se distendre sous effet de la pression p(Pa)

On a par ailleurs Com = Iq / W'   Iqest le moment d'inertie quadratique et W' la raideur

L'inverse de la compliance est l'élastance médicale  de dimension L-4.M.T-2

-relation entre compliance et complaisance

Ces 2 termes sont proches (la complaisance étant l’équivalent de la souplesse d’un matériau)

Compliance = complaisance x (longueur)4

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-couple de forces

Un couple est une paire d’objets.

Un couple de forces est un ensemble de deux forces appliquées à un corps, dont les directions ne sont pas concourantes et dont la somme est nulle

Un moment de couple (de forces) est évidemment le moment des 2 forces d'un couple ci-dessus évoqué

Un moment de rotation d'un couple de forces est le moment ci-dessus, ramené à l'angle de la rotation qu'il a initiée

MAIS on trouve -hélas- les 3 notions ci-dessus évoquées, énoncées sous la même abréviation de «couple»

Car les partisans de l'angle sans dimension (donc pour qui une rotation, n'est RIEN), confondent bien entendu les notions (cependant bien séparées comme on peut le vérifier ci-après)



LE MOMENT du COUPLE des 2 FORCES

est un moment purement statique (potentiel) d’un couple de forces égales F(N) appliquées en opposition à un corps et distantes de l(m) en distance droite

Dimensions structurelles: L2.M.T-2    Symbole Mf  et Unité S.I.+ : mètre-Newton (m-N)     

Voir chapitre "moment"

M= F.l   où Mf (N-m)= moment par rapport à un point médian, du couple des forces F

 

LE MOMENT de ROTATION d'un COUPLE

est la notion issue de la précédente, mais applicable dès lors qu'il y a rotation de l'objet auquel les forces sont appliquées

Le couple prend une notion dynamique et aussi des qualificatifs fonctionnels, comme

moment du couple de torsion, moment du couple moteur, moment du couple gyroscopique, couple de serrage...)

Ce moment est   MΓ = M/ θ

Dimensions structurelles: L2.M.T-2.A-1     Symbole MΓ 

et Unité S.I.+ : mètre-Newton par radian (m-N/rad) nommé aussi Joule-couple

Voir cette grandeur dans un chapitre séparé

 

ÉNERGIE (ou TRAVAIL) d’UN COUPLE

W= la.F    

Wu(J)= énergie (travail) fourni par un couple de 2 forces F

la(m)= distance (arc) décrite par les forces pour développer ce travail

l(m)= distance entre les 2 forces F

Pour 1 tour complet, la formule devient W= .l.F

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-débit de fluence

Un débit de fluence énergétique est un synonyme d'exitance thermique -c'est une puissance thermique surfacique spatiale -

Equation aux dimensions : M.T-3.A-1       Symbole de désignation Dt      

Unité S.I.+    W/m²-sr

D= φ'.E / t

Dt (W/m²-sr)= débit de fluence énergétique d’une source

E(J)= énergie correspondante

φ(m-2 -sr-1)= fluence

t(s)= temps

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-densité surfacique d'énergie

La densité surfacique d'énergie exprime une répartition d'énergie sur une surface (ou dans une section)

Synonymes: Courant surfacique ou Densité superficielle de courant

Equation aux dimensions : M.T-2     Symbole : W'        Unité S.I.+ : J/m²

 

DENSITE SURFACIQUE d'ENERGIE

W' = E / S

avec W'(J/m²)= énergie surfacique d'un corps de surface S(m²).

Relation valable pour corps émetteur ou récepteur d'une énergie E(J)

 

DENSITE SURFACIQUE d'ENERGIE MOLAIRE

Equation aux dimensions structurelles : M.T-2.N-1

Symbole : j*      Unité S.I.+ : le J/m²-mol

Cas issu de ci-dessus, c'est une densité surfacique ramenée à la quantité de matière

j* = E / S.q

où j*(J/m²-mol)= densité superficielle d’énergie électromagnétique de q (mol)= quantité de matière) passant dans la surface S(m2) où transite l'énergie E

E(J)= énergie globale des particules impliquées dans ladite quantité de matière

 

DENSITE SURFACIQUE d'ENERGIE SPATIALE

Grandeur exprimant une énergie émise, ou transmise, ou reçue dans une section d’un angle solide

Synonymes : Fluence énergétique, Énergie surfacique spatiale

Equation aux dimensions structurelles : M.T-2.A-1    Symbole de désignation : S’

Unité S.I.+ : Joule par m² stéradian (J/m²-sr)

S' = W' / Ω

où S'(lm-s/m²-sr)= énergie surfacique spatiale émise en une zone d’un milieu

W’(lm-s/m²)= énergie surfacique dans la zone

Ω(sr)= angle solide d’émission

Nota: la fluence φ' d’une énergie E est S' = φ'.E = E / S.Ω

où S(m²)= surface

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-densité volumique d'énergie

La densité volumique d'énergie, avec ses synonymes ou cas d'espèce: énergie volumique, pression, contrainte) est une énergie répartie dans un certain volume

Equation aux dimensions : L-1.M.T -2      Symbole p ou n       Unité S.I.+ : J/m3

pv(ou ns)= énergie / volume

Ce peut être une contrainte (en résistance des matériaux)

Ce peut être une notion utilisée pour l'espace intergalactique (critique = 1,1.10-20 J/m3)

Voir aussi chapitre densité volumique

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-densité volumique de force

La densité volumique de force est une force ramenée au volume dans lequel elle est appliquée

(cas particulier: poids spécifique)

Equation de dimensions  : L-2.M.T -2       Symbole de désignation : Å    

Unité S.I.+ : N / m3

 

DÉFINITION

Å = F / V      ou  Å = ρ'.γ

où   Å (N/m3)= densité volumique de forces d’un corps de volume V(m3)

F(N)= force à laquelle est soumis le corps sous accélération γ(m/s²)

ρ'(kg/m3)= masse volumique (ex "masse spécifique") du corps

 

CAS PARTICULIER APPLICABLE sur TERRE

La force en cause est le poids et sa densité volumique est nommée poids spécifique.

L'accélération est alors la pesanteur g , d'où Åp= Fp/ V = ρ'.g

où ?p(N /m3)  = poids spécifique d’un corps de poids Fp(N) et de volume V(m3)

 

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-densité volumique de matière baryonique

La densité volumique de matière (baryonique) a le synonyme plus judicieux de "Masse volumique"

Attentionà la confusion avec la terminologie voisine: densité de quantité de matière, abrégé de "densité volumique de quantité de matière",

dont la dimension estL-3.N

Il est donc opportun de préciser ici: densité volumique de matière baryonique (car il s’agit là de masse et pas de quantité de matière).

Equation de dimensions de la présente masse volumique : L-3.M

Symbole de désignation : ρ'Unité S.I.+ : le kg/m3

 

DÉFINITION

ρ' = m / V

où m(kg)= masse de matière

V(m3)= volume occupé par ladite masse

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