MOMENT d'INERTIE

-moment d'inertie

Un moment d'inertie est le produit d'une masse (m) par le carré de la distance d'où cette masse est considérée

Divers cas sont à définir, selon la disposition de la masse m : répartie soit ponctuellement (sur des points), ou sur une ligne, ou sur une surface, ou dans un volume... et en outre selon que la distance (l) est considérée par rapport à un point, à un axe, ou à un plan

 

MOMENT D’INERTIE SIMPLE Im

C'est le moment d'inertie d’un ensemble de masses ponctuelles

Il est dit parfois Moment d’inertie dynamique ou Moment inertiel et il est rarement utilisé (car les masses en cause dans la pratique sont rarement ponctuelles)

Dénomination particulière: PD² >> c’était l’abréviation --imagée-- de (poids x distance²), à une époque où l’on confondait volontiers poids et masse

Dans quelques versions plus modernes, on lit MD². (M mis pour "masse")

Dimensions du moment d'inertie simple : L2.M   Symbole  : Iindicé      

Unité S.I.+ : le kg-m²

Relations avec d'autres unités :

1 kilogramme-millimètre carré vaut 10-6 kg-m²

1 gramme-centimètre carré vaut 10-7 kg-m²

1-moment d'inertie simple de masses ponctuelles

I= Σm.l²

Im(kg-m²)= moment d’inertie d’un groupe de masses ponctuelles Σm(kg)-- pris par rapport à 1 point, à 1 axe ou à 1 plan

l(m)= distance moyenne entre les masses m et le point, ou l'axe ou le plan de référence

 

2-moment d'inertie simple de masses réparties uniformément sur 1 segment

c'est le moment d'inertie d’un segment massique, donc = produit de la masse du segment sur lequel elle est distribuée, par le carré de la distance d’où la masse est considérée

Ce moment d’inertie de segment peut être considéré par rapport à un point, un axe, ou un plan

La formule classique du moment d’inertie usuel (I= m.l² ) devient alors

I= (m*.l).ld²

le segment de droite de longueur l(m), a une masse linéique constante m*(kg/m) et est situé à une distance ld(m) du point, de l'axe ou du plan

Calculs pragmatiques >> si la masse linéique m* est considérée égale à 1 kg/m, on a un moment d'inertie exprimé en (1 x m x m²)= en mètre cube

mais c'est une simplification numérique (la dimension est toujours L².M, mais on y a pris abusivement M = fonction unitaire de L)

 

3-moment d’inertie simple de masses réparties uniformément sur 1 surface

Is c'est le produit d’une masse distribuée sur une surface, par le carré de la distance d’où cette masse est considérée

Nota: attention de déduire --dans le calcul de Isl’influence des trous, si une surface en est dotée

La formule générale du moment d’inertie (I= m.l²), devient ici  Is= (y’.S).ld²

où l’aire S(m²), de masse surfacique constante (isotrope) y’(kg/m²), est située à une distance ld(m) du point, axe, ou plan

Calculs pragmatiques si la masse surfacique y’ est prise égale à 1(kg/m² en système d’unités S.I.+):

le moment d'inertie sera exprimé en m4(mètre bicarré), mais c’est une simplification numérique (la dimension est toujours L².M, mais on y a pris abusivement

M = fonction unitaire de L²)

a)) quand le moment d'inertie de surface est pris par rapport à un point : il est dénommé alors Moment d'inertie polaire p)

Îp = Isx + Isy (qui sont les 2 moments d’inertie par rapport aux axes orthogonaux passant par le point-pôle) (mesurés en m4)--

Ce point-pôle est en général le centre de gravité

Le moment polaire d’une surface S par rapport à un point O de son plan est 

I= Σ(li².Si)

avec S= surface élémentaire à distance élémentaire lde O

b))quand le moment d'inertie de surface est pris par rapport à une droite, il est dit

Moment quadratique(Iq)

I= l².dS

avec Iq(m4)= moment quadratique de la surface S(m²) supposée de masse surfacique homogène unitaire

l(m)= distance moyenne de chaque élément de surface jusqu’à l’axe

-cas particulier de moment quadratique, applicable pour une section droite d'un corps >>>

formule de Steiner-Huygens  Iq1 = Iq2 + S.l²

avec Iq1(kg-m²)= moment quadratique d’une section droite S(m²) d’un corps par rapport à un axe

Iq2(kg-m²)= moment quadratique de S par rapport à un autre axe, parallèle au premier et à distance l(m) et passant, lui, par le centre d‘inertie (ou c.d.g.) du corps

  

-relation entre moments d'inertie simple (ou polaire ou quadratique) et centrifuge   

y'.S.l² / θ = Ir

avec y'(kg/m²)= masse surfacique de la surface dont on prend le moment d'inertie

l(m)= distance des masses

θ(rad)= angle de rotation plane

Ir(m²-kg/rad)= moment centrifuge

-relation entre moment d'inertie quadratique et élancement 

I= l².S / yl

C'est une valeur précalculée (en m4) où l'on a considéré la masse surfacique de charges = 1 kg/m²)

l(m)= longueur du poteau

yl= élancement (non dimensionnel)

-relation entre moment d'inertie de surface et module résistant (dit aussi moment résistant ou module de flexion)

I= lv .Vr

avec Vr(m3)= module résistant pour une aire plane de masse m(kg)

Iq est une valeur précalculée (en m4) où l'on a considéré la masse surfacique de charges = 1 kg/m²)

Iq est pris autour d'un axe situé dans le plan de l’aire

lv(m)= distance (à l’axe) du point de la surface le plus éloigné de l’axe

 

Valeurs de quelques moments d’inertie quadratiques(Iq) - moments usuellement rencontrés- de figures planes (par rapport à un axe passant par le centre de gravité et donné en mètres bicarrés (c'est à dire qu'on a considéré la masse surfacique de charges = 1 kg/m²)

Les symboles étant toujours l(m)= longueurs et les indices q= quadratique, a= petit côté, b= grand côté, d= diamètre, h= hauteur

Carré de côté l : moment I= l4/ 12

Rectangle de côtés let lb : moment I= la.lb3/ 12

Triangle de base let de hauteur moment I= la.lh3/ 36

Trapèze de grande et petite bases let let hauteur lh:

moment I= lh3.(lB² + 4lB.l+ lb²) / 36(l+ lb

Hexagone régulier de côté la: moment   moment Î= 0,06 la4  

 

Cercle de diamètre ld: moment  Iq= .ld4 / 64

Ellipse d’axes let lb: moment I= .la.lb3/ 64 

 

4-moment d’inertie simple pour masses réparties uniformément dans un volume

C’est le produit (Iv) de la masse (répartie isotropiquement dans un volume), par le carré de la distance d’où elle est considérée :

I= (ρ'.V).ld²

Iv(kg-m²)= moment d’inertie d’un volume V(m3) ayant  masse volumique constante

ρ'(kg/m3) et dont le barycentre est situé à une distance ld(m) soit du point, soit de l’axe, soit du plan

Cas particulier du moment d’inertie de volume par rapport à un axe.

IIb+ Σm.l²  Théorème de Huygens

Iv(kg-m²)= moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe

Ib(kg-m²)= moment d’inertie par rapport à un autre axe, parallèle au premier à une distance l(m) et passant, lui, par le centre d’inertie (ou centre de gravité) du corps

Σm(kg)= somme des masses des divers points matériels constituant le corps et équivalant à une masse m, située en son centre de gravité

 

Valeurs de quelques moments d’inertie Iv  de volumes ayant une masse m (et pris par rapport à un axe vertical passant au centre de gravité)

Tige de longueur l : >>> le moment d'inertie est  I= m.l² / 12

Tube mince : >>> le moment d'inertie est  I= m.l²

Parallélépipède (plaque) de côtés let lb:

>>> le moment d'inertie est  I= m.(la² + lb²) / 12

Cylindre (ou disque) de rayon l : >>> le moment d'inertie est  I= m.l² / 2

Cône de rayon basique l : >>> le moment d'inertie est  I= 3m.l² / 10

Sphère pleine de rayon l : >>> le moment d'inertie est  I= 4m.l² / 10

Sphère creuse de rayon l : >>>moment est  I= 2m.l² / 3

 

PRODUIT D’INERTIE

Pour un corps de masse m, d’abscisse la et d’ordonnée lo , le produit d’inertie est le produit  (m.la.lo)

 

MODULE D’INERTIE

C'est le rapport entre le moment quadratique ci-dessus et la distance de la fibre d’une poutre longiligne par rapport à la fibre neutre

Equation aux dimensions  : L3        Symbole de désignation : Vr       

Unité S.I.+ : mètre cube (m3)

V= I/ lf

où Vr(m3) = module d'inertie

Iq(m4)= moment quadratique de la section par rapport à l’axe

lf(m)= distance entre l’axe et la fibre la plus lointaine

Dans beaucoup de livres technologiques, cette formule est écrite avec les

symboles suivants: V= / v

le symbole v étant alors une distance et pas une vitesse comme la lettre (v) pourrait le laisser penser

 

RAYON DE GIRATION

Dans l’expression d’un moment d’inertie,c’est la distance

lg = (Π/ Σm)1/2

où lg(m)= rayon de giration (longueur moyenne) d’un ensemble de masses Σm

Î(kg-m²)= moment d’inertie par rapport à un axe

 

MOMENT d' INERTIE dans une ROTATION

I= M/ f².sinθ

Iv(kg-m²)= moment d’inertie d’un solide par rapport à une droite D, autour de laquelle il peut tourner

Mf(N-m)= moment de la résultante des forces appliquées au solide

f(Hz)= fréquence de balayage

θ(rad)= angle plan formé entre :

1)) la direction de la résultante des forces et 2)) la perpendiculaire à passant par le point d’application de cette résultante

 

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