FORMULES de PHYSIQUE
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M1.CINéMATIQUE GéNéRALE
-cinématique
La cinématique est l'étude des mouvements en fonction du temps, mais indépendamment des causes (donc sans tenir compte des masses)
On y trouve les notions de mécanique gravitationnelle comme :
--celles de cinématique d'induction- :
-les charges mésoniques (normale, linéique, surfacique, volumique)
-les (FLUX, potentiel et champ) gravitationnels inducteurs
-les moments (normal et angulaire)
--et celles de cinématique d'excitation :
-les notions de visco. cinétique, de vitesses (normale et angulaire)
-la fréquence et le débit-volume
Relation entre une notion de cinématique induite et sa consoeur d'induction >>
notion induite = notion inductrice divisée par c (constante d'Einstein)
Relation entre une notion de cinématique et sa consoeur de dynamique >>:
dynamique = cinématique inductrice divisée par c.Y (Y étant le facteur de Yukawa
-débit-volume
Souvent utilisée sous le nom abrégé de "Débit", cette notion (le débit-volume) est aussi synonyme de courant de fluide, flux fluidique ou même simplement écoulement
Equation de dimensions : L 3.T -1 Symbole de désignation : Q
Unité S.I.+ : m3 /s
Relations entre unités :
1 mètre cube par heure vaut 2,777.10-4 m3 /s.
1 cm3 par minute (cm3/mn) vaut 1,666.10-8 m3 /s.
1 Lusec vaut 1 litre /s sous une pression de 103 Torr (soit 103 mm de Hg)
1 goutte d’eau par seconde vaut environ 20 m3 par an
DEBIT (-VOLUME)
Le débit est le produit : vitesse x section
Le débit est le quotient : volume / temps
-conservation du débit (équation de continuité)
Dans un flux (écoulement) où la section change, le débit reste constant.
Supposons une restriction de section de S0 à S1 alors v0.S0 = v1.S1
où (v.S)= Q est le débit(-volume), en m3 par seconde
v0(m/s)= vitesse moyenne dans la section S0
v1(m/s)= vitesse moyenne dans une section S1 au-delà de S0 (après la restriction)
On parle de vitesse moyenne, car la vitesse n’est pas identique dans une même section, par suite des perturbations créées par les bords
La formule ci-dessus indique que si la section diminue, la vitesse augmente.
On peut l’écrire div.v = 0 la divergence étant un scalaire "dérivée première par rapport à la longueur"
HYDROLOGIE
-le "module" est un terme pratique utilisé en distribution d’eau.
C'est une unité de débit arbitraire
-le module absolu est mesuré en m3/s (Ex: les très grands fleuves ont des modules de plusieurs dizaines de milliers de m3 par seconde)
-le module relatif (ou spécifique) est un débit ramené à la surface du bassin drainé (l’unité d’usage étant le l/s par km²
-la perméabilité d’une membrane ou d'un terrain
C’est aussi un débit --indiquant le volume d’un fluide diffusant à travers une membrane semi-poreuse, en fonction du temps--
Voir chapitre perméabilité
-fréquences (en mécanique)
La notion de fréquence utilisée en mécanique et en gravitation, a le rôle d'induction conjointe
C'est en effet le champ inducteur gravitationnel conjoint (c'est à dire qu'il a -en gravitation- le rôle similaire à celui du champ magnétique d'induction B en magnétisme)
Ce champ, en pratique, est nommé fréquence et cela signifie : stricte répétition, ou reproduction, ou variation répétitive d’un phénomène non dimensionnel pendant l’unité de temps
Equation aux dimensions structurelles d'une fréquence : T-1
Symboles : f (et ν si fréquence très élevée) Unité S.I.+ : Hz ou s-1
Relations entre unités :
1 térahertz(TH) vaut 1012 Hz
1 gigaHertz(GHz) vaut 109 Hz
1 mégaHertz(MHz) vaut 106 Hz
1 mégacycle par seconde vaut 106 Hz
1 kiloHertz(kHz) vaut 103 Hz
1 diapason vaut 4,400.102 Hz
1 pulsation vaut 6,283(2p) Hz
1 seconde -1(s-1) vaut 1 Hz (unité utilisée, pour notions numériques, comme spires, coups, apparitions etc.)
1 mel (pour hauteur d’un son) vaut 1 Hz
1 flop (nombre d’opérations/s) vaut 1 Hz mais on utilise surtout le téraflop, qui vaut 1012 opérations par s.(cas des opérations d'un ordinateur)
RELATIONS CLASSIQUES
f = n / t
où f(Hz)= fréquence d’un phénomène non dimensionnel, reproduit identiquement n fois pendant le temps t(s)
n est un nombre (de fois, de chocs, de répétitions, de passages, etc.. toutes ces notions étant adimensionnelles)
f = inverse d’une période (le terme "période" étant utilisé pour exprimer le temps dans certaines formes de répétitions, comme pour un pendule)
f = grad.v où f(Hz)= fréquence d’un phénomène dont la vitesse est v(m/s)
FRÉQUENCE de BALAYAGE
Cette fréquence représente un nombre de répétitions (de passages) au même point sur une courbe fermée, pendant une durée déterminée
C'est toujours un nombre en un certain temps, donc dimension (T-1)
f = [F / m.l ]1/2
f(Hz)= fréquence de balayage (ce qui veut dire fréquence de passage)
F(N)= force centrifuge créée sur un mobile de masse m(kg) tournant autour d’un point O
l(m)= distance entre le corps et le point O
FREQUENCE en COSMOLOGIE
Le paramètre (ou coefficient) de Hubble, est une fréquence, représentant la variation d’une vitesse (entre 2 astres) par rapport à la variation de leur distance
FREQUENCE de ROTATION
On trouve parfois le terme fréquence de rotation ce qui signifie "reproduction cyclique d’une rotation angulaire" (donc ce n'est pas une fréquence, c'est une périphrase pour "vitesse angulaire")
-mouvement
Le mouvement n'est pas une grandeur, c'est un état cinématique, impliquant les notions de vitesse et d’accélération.
Le mouvement est la seule notion nécessaire pour appréhender les phénomènes cosmiques
TYPES de MOUVEMENTS
Il y a 3 séries de mouvements possibles pour un mobile, qui dépendent des valeurs des composantes de son accélération g (ces composantes étant gt = la composante tangentielle et gr = la composante radiale)
1.mouvements rectilignes
Si gt = gr = 0 >>> c’est un mouvement rectiligne uniforme
Si gt = constante et gr = 0
---gt > 0 est dit MRUA mouvement rectiligne uniformément accéléré
---gt < 0 est dit MRUD mouvement rectiligne uniformément retardé -ou décéléré
Si gt = fonction du temps et gr = 0 >>> c’est un MRAV ou mouvement rectiligne à accélération variable
2.mouvements curvilignes
Si le mouvement a lieu sur une courbe (et non plus sur une droite, comme ci-dessus), on a
si gt = 0 et gr = fonction du temps >>> c’est un mouvement curviligne uniforme
si gt = constante et gr = fonction du temps >>> c’est un mouvement curviligne uniformément accéléré (ou retardé)
si gt et gr sont fonctions du temps >>> c’est un mouvement curviligne à accélération variable
3.mouvements circulaires
Si le mouvement a lieu sur un cercle :
si gt = 0 et gr proportionnel à v² / lr >>> c’est un mouvement circulaire uniforme
si gt = constante et gr proportionnel à v²/ lr >>> c’est un mouvement circulaire uniformément accéléré (ou retardé)
si gt est fonction du temps et gr = 0 >>> c’est un mouvement circulaire à accélération variable
Nota : un mouvement retardé est caractérisé par une vitesse de signe opposé à celui de l'accélération (et une décélération est une accélération négative)
ÉQUATION de MOUVEMENT
Elle exprime la trajectoire d'un mobile en fonction de l'accélération (ou de la force, qui lui est proportionnelle)
Exemples : équation d’onde, ou formules des mouvements mécaniques...
En outre, on ajoute un qualificatif pour les mouvements, en fonction de leur état de variation (vibratoire, sinusoïdal...)
QUANTITÉ de MOUVEMENT
C'est le produit masse x vitesse Voir chapître spécial
MOUVEMENT BROWNIEN
Le mouvement brownien est un mouvement moléculaire affectant spontanément les corps (surtout les fluides, mais aussi les solides dès lors que les particules ont une dimension inférieure au micromètre)
Pour un fluide, les molécules heurtent les particules colloïdales mitoyennes (d’une taille de quelques micromètres)
Le mouvement brownien est défini par l'équation de Langevin --ou celle de Fokker-Planck, qui en est dérivé m.dv / dt = -M*.v + Fbb
où (mdv/dt) est la force globale (en Newtons) appliquée à 1 particule
m est sa masse en kg, v sa vitesse (en m/s) et t le temsp (en s)
(M*.v) est la force de frottement (en N) créée par le fluide dont fait partie la particule
M* est le débit-masse (en kg/s)
Fbb(N) est la force dite "bruit blanc" ou "force aléatoire" exercée sur la particule par les atomes du milieu ambiant
MOUVEMENT de PARTICULE
Une particule chargée, présente dans un champ électromagnétique, est soumise à une force donnée par :
F = Q.(E+ v.B)+ m.γ où E(V/m) est le champ d’induction électrique
B(T)= champ d’induction magnétique
Q(C)= charge de la particule v(m/s)= sa vitesse et m(kg) sa masse
g(m/s²)= champ d'accélération ambiant
-précession (généralités)
La précession est le mouvement pris par l’axe d’un corps en rotation sur lui-même, quand les forces qui lui sont appliquées ont une composante perpendiculaire non nulle.
On la mesure par l’angle, la vitesse angulaire et la fréquence de précession
ANGLE de PRÉCESSION
θ(rad)= ΣF / Mci
ΣF(N)= résultante des forces perpendiculaires à la rotation
Mci(J-s/sr)= moment cinétique intrinsèque
FRÉQUENCE de PRÉCESSION
f = Mf.θ /Î.ω et f = Mf / θ.Mci
avec f(s-1)= fréquence de précession
Mf(N-m)= moment des forces appliquées
Mci(J-s/rad)= moment cinétique intrinsèque
θ(rad)= angle balayé uniformément dans la rotation (égal à 2∏ sr, seulement dans le cas où la rotation est totale et si les unités sont S.I.+)
ω(rad/s)= vitesse angulaire de précession
Ι(kg-m²)= moment d’inertie
VITESSE ANGULAIRE de PRÉCESSION
ω = Mf / Mci ou ω = Mf / f.Ir
où Mf(N-m)= moment des forces appliquées
Mci(J-s/rad)= moment cinétique intrinsèque
f(s-1)= fréquence de balayage
ω(rad/s)= vitesse angulaire
LA PRÉCESSION ASTRALE est un phénomène de variation de la direction de l'axe de rotation d'un astre sur lui-même.
C'est dû à une irrégularité de forme volumétrique de l'astre (celle-ci étant plus souvent ellipsoïdale que parfaitement sphérique)
-angle de précession
θ = ΣF / Mci
ΣF(N) étant la résultante des forces perpendiculaires à la rotation
Mci(J-s/rad)= moment cinétique intrinsèque
L’angle de précession de la Terre est annuellement de 50,274 secondes d’arc.Ceci correspond à 2140 ans pour qu'une zone zodiacale (constellation) apparaisse à la place de la précédente
-vitesse de précession
Pour la Terre, c’est la vitesse avec laquelle change la "précession", c’est à dire la variation de position de son axe de rotation dans le temps.
-vitesse angulaire de précession ou Rotation instantanée
C'est la rotation (dite instantanée) d’un point en rotation autour d’un axe et définie par
ω = MΓ / Mci
où ω(rad/s)= rotation instantanée
MΓ(J/rad)= moment de torsion du couple
Mci(Js/rad)= moment cinétique intrinsèque
-fréquence de précession
f = Mf / θ. Mci
avec f(Hz)= fréquence de précession
Mf (N-m)= moment des forces appliquées
Mci(J-s/rad)= moment cinétique intrinsèque
θ(rad)= angle balayé uniformément dans la rotation
-nutation
C'est un phénomène qui se surajoute à la précession et qui est dû à la variation (souvent périodique) de distance entre un astre et ses satellites.
Par exemple pour la Terre et la lune, la nutation est l'oscillation de (X) l'axe de rotation terrestre qui, ajouté à la précession donne (au cours du temps) un aspect de feston entre l'intersection de (X) avec une section dans un plan perpendiculaire à (X)
LA PRÉCESSION PARTICULAIRE est le phénomène de variation de la direction d'un axe de rotation particulaire
-vitesse angulaire de précession (ou rotation instantanée d’un point en rotation autour d’un axe)
ω = MΓ / Mcp
ω(rad/s)= rotation instantanée
MΓ(J/rad)= moment de torsion du couple
Mcp(Js/rad)= moment cinétique
La fréquence de précession est
f = Mf / θ.Mcp
où Mf (N-m)= moment des forces appliquées
Mcp(J-s/rad)= moment cinétique propre
θ(rad)= angle balayé uniformément dans la rotation
-précession de Larmor
Elle se définit pour une particule subissant un champ magnétique
Quand un champ d’induction magnétique extérieur B est appliqué à une particule et si ses moments magnétique et angulaire sont parallèles, il y a précession de l’aimantation autour de l’axe du champ B.
La fréquence de cette précession (de Larmor) est telle que
fL= Q.B / Z.m ou fL= 2γ'.H’ / Ω
avec fL(Hz)= fréquence de précession (dite de Larmor)
Z = numéro atomique (dit aussi "nombre de charge")
m et Q = masse(kg) et charge(C) de la particule
B(T)= champ d’induction magnétique uniforme extérieur
Ω(sr)= angle solide(vaut 4∏ sr uniquement si le système d’unités a le stéradian comme unité)
H’(T-sr)= induction intrinsèque (magnétisation)
γ'(C/kg)= rapport gyromagnétique de la particule (= rapport charge électrique / masse)
Cas de l’électron : fLé = e.B / 2mé
où e(C) est la charge élémentaire (1,6021733.10-19 C)
-rotations : leur géométrie temporelle
La rotation est le mouvement d’un corps autour d’un axe, avec comme cas particuliers :
-la rotation plane (le plan étant sécant de l'axe, ce qui détermine un centre de rotation)
-et la révolution, qui est une rotation plane fermée (arrivée au point de départ)
Grandeurs impliquant une rotation (par ordre alphabétique) >>>
ACCÉLÉRATION pour MOBILE en ROTATION CIRCULAIRE
γ = v² / lr
avec γ(m/s²)= accélération
v(m/s)=vitesse
lr(m)= rayon du cercle de rotation
ANGLE PLAN de ROTATION
C'est la portion de plan infinie, entre 2 demi-droites concourantes au centre de rotation
θ = l.θ0 / lr
θ(rad) = angle plan sous lequel on voit l , depuis le centre d’un cercle de rayon lr
l(m)= arc visé
θo(rad) = angle plan sous lequel on voit (depuis le centre de ce même cercle) un arc de longueur lr
CENTRE INSTANTANÉ de ROTATION
Intersection des normales de points voisins atteints sur une trajectoire (il est rejeté à l’infini pour une translation)
En généralisant aux "vecteurs vitesses", c'est le point de rencontre des perpendiculaires de chaque origine de vecteurs vitesses successifs
COURBURE
Notion basique de rotation, la courbure est un angle linéique
T* = dθ / dl
où T*(rad/m) = courbure
l(m)= abscisse de la projection d’un point mobile M en rotation sur une courbe plane
θ(rad)= angle entre la tangente à la courbe au point M et l’axe des abscisses
Nota : le rayon de courbure D* (exprimé en m/rad) est l'inverse de la courbure
OSCILLATION HARMONIQUE
Si un point se déplace en rotation uniforme sur un cercle, la continuité des projections de son mouvement sur un axe parallèle à un diamètre du cercle, représente une oscillation harmonique
Ψ(t) = lr.cos(ωt + φ)
avec Ψ(t) (fonction d’onde)= projection sur l’axe des x
lr(m)= rayon du cercle
(ωt + φ)(rad)= phase (avec φ = phase initiale= angle entre le rayon passant par le point et l’axe des x) et ω(rad/s)= vitesse angulaire
PENDULE
C’est un exemple de rotation (partielle) d'un corps autour d’un axe
lé = lA.sin(ωt + φ)
avec lé(m)= élongation, m(kg)= masse du pendule
lA(m)= amplitude, ω(rad/s)= vitesse angulaire, φ(rad)= déphasage
PÉRIODE DE RÉVOLUTION
Synonyme = période de rotation totale = c'est le temps tr mis par un mobile pour revenir au même point de sa trajectoire soit
tr = θ / ω où ω(rad/s)= vitesse angulaire du mobile et θ(rad)=angle de rotation
Cas d'un point fixé sur le globe terrestre: ω est # 7,29.10-5 rad/s, θ = 2∏ d'où la période de révolution = 86.400 s (soit 24 heures)
VECTEUR ROTATION
C’est le vecteur représentant la vitesse angulaire
ω = Mcp / ID
ω(rad/s)= valeur du vecteur rotation
Mcp(J-s/rad)= vecteur moment cinétique propre
ID(kg-m²)= moment d’inertie par rapport à l’axe de rotation
VITESSE ANGULAIRE
Pour un mobile parcourant une circonférence : la vitesse angulaire est le balayage effectué dans un angle plan sous-tendant la trajectoire du mobile, pendant l’unité de temps.
Synonymes: fréquence angulaire ou fréquence de rotation ou fréquence de balayage
Equation aux dimensions structurelles : T-1.A Symbole de grandeur : ω
Unité S.I.+ : rad/s
Relations entre unités :
1 tour par seconde= 60 tours par minute
= 2p rad/s = 2p x 60 (≈ 377) radians par minute
1 tour par minute = 1/60 tour par seconde = 2p radians par minute
= 2p / 60 (≈ 0,1) rad/s
1 rad/s = 60 radians par minute = 1/2p (soit # 0,6 tour par seconde)
= 60/2p (soit ≈ 10) tours par minute
1 radian par minute = 1/60 rad/s= 1/2p (soit ≈ 0,6 tour par minute)
= 1/2p.60 (soit ≈ 0,0026) tour par s
1 degré d’angle par seconde= 1/360 tr/s= 1/6 tr/mn= 2p / 360 (≈ 0,017 rad /s)
= p / 3(soit ≈ 1,047 rad/mn)
1 grade par seconde = 1/400 tr/s = 6/40, soit 0,15 tr/mn
= 2p / 400 (soit ≈ 0,016 rad /s) = 3p / 10 (soit ≈ 0,943 rad/mn)
Attention: on voit trop souvent l’expression abrégée "nombre de tours", qui laisse à penser qu’il s’agit d’un nombre, mais la vraie expression est "nombre de tours par seconde" et c’est une unité de vitesse angulaire
-formules pour la vitesse angulaire
ω = θ/ t ou ω = θ.f ou ω = θ.v / lr
ω(rad/s)= vitesse angulaire d’un mobile parcourant une circonférence
θ(rad)= angle balayé uniformément pendant le temps t(s)
f(Hz)= fréquence
lr(m)= rayon de la circonférence
v(m/s)= vitesse de rotation
Nota : θ(rad) l'angle de rotation, ne peut être représenté par 2p que s'il s'agit d'une rotation complète et que si le système d’unités a comme angle unité le radian
Donc une formule qui comporte spontanément 2 pi n'est pas une formule générale de Physique, mais un cas particulier arrangé avec une unité particulière (en général avec l'unité de fréquence dite pulsation)
-vitesse angulaire
Vitesse signifie “écoulement d’une grandeur pendant une unité de temps”
Angulaire signifie que la grandeur qui s’écoule ici est un angle
a)) pour ceux qui prétendent que l’angle n’a pas de dimension:
vitesse angulaire signifie “vitesse d'un nombre” mais comment imaginer ce que peut bien être la vitesse d’une abstraction comme un nombre (simple rigueur de l’esprit) ?
b)) pour ceux qui disent que la pulsation est une vitesse angulaire
la pulsation étant une unité de fréquence, ils sont obligés de faire apparaître, dans leurs formules, un (angle au carré) Comment se le représentent-ils (physiquement, géomètriquement, à quoi ressemble un angle au carré ?)
c)) pour ceux qui ont compris que l'angle est “quelque chose d’autre qu’un nombre”
ceux qui savent que l’angle est une entité palpable, (relire le chapitre angle) la vitesse angulaire est un angle plan balayé pendant un certain temps: c'est clair.
Synonyme (à éviter, car il prête à doute) >>> fréquence angulaire
Synonyme pour les moteurs thermiques: régime (exprimé en tr par minute ~ 0,1 rad/s)
Equation aux dimensions structurelles d'une vitesse angulaire : T-1.A
Symbole de désignation : wUnité S.I .+ : le radian par seconde (rad/s)
Diverses autres unités sont utilisées:
1 tour par seconde = 60 tours par minute = 2p rad/s = ~ 377 radians par minute
1 tour / minute = 1/60 tour par seconde = 2p radians par minute = ~ 0,1 rad/s
1 rad/s = 60 radians par minute = 1/2p (soit ~ 0,6) tour par seconde = ~ 10 tr/mn
1 radian / minute = 1/60 rad/s = 1/2p (soit ~ 0,6 ) tour par minute = ~ 0,0026 tr/s
1 degré d’angle / seconde = 1/360 tr/s = ~ 0,017 rad /s = ~ 1,047 rad/mn
1 grade par seconde = 1/400 tr/s = 0,15 tr/mn = 2p /400 (soit ~ 0,016) rad /s
1 grade par seconde = 3p /10 (ou ~ 0,943) rad/mn
-formules de définition
ω = θ/ t et ω = θ.f et ω = θ.v / lr
ω(rad/s)= vitesse angulaire d’un mobile parcourant une circonférence
θ(rad)= angle balayé uniformément pendant le temps t(s)
f(Hz)= fréquence de balayage
lr(m)= rayon de la circonférence
v(m/s)= vitesse de rotation
Nota 1: la formule correcte ci-dessus ω = θ.f traîne un peu partout sous la forme
ω = 2p.f ce qui est erroné, car on trouve là une valeur numérique (2pi) alors qu’aucune formule en Physique ne peut recèler de valeur numérique (hormis celles résultant d’intégrations)
Pourquoi ce (2pi) ? parce que le système d’unités qu'ils choisissent n’est plus le système S.I +, mais un système bâtard où l'unité d'angle est prise égale à 6,28 (qui et bien sûr un nombre, puisque pour eux l’angle se mesure en nombre-chiffre)
On pourrait tout aussi bien y lire un autre nombre (comme 360 ou 400 ou même 300.000, si l’on s'amuse à prendre un système où ne figure plus le radian, mais le degré, le grade ou la vitesse de la lumière ...)
Nota 2: on voit trop souvent l’expression abrégée "nombre de tours", qui laisse à penser qu’il s’agit d’un nombre, mais la vraie expression est "nombre de tours par seconde" et donc c’est une unité de vitesse angulaire (nombre d’angle -qui est ici dénommé tour- balayé pendant un temps de 1 seconde)
-utilisation dans l'espace
Quand c'est un angle solide qui est balayé dans un certain temps, on conserve le terme de vitesse angulaire (ce qui est illogique), mais intervient un facteur 2 (provenant de 4p / 2p, rapport des unités d’angles entre espace et plan)
-valeurs pratiques de vitesses angulaires
On arrive à faire tourner des échantillons à 100.000 tr/s (soit ~ 600.000 rad/s)
-relation entre vitesses angulaire et linéaire
ω = v.θ / lr
ω(rad/s)= vitesse angulaire d’un mobile parcourant une circonférence de rayon lr(m)
v(m/s)= vitesse (linéaire) tangentielle du mobile
θ(rad)= angle plan sous-tendu par un arc de longueur lr
-relation entre vitesse angulaire et accélération linéaire
ω = g.t.θ / lr
mêmes notations que ci-dessus
g(m/s²)= accélération
t(s)= temps
-vitesse angulaire d'un moteur électrique
ω = θ.f où (ω en rad/s, f en Hz et θ en radians)
Pour avoir ω en tours/minute, faire la conversion :
1 radian par seconde ~ 10 tours par minute
VITESSE ANGULAIRE et PHENOMENES PERIODIQUES
-vitesse angulaire pour une onde
La vitesse angulaire est utilisée dans l'équation d'une onde, où elle est présente sous les lignes trigo. >>> sin(ωt + φ) ou cos(ωt + φ)
C’est le balayage d’un angle plan dans l’unité de temps.
Quand cela concerne une onde sinusoïdale, on la trouve (sous le symbole ω) dans l’équation usuelle de l’élongation d’une telle onde lé = lA.cos(ωt + φ)
-vitesse angulaire d'un pendule composé :
ω = θ.(m.g.l / I)1/2
où θ(rad)= angle de l’oscillation (sa valeur maximale est dite "élongation angulaire")
m(kg)= masse du pendule
g(N/kg)= pesanteur,
l(m) = longueur du pendule et I(m4) son moment d'inertie
-vitesse angulaire d'un circuit électrique oscillant :
ω = θ / (L.C)1/2 où C(F)= capacité et L(H)= inductance
-vitesse angulaire de précession
ω = Mf / Mci ou ω = Mf / f.Ir
Mf(N-m)= moment des forces appliquées
Mci(J-s/rad)= moment cinétique intrinsèque
f(s-1)= fréquence de balayage
ω(rad/s)= vitesse angulaire
VITESSE ANGULAIRE et PARTICULES
-vitesse angulaire dans le comportement d’un électron inclus dans une molécule :
la vitesse angulaire de l’électron autour d’un noyau d’hydrogène est
~ 2.1011 tours par seconde (soit plus de 1012 rad/s)
-vitesse angulaire dans un cyclotron
elle exprime le comportement particulaire dans une rotation imposée (dans un anneau d’accélération) ω = Q.H’ / 2m
ω(rad/s)= vitesse angulaire d’une particule en cyclotron
m(kg) et Q(C)= masse et charge de la particule
H’(T-sr)= magnétisation ambiante
On en déduit aussi la formule ω = Q.B.cm / 2.m
mêmes notations que ci-dessus, avec en sus B(T)= champ d’induction magnétique et cm(sr)= susceptibilité magnétique
-vitesse aréolaire
Si un point P décrit un arc de cercle centré en un point O, sa vitesse aréolaire est l’aire balayée par OP dans un certain temps
Equation aux dimensions : L2.T-1 Symbole grandeur : v*
Unité S.I.+ : le m² par seconde (m² /s)
Nota: cette grandeur a la même équation aux dimensions structurelles que la viscosité cinématique, ce qui n’est pas surprenant, car il s’agit là aussi de déplacement d’une aire pendant une unité de temps (en viscosité, l’aire glisse sur une autre)
VITESSE AREOLAIRE
v* = dS / dt ou v* = dS.df )
v*(m²/s)= vitesse aréolaire d’un mobile décrivant une courbe en balayant un secteur S, avec une fréquence f(Hz), ou pendant le temps t(s)
LOI des AIRES
v* = Mcp.θ / m
Mcp(J-s/rad)= moment cinétique propre de la planète
m(kg)= masse de la planète
v*(m²/s)= sa vitesse aréolaire
θ(rad)= angle de rotation
Comme le moment Mcp est constant et m aussi, v* l'est aussi
et comme v* = S / t , ce rapport est constant
RELATION de la VITESSE ARÉOLAIRE AVEC L’ACTION
v* = a / 2m
avec v*(m²/s)= vitesse aréolaire d’un mobile
a(J-s)= action du mobile de masse m(kg)
-vitesse linéaire
Vitesse est un terme général signifiant "écoulement d’une certaine quantité de grandeur pendant un certain temps". C’est donc un quasi synonyme de courant, ou de flux, ou de débit
Ici, pour la vitesse linéaire, la grandeur qui s'écoule est la distance.
La vitesse angulaire et la vitesse aréolaire n'ont évidemment rien à voir avec la vitesse linéaire, puisque ce ne sont pas des distances qui s'écoulent (mais des angles ou des aires)
Quand une vitesse linéaire varie (en importance ou en direction) la cause est l'application d'une force (soit une force d’inertie car le référentiel se met en mouvement, soit une force d’interaction, car un autre corps agit par le truchement de bosons véhicules, soit une force de poussée)
Equation aux dimensions des vitesse linéaires:L.T-1 Symbole grandeur : v
Unité S.I .+ : le mètre par seconde (m/s)
Relations avec d'autres unités :
1 constante d'Einstein vaut 2,99792458 .108 m/s)
1 vitesse du son (variable) vaut 2,9 à 3,5.102m /s
1 mach vaut 3,4029.102m /s
1 yard per second vaut 9,144.10-1m /s
1 nœud vaut 5,146.10-1m /s
1 mile per hour vaut 4,490.10-1m /s
1 foot per second vaut 3,048.10-1m /s
1 kilomètre à l’heure vaut 2,777.10-1m /s
1 inch per second vaut 2,540.10-2m /s
1 mètre par minute vaut 1,666.10-2m /s
DEFINITION d'une VITESSE LINEAIRE
v = dl / dt où v(m/s)= vitesse instantanée d’un mobile parcourant une distance dl(m) pendant le temps dt(s)
-vecteur vitesse
Il s'agit de la représentation vectorielle de la vitesse d'un phénomène (avec ses classiques indications de direction, intensité et décomposition sur coordonnées cartésiennes)
-vitesse tangentielle
v = l.f où v(m/s)= vitesse tangentielle d’un mobile parcourant un arc l(m) sur un cercle et f(Hz) est la fréquence de balayage
Exemple d'une roue (vitesse sur sa circonférence) Elle répond à :
v = l.f = 2p.lr / t où t(s) est le temps et lr(m) le rayon de la roue
Exemple d'un être vivant à la surface de la Terre
v = 2p.lr.cos θl / t où lrest le rayon de la Terre (6370 km), θl la latitude du lieu et t la durée d'un jour (86400 s) d'où v ~ 300 m/s pour la France
-transport
la vitesse est dénommée "transport" quand il y a diffusion d’énergie
Voir les coefficients de transport
GROUPAGE de VITESSES
-conjonction de vitesses
Cas d'un mobile se déplaçant par rapport à un autre
v3 = (v1+ v2) / [1+ v1.v2 / c²]
où v1(m/s)= vitesse d’un mobile dans un système de référence
v2(m/s)= vitesse d’un autre mobile par rapport au premier
v3(m/s)= vitesse résultante (composée) du 2° mobile par rapport au système de référence et c(m/s)= constante d’Einstein (2,99792458 .108 m/s)
-vitesse de précession
Pour la Terre, c’est la vitesse avec laquelle change la "précession", c’est à dire la variation de position de son axe de rotation dans le temps.
-vitesse quadratique
Cas de composition de vitesses de plusieurs mobiles
vnm= [(v1 ² + v2 ²...+ vn²) / n]1/2
où v1 ,v2 ,vn (m/s)= vitesse individuelle de chaque élément d'un groupe de n mobiles
vnm(m/s)= vitesse quadratique moyenne en découlant
Une vitesse quadratique moyennese présente aussi sous la notation (Σv²)1/2 si
Σv est l’ensemble des vitesses linéaires impliquées dans le phénomène.
VITESSES LIMITES
-vitesse d'échappement ou 2° vitesse cosmique
C' est la vitesse de libération de l’attraction terrestre :
vc2 = [2G.m / Ω.(lr + ls)]1/2
avec G= 8,385.10-10 m3-sr/kg-s² (constante de gravitation)
m = 5,974.1024 kg (masse de la Terre
Ω = 4p sr (angle solide d'ambiance)
lr= 6,37.106 m (distance du centre de la Terre)
ls= 3.104 m (altitude, environ), donnant la valeur de vc2 = 11.190 m/s (~ 40.000 km/h)
-vitesse autorisée
La vitesse de tout objet est limitée à c (vitesse de la lumière dans le vide)
Dans un milieu autre que le vide : la vitesse de la lumière est
vm(m/s) = (c / n*) où n* est l’indice du milieu
Exemple dans l'eau (vm ~ 225.000 km/s) et dans le verre (vm ~ 200.000 km/s)
La lumière rouge se déplace plus vite que la violette
VITESSE en FONCTION du TYPE de MOUVEMENT
-vitesse en mouvement rectiligne uniformément varié
v = γ.t + v0
v(m/s)= vitesse instantanée d’un mobile au temps t(s)
γ(m/s²)= son accélération et v0(m/s)= sa vitesse initiale
Cas particulier : si γ est nulle, c’est un mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante, donc ne dépendant plus du temps)
-vitesse en mouvement rectiligne oscillatoire(ou vibratoire):
si le mouvement d’un point O sur un cercle est projeté sur son diamètre, l’abscisse est (lA.cosω.t) et la vitesse est v = (lA.cosω.t) / t
où lA(m)= amplitude (= différence entre le mini et le maxi de la hauteur du point O pendant son déplacement)
t(s)= temps
ω(rad/s) = vitesse angulaire
-vitesse en mouvement curviligne uniforme
vb = ω.D*
où vb(m/s)= vitesse orbitale
ω(rad/s)= vitesse angulaire
D*(m/rad)= rayon de courbure
VITESSES en VIE PRATIQUE(toutes en m/s)
dérive des continents(10-9)--croissance des ongles(2.10-9 )--poussée du bambou(7.10-6)-- progression de glaciers(10-5 )--escargot (10-4 )--montée (en altitude) de grande marée en Bretagne(10-3)-- progression du sang dans les artères humaines(2.10-2 )--lecture d’un texte courant par l'Homme(4.10-2 )--déplacement insectes volants(10-3 à -1)--montée normale d’escalier par un homme (2.10-1)--tortue(10-1)--insectes(1)--langue du caméléon(5)--déplacement animaux terrestres (de 2 jusqu’à 28 pour guépard )--déplacement animaux aquatiques petits (2 à 4)-- aquatiques gros (12 à 16)-- oiseaux(2 à 35)-- coureur humain au sprint(10)--navires(10 à 22)--service de balle au tennis(50)--maxi bateau avec fusées(140) --sortie balle de fusil(1000)--sortie d'obus(1700)--neutron rapide(107)
vitesses à l'intérieur des corps
1.EXPRESSION GENERALE
-la vitesse moyenne des particules dans un corps est
v = [8k.T/ m ]1/2
où v(m/s)= vitesse moyenne des particules d'un fluide à température T(K)
m(kg)= masse des particules
k(J/K)= entropie constante de Boltzmann = 1,3806503. 10-23 J / K)
2.VITESSES dans les GAZ
-la vitesse moyenne des particules d'un gaz
est v = [3.k.T/ m]1/2
où v(m/s)= vitesse moyenne des molécules dans un gaz (parfait) à température T(K)
m (kg)= masse des molécules
k (J/K)= entropie (constante de Boltzmann = 1,3806503. 10-23 J / K)
-la distribution de Maxwell-Boltzmann
est la distribution des vitesses des molécules d'un gaz, en fonction de la température.
La dispersion géométrique des vitesses des particules est:
d' = (1 / v²).(k.T/m)1/2.expx
avec x(exposant)= -m.v² / 2k.T
d'(s/m)= dispersion géométrique des vitesses
m(kg)= masse de molécule
v(m/s)= vitesse moyenne des molécules
k(J/K)= constante de Boltzmann(1,3806503. 10-23 J / K)
T(K)= température absolue
Comme il s’agit d’une vitesse moyenne, certaines molécules vont beaucoup plus vite et atteignent la vitesse de libération de la gravité (donc s’échappent partiellement dans le vide interstellaire, par exemple l'hydrogène)
-la vitesse quadratique d'un gaz parfait
est vqm = [(v1² + v2²...+ vn²) / n]1/2
où v1,v2,vn(m/s)= vitesses de divers (n) mobiles
vqm(m/s)= vitesse quadratique moyenne en découlant (c'est aussi (Σv²)1/2 si v est l’ensemble des vitesses linéaires impliquées dans le phénomène.
Pour un gaz parfait >> vgm = (3R*.T / m)1/2
avec vqm(m/s)= vitesse quadratique moyenne des molécules d’un gaz parfait
T(K)= sa température
R*(J/K)= constante de Gay Lussac (8,314472 J/K)
Quelques valeurs de vitesse quadratique (en m/s et à température ambiante):
O²(480)--N²(510)--He(1370)--H²(1930)
-vitesse du son dans les gaz
La vitesse du son (ou célérité) représente la propagation du déplacement de l’état d’un phénomène ondulatoire (sans déplacement de matière)
Définition
pour des corps isotropes, c'est vc = (dp / dρ')1/2
où dp(Pa)= variation de pression dans le milieu
dρ'(kg/m3)= variation de masse volumique du milieu
Equation aux dimensions d'une vitesse L.T-1 Symbole de désignation : v Unité S.I.+ : m/s
Influence de la température sur la vitesse du son
elle est indiquée parl'équation de Laplace
vc = [γ.p (1+αv.T) / ρ']1/2 ou vc = [c'.γ.T]1/2 ou vc = [nc / ρ']1/2
ainsi que vc = [1 / ρ'.c]1/2
avec vc(m/s)= vitesse du son (célérité)
γest le coefficient adiabatique
p(Pa)= pression du gaz
nc(Pa)= module de compressibilité
ρ'(kg/m3)= masse volumique du gaz
T(K)= température
c(Pa-1)= coefficient de compressibilité (volumique isotherme)
c'(J/kg-K)= constante individuelle du gaz
T(K)= température
αdv(K-1)= coefficient de dilatation volumique isobare, dont les valeurs ~ de 366.10-5 K-1
Exemple de calcul: vitesse du son dans l'hydrogène
la formule vc = [c'.γ.T]1/2 devient pour l'hydrogène, pour lequel c' = 4122 ///
γ = 1,4 /// T, la température normale = 293///
d'où vc = [(4122).(1,4).(293)]1/2= 1300 m/s
Valeurs de la vitesse du son dans les gaz (en m/s, à 0°C et à pression normale) :
air et composants de l’air (332)--He (965)--H²(1300)-- CO²(260)--gaz de ville(454)—chlore(205)--néon(435)
Et à 20° C --toujours à pression normale-- les valeurs ci-dessus deviennent :
--air et composants de l’air (343)--He (1020)--H²(1300)-- CO²(257)--gaz de ville(450)—chlore(208)--néon(453)
influence du mouvement envers la perception du son
Quand il y a déplacement de l'auditeur par rapport à la source d'émission sonore
on applique la loi de Doppler-Fizeau qui relie les fréquences et les vitesses des sons.
L'auditeur perçoit (en réception) une fréquence différente de celle d’émission
Si fs et f0(Hz) sont respectivement la fréquence de la source et celle perçue par l’auditeur
et si vs, vaet vc(m/s) sont respectivement la vitesse de la source, la vitesse de l’auditeur et la célérité de la phase de l'onde:
pour une source de sons qui s’éloigne d’un récepteur-auditeur fixe >>
fo = fs/ (1+ vs/ vc)
pour une source de sons qui s'approche d’un récepteur-auditeur fixe >>
fo = fs/ (1 - vs/ vc)
pour un auditeur qui s’éloigne d’une source sonique fixe >>
fo = fs(1 - va/ vc)
pour un auditeur qui se rapproche d’une source sonique fixe >>
fo = fs(1 + va/ vc)
-le mur du son
est la valeur atteinte par la vitesse d'un véhicule quand elle devient égale à la vitesse du son qu'il produit dans son milieu de déplacement
Le rapport entre ces 2 vitesses est nommé nombre de Mach nM défini comme >>
vitesse du mobile / célérité du son dans le milieu d'évolution du mobile
Dans l'air, aux conditions usuelles, on a choisi le nombre de Mach unitaire (Mach 1) correspondant à une célérité de 343,5 m/s soit 1235 km/h au sol
Quand les conditions changent (en particulier en altitude, où la presssion baisse) le mur du son évolue (par exemple, à 10.000 m. d’altitude, où la température est de – 60°C et la pression de 1/7 de la normale, le mur tombe à 1055 km/h, soit 0,85 Mach)
Quand la valeur du mur est < 0,3 Mach, le phénomène est infrasonique et l’écoulement d’air est incompressible
Quand la valeur du mur est comprise entre 0,3 et 0,8 Mach, le phénomène est subsonique
Quand la valeur du mur est comprise entre 0,8 et 1,2 Mach, le phénomène est transsonique
Quand la valeur du mur est comprise entre 1,2 et 5 Mach, le phénomène est supersonique
Quand la valeur du mur est au-dessus de 5 Mach, le phénomène est hypersonique
-la force du vent
devrait être nommée la vitesse du vent, car les mesures se réfèrent à des vitesses.
Mais le langage pratique ne l'exprime ni comme une force, ni comme une vitesse, mais comme une "échelle", purement numérique (adaptée cependant à des plages de vitesses)
Il existe 2 Echelles (relevées à 10 mètres au-dessus du sol) --Rappelons que
1 atmosphère (atm)(= pression normale) = 1,01325.105 Pa = 1,01325.105 N/m²~1 bar (b)
---l'échelle de Beaufort (vieille coutume anglaise, encore en usage en Europe) est une échelle découpée de 1 à 12, avec correspondances approximatives ci-après :
-coefficient 3 = 3,4 à 5,3 m/s (soit 12 à 19 km/h = petite brise) avec pression de 3 à 5 b
-coefficient 6 = 10 à 13,5 m/s (soit 38 à 48 km/h = vent frais) avec pression de 13 à 20 b
-coefficient 9 = 20 à 24 m/s (soit 74 à 87 km/h = fort coup de vent) avec pression 46 à 60 b
-coefficient 12 = + de 33 m/s (soit + de 118 km/h = ouragan)avec pression > 120 b
--l'échelle de Fujita, aux Etats Unis, propose une échelle de 0 (calme) à 5 (ouragan)
-le coefficient 0 (le mini) = 20 à 32 m/s (soit 70 à 116 km/h)
-le coefficient 5 (le maxi) = plus de de 200 km/h
--l'effet Magnus
concerne la force du vent heurtant un obstacle
Exemple pour un cylindre régulier situé perpendiculairement à un vent de vitesse uniforme : F = ρ’.v.lh.lr².f
où F(N)= force normale au cylindre
ρ'(kg/m3)= masse volumique de l’air
v(m/s)= vitesse constante du vent
f(s-1)= fréquence de balayage du cylindre
lh(m)= hauteur du cylindre
lr(m)= rayon du cylindre
-la vitesse de détonation
est la vitesse de déplacement du front de l'onde de choc provoquée par une explosion
Elle va de 5000 m/s, pour les explosifs à faible brisance, jusqu’à 10.000 m/s pour brisance forte
3.VITESSE dans les LIQUIDES
-vitesse moyenne des particules dans un liquide
v = [ 8k.T/m ]1/2
avec v(m/s)= vitesse moyenne des particules d'un liquide à température T(K)
m(kg)= masse moyenne des particules
k(J/K)= entropie(constante de Boltzmann = 1,3806503. 10-23J / K)
-vitesse de sédimentation
C'est la vitesse de dépôt de particules en chute libre dans un liquide
Elle vaut vs = g.Δρ'.ld² / η
avec vs = vitesse de sédimentation
g(m²/s)= pesanteur
Δρ'= différence entre la masse volumique des particules sédimentantes et la masse volumique du milieu liquide
ld(m)= diamètre de la section où est mesurée la chute de particules
η(pl)= viscosité dynamique
Valeurs pratiques de la vitesse de sédimentation des matériaux exprimée en m/s
Données fournies dans les tables de Goldman >>
gros sable de 0,5 mm(= 0,06 m/s)--sable ordinaire de 0,2 mm(= 0,02 m/s)--sable fin de
0,1 mm(= 0,007 m/s)--gros limon de 0,05 mm(= 0,002)--limon de 0,02 mm(= 0,0003)--
limon fin de 0,01 mm(= 0,00007 m/s)-- argile de 0,002 mm(= 0,00002 m/s)
Valeurs pratiques de la vitesse de sédimentation des globules rouges en m/s
la valeur normale, pour un humain, est de l'ordre de la moitié de son âge (avec + 30% pour les femmes et encore + 50 % pour des périodes inflammatoires de l'organisme)
Elle est exprimée en millimètres de sang par heure
-la vitesse de déformation
-pour un fluide visqueux- est la vitesse de cisaillement des lames du fluide,les unes envers les autres
-vitesse du son dans les liquides
Formulation vc= [nc/ ρ']1/2 ou vc= [1 / ρ'.c]1/2
avec nc(Pa)= module de compressibilité
c(Pa-1)= coefficient de compressibilité (volumique isotherme)
et aussi : vc = (g.R*m.T / m')1/2
où vc (m/s)= célérité
g(nombre)= coeff. adiabatique
R*m(J/K)= constante molaire
T(K)= température absolue
m'(kg/mol)= masse moléculaire
Valeurs de la vitesse du son (en m/s, à 0°C et à pression normale)
liquides volatils(1200)--eau(1500)--liquides épais(1600 à 1800)--liquides très épais(1900)
4.VITESSE du SON DANS LES SOLIDES
vc= [nY / ρ']1/2
où nY(N/m²)= module de Young (Voir valeurs chapitre Module)
ρ'(kg/m3)= masse volumique
Valeurs de la vitesse du son (en m/s, à 0°C et à pression normale)
METAUX >> de 1200 (malléables) à 6000 (durs)
AUTRES MATÉRIAUX >> 100 à 1500 (plastiques, liège)-- 3 à 4000 (bois, béton, pierre) et ~ 5000 (verre, faïence)