M2.CINEMATIQUE d'INDUCTION

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-accélération angulaire

L'accélération angulaire est la variation de la vitesse angulaire pendant une certaine durée

Equation de dimensions structurelles : T -2.A  Symbole de désignation a'

Unité S.I.+ : le radian par seconde carrée (rad /s²)

Autre unité : 1 tour par seconde carrée vaut 6,283 rad /s²

 

FORMULES de BASE

a’ = dθ / dt ²     et a’ = dw / dt     et encore   a' = Mf / I*

où a’(rad/s²)= accélération angulaire provenant de la variation d’un angle plan dθ(rad) pendant dt(s)= variation de temps correspondante

Mf(J)=moment de la force attachée au mobile

Î*(kg-m²/rad)=moment d’inertie centrifuge

 w(rd/s)= vitesse angulaire

 

Relation entre accélération angulaire et accélération linéaire

a' = θ. / l

avec θ(rad)= angle, g(m²/s)= accélération et l(m)= longueur

 

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-accélération aréolaire

L'accélération aréolaire est la variation de la vitesse aréolaire pendant une certaine durée

C'est donc aussi une variation de surface  pendant pendant le carré de la durée

Et c'est par ailleurs un cas particulier d’énergie massique

Equation de dimensions : L2.T -2        Symbole de désignation : q’a        Unité S.I.+ : m² / s²

q’a = dv*/ dt     et      q’a = dS / dt²

où q’a(m²/s²)= accélération aréolaire d’une aire S(m²) décrite pendant le temps dt(s)

dv*(m²/s)= variation de vitesse aréolaire v* pendant dt(s)

 

 

Relation entre accélération aréolaire et accélération linéaire

q’a = g.l

q’a(m²/s²)= accélération aréolaire d’un segment ayant une accélération linéaire g(m/s²) qui se déplace sur une longueur transversale l(m)

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-accélération de Coriolis

Un corps en translation dans un système Squi lui-même est en rotation dans un système Sperpendiculaire à ladite translation, acquiert une accélération complémentaire (dite de Coriolis)    g= f.(2v.sinθ)

où gC(m/s²)= accélération de Coriolis d'un corps qui se meut dans le système S1

f(Hz)= fréquence de balayage de S1 par rapport au système S2

θ(rad)= angle entre les vecteurs "vitesse" et "rotation instantanée" de S1

v(m/s)= vitesse de translation du corps

>>> 2v.sinθ(m/s) est parfois dénommé facteur de Coriolis

Nota : sur Terre (si θest l’angle de latitude moyenne du lieu de mesure, où la vitesse de translation  est v # 1m/s et où la fréquence de balayage est f ~10-5 Hz) on trouve une gC de l’ordre de 10-5 m/s² --ce qui est  faible par rapport à la gravité (gG) qui est de l’ordre de 10 –

Voir aussi chapitre Inertie (force de Coriolis)

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-accélération linéaire

La grandeur champ gravitationnel inducteur (ou champ gravitationnel de Newton) prend le nom d'accélération quand elle concerne les problèmes de pure mécanique 

Cette accélération est plus précisément qualifiée de :

--accélération linéaire, pour les questions de mécanique standard

--gravité, s'il s'agit de mécanique astrale

--pesanteur pour la gravité sur Terre

Equation de dimensions :L.T-2       Symboles g (et g pour la pesanteur)      Unité S.I.+ : m / s²

Relations entre unités :

1 yard per second²  = 9,144.10-1 m/s²

1 foot per second²   =3,048.10-1 m/s²

g (pesanteur réelle, à Paris)    = 9,8135 m/s²

g (valeur de la pesanteur, version internationale) = 9,80665 m/s²

1 Gal (ex unité c.g.s) = 10-2 m /s²

 

RAPPEL de la DEFINITION du CHAMP GRAVITATIONNEL

Ce qu'on appelle accélération, en mécanique, est cependant plus généralement nommé champ gravitationnel inducteur, et c'est une fluence de champ de Higgs   g  = φ'.Y*

avec Y*(m3-sr/s²)= champ de Higgs et φ '(sr-1m-2)= fluence

Ce champ inducteur gravitationnel est, pour l'univers, égal à ~ 10-8 m/s² (c'est 2D*.KL.c²)

Quand ce champ est variable, il peut engendrer des ondes gravitationnelles (c'est lui qu'on commence à percevoir de la part de supernovas, de pulsars, d'étoiles à neutrons, de coexistence de trous noirs...)

Un corps de symétrie sphérique ne peut cependant pas engendrer lesdites ondes gravitationnelles, car il ne peut pas avoir de champ variable (Théorème de Birkhoff)

 

DÉFINITION MÉCANIQUE de l'ACCELERATION

Formule générale

L'accélération est la variation de la vitesse linéaire pendant une certaine durée

= dv / dt

avec g(m/s²)= accélération prise par un corps mobile

dv(m/s)= variation de sa vitesse

dt(s)= variation de temps (durée)

Formule de d'Alembert (cas simplifié de la loi de Newton)

g = / m

avec     g(m/s²)= accélération prise par un corps mobile

F(N)=force agissant sur le corps

m(kg)= masse du corps

 

CAS PARTICULIERS d'ACCELERATIONS

Accélération  γ pour un mouvement rectiligne, uniformément varié (force constante appliquée au corps mobile):

g est constante, mais la vitesse en dépend sous la forme

v = v+ g.t

où  g(m/s²)= accélération constante

v(m/s)= vitesse au temps t

vo(m/s)= vitesse au temps initial

t (s)= temps

L'abscisse du mobile en dépend également sous la forme :

l = lo+ vo.t + g.t²/2

où l(m)= abscisse du mobile et lo(m) étant l'abscisse initiale

autres symboles idem ci-dessus

Cas particulier :si   g est nulle, c'est un mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante)

 

Accélération g pour un mobile en mouvement circulaire

g = v² / lr        ou   g= (ω .D*)² / lr

g(m/s²)= accélération

f(Hz)= fréquence

lr(m)= rayon du cercle

v(m/s)= vitesse

D*(m/rad)= rayon de courbure de la courbe sur laquelle se déplace le mobile

ω(rad/s)= vitesse angulaire

Nota: si le mouvement est circulaire uniforme, la composante tangentielle de est nulle et sa composante normale est constante

 

Accélération d'un pendule

= f².Ι/ m.l

  g (m/s²)= accélération à laquelle le pendule est soumis

f(Hz)= fréquence de son oscillation

Ι(kg-m²)= moment d'inertie du pendule par rapport à l'axe d'oscillation

m(kg)= masse totale du pendule

l(m)= distance entre centre de gravité dupendule et l'axe d'oscillation

 

Accélération pour un mouvement vibratoire (ou oscillatoire) :

Si le mouvement d'un point O sur un cercle est projeté sur son diamètre, l'accélération du point projeté est :  = - f².l

où  g(m/s²)= accélération

f(Hz)= fréquence d'oscillation

l(m)= abscisse (l = lA.cosωt pour unoscillateur harmonique)

lA(m)= amplitude (différence entre mini et maxi de la hauteur du point O)

ω(rad/s)= vitesse angulaire

t(s)= temps

 

Accélération de gravité terrestre (pesanteur)   Voir chapître spécial

 

Accélération de Coriolis (ou accélération complémentaire)

Un corps en translation dans un système Squi lui-même est en rotation dans un système S2 perpendiculaire à ladite translation, a une accélération complémentaire (dite de Coriolis)

g = f.(2v.sinθ)

gC(m/s²)= accélération de Coriolis d'un corps qui se meut dans le système S1

f(Hz)= fréquence de balayage de S1 par rapport à système S2

θ(rad)= angle entre les vecteurs "vitesse" et "rotation instantanée" de S1

v(m/s)= vitesse de translation du corps

2v.sinθ(m/s) est parfois dénommé facteur de Coriolis

Nota : sur Terre (avec θun angle de latitude moyenne, v = environ 1m/s et avec

f = environ 10-5 Hz), on trouve une gC de l’ordre de 10-5 m/s² --ce qui est assez faible par rapport à la gravité (gG) qui est de l’ordre de 10 --

 

VALEURS PRATIQUES d'ACCÉLÉRATION (LINÉAIRE)

Valeurs arrondies (en m/s²) :

 

univers(10-8)--gravité g(10)--fusées usuelles(30 à 50)--fusées énormes(400 à 500)--saut de la puce(2000)

 

 

ACCELERATION de PARTICULE

L'accélération d'une particule soumise à un champ électromagnétique est :

 = Q.E / m

ave g (m/s²)= accélération de la particule

Q(C)= charge électrique de la particule

E(V/m)= champ d'induction électrique auquel est soumise la particule

m(kg)= masse de la particule

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-champ d'induction gravitationnelle

On trouve parfois cette grandeur nommée "induction gravitationnelle " .Ce terme est à bannir, car il est trop imprécis (il recouvre aussi bien un champ, une source, un FLUX, un potentiel, etc... ) donc inutile d'esquiver le mot utile, qui est ici champ  

Champ signifie (comme pour les autres champs d’induction, d'ailleurs) que c’est une fluence de la source inductrice

Les synonymes sont :  champ gravitationnel inducteur et accélération quand il s'agit de mécanique

 Equation de dimensions du champ:  L.T -2       Symboles g       Unité S.I.+ : m / s²

g  = φ'.Y*   avec Y*= champ de Higgs et φ '(sr-1m-2)= fluence (c’est à dire 1 l².W)

En supposant les charges situées à mi-distance du rayon de l'univers, le champ inducteur gravitationnel de l'univers est ~10-8 m/s²

 (valeur de Y* ~ 10-36 m3-sr/s²)

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-décélération

La décélération  est une accélération négative

Si vitesse et accélération sont opposées: la distance d'arrêt du mobile s'en déduit :

γ = v² / 2la

la(m)= distance d'arrêt

v(m/s)= vitesse

γ(m/s²) est une décélération

 

FREINAGE  

c'est une décélération (accélération linéaire négative) due aux frottements mécaniques

v = vo- γ.t

γ(m/s²)= décélération constante

v(m/s)= vitesse au temps t

vo(m/s)= vitesse au temps initial

t (s)= temps

 

POUVOIR D'ARRÊT

C'est la perte d’énergie d'un mobile en fonction de la distance qu'il parcourt dans le milieu freinant où il évolue

Equation aux dimensions  : L.M.T-2 (c'est une force)      Symbole Fp      

Unité S.I.+ : N

Ce pouvoir d'arrêt est : Fp(N)= ρ'.η²

ρ'(kg/m3) est la masse volumique du milieu

et  η(maSt) sa viscosité cinématique

Fp est lié à la décélération (m.γ)

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-flux d'induction gravitationnel

Le FLUX d'induction gravitationnel  est l'un des 4 FLUX d'interactions de la gravitation. Il s'agit là du FLUX d'unchamp de Higgs (la source  inductrice gravitationnelle transmise dans un angle solide)

On lit parfois comme synonyme le terme "FLUX de forces", ce qui est  impropre car il n'est nullement question de force (donc de masse) dans la présente notion.

Dimension L3.T-2   Symbole de désignation : G’        Unité S.I.+ : m3/s²

-définition

G’ = Y*/ Ω 

G’(m3/s²)= FLUX gravitationnel inducteur

Y*(m3-sr/s²)= champ de Higgs

Ω(sr)= angle solide dans lequel se manifeste l’induction gravitationnelle

-théorème de Gauss en gravitation

G’ = G.m / Ω

G’(m3/s²)= FLUX inducteur gravitationnel, et qu'on ne doit pas nommer "flux de forces"

G(m3-sr/kg-s²)= constante de gravitation [8,385.10-10 m-sr/kg-s²]

m(kg)= masse du corps induisant le FLUX

Ω(sr)= angle solide dans lequel s’exerce le FLUX (en général, 4p  stéradians)

 

-FLUX gravitationnel pour une particule

G' = A*/ j*

A*(J/sr)= énergie spatiale de la particule

j*(kg/m-sr)= potentiel gravitationnel d’excitation (de Yukawa)

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-potentiel d'induction gravitationnel

Un potentiel d'induction est, par définition, une source d’induction ramenée à la distance et à l’angle solide. Pour le cas de la gravitation, c’est donc la grandeur >>>.

Equation aux dimensions  : L.T-2       Symbole : q’g        UnitéS.I.+ : J/kg

La formule de base est q’= Y* / l.W   ou (équation de Poisson)  Δq’= m.G / V.Ω

où q’g(J/kg) = potentiel d’induction gravitationnel,

Y*(m3-sr/s²) = source d’induction -présente initialement dans le vide- et dénommée champ de Higgs

l(m) = distance entre [le lieu de mesure du potentiel et q’]

W(sr) = angle solide valant 4 stéradians dans ce système d’unités

Δ (m-2) = Laplacien du potentiel q’–---rappel : un Laplacien est Δ = d²/dx² + d²/dy² + d²/dz² ---- où x, y, z sont les coordonnées géométriques

m(kg) = masse

G= constante de gravitation (8,385.10-10 m3-sr/kg-s² )

V(m3) = volume

On estime que ce potentiel dépend de la température, ce qui implique une formulation sous la forme -dite équation de Poisson généralisée) S(m.G / l.W) + s’.T

où s’(J/kg-K) = entropie massique et T(K) = température

 

Nota 1: le champ inducteur correspondant (l’accélération) est le gradient de ce potentiel (c’est à dire la dérivée par rapport à la longueur)

Nota 2: certains écrivent que ce potentiel a pour dimension L (une longueur) sous prétexte de modifier la métrique de l’espace-temps !    --c’est inexact—car la métrique est modifiée par la présence de masse (dixit Einstein) mais elle ne saurait l’être de la part d’un potentiel tel celui-ci, qui n’a pas de relation avec la courbure

 

CAS du POTENTIEL (D’INDUCTION GRAVITATIONNEL) TERRESTRE

on a g = - grad.q’gt

où g(m/s²)= accélération de la pesanteur

q'gt(J/kg)= potentiel d'induction gravitationnel terrestre

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-potentiel d'induction gravitationnel conjoint

Tout potentiel d'induction est, par définition, une source d’induction ramenée à la distance et à l’angle solide. Ici, c’est donc

v = u / l.W   où v(m/s) = potentiel d’induction gravitationnel conjoint, u(m²-sr/s) = la viscosité intrinsèque (lla source gravitationnelle conjointe, présente initialement dans le vide), l(m) = la distance au lieu de mesure du potentiel et W(sr) = l’angle solide (4p sr si le système d’unités a le stéradian pour unité d'angle)

Les phénomènes dits gravitants (ou gravitationnels conjoints) sont, en gravitation, les équivalents de ceux nommés "magnétiques" en électromagnétisme

Ici, le potentiel gravitant est plus connu  sous son nom en mécanique:  vitesse

Equation aux dimensions : LT-1        Symbole de désignation: v        Unité S.I.+ : m/s

 

Formules de base

v = v* / l       et   v = i'.Y

où v(m/s)= potentiel gravitationnel conjoint (vitesse)

v*(m²/s)= (vitesse aréolaire) ou flux d'induction conjoint 

l(m)= distance

i'(kg/s-sr)= débit-masse spatial

Y(m-sr/kg)= facteur de milieu de Yukawa

Bien entendu, toutes les autres formules concernant la vitesse sont valables >>> Voir chapitre Vitesse linéaire

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