FORMULES de PHYSIQUE
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F3.CONTACTS entre FLUIDES et SOLIDES
-adhérence pour les liquides
La notion d'adhérence implique deux grandeurs :
TENSION SUPERFICIELLE W't
(c'est une énergie surfacique à l’interface liquide-gaz) et elle régente l'adhérence entre un liquide et son corps contenant
MOUILLABILITÉ
C'est ce qui modifie l'adhérence des corps liquide-solide, en mettant en cause leurs qualités physico-chimiques
Quand une goutte de liquide (d’au moins 1 cm de diamètre) est en contact avec la surface d’un corps solide -dit substrat- elle prend la forme d’une portion de sphère .
Si l’on crée une coupe verticale par le centre de la sphère-goutte, l’angle entre l’arc et la ligne du plan-substrat coupé est dit angle "de raccordement"θr
-si θr est < ∏ / 2 (la portion de sphère est < une hémisphère), la forme est dite ménisque et le liquide est dit "mouillant" (il s’étale et la surface est dite parfaitement mouillable)
C'est le cas où les forces d’adhésion (entre goutte et substrat) sont > forces de cohésion des molécules de la goutte entre elles
-si θr est > ∏ / 2 (la portion de sphère est > 1 hémisphère) le liquide est dit "perlant"
(il se rétreint et la surface est dite imparfaitement mouillable)
C’est le cas où les forces d’adhésion (entre liquide et substrat) sont < forces de cohésion (structurant les molécules du liquide)
On augmente la mouillabilité d’un liquide envers un support solide en abaissant la tension superficielle W' t (avec des produits dits surfactants -comme les détergents-)
-le coefficient de mouillage (faculté de mouiller une surface) est
W't (cosθr -1) avec W't = tension superficielle et θr (rad) est l'angle "de raccordement"
LA LOI de YOUNG-DUPRÉ
Loi applicable pour une goutte de liquide reposant sur un solide, mais dans une ambiance de vapeur:
cos θr = (W' t1 - W' t2 ) / W' t3
où W't1 t2 et t3(J/m²) sont respectivement les tensions superficielles entre PHASES solide-vapeur(1), solide-liquide(2) et liquide-vapeur(3)
θr(rad) est l'angle de raccordement
-aérodynamique
L'aérodynamisme est un cas particulier de la Mécanique des fluides, concernant les déplacements dans les gaz et plus précisément dans l'air.
FORCES d'AVANCEMENT d'un CORPS DANS un GAZ
La force résultante d'avancement (la poussée) est donnée par le théorème du maître-couple
F = (Sm.C.ρ’.v²) / 2
avec F(N)= force de poussée
Sm(m²)= maître-couple du mobile se déplaçant à une vitesse v(m/s)
ρ’(kg/m3)= masse volumique du gaz dans lequel évolue ce mobile
Le coefficient C(non dimensionnel) dit coefficient de maître-couple dépend de la forme du mobile (son aérodynamisme), de l'angle d'incidence de l'aile (angle entre les filets d'air et la tangente au profil d'attaque alaire), du point d'attache de l'aile ou de la voile, de la viscosité (et du nombre de Reynolds), des tourbillons en extrémités, des chocs ondulatoires (cavitation ou nombre de Mach, éventuellement supersonique), etc...
La décomposition de la force de poussée F est la suivante :
1.Fp = (Sm.Cz.ρ’.v²) / 2 est la composante verticale, de bas en haut, dite portance (ou poussée aérodynamique en aéronautique) Il y a aspiration au-dessus et
dépression en-dessous
Cz (pour l'axe des z) est la composante verticale du coeff. de maître-couple et est dit coefficient de lift
S'il n'y a pas de dérive (cas de la poussée dans le même plan vertical que le déplacement) on peut écrire la formule de la portance
Fp = F.sinθ où θ est l'angle entre la force et la direction du déplacement
2.Ft = (Sm.Cx.ρ’.v²) / 2 est la composante horizontale de la poussée , dans le sens du déplacement, dite traînée
Cx (pour l'axe des x) est la composante horizontale du coeff. de maître-couple et est dit coefficient de traînée ou de résistance (noté Cd en anglais, pour "coefficient drag")
ses valeurs pratiques sont 0,001 (planche parallèle au mouvement)--0,03 à 0,05(avions supersoniques)--0,01(sphère lisse)--0,2 à 0,7(avions subsoniques ou bateaux)--0,35(voitures automobiles)--0,50(sphère rugueuse)--1(sportif en déplacement très rapide)--2(obstacle anguleux, genre brique)
S'il n'y a pas de dérive (poussée dans le même plan vertical que le déplacement) , on peut écrire la formule de la traînée
Ft = F.cosθ où θ est l'angle entre la force et la direction du déplacement
3.Fd = (Sm.Cy.ρ’.v²) / 2 est la composante horizontale, dans le sens perpendiculaire au déplacement, dite dérive (ou portance latérale)
les symboles sont les mêmes que ci-dessus, sauf Cy (pour l'axe des y) = coefficient de dérive
-cas particulier du déplacement d'une sphère dans un fluide
v = 2lr²(Δρ').g / 9η
avec v(m/s)= vitesse d'avancement
lr(m)= rayon du corps sphèrique
Δρ'(m3 /kg) = différence de masse volumique entre le corps mobile et le milieu où il se meut
g(m/s²)= pesanteur
η(kg/m-s)= viscosité dynamique du milieu
-déflexion
Pour un faisceau de molécules d’air (filet d’air) rencontrant un obstacle (plus ou moins aérodynamique), il apparaît une force (la déflexion) opposée à la portance
-nombre de Reynolds (nR) -il compare des viscosités- et a des valeurs ici de l'ordre de 500.000 pour l'air (notion utilisée pour les aéronefs comme pour les voiliers)
-aspiration et effet de sol
C'est une baisse de pression, créée par l'air en mouvement (effet de sol): si la vitesse est élevée, la pression résultante étant plus faible que la pression ambiante, une aspiration du corps émetteur vers le récepteur en résulte
-coefficient de finesse nommé souvent en abrégé "finesse" est
(yj) = rapport entre les 2 composantes de la force (portance / traînée)
Exemple de valeurs de yj = 5 (pour une voile de bateau) –(10 à 12) pour des avions légers--(23 à 30) pour des avions lourds
-aéronautique
DONNEES GÉNÉRALES
Comme pour tous les déplacements, il y a 4 chapitres fondamentaux d'analyse en aéronautique :
-la sustentation (dévolue aux ailes et voilures) pouvant résulter de poussée statique (Archimède) ou active (aérodynamique >> la portance)
-la propulsion (dévolue à un moteur pouvant être thermique, réacteur, solaire, musculaire ou même d'inertie par lancement antérieur)
-la régulation -ou commandes- (dévolue aux volets d'ailes et organes de guidage)
-le freinage (freins à disque ou autres plus frustes)
DONNEES de MECANIQUE
-vitesse angulaire (ou fréquence angulaire)
C'est le parcours d’un angle plan dans l’unité de temps
Dimensions structurelles : T-1.A Symbole de grandeur : ω Unité S.I.+ : rad/s
Relations entre unités :
1 tour par seconde= 60 tours par minute = 2∏ rad/s = 2∏ x 60 (soit # 377) radians/mn
1 tour par minute = 1/60 tour par seconde = 2∏ rad/mn = 2∏ / 60 (soit # 0,1) rad/s
1 rad/s = 60 rad par minute = 1/2∏ (soit # 0,6 ) tour par s. = 60/2∏ (soit # 10) tours/mn
1 radian/ mn = 1/60 rad/s= 1/2∏ (soit # 0,6 ) tour par mn = 1/2∏.60 (soit # 0,0026) tr/s
Attention : "nombre de tours"(expression abrégée) laisse à penser qu’il s’agit d’un nombre, mais la vraie expression est "nombre de tours par seconde", qui est bien entendu une unité de vitesse angulaire
ω = θ/ t ou ω = θ.f ou ω = θ.v / lr
avec ω(rad/s)= vitesse angulaire d’un mobile parcourant une circonférence
θ(rad)= angle balayé uniformément pendant le temps t(s)
f(Hz)= fréquence de balayage
ω(rad/s)= vitesse angulaire du barycentre d’un mobile parcourant une circonférence de rayon
lr(m) et ayant une vitesse tangentielle v(m/s)
θ(rad)= angle plan balayé
-fréquence de balayage
f = ω / θ
avec f(s-1)= fréquence de balayage
θ(rad)= angle de rotation (vaut 2∏ seulement pour une rotation complète et si le système d’unités a comme angle unité le radian)
ω(rad/s)= vitesse angulaire
-poussée
La force résultante d'avancement (la poussée) est donnée par le
théorème du maître-couple F = (Sm.C.ρ’.v²) / 2
avec F(N)= force de poussée
Sm(m²)= maître-couple du mobile se déplaçant à une vitesse v(m/s)
Sm est la surface maximale présentée par l'une des sections du mobile, perpendiculairement à son déplacement
ρ’(kg/m3)= masse volumique du fluide dans lequel évolue ce mobile
Le coefficient C(non dimensionnel) = coefficient de maître-couple dépend de la forme du mobile (son aérodynamisme), de l'angle d'incidence de l'aile (angle entre les filets d'air et la tangente au profil d'attaque alaire), du point d'attache de l'aile ou de la voile, de la viscosité (et du nombre de Reynolds), des tourbillons en extrémités, des chocs ondulatoires (nombre de Mach, éventuellement supersonique), etc...
La décomposition de la force de poussée F est la suivante :
1.Fp = (Sm.Cz.ρ’.v²) / 2 est la composante verticale, de bas en haut, dite portance (ou poussée aérodynamique en aéronautique) Il y a aspiration au-dessus et dépression en-dessous
Le maître-couple est en général remplacé par la surface alaire (projection droite de la surface des ailes, y compris l'intervalle du fuselage entre lesdites ailes)
Cz (pour l'axe des z) est le coefficient de lift
S'il n'y a pas de dérive (cas de la poussée dans le même plan vertical que le déplacement) on peut écrire la formule de la portance
Fp = F.sinθ où θ est l'angle entre la force et la direction du déplacement
les valeurs pratiques de Cz sont 0,6 à 0,8 (modèles réduits)--
1 à 1,4 (avions)--1,2 à 1,7 (parapentes)--
2.Ft = (Sm.Cx.ρ’.v²) / 2 est la composante horizontale de la poussée , dans le sens du déplacement, dite traînée
Cx (pour l'axe des x) est le coefficient de traînée ou de résistance (noté Cd en anglais, pour "coefficient drag")
les valeurs pratiques de Cx sont 0,001 (planche parallèle au mouvement)--0,03 à 0,05(avions supersoniques)--0,01(sphère lisse)--0,2 à 0,7(avions subsoniques ou bateaux)--0,35(voitures automobiles)--0,50(sphère rugueuse)--1(sportif en déplacement très rapide dans l'air)--2(obstacle anguleux, genre brique)
S'il n'y a pas de dérive (poussée dans le même plan vertical que le déplacement) , on peut écrire la formule de la traînée
Ft = F.cosθ où θ est l'angle entre la force et la direction du déplacement
3.Fd = (Sm.Cy.ρ’.v²) / 2 est la composante horizontale, dans le sens perpendiculaire au déplacement, dite dérive(ou portance latérale)
les symboles sont les mêmes que ci-dessus, sauf Cy (pour l'axe des y) = coefficient de dérive
Dans ces formules, la valeur de la vitesse (v) est considérée à quelque distance du mobile, pour éliminer l'incidence des turbulences (c'est à dire des tourbillons locaux, eux-mêmes causés par des frottements d’obstacles ou de bords)
Le coefficient de finesse(yj) est le rapport entre les 2 composantes >>
(portance / traînée)
-avancement et fluides
AVANCEMENT DANS UN FLUIDE
-la vitesse d’avancement
C'est la vitesse de déplacement d'un corps baignant dans un fluide
-la résistance à l’avancement
c'est le nom donné à la force hydrodynamique dans un liquide ou à la force aérodynamique dans un gaz
Le déplacement d’une surface dans un fluide avec un certain angle d’attaque par rapport au vecteur vitesse du fluide rencontré, crée une aspiration (partie supérieure) et une dépression (partie inférieure).
La force créant ces variations de pression se décompose en:
Traînée (composante horizontale) et Portance (composante verticale)
Cas d'un fluide visqueux
La résistance à l'avancement est donnée par la loi de Stokes:
F = η.S.v / (K0.eK1/T).l
où F(N)= force résistant au déplacement d’une surface S(m²) --se déplaçant parallèlement à elle-même-- dans un fluide visqueux à une vitesse v -faible-(m/s)
η(pl)= viscosité dynamique du fluide
Ko et K1 sont des constantes numériques, caractéristiques de la substance et de la température
l(m)= longueur du déplacement
T(K)= température absolue
-la poussée
c'est le nom donné à la force motrice sur un corps (opposée à l'avancement)
-ballon aérien
Un ballon aérien est un récipient contenant un gaz plus léger que l'air
Synonyme >>> aérostat
Cas particulier dirigeable (ballon avec hélice motrice)
BALLONS FERMÉS
Leurs enveloppes sont en baudruche, caoutchouc, plastiques, toile, verre, etc....
Les ballons à enveloppe souple ont pour données principales:
-A l'équilibre ascensionnel :
c'est le principe d'Archimède >>> (poids du ballon = poids de l'air déplacé)
-la force ascensionnelle (portance) est F = ρ'.V.g
avec ρ'(kg/m3)= masse volumique de l'air déplacé
V(m3)= volume d'air déplacé par le ballon
g(m/s²)= pesanteur
Les valeurs de (F / V) varient avec l'altitude (1,2 daN/m3 au sol mais la moitié à 6,6 km d'altitude et seulement un tiers à 10 km)
-l'altitude acquise : 35 km au maximum (éclatement au-delà)
-l'amplitude de visée d'une partie de la Terre, depuis le ballon, est fonction de la hauteur qu'il a atteinte :
c'est (4,1).(lh)1/2 kilomètres, soit au maximum 800 km "embrassés" depuis un ballon-sonde, par exemple
-la vitesse ascensionnelle : de l'ordre de 5 m/s avec de grosses variations, en particulier dues au passage dans les nuages (condensation, donc création d'un écart de chaleur favorisant l'ascension)
-le volume du gaz (qui est souvent He ou H²) augmente de 1 pour mille tous les 8 mètres, à cause de la diminution de pression atmosphérique)
Le volume pouvant augmenter jusqu'à 400% en très haute altitude (très faible pression), l'enveloppe ne résiste pas et explose
-le rôle de la température de l'atmosphère (par ex. -50°C à 30 km de hauteur)
-le rôle de la puissance surfacique issue des rayonnements solaires (200 W/m² près du sol mais 500 W/m² en altitude)
-la pression du gaz : on pressurise un peu, surtout les ballons-sondes
-la charge transportée :
-pour les petits ballons, 1m3 d'hélium permet de soulever 1 kg
-pour les moyens ballons, 1m3 d'hélium permet de soulever 0,1 kg
-pour les énormes ballons, 1m3 d'hélium permet de soulever 0,01 kg
BALLONS OUVERTS
(ils sont en communication avec le milieu extérieur, par dessus et par dessous)
Altitude atteinte jusqu'à 45 km
Les montgolfières transportent environ 1 personne pour 250 m3 de volume et
45 personnes pour 25.000 m3 de volume de gaz
-capillarité
La capillarité est l'étude des comportements des liquides dans des tubes fins
A la surface de tels tubes, les forces d’adhésion (entre le contenant et le contenu -qui sont accolés-) forment un raccordement géométrique
Notion de ménisque >> le raccordement entre contenant et contenu a une forme de ménisque, c'est à dire une collerette dont la section droite est délimitée par 2 arcs de cercle sécants (ou 1 arc de cercle avec 2 de ses tangentes) en forme de croissant ou de quart d'as de carreau
POUR LES TUBES PARFAITEMENT MOUILLABLES
La surface du liquide en situation de capillarité forme un ménisque se raccordant en 1/4 de cercle en montant sur la paroi
L'angle "de raccordement" θr est < ∏ / 2 et dans l'espace, la portion de sphère est < une hémisphère
a)) la constante capillaire est
Ka = F / l.W’t
avec Ka(nombre)= constante capillaire à la surface de séparation S entre 2 corps
(valeur de Ka # 4)
F(N)= force à exercer pour vaincre les forces de cohésion sur ladite surface S
l(m)= longueur capillaire
W’t(N/m)= tension superficielle du liquide
b)) la hauteur capillaire pour un tube capillaire, avec liquide formant un ménisque à la surface supérieure du niveau est la hauteur lc (m) où les forces capillaires sont égales aux forces de gravitation
Elle est donnée par la loi de Jurin
lc= 4cosθ.(W't / ρ'.g)1/2
avec W’t(N/m)= tension superficielle du liquide
ρ'(kg/m3)= masse volumique du liquide
lc(m)= hauteur capillaire (dans le tube) prise par rapport au niveau du récipient
θ(rad)= angle de raccordement (de contact)
ld(m)= diamètre du tube
g(m/s²)= pesanteur
Nota: cette hauteur lc ne dépend que du contenu liquide (lc indépendante de la qualité du contenant)
Valeurs pratiques de cette hauteur (en mètre): alcool(1,5.10-3)--eau(3.10-3)
POUR LES TUBES IMPARFAITEMENT MOUILLABLES
la surface est une portion de sphère avec angle de raccordement θ tel que le ménisque a une courbure vers le bas: Ex: le mercure (hauteur de -2.10-3 m)
CAS DU COMPTE-GOUTTES
Fp = p.W't.ld
avec Fp(N)= poids du liquide distribué dans une goutte d’un compte-gouttes cylindrique
W’t(N/m)= tension superficielle (valeur 0,024 N/m pour l'eau)
ld(m)= diamètre de l'extrémité d'écoulement du compte-gouttes
TENSION SUR UNE INTERFACE CAPILLAIRE
Ft = W't.lc
avec Ft(N)= force de tension sur une interface entre 2 fluides
W't(N/m)= tension superficielle sur la surface de séparation entre les 2 fluides
lc(m)= hauteur capillaire
nombre DE BOND (nB , sans dimension)
Utilisé dans les notions de capillarité, il est défini comme le rapport entre F1 la force de gravité s’exerçant sur un volume de liquide et F2 la force capillaire qui s’exerce en opposition sur ce même liquide.
nB = F1 / F2 et aussi nB = ρ'.g.lc.lr/ W’t
avec W’t(N/m)= tension superficielle du liquide
ρ'(kg/m3)= masse volumique du liquide
lc(m)= hauteur capillaire (dans un tube capillaire) prise par rapport au niveau du récipient
lr(m)= rayon du tube
g(m/s²)= pesanteur
EFFET THERMOMOLÉCULAIRE
C'est la variation de pression entre 2 fluides séparés par un élément restrictif, avec présence de chaleur
Quand cette restriction est une section capillaire (ou des pores très étroits), c'est un effet de Knudsen
Δp = -(c*.A.grad.T).Ω
où Δp(Pa)= pression différentielle de part et d’autre de la capillarité
A(s-sr/m)= coefficient phénoménologique
grad(m-1)= gradient
T(K)= température absolue
Ω(sr)= angle solide
c*(W/m-K)= résistance linéique thermique
et aussi Δp = grad.B'.z'.M*
avec B'(mol/m3)= concentratiion molaire volumique
z'(m3/s-mol= perméation
M*(kg/s)= débit-masse
-cavitation
Une cavitation est créée quand le fluide d'un milieu est soumis à aspiration. Alors la pression statique du liquide descend et peut devenir < tension de sa vapeur saturante.
Il se produit alors ébullition et apparition de bulles de vapeur qui vont créer une irrégularité de circulation, dite cavitation
Il y a phénomène de collapse (effondrement ou implosion des bulles créées)
Forte vitesse du fluide entraîne faible pression
CAS GÉNÉRAL
La cavitation intervient quand y3 < 2 Δp / ρ'.v²
y3(nombre)= paramètre de cavitation
Δp(Pa)= différence de pressions entre pression de vapeur et pression d'ambiance
v(m/s)= vitesse et ρ'(kg/m3)= masse volumique du fluide
CAS d'une TUBULURE ÉTRANGLÉE
S'il y a un étranglement sur une tubulure d'écoulement d'un fluide, la cavitation intervient quand la pression de sortie de l'étranglement (pé) baisse jusqu'à atteindre la valeur de la pression de vapeur saturante ps
Or >> pé = pi –1/2 (ρ'.v²).(1 – Sé / Si)
où pé(Pa)= pression à la sortie de l'étranglement
pi(Pa)= pression initiale, avant l'étranglement
ρ'(kg/m3)= masse volumique du fluide
Si(m²)= section initiale, avant étranglement
Sé(m²)= section de l'étranglement
CAS d'une ASPIRATION VERTICALE
Il faut d'une part aspirer le fluide et ensuite l'accélérer pour qu'il ait une possible utilisation dans la canalisation où il est refoulé
La fonction d'aspiration est assumée par une pompe qui doit avoir une capacité aspirante dite NPSH (net positive sunction head) , mesurée et exprimée en hauteurs manométriques de liquide
NPSH = (p0 – pvs) / ρ'.g + ph – ppc + NPSHf
avec po (Pa)= pression au niveau de l'aspiration
pvs (Pa)= pression de vapeur saturante
ρ'(kg/m3)= masse volumique du liquide aspiré
g'm²/s)= pesanteur
ph(m)= dénivelé à aspirer (pression, exprimée en hauteur d'eau)
ppc (m)= pression perte de charge -en m de fluide aspiré-
NPSHf = complément accélérateur de NPSH donné par le fabricant de pompe (en général 0,3 à 0,5 m.c.e)
Rappel >> un mètre d'eau (ou mètre de colonne d'eau ou m.c.e), qui est une hauteur manométrique, vaut 0,0981 bar (soit # 104 Pa soit # 10% de la pression atmosphérique
CONSÉQUENCES DE CAVITATION
-il est impossible d'aspirer de l'eau à plus d'une certaine profondeur, car la présence des bulles de cavitation désamorce le système
Exemples >> à pression normale et à l'altitude zéro, on a des limites théoriques d'aspiration de 10,3 m (à 0 degré C)-- de 9,9 m (à 20°C)--de 9,5 m (à 40°C)--de 8 m (à 60°C) et de 5,5 m (à 80°C)
et les limites pratiques sont d'environ 70 % des valeurs théoriques ci-dessus
-les bruits de proximité résultants de cavitations sont en général de 30 dB , mais peuvent atteindre jusqu'à 130 dB
-quand un corps circule dans un liquide, les frottements provoquent un échauffement qui peut créer ébullition, d'où production de bulles microscopiques de vapeur sur la surface du corps et, quand la vitesse rediminue, peuvent recondenser et créer ainsi des chocs (mini-explosions) de cavitation.
Le phénomène de cavitation existe: au dos des hélices, au dos des aubes de turbines, sur le corps des missiles sous-marins ou dans des conduites rugueuses dès que la vitesse du liquide est élevée (plus de 12 m/s) ou sur des pièces soumises aux ultrasons
-charges hydraulique et hydrique
Une charge est normalement un poids, mais en hydraulique, le mot "charge" prend divers sens >>
-la CHARGE HYDRIQUE en astronautique est la masse d'eau salée que doit ingurgiter un astronaute en revenant sur Terre (rétablissement d'équilibre sanguin)
-la CHARGE HYDRIQUE en climatisation est un coefficient de transport, c'est
ν(m²/s)= Ee / (m/t) où Ee est l'enthalpie de vaporisation de l'eau (ex chaleur latente) , m(kg) la masse d'eau produite pendant le temps t(s)
-la CHARGE HYDRAULIQUE pour un quelconque liquide est une pression (c'est à dire une charge surfacique) >>
c'est pe (en Pa) = potentiel hydraulique Eh (en J) / volume (en m3)
et c'est aussi pe (en Pa) = poids spécifique (N/m3) x hauteur d'eau (m.)
-la CHARGE HYDRAULIQUE pour un quelconque liquide est également une pression, quand on l'exprime en (hauteurs d'eau) >>
pe (en m. d'eau) = Δp + g.ρ'.lh
où g est la pesanteur (9,81 m²/s), ρ' la masse volumique (kg/m3) et
où Δp (m. d'eau) est la différence entre la pression de la PHASE liquide et la pression de la PHASE gazeuse
--c'est à dire la pression hydrostatique (si le milieu est totalement liquide)
--ou bien les pressions [capillaire + d'adsorption] si l'on est en PHASES liquide et solide
-la PERTE DE CHARGE est le nom de la charge hydraulique dans une canalisation et c'est une pression >>
Δp (en Pa) = ρ'.l.v² / 2ld²
où ρ'(kg/m3)= masse volumique du fluide, l(m)= longueur de canalisation, v(m/s)= vitesse et ld(m)= diamètre du tuyau
-circuit hydraulique
Un circuit hydraulique est un ensemble d'organes autorisant une circulation (écoulement) de liquide
RAPPEL des notions de base pour la pression
Equation aux dimensions(pression) : L-1.M.T -2 Symbole de désignation : p
Unités de pression
-le Pascal (Pa) utilisé en macroscopie en général (pression)
1 kilogramme-force (ou kilogramme-poids) par mm² vaut 9,806.106 Pa
1 atmosphère (atm)(pression normale) vaut 1,01325.105 Pa
1 bar (b) vaut 105 Pa
1 kilogramme-force par cm² vaut 9,806.104 Pa
1 mètre d’eau vaut 9,806.103 Pa
1 pound per square inch (p.s.i) vaut 6,894.103 Pa
1 centimètre de mercure(= 10 torrs) vaut 1,333.103 Pa
1 millibar vaut 10² Pa
1 M.C.E (mètre de colonne d'eau) vaut 9,81 Pa (ou 0,0981 bar ou 98,1 mbar)
ÉQUATIONS FONDAMENTALES dans un circuit
L'ÉQUATION de BERNOULLI
C'est un bilan des pressions entre 2 points du circuit Δp = p1 + p2 + p3
où p1(Pa) est la pression statique du liquide (pression ambiante, isotrope, agissant dans toutes les directions internes du liquide)
p2(Pa) est la pression de pesanteur, qui vaut (l.ρ'.g) avec l(m)= différence de niveau entre les 2 points, ρ'(kg/m3)= masse volumique du liquide, supposée indépendante de la pression et g(m/s²)= accélération de la pesanteur
p3(Pa) est la pression cinétique (c’est à dire provenant de l’écoulement) qui vaut
(1/2) (ρ'.v²) où v(m/s)= vitesse d’écoulement du liquide
Mais si on écrit l'équation de Bernoulli avec des hauteurs d'eau : on a Δl = l1 + l2 + l3
où Δl(m)= hauteur manométrique (ou hauteur de charge) totale, l1(m) = hauteur statique du liquide, l2(m) est la hauteur piézométrique, qui vaut (p / ρ'.g)
et l3(m) = hauteur résiduelle en sortie
L'ÉQUATION DE TORRICELLI
C'est un cas particulier de la loi de Bernoulli, pour l’écoulement d’un liquide par l’orifice d’une colonne creuse
La loi de Torricelli est p = (ρ'.v²) /2 or p = ρ'.g.lh d'où v² = 2g.lh
avec p(Pa)= (sur)pression
v(m/s)= vitesse d’écoulement du liquide par un trou situé à profondeur lh
g(m/s²)= pesanteur
ρ'(kg/m3)= masse volumique du liquide
PERTURBATIONS dues à la GEOMETRIE du CIRCUIT
De nombreux éléments d'un circuit perturbent l'écoulement
(coude, diaphragme, pompe, etc)
Il y a donc à chaque fois une perte de charge qui sera symbolisée par pch et qui pourra se placer en facteur additif dans la loi de Bernoulli
PERTURBATION due à un COUDE
Il y a lieu d'ajouter à Bernoulli la pch qui est alors = K4.v² / 2g où K4 = 2 sin4θ
cet angle θ étant l'angle ouvert du coude (> 90°)
PERTURBATION due à un ORIFICE dans une PAROI EPAISSE du CIRCUIT
Le trou se nomme alors une tuyère
La loi de Torricelli devient >> Q = 0,98.So(2g.lh)1/2
PERTURBATION due à un ORIFICE dans une PAROI FINE du CIRCUIT
La loi de Torricelli devient >> Q = K5.So(2g.lh)1/2
K5est un coefficient numérique valant :
-si le trou est circulaire K5 = 0,59 à 0,65
-si le trou est rectangulaire K5 = 0,58 à 0,70
PERTURBATION due à un TUBE ÉTRANGLÉ (VENTURI)
Une aspiration (baisse de pression) est créée par un liquide en mouvement de vitesse élevée dans un tube étranglé (effet Venturi)
Si le tube est percé et en communication avec une pression environnante plus faible que celle créée dans le tube, il y a aspiration (succion) du fluide externe vers l’intérieur du tube
PERTURBATION due à une VARIATION LENTE de SECTION
La formule de Bernoulli devient alors >>> Δp = Δp1 - Δp2
où chacun des Δp vaut [p + l.ρ'.g + (ρ'.v²) / 2], comme défini dans ladite formule et les
indices 1 et 2 indiquent 2 points du tube
PERTURBATION due à un VIF ELARGISSEMENT du TUYAU
Le débit est donné par la formule de Borda :
Q = (S / 2g)[Δv² + K6.ve²]
S(m²) est la section d'entrée, g est la pesanteur, K6 est une constante numérique valant 0,11 et Δv est la différence des vitesse entrée (ve) et sortie
PERTURBATION due à un RETRECISSEMENT du TUYAU
Le débit est donné par la formule :
Q = (S / 2g).K7.v² K7 est une constante numérique valant 0,50 (pour un petit rétrécissement et un peu moins pour un grand)
PERTURBATION due à un DIAPHRAGME
Le débit est donné par la formule :
Q = (S / 2g).K8.v²
K8 est une constante numérique valant 0,50 (pour un diaphragme de diamètre moitié de celui du tuyau) et jusqu'à 0,62 pour des diamètres très différents
PERTURBATION due à une POMPE
Le terme complémentaire de la loi de Bernoulli devient >>
-vrt².ρ' / 2g où vrt est la vitesse tangentielle de la roue tournante et ρ'(kg/m3) la masse volumique du liquide
PERTURBATION due à une VANNE
Les orifices de vannes sont souvent de section So carrée, d'où un débit
Q = 0,70 So(2g.lh)1/2
PERTURBATION due à un AJUTAGE
Un AJUTAGE est un rétrécissement cônique percé dans une conduite de fluide
-Si l'ajutage est convergent de section So
le débit devient Q = 0,98 So(2g.lh)1/2
-Si l'ajutage est divergent de section S1
le débit devient Q = 0,82 S1(2g.lh)1/2
PERTURBATION due à un DEVERSOIR
Le débordement est l’écoulement d’un liquide par dessus un bord de son récipient (ou déversoir) Le débit en débordement Q(m3/s) est :
Q = 2Kc.lh.lc.(2g.lh)1/2
Kc(nombre)= constante de contraction - valeurs pratiques # 0,5 à 0,8
(Kc est fonction inverse de la profondeur de l'eau du bassin avant déversement et est donné par la formule de Rehbock)
lh(m)= hauteur de la vague déversante (prise nettement en amont)
lc(m)= largeur de ladite déversante et g(m²/s)= gravité (pesanteur)
PERTURBATION due à l'EPAISSEUR du TUYAU
Epaisseur recommandée pour un tube de conduite forcée :
lé= 10² p.ld où lé(m) est l'épaisseur du tube, ld est le diamètre du tube et p (Pa) la contrainte de travail pour l'acier du tube
PERTURBATIONS dues à la STRUCTURE INTERNE du CIRCUIT
PERTURBATION due à la VISCOSITE
La formule de Bernoulli devient Δp = p1 + p2 + p3 + pch
où pch est la pression résultant du travail résistant de la viscosité (= p.v / V)
PERTURBATION due à l'ECOULEMENT TURBULENT
Elle est proposée par la formule pragmatique de Colebrook-White
(1 / Kp)1/2 = 2log10[2,51 / nR.(Kp)1/2+ 0,27 i*j / ld]
avec Kp(nombre)= coefficient de perte de charge (ou de Darcy-Weisbach) valeurs entre 0,01 et 0,05
nR = nombre de Reynolds ici compris entre 105 et 108
lj (m)= épaisseur moyenne des rugosités, de valeur entre 5.10-5 et 5.10-2
ld (m)= diamètre du tube
-la perte de charge linéique (une variation de pression par unité de longueur) est
alors (dans ce tube) : Å c= (8p).[η.Q / lr4]
mêmes notations avec en outre Åc(en kg/m²-s²) = perte de charge linéique et
Q(m3/s)= débit-volume
PERTURBATION DUE à un COUP DE BÉLIER
Le coup de bélier est un choc tourbillonnaire, dû à une différence rapide de pression (soit par striction soudaine, soit par bouchage de tuyau, soit par cavitation)
Il y a alors création d'une onde (de choc) causant >> dans le fluide un écoulement turbulent et à l'extérieur le bruit de l'onde qui a fait vibrer les tuyaux
Zh = Q / Δp(formule de Jankowski)
avec Δp(Pa)= élévation brusque de pression
Zh.(m4/kg-s)= impédance hydraulique
Ici l'impédance hydraulique est fonction de divers paramètres sous la formulation
Zh(m4-s/kg) = [S / (ρ'.ncm)]1/2
où S(m²) est la section de tuyauterie, ρ'(kg/m3) la masse volumique et ncm le module moyen de compressibilité -une contrainte- (moyen signifiant qu'il est un composite de la compressibilité adiabatique, de la compressibilité des gaz non dissous transportés dans le liquide et de l'élasticité des parois)
Q(m3/s)= débit-volume
Les évitements de coups de bélier peuvent être envisagés à travers des atténuations de variations trop rapides de pression (sous formes de by-passage, d'amortisseur gazeux ou de chambre d'équilibre)
PERTURBATION due à la RUGOSITE
La rugosité des conduites est l’importance des aspérités solides intérieures, gênant l’écoulement
-la rugosité relative i*j est le rapport (non dimensionnel) entre 2 longueurs
à savoir i*j = lo / ld
avec lo(m)= épaisseur moyenne d’aspérité dans un tube de Φ = ld(m)
Elle est de l'ordre de 0,2% car les aspérités sont ( # en mm) de 2(béton)--0,1(fonte)--0,05(acier)--0,03(verre)--0,01(PVC)
-la rugosité absolue i*u est définie par : i*u= i*j x nR
avec (i*jci-dessus) et nR= nombre de Reynolds
Les ordres de grandeur de la rugosité absolue sont:
pour corps très lisses = 2% et pour corps très rugueux = 80%
-le coefficient de résistance yζ dans un écoulement en tube cylindrique à parois rugueuses
est: yζ(nombre)= 8F/ (∏.ρ'.v².l.ld)
avec F(N)= force de frottement
ρ'(kg/m3)= masse volumique
v(m/s)= vitesse moyenne de l'écoulement
l(m)= distance
ld(m)= diamètre
PERTURBATION due aux FRICTIONS dans une CONDUITE
-le débit se calcule par la formule pragmatique de Hazen-Williams
Q = 0,849 i*j.S.lr(0,53).K(0,54)
où Q(m3/s)= débit
i*j(nombre)= coefficient de rugosité (voir ci-dessus rugosité relative)
S(m²)= section de la conduite
lr(m)= rayon de la conduite
K(nombre)= constante de situation (fonction de la dénivellation, de la section, de la longueur...)
-perte de charge si friction
pour une section constante est donnée par la formule de Darcy-Weisbach
Elle donne la perte de charge en fonction des caractéristiques du conduit
dp = F'f.(l.v² / (2ld.g)
avec dp(Pa)= perte de charge
F'f(nombre)= facteur de friction Ce facteur de friction dépend du nombre de Reynolds, suivant une formule du genre K / (Rn)x
où K est un nombre (variable) et x un coefficient fractionnaire (variable également)
l(m)= longueur de la conduite
ldm)= diamètre de la conduite
v(m/s)= vitesse du flux
g(m/s²)= accélération de la pesanteur
VITESSES des flux
VITESSE du flux POUR un TUBE à SECTION CONSTANTE
-la loi de Poiseuille donne la vitesse pour le cas d’un tube de section circulaire constante, pour un écoulement laminaire
(et pour nombre de Reynolds <2100)
v = Δp.(lr² - lv²) / 4η.lt
lr(m)= rayon du tube, lv(m)= rayon du filet de liquide considéré
lt (m)= longueur du tube
η(pl)= viscosité dynamique
Δp(Pa)= variation de pression entre l'aval et l'amont du tube
Cette relation établit la valeur variable de la vitesse (parabolique envers le rayon)
Elle montre que la vitesse maxi est celle du filet central du tube
On peut aussi l’écrire sous la forme: grad.v = p.lr / η.lt
On utilise aussi (pour des tubes à faible rugosité ) la formule de Prandtl-Colebrook >>
v = [2,5.n / ld(2g.tgj.ld)1/2 – K / 3,7.ld].(2g.tgφ.ld)1/2
où g = pesanteur, tgφ = pente, ld = diamètre tuyau, K= rugosité en % et n = visco cinématique, très variable avec la température
On a alors le débit = (p.ld².v) /4
-valeurs pratiques de vitesses v(en m/s) pour l'eau, dans une conduite droite, en fonction du débit Q (en m3/heure)
tuyau de diamètre 10 mm (3/8 '') >> v = 3,5.(Q)
tuyau de diamètre 20 mm (3/4 '') >> v = 0,87.(Q)
tuyau de diamètre 32 mm (1 1/4 '') >> v = 0,35.(Q)
tuyau de diamètre 50 mm (2'') >> v = 0,14.(Q)
tuyau de diamètre 100 mm (4'') >> v = 0,035.(Q)
tuyau de diamètre 300 mm (12'') >> v = 0,004.(Q)
VITESSE d'un LIQUIDE SORTANT d'un TUBE
C'est le cas extrême de la formule précédente, à la sortie du tube, soit
v = y.(2Δp /ρ')1/2 qui est la même formule que pour les liquides parfaits, avec application d’un coefficient correcteur (y) , valant 3 à 10% pour des viscosités moyennes
DEBIT d'un flux HYRAULIQUE dans une CONDUITE
voir extrait d'abaques chapitre débit-volume
PRESSIONS dans les CONDUITES
La pression est toujours le rapport >> force / section
Dans une conduite circulaire de diamètre constant, droite, courte, en matériau non rugueux, la force est le poids d'eau qui franchit une section
Et ce poids est aussi le produit (Q.v.ρ') , c'est à dire
= volume(m3) x vitesse (m/s) x masse volumique (kg/m3)
d'où p = 4.Q.v.ρ' / p.ld²
-compression
COMPRESSION des GAZ
Elle est étudiée à travers le coefficient de compressibilité, vu par ailleurs
yq = (p.V) / (R*.T) = (pression x volume) / (constante des gaz parfaits x température)
-taux de compression des gaz (i*z)
C'est le rapport entre les volumes gazeux, avant et après la compression
Il est utilisé dans les machines de compression d'air: compresseurs (i*z > 2) et machines assimilées (i*z < 2)
Dans les moteurs thermiques, il définit les limites d’expansion d’un carburant (rapport entre les volumes maxi et mini de la chambre de combustion) >> ses valeurs pratiques ici vont de 5 à 12 pour les moteurs à essence et de 12 à 25 pour les diesels
COMPRESSION des LIQUIDES
Les liquides sont quasiment incompressibles. On peut toutefois donner les valeurs du coefficient de compressibilité volumique isotherme βt -dit souvent en abrégé "compressibilité"- et qui vaut (en Pa-1)
Eau à 20°C(5.10-10)--Eau à 60°C(4.10-10)-- Autres liquides à 20°C (10-9)--
Autres liquides à 60°C (1,3.10-9)
Sous 1000 atmosphères (108 Pa) l'eau se comprime de 3,5%, mais pas de façon linéaire
COMPRESSEUR
C'est un appareil qui compresse un fluide (ce qui sert ensuite à produire de l'énergie)
1.si le fluide est un liquide >>> c'est un compresseur hydraulique, dit plutôt "surpresseur ou pompe hydraulique"
On ne compresse pas un liquide mais il y a toutefois une légère possibilité donnée par la formule du coefficient de compressibilité volumique isotherme βt
2.si le fluide est un gaz >>> c'est un compresseur d'air (les pièces constitutives pouvant être pistons, vis, lobes, spirales....)
Pression usuelle fournie = 7 bars (soit 100 p.s.i.) mais les puissants compresseurs produisent de 20 à 700 bars (1 bar = 105 Pascals)
3.s'il s'agit d'un solide : on n'utilise plus le terme de compresseur (d'ailleurs on ne fait souvent que «presser», comme avec l'étau (faible pression) ou le marteau-pilon (fortes pressions) Voir cependant chapitre spécial
-concentration massique
Le terme concentration implique une augmentation (le contraire est une dilution)
Quand elle est massique, cela signifie qu'on compare une certaine quantité de (masse ou volume ou quantité de matière) d'un corps (X) à une masse d'un autre corps (Y)
Pour les gaz : X et Y sont les composants d’un gaz composé
Pour les solutions : X est le soluté (corps dissous) et Y la solution, c'est à dire (soluté + dissolvant) -et plus rarement Y est le dissolvant tout seul-
Pour les solides : X est un solide quelconque (sol, métal, non-métal, etc....) et Y un solide ou un liquide
TERMINOLOGIE pour CONCENTRATION MASSIQUE
MASSIQUE placé derrière un mot ou un groupe de mots (comme >> concentration, densité, volume, quantité de matière) signifie que cela se rapporte à une masse
Exemples : 1.une concentration molaire massique >>> est une quantité de matière dans une masse
c'est la même chose qu'une densité molaire massique (= densité de moles par unité de masse)
2.une concentration massique de particules est un tas de particules (ce sont elles qu'on concentre) ramené à une masse
Un phénomène Isotoniqueconcerne des concentrations égales - Hypotonique une concentration inférieure et Hypertonique une concentration en excès
FRACTION MASSIQUE (ym) -cela signifie masse de X comparée à masse de Y
C'est un rapport sans dimension (%)
1° synonyme: Titre en masse (pourcentage d’une masse d'un corps X dans une masse de corps Y )
C'est surtout le cas pour les titres d'alliages métalliques, dont les métaux précieux
Attention : le titre en volume exprime la masse d’un produit X dissoute dans un volume de solution Y
2° synonyme : Concentration spécifique volumique
3°cas particulier : les Parts par million (ppm) c'est un nombre d'unités par million
Mais on estime parfois (par abus de langage) que ce sont des (unités de masses) par (million d'unités de masse)
FRACTION MOLAIRE(yo)
Cela signifie (pourcentage) entre quantités de matières de 2 corps
Synonyme: concentration spécifique molaire
CONCENTRATION VOLUMIQUE MASSIQUE
C'est un volume d'un corps X dans une masse d'un corps Y
Dimensions structurelles : L3.M-1 Symbole (v’) et Unité : m3/kg
Cas particulier: le Volume massique -ou volume spécifique-
Il n’y a qu’un seul corps en cause (volume d'un corps ramené à la masse du même corps)
CONCENTRATION MOLAIRE MASSIQUE (l')
C'est une quantité de matière d'un corps X dans une masse d'un corps Y
Equation aux dimensions structurelles : M-1.N Unité S.I.+ : mol/kg
1° cas particulier la Molalité (voir chapitre spécial)
2° cas particulier la Molinité (voir chapitre molalité)
3° synonymie avec Quantité de matière massique : il n’y a qu’un seul corps en cause (quantité de matière de X dans une masse du même X)
COMMENT PASSER d'une CONCENTRATION à une AUTRE
Dans un problème où il faut évaluer, calculer ou mixer des concentrations (ou densités), la méthodologie recommandée est la suivante :
-1)) établir les équations de dimensions de chaque donnée
-2)) établir les formules (avec des symboles et pas avec des unités) Les correspondances entre les notions se feront avec les dimensions (ci-dessous)
L3.M-1 (m3 par kg) x L-3.N (mol/m3)= M -1.N (mol/kg)
L3.M-1 (m3 par kg) x M.N-1 (kg/mol) = L3.N-1 (m3 par mol)
L3.M-1 (m3 par kg) / L3.N-1 (m3 par mol) = M -1.N (mol/kg)
L3.M-1 (m3 par kg) / M -1.N (mol/kg) = L3.N-1 (m3 par mol)
M -1.N (mol/kg) x L3.N-1 (m3 par mol) = L3.M-1 (m3 par kg)
M -1.N (mol/kg) x L-3.M (kg/m3) = L-3.N (mol/m3)
M -1.N (mol/kg) / L-3.N (mol/m3) = L3.M-1 (m3 par kg)
M -1.N (mol/kg) / L3.M-1 (m3 par kg) = L-3.N (mol/m3)
-3)) enfin (et pas avant) faire les changements d'unités
(l'idéal étant de tout reconstruire en unité S.I.+) sachant que
(1 g/mol = 10-3 kg/mol)–-(1 l/mol = 10-3 m 3 par mol)---(1 cm3 par mol = 10-6 m3 par mol)--
(1g/l = 1 kg par m3)--- (1l/kg = 10-3 m3 par kg)
-concentration molaire
Le terme concentration implique une augmentation (le contraire est une dilution)
Quand elle est molaire, la concentration compare certaine quantité de (masse, volume ou matière) d’un corps X, à une quantité de matière d'un autre corps Y
Pour les gaz : X et Y sont les composants d’un gaz composé
Pour les solutions : X est le soluté (corps dissous) et Y la solution, c'est à dire (soluté + dissolvant) -et plus rarement Y est le dissolvant tout seul-
Pour les solides : X est un solide quelconque (sol, métal, non-métal, etc....) et Y un solide ou un liquide
TERMINOLOGIE pour CONCENTRATION MOLAIRE
MOLAIRE (ou MOLECULAIRE) placé derrière un mot ou un groupe de mots (comme >> concentration, densité, volume, masse) se rapporte à une quantité de matière
Par exemple : 1.une concentration massique molaire >>> est une masse ramenée à une quantité de matière
2.une densité volumique molaire signifie volume ramené à une quantité de matière (ou nombre de moles)
Un phénomène Isotonique concerne des concentrations égales - Hypotonique une concentration inférieure et Hypertonique une concentration en excès
FRACTION MOLAIRE (yo)
Cela signifie volume d'un corps comparé à (ou inclus dans) un volume d'un autre corps
Cette fraction molaire est un rapport sans dimension (pourcentage) entre quantités de matières de 2 corps
Synonyme : concentration spécifique molaire
CONCENTRATION DE VOLUME MOLAIRE
C'est un volume d'un corps comparé à la quantité de matière d'un autre
Equation aux dimensions structurelles : L3.N-1 Symbole de désignation (V*)
Unité S.I.+ : m3/mol
1°-synonyme = concentration volumique molaire
2°- cas particulier: le Volume molaire
Il n’y a plus ici qu’un seul corps en cause (c'est un volume d'un corps, comparé à la quantité de matière du même corps)
CONCENTRATION DE MASSE MOLAIRE
C'est une masse d'un corps comparée à la quantité de matière d'un autre
Dimension : M.N -1 Symbole de désignation (m’) Unité S.I.+ :kg/mol
synonyme = concentration massique molaire
cas particulier: la masse molaire
Il n’y a plus ici qu’un seul corps en cause (c'est une masse d'un corps, comparée à la quantité de matière du même corps)
COMMENT PASSER d'une CONCENTRATION à une AUTRE
Dans un problème où il faut évaluer, calculer ou mixer des concentrations (ou densités), la méthodologie recommandée est la suivante :
-1)) établir les équations de dimensions de chaque donnée
-2)) établir les formules (avec des symboles et pas avec des unités) Les correspondances entre les notions se feront avec les dimensions (ci-dessous)
L3.N-1 (m3 par mol) x L-3.M (kg/m3) = M.N-1 (kg/mol)
L3.N-1 (m3 par mol) x M -1.N (mol/kg) = L3.M-1 (m3par kg)
L3.N-1 (m3 par mol) / L3.M-1 (m3 par kg) = M.N-1 (kg/mol)
L3.N-1 (m3 par mol) / M.N-1 (kg/mol) = L3.M-1 (m3 par kg)
-3)) enfin (et pas avant) faire les changements d'unités
(l'idéal étant de tout reconstruire en unité S.I.+) sachant que
(1 g/mol = 10-3 kg/mol)–-(1 l/mol = 10-3 m 3 par mol)---(1 cm3 par mol = 10-6 m3 / mol)---
(1g/l = 1 kg par m3)--- (1l/kg = 10-3 m3 par kg)