FORMULES de PHYSIQUE
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F2.LIAISONS entre FLUIDES
-advection
L'advection est le transport d'une qualité (ou propriété) conservative d'un élément parcellaire prédécoupé -sans discontinuité- dans un ensemble homogène d'un fluide.
>> Ledit transport implique la vitesse
>> Ladite qualité peut être la température, ou un pourcentage de bulles, ou des micropoussières....
>> Cette qualité (ou propriété) est conservative, c'est à dire que la somme de ses valeurs au cours d'un échange reste constante
>> L'élément parcellaire est un petit volume ou une petite masse
>> L'ensemble homogène signifie qu’il y a continuité de la susdite qualité du fluide
Exemples >>> les nuages dans l'atmosphère, les poussières dans un fluide qui s'écoule, les bulles d'huile naviguant dans un volume d'eau, etc
Equation générale de l'advection
(l'advection entraîne inévitablement un peu de diffusion-conduction dans le fluide porteur)
dK.v' / dt = v.gradv' + 1/a*
où K(nombre)= tortuosité
v(m/s)= vitesse
v'(m3/kg)= concentration volumique massique
t(s)= temps
a*(kg-s/m3) = variation (en apport ou en perte) de conductivité fluidique
-advection
L'advection (au sens général) est l'expression d'un transfert conservatif dans un fluide homogène.
Ce transfert (transport) peut concerner :
-les qualités physiques du fluide ( sa température, sa viscosité...)
-les caractéristiques du mouvement concernant le fluide (sa vitesse d'écoulement, sa quantité de mouvement, son énergie...)
-des objets portés par le fluide (bulles d'huile dans l'eau, micropoussières, nuages....)
L'élément en cause est conservatif, c'est à dire que la somme des valeurs prises au cours du mouvement reste constante.
Nota : l'advection concerne donc les conditions de mouvement dans un fluide, alors que la diffusion concerne les propriérés du fluide expliquant ses mouvements, la conduction concerne les échanges calorifiques du fluide avec son environnement et que la convection concerne les mouvements d'éléments dans ce fluide, liés à la gravité.
Au sens mathématique, l'advection est un opérateur mathématique composite, à savoir le nabla de la vitesse.
Sa dimension est donc celle d'une fréquence
Exemple: advection de tortuosité
dK.v' / dt = v.gradv' + 1/a*
où K(nombre)= tortuosité
v(m/s)= vitesse
v'(m3/kg)= concentration volumique massique
t(s)= temps
a*(kg-s/m3) = variation (en apport ou en perte) de conductivité fluidique
Exemple: advection de chaleur dans l'air
Le deuxième terme de gauche est l'expression de l'advection >>
dT / dt + v.(nabla)T = Jb.ΔT + P / C
où T est la température, t le temps, v le champ de vitesses, Jb la constante barométrique, P la puissance et C la capacité thermique
Equation générale de l'advection
(qui entraîne inévitablement un peu de diffusion-conduction en même temps dans le fluide porteur)
dK.v' / dt = v.gradv' + 1/a*
où K(nombre)= tortuosité
v(m/s)= vitesse
v'(m3/kg)= concentration volumique massique
t(s)= temps
a* = variation (en apport ou en perte) de conductivité fluidique
-amortissement en milieu visqueux
Dans un fluide visqueux, le frottement est dit "de Stokes".L’amortissement est exponentiel (graphiquement, l’amplitude vibratoire est tangente --à chaque pseudo-période-- à 2 courbes décroissantes exponentielles symétriques à l’axe des temps)
Le coefficient de frottement visqueux est le rapport M* = Ff / v
où v(m/s)= vitesse, Ff (N) est la force de frottement et M* le coefficient de frottement, qui a la dimension d’un débit-masse—(en kg/s)
Le coefficient (ou constante) d’amortissement est : fa= M*/ 2m
La pseudo-période est : t0 = (W’/m - M*²/4m²)1/2
AMORTISSEMENT d’OSCILLATIONS en MILIEU VISQUEUX
Le décrément logarithmique est M*/ m.fa, où M* est le coefficient de frottement, m la masse et fa le coefficient d’amortissement
Exemple : équation de l’oscillation d'un ressort en zone d’amortissement dans un milieu visqueux
m.g + M*.v + W’d.lé = 0
où m(kg)= masse
g(m/s²)= accélération
M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux
W’d(kg/s²)= dureté du ressort
lé(m)= élongation
AMORTISSEMENT en MILIEU TRÈS VISQUEUX
L’amortissement est alors dit "de Newton"
"
-bulle
BULLE
Une bulle est un fluide inclus dans un autre fluide et l'isotropie du milieu lui donne une forme sphérique (pressions identiques)
Cas général
L'équilibre de la bulle dans son milieu d'évolution est donné par la loi de Laplace
pg – pv = pe + 2W' / lr
avec pg(Pa)= pression gazeuse de la bulle
pv(Pa)= pression de vapeur saturante dans la bulle
pe(Pa)= pression du fluide extérieur à (immergeant) la bulle
lr(m)= rayon de la bulle
Cas d'une bulle de vapeur dans un liquide (Equation de Rayleigh)
Si une bulle est en expansion (variation de son volume)
lr.(d²lr / dt²) + (3/2).(dlr / dt)² = (pv – p0) / ρ'
avec lr(m)= rayon de la bulle
t(s) le temps de l'expansion de la bulle
pv(Pa)= pression de vapeur saturante
pa(Pa)= pression du moment où la bulle est en expansion
ρ'(kg/m3)= masse volumique de l'immergeant
Même équation vue par Fritz
lr = 0,0148 (2W' / g. Dr')1/2
où W' = tension superficielle
g(m²Ls)= pesanteur
et Dr' la différence des masses volumiques entre la vapeur et l'immergeant
BULLE DE SAVON
-questions de pression
Elle implique une matière savonneuse (formant les parois), de l'eau (incluse entre 2 parois concentriques très voisines) et un gaz (souvent l'air), aussi bien à l'extérieur qu'à l'intérieur des parois
La différence de pression entre extérieur et intérieur est (loi de Laplace)
Dp = 4W't / lr
avec Dp(Pa)= différence des pressions
W't (J/m²)= tension superficielle
lr(m)= rayon de la bulle
Nota: la bulle crève >>>
-soit parce que sa grande taille réduit trop la densité surfacique de la matière constituant les parois
-soit parce que l'eau inter-parois est trop abondante et pèse jusqu'à faire chuter la bulle
-soit parce que, si trop petite, la bulle ne peut acquérir l'équilibre de pressions
-questions de couleurs
Les aspects moirés d'une bulle de savon proviennent de phénomènes d'interférences : un faisceau de lumière qui survient sur la bulle change 2 fois de milieu : 1 fois en entrant dans le savon depuis l'extérieur puis une 2° fois en sortant du savon pour entrer vers l'intérieur.
Ces 2 réfractions successives interfèrent
-cohésion des fluides
La cohésion concerne les fluides sous forme de forces internes, à l'échelon particulaire
FORCES de COHÉSION
Ce sont les forces (attractives ou répulsives) explicitant la liaison intermoléculaire des molécules.
-ces forces interactives, dues aux polarisations électriques, sont très fortes pour un solide-qui ne s'écrase que sous des efforts importants- elles ne sont pas très persistantes pour un liquide- qui donc se permet de couler- et sont très ténues pour un gaz, qui s'autorise alors à occuper tout le volume offert
Les forces attractives sont exprimables en fonction de leur (distance moyenne à la puissance 6) et sont d'autant plus fortes que la plasticité est plus grande
Près de l’ébullition, l’éloignement moléculaire devient grand (c’est à dire > 10-6 m) et la cohésion faiblit
Un siphon est un exemple de bonne cohésion d’un liquide dans un coude. Le siphonnage est l’exemple de la force nécessaire, pour vaincre ledit siphon (création d’une aspiration gazeuse, de plus faible cohésion)
Une grande cohésion est recherchée pour les lubrifiants, agissant sous forme de pellicules anti-frottement (donc anti-écrasement)
ÉNERGIE DE COHÉSION D'UN FLUIDE
A l’échelle moléculaire on a : E1= Eo.K.(l1/ lo)
E1(J)= énergie de cohésion (et E0= énergie de cohésion initiale)
K= constante empirique,sous forme de viriel de (l0/l1)
l(m)= distance moyenne entre molécules
CONSTANTE CAPILLAIRE
Ka = F / l.W’t
Ka(nombre) est la constante capillaire à la surface de séparation S existant entre 2 fluides (valeur pratique # 4)
F(N)= force à exercer pour vaincre les forces de cohésion sur ladite surface S
l(m)= longueur capillaire
W’t(N/m)= tension superficielle du liquide
-coulabilité
La coulabilité est la qualité d'un fluide (ou d'une poudre) lui permettant de librement et continuement combler l'espace qui lui est offert
Elle dépend de divers paramètres >> viscosité, liaisons internes, pourcentage d'interstices....
-déshydratation
La déshydratation est la suppression de l'eau dans un corps.
C'est un cas de sorption , qui abaisse le taux d'humidité base sèche.
Cas extrême : la déshydratation est nommée dessication quand le pourcentage du taux d'humidité est tombé à 0
Cas usuel : la déshydratation est nommée assèchement quand le produit à déshydrater est chauffé 2 heures à plus de 100°C (d'où vaporisation)
SI ON DÉSHYDRATE CHIMIQUEMENT
C'est une absorption, où est créée une réaction entre un produit chimique apporté et l'eau
On mesure la déshydratation en kg / m3 mais pratiquement par une unité plus conforme à l'usage : le milligramme par litre (qui vaut 10-3 kg /m3)
Les corps déshydratants par absorption peuvent déposer 2 mg/l d’eau, pour les plus extrêmes (comme le CaCl²) jusqu’à 0,003 mg/l pour les plus faibles (CaO, Al²O3...) et même 0,0006 mg/l pour le BaO
SI ON DÉSHYDRATE PHYSIQUEMENT
C'est une adsorption, où l'eau est mélangée à un produit sec qui a le pouvoir de répartir sur ses surfaces internes les molécules d'eau
Les corps déshydratants par adsorption sont classés par une échelle d’efficacité à 9 niveaux dénommés :
Terre glaise-Amiante-Charbon de bois-Argile-Porcelaine-Laine de verre-Terre d'infusoires-Silice gélatineuse- Produits réfrigérants
-glissement fluidique
Dans un écoulement, au voisinage d’un obstacle baigné dans un flux de fluide, existe une fine couche (dite couche limite) où les phénomènes d’écoulement sont particuliers : il y a glissement
-d'une part, il y a viscosité dynamique (frottement des couches fluides)
-d'autre part, au voisinage de l'obstacle il y a cisaillement sur la paroi
Cas général = loi de Newton
Elle formalise le frottement des couches de fluide entre elles, dans un écoulement laminaire :
Ff = η.S.grad.v
où Ff(N)= force de frottement dans un écoulement laminaire (des couches entre elles)
η(pl)= viscosité dynamique du fluide
S(m²)= aire de la couche qui frotte sur les autres, parallèlement à son déplacement
v(m/s)= vitesse d’écoulement
Le gradient de v est sa dérivée par rapport à la longueur
Ff est d’autant plus importante que la viscosité η est forte
On peut aussi écrire pc = η.grad.v où pc (Pa) est la contrainte de cisaillement
En pratique, ceci signifie qu'un fluide s'écoule indépendamment des forces extérieures. N'entrent en jeu que sa viscosité (influencée par la température) et sa vitesse d'écoulement.
Quand la viscosité est faible, on dit qu'il s'agit d'un ''fluide newtonien'' par exemple les gaz usuels (dont l'air) et les liquides légers (dont l'eau)
Cas simplifié d’une plaque plane = formule de Karman
pc / ρ' = dv² + lé.v.(dv / dl)
où pc(N /m²)= cisaillement sur la paroi
v(m/s)= vitesse
l(m)= abscisse
lé(m)= épaisseur de la couche limite
ρ'(kg/m3)= masse volumique du fluide
-hydratation
L'hydratation est une liaison des molécules d'eau avec un corps immergé
HYDRATATION d'ÉLECTROLYSE
c’est le phénomène de liaison des molécules d’eau d’un électrolyte avec les cations
F = Mé.W’t / Q
où W’t est la tension superficielle
(force électrostatique F entre charge Q et moment dipolaire Mé de la molécule d’eau)
HYDRATATION d'ABSORPTION par un CORPS
C'est le résultat de liaisons faibles entre l'eau et le corps absorbant
HYDRATATION de RÉACTION de COMPOSÉS CARBONÉS
Il y a création de nouveaux composés (liaisons ioniques)
HYDRATATION par DISSOLUTION
C'est l'association d'un corps avec l'eau d'une solution et sa transformation en soluté
DESHYDRATATION
C'est une diminution de taux d'humidité base sèche, qui avait lui-même été créé par une hydratation.
Cas extrême : la déshydratation est nommée dessication quand le pourcentage du taux d'humidité base sèche est tombé à 0
Cas usuel : la déshydratation est nommée assèchement quand le produit à déshydrater est chauffé 2 heures à plus de 100°C (pour vaporisation)
Si on déshydrate chimiquement (réaction entre un produit chimique apporté et l'eau) >> c'est par absorption
On mesure la déshydratation en milligramme par litre (qui vaut 10-3 kg /m3)
Si on déshydrate physiquement, c'est une adsorption, où l'eau est mélangée à un produit sec qui a le pouvoir de répartir sur ses surfaces internes les molécules d'eau
-mélange de fluides
Un mélange de fluides (qui n'ont pas de réaction chimique entre eux) se fait par diffusion
MÉLANGE GAZEUX
En cas particulier, un mélange air-vapeur (d'eau) se nomme humidité
-pression d’un mélange de gaz parfait
>> Si plusieurs gaz parfaits sont mélangés, leurs pressions partielles pi, pj, pk...etc ajoutées, redonnent la pression totale pt
pt = Σpi(loi de Dalton)
avec pt(Pa)= pression totale d’un mélange de (i + j + k +...) gaz
pi(Pa)= pression partielle de chaque gaz (i), s’il occupait seul le volume total à la même température
>> Si en outre, leurs quantités individuelles de moles (qi, qj.....) sont également additives pour donner la quantité totale qt et si Σqi / qt tend vers 0 >>
pi = Kh.qi / qt (loi de Henry)
avec Kh est la constante dite de Henry, (de dimension identique à une pression)
le rapport (qi / qt) est la fraction molaire (quantité de matière de gaz / quantité de matière totale)
-compression ou détente adiabatique pour un mélange de gaz
La loi de Laplace dite des gaz parfaits est valable
p.Vγ = constante
avec V(m3)= volume occupé par les gaz
p (Pa)= pression
γ= coefficient de Laplace (coefficient adiabatique) = rapport Cp/ Cv (il dépend de la température T)
-activité absolue pour un gaz parfait
yh = expHm/R*m.T
avec exp = exponentielle
Hm(J/mol)= enthalpie molaire
R*m(J/mol-K)= constante molaire des gaz (8,314472 J/mol-K)
T(K)= température absolue
-coefficient d’activité pour un mélange de gaz (parfaits)
C'est le rapport (numérique) entre 2 activités absolues --définition ci-dessous rappelée-- celle de l’un des gaz et celle d’un gaz de référence (sous pression et température "normales")
MÉLANGE de LIQUIDES
Il s'agit ici de mélanges de liquides miscibles ou de solutions
-loi des masses pour le volume
Le volume résultant est V = (m1.V1 + m2 .V2 + etc ) / (m1 + m2 + etc)
où les symboles V sont ceux des volumes et m ceux des masses
-loi des masses pour la capacité thermique
La capacité thermique résultante est C = (m1.C1+ m2 .C2 + etc ) / (m1 + m2 + etc)
où les symboles C sont ceux des capacités thermiques et m ceux des masses
-température
La température du mélange est
T = (m1.C1.T1 + m2 .C2 .T2 + etc ) / (m1.C1+ m2 .C2 + etc )
où les symboles T sont ceux des températures C ceux de capacités thermiques et m ceux des masses
-la masse molaire du mélange est la moyenne des composants
-indice de réfraction
L'indice résultant pour un mélange, est n* = (n*² – 1).(n*² +2).m' / ρ'
où les symboles n* sont ceux des indices et ρ'celui de la masse volumique
MÉLANGE de FLUIDES en MILIEU MAGNÉTIQUE
Un mélange particulaire en milieu magnétique est nommé plasma
Des courants de fluides conducteurs agissant entre eux, alors qu’ils sont dans un milieu magnétique, ont une constante de diffusion (équivalente d'une viscosité) telle que :
νd = Ω / μ.σ’
avec νd(m²/s)= constante de diffusion en milieu magnétique
Ω(sr)= angle solide
μ(H-sr/m)= perméabilité magnétique du milieu
σ'(S/m)= conductivité électrique moyenne des fluides
-potentiel hydrique
Le potentiel hydrique mesure une relation entre l'eau et le corps qu'elle côtoie
C'est l'enthalpie surfacique libre molaire de l'eau (dans le sol par exemple)
Dimension M.T-2.N-1 Symbole de désignation : δ* Unité S.I.+ : J/m²-mol
δ* = (posm - phyd) / q
avec d*(J/m²-mol)= potentiel hydrique
posm et phyd (P)= pressions osmotique et hydrostatique
q(mol)= quantité de matière
d* = dHm / S
avec d*(J/m²-mol)= potentiel hydrique
Hm(J)= enthalpie libre molaire de l'eau
S(m²)= section
-vents terrestres
Les vents terrestres résultent du rayonnement solaire qui chauffe inégalement les masses d'air en divers lieux
Leur énergie globale annuelle consomme # 2.1021 Joules, soit # 0,2% de l'énergie solaire reçue
NOTIONS ANGULAIRES
-l'aire de vents est le schéma des distributions directionnelles des vents en un lieu
-la rose des vents détermine une zone de présence (ou provenance) d’un vent.
On découpe un cercle en 32 portions égales dont chacune est appelée "aire de vent" ou "quart" ou "rhumb" -ce mot s’écrivant parfois chez les marins "rumb", ou "rume" ou "rumbe"ou "rumo" en portuguais ou "rombo" en italien ou "rumbo" en espagnol-
Le rhumb vaut 0,196 radian ou 11°15 minutes ou 11°,25 c’est à dire 360°/ 32)
Chaque rayon délimitant ces zones sert à définir une orientation de vent et le total de ces rayons directionnels forme la Rose des vents (ou Aire des vents)
-angle de vol (en navigation aérienne)
C'est l'angle entre la direction du vol et celle du vent
NOTIONS ENERGETIQUES
-la pression du vent : la pression produite par un vent de vitesse v vaut
p = K.v².ρ'
où ρ' = masse volumique de l’air (soit 1,293. kg/m3)
K =coefficient atténuateur de discontinuité des filets d’air
Exemple pour un vent de 100 km/h (soit 28 m/s) la surpression est # 500 N/m² et pour 20 km/h (soit 5,6 m/s) la surpression est # 20 N/m²
-la dépression derrière un obstacle venté
Si un obstacle de forme régulière est inséré sur le trajet d’un vent, la pression diminue derrière
ps = pa - K.v²
avec ps(Pa)= pression derrière le sillage de l’obstacle
pa(Pa)= pression ambiante, à quelque distance de là
K(kg-m-3)= coefficient dimensionnel, dépendant de la forme de l’obstacle
-la force du vent
Cette notion de langage courant n'est cependant ni une force, ni même une vitesse
Elle est mesurée par une "échelle", purement numérique, correspondant à une mesure de plages de vitesses (relevées à 10 mètres au-dessus du sol )
Il existe 2 Echelles :
-Echelle de Beaufort (vieux repère anglais, encore en usage en Europe), allant de 1 à 12, avec correspondances approximatives ci-après :
-coefficient 3 (petite brise) = 3,4 à 5,3 m/s (soit 12 à 19 km/h) créant une pression de 20 N/m² (ou 2.10-2 kgf/cm²)
-coefficient 6 (vent frais) = 10 à 13,5 m/s (soit 38 à 48 km/h ) créant une pression de 80 N/m² (soit # 10-3 bar)
-coefficient 9 (fort coup de vent) = 20 à 24 m/s (soit 74 à 87 km/h avec pression de 250 N/m² (soit # 3.10-3 bar) Marche impossible contre le vent
-coefficient 12 (ouragan) = + de 33 m/s (soit + de 118 km/h) créant une pression d'au moins 500 N/m² (ou 5.10-3 kgf/cm² ou 0,005 bar) Objets de 20 kg emportés
-Echelle de Fujita, aux Etats Unis, allant de 0 (calme) à 5 (ouragan)
-le coefficient 0 (le mini) = 20 à 32 m/s (soit 70 à 116 km/h)
-le coefficient 5 (le maxi) = plus de de 200 km/h
-l'effet Magnus concerne une force inhabituelle venant frapper un corps
Si c'est la force du vent qui heurte un obstacle
Exemple pour un cylindre régulier situé perpendiculairement à un vent de vitesse uniforme
F = ρ’.v.lh.lr².f
où F(N)= force normale au cylindre
ρ’(kg/m3)= masse volumique de l’air
v(m/s)= vitesse constante du vent
f(s-1)= fréquence de balayage du cylindre
lh(m)= hauteur du cylindre
lr(m)= rayon du cylindre
-éoliennes voir chapitre spécial
VENTS SPECIAUX
-vents thermiques
Il s'agit d'échanges atmosphériques de chaleur répondant à la formule :
p = (R* / S.F'C) ∫p1p2(K.♦T)(ν.dp)
où p(N/m²)= pression
R*(J/K)=constante des gaz parfaits
S(m²)= section du relevé
F'C(m/s)= facteur de Coriolis [qui est 2v.sinθ avec θ(rad) = latitude]
K(nombre)= coefficient atténuateur de discontinuité des filets d'air
♦(m-1)= opérateur nabla
ν(m²/s)= viscosité cinématique de l'air
p indicées(Pa)= pressions entre les 2 points de mesure
T(K)= température absolue
-cyclone (ou typhon)
Cas particulier de vent terrestre dont la forte puissance est déterminée par la formule classique
P = m.v² / 2t (énergie cinétique en une seconde, où m est la masse d'air et v la vitesse) Comme il n'est pas facile de déterminer m, on utilise une formule pragmatique donnant la puissance >>> P = K.v².n
avec K(nombre)= indice de force du cyclone , valant de 1011 à 1013 (selon que sa vitesse (v) va de 30 à 100 nœuds)
n est le nombre de périodes de 6 heures pendant lesquelles le typhon perdure.
On trouve ainsi des puissances variant de 1012 à 18 Watts
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