MOMENT d'INERTIE

-moment d'inertie

Un moment d'inertie est le produit d'une masse (m) par le carré de la distance (l) d'où cette masse est considérée

Divers cas sont à définir, selon:

-la densité de la masse m (qui est répartie soit ponctuellement, soit linéairement, soit superficiellement, soit volumiquement)

-le type de la distance l (qui peut être considérée depuis un point, ou un axe, ou un plan)

 

MOMENT D’INERTIE SIMPLE Im

C'est le moment d'inertie d’un ensemble de masses ponctuelles

Il est dit parfois Moment d’inertie dynamique ou Moment inertiel et il est rarement utilisé (car les masses en cause, en pratique, sont rarement ponctuelles)

Dénomination ancestrale: PD² >> c’était l’abréviation --imagée-- de (poids x distance²), à une époque où l’on confondait volontiers poids et masse

Dans quelques versions plus modernes, on lit MD². (M mis pour "masse")

Dimensions du moment d'inertie simple : L2.M   Symbole  : Im       Unité S.I.+ : le kg-m²

Relations avec d'autres unités :

1 kilogramme-millimètre carré vaut 10-6 kg-m²

1 gramme-centimètre carré vaut 10-7 kg-m²

1-moment d'inertie simple de masses ponctuelles

Im = Óm.l²

où Im(kg-m²)= moment d’inertie d’un groupe de masses ponctuelles Σm(kg)-- pris par rapport à 1 point, à 1 axe ou à 1 plan

l(m)= distance moyenne entre les masses m et le point, ou l'axe ou le plan de référence

 

2-moment d'inertie simple de masses réparties uniformément sur 1 segment

c'est le moment d'inertie d’un segment massique, donc = produit de la masse du segment sur lequel elle est distribuée, par le carré de la distance d’où la masse est considérée

Ce moment d’inertie de segment peut être considéré par rapport à un point, ou un axe, ou un plan. La formule classique du moment d’inertie usuel (I= m.l² ) devient alors

Il = (m*.l).ld²

le segment de droite de longueur l(m), est supposé avoir une masse linéique constante m*(kg/m) et est situé à une distance ld(m) soit du point, soit de l'axe soit du plan depuis lequel on mesure le moment.

Attention>> si, dans une application numérique, on a une masse linéique m* égale à 1 kg/m, on se trouve devant un moment d'inertie exprimé en (1 x m x m²)= en mètre cube; c'est évidemment abusif de voir un moment exprimé comme un volume, mais il faut se souvenir que cela provient d'une simplification (par laquelle on a fait disparaitre la dimension "masse", remplacée par 1, sa valeur numérique)

 

3-moment d’inertie simple de masses réparties uniformément sur 1 surface

c'est (Is ) le produit d’une masse supposée distribuée uniformément sur une surface, par le carré de la distance d’où cette masse est considérée

Nota: attention de déduire --dans le calcul de Is – l’influence des trous, si une surface en est dotée

La formule générale du moment d’inertie (I= m.l²), devient ici  Is= (y’.S).ld²

où l’aire S(m²), de masse surfacique constante (isotrope) y’(kg/m²), est située à une distance ld(m) du point, ou axe, ou plan

Attention>> si, dans une application numérique, on a une masse surfacique y' égale à 1 kg/m², on se trouve devant un moment d'inertie exprimé en (1 x m² x m²)= en mètre bicarré; c'est évidemment abusif de voir un moment exprimé en m4, mais il faut se souvenir que cela provient d'une simplification (par laquelle on a fait disparaitre les dimensions "masse par m²", au profit de 1, sa valeur numérique)

a)) quand le moment d'inertie de surface est pris par rapport à un point : il est dénommé alors moment d'inertie polaire (Îp)

Îp = Isx + Isy (la somme des 2 moments d’inertie par rapport aux axes orthogonaux passant par le point-pôle O) (mesurés en m4 car on a supposé que y' = 1 kg/m²)-

Ce point-pôle est en général le centre de gravité

Chacun des moments Isx et Isy est  = Σ(li².Si) avec Si = surface élémentaire à distance élémentaire li de O

b)) quand le moment d'inertie de surface est pris par rapport à une droite, il est dit

moment quadratique(Iq) et vaut Iq = ∫l².dS

avec Iq(m4)= moment quadratique de la surface S(m²) supposée de masse surfacique homogène unitaire

l(m)= distance moyenne de chaque élément de surface jusqu’à l’axe

-cas particulier de moment quadratique, applicable pour une section droite d'un corps >>>

 Iq1 = Iq2 + S.l²    c'est la formule de Steiner-Huygens

où Iq1(kg-m²)= moment quadratique d’une section droite S(m²) d’un corps par rapport à un axe

Iq2(kg-m²)= moment quadratique de S par rapport à un autre axe, parallèle au premier et à distance l(m) et passant, lui, par le centre d‘inertie(ou c.d.g.) du corps

-valeurs de quelques moments d’inertie quadratiques (Iq)

il s'agit de moments de figures planes usuellement rencontrés

Ils sont donnés par rapport à un axe passant par le centre de gravité et mesurés en mètres bicarrés (c'est à dire qu'on a considéré la masse surfacique de charges = 1 kg/m²)

Les symboles seront toujours l'indice q= quadratique, les longueurs (l) indicées a = petit côté, indicées b= grand côté, indicées d= diamètre, indicées h= hauteur

Carré de côté l : moment Iq = l4/ 12

Rectangle de côtés la et lb : moment Iq = la.lb3/ 12

Triangle de base la et de hauteur lh moment Iq = la.lh3/ 36

Trapèze de grande et petite bases lB et lb et hauteur lh:

moment Iq = lh3.(lB² + 4lB.lb + lb²) / 36(lB + lb) 

Hexagone régulier de côté la: moment Îq = 0,06 la4  

Cercle de diamètre ld: moment  Iq= p.ld4 / 64

Ellipse d’axes la et lb: moment Iq = p.la.lb3/ 64    

c))relation entre moment d'inertie quadratique et élancement 

Iq = l².S / yl    C'est une valeur précalculée (en m4) où l'on a considéré la masse surfacique de charges = 1 kg/m²

l(m)= longueur du poteau

yl= élancement (non dimensionnel)

d))relation entre moment d'inertie quadratique et modukle résistant (dit aussi moment résistant  ou module de flexion)

Iq = lv .Vr  c'est une valeur précalculée (en m4) où l'on a considéré la masse surfacique de charges = 1 kg/m²

avec Vr(m3)= module résistant pour une aire plane de masse m(kg)

Iq est pris autour d'un axe situé dans le plan de l’aire

lv(m)= distance (à l’axe) du point de la surface le plus éloigné de l’axe

 

e)) moment d'inertie centrifuge   

Ir =y'.S.l² / θ    où Ir(m²-kg/rad)= moment centrifuge

y'(kg/m²)= masse surfacique de la surface dont on prend le moment d'inertie

l(m)= distance des masses

θ(rad)= angle de la rotation

 

4-moment d’inertie simple pour masses réparties uniformément dans un volume

C’est le produit (Iv) de la masse (répartie isotropiquement dans un volume), par le carré de la distance d’où elle est considérée :

Iv = (ñ'.V).ld²

où Iv(kg-m²)= moment d’inertie d’un volume V(m3) ayant  masse volumique constante

ρ'(kg/m3) et dont le barycentre est situé à une distance ld(m) soit du point, soit de l’axe, soit du plan

a)) cas particulier du moment d’inertie de volume par rapport à un axe.

Iv = Ib+ Σm.l²  c'est le théorème de Huygens

où Iv(kg-m²)= moment d’inertie d’un corps par rapport à un axe

Ib(kg-m²)= moment d’inertie par rapport à un autre axe, parallèle au premier à une distance l(m) et passant, lui, par le centre d’inertie (ou centre de gravité) du corps

Óm(kg)= somme des masses des divers points matériels constituant le corps et équivalant à une masse m, située en son centre de gravité

 

Valeurs de quelques moments d’inertie Iv  de volumes ayant une masse m (et pris par rapport à un axe vertical passant au centre de gravité)

Tige de longueur l : >>> le moment d'inertie est  Iv = m.l² / 12

Tube mince : >>> le moment d'inertie est  Iv = m.l²

Parallélépipède (plaque) de côtés la et lb:

>>> le moment d'inertie est  Iv = m.(la² + lb²) / 12

Cylindre (ou disque) de rayon l : >>> le moment d'inertie est  Iv = m.l² / 2

Cône de rayon basique l : >>> le moment d'inertie est  Iv = 3m.l² / 10

Sphère pleine de rayon l : >>> le moment d'inertie est  Iv = 4m.l² / 10

Sphère creuse de rayon l : >>>moment est  Iv = 2m.l² / 3

 

PRODUIT D’INERTIE

Pour un corps de masse m, d’abscisse la et d’ordonnée lo , le produit d’inertie est le produit  (m.la.lo)

 

MODULE D’INERTIE

C'est le rapport entre le moment quadratique ci-dessus et la distance de la fibre d’une poutre longiligne par rapport à la fibre neutre

Equation aux dimensions  : L3        Symbole de désignation : Vr       

Unité S.I.+ : mètre cube (m3)

Vr = Iq / lf

où Vr(m3) = module d'inertie

Iq(m4)= moment quadratique de la section par rapport à l’axe

lf(m)= distance entre l’axe et la fibre la plus lointaine

Dans beaucoup de livres technologiques, cette formule est écrite avec les

symboles suivants: Vr = I / v

le symbole v étant alors une distance et pas une vitesse comme la lettre (v) pourrait le laisser penser

 

RAYON DE GIRATION

Dans l’expression d’un moment d’inertie,c’est la distance

lg = (Π/ Σm)1/2

où lg(m)= rayon de giration (longueur moyenne) d’un ensemble de masses Σm

Î(kg-m²)= moment d’inertie par rapport à un axe

 

MOMENT d' INERTIE dans une ROTATION

Iv = Mf / f².sinè

où Iv(kg-m²)= moment d’inertie d’un solide par rapport à une droite D, autour de laquelle il peut tourner

Mf(N-m)= moment de la résultante des forces appliquées au solide

f(Hz)= fréquence de balayage

è(rad)= angle plan formé entre :

1)) la direction de la résultante des forces et

2)) la perpendiculaire à D passant par le point d’application de cette résultante

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