MODULES en RéSISTANCE des MATéRIAUX

-modules en résistance des matériaux

Les divers modules utilisés en résistance des matériaux expriment l'incidence de la force (appliquée à un matériau) en regard de certaines de ses caractéristiques (dimensions, poids spécifique....)

LE MODULE de COMPRESSION

symbolisé n(utilisé identiquement pour les fluides et les solides) représente l'incidence sur le volume initial (V) d'une variation de pression Δp(N/m²) produite par une variation de volume ΔV(m3)soit   n Δp.V /  ΔV

nest une contrainte-interne

Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T -2   Symbole : nk   

Unité S.I.+ : N/m²]

nkF/ S  résulte de l'application d’une force F(N) dans une section S(m²) d’un solide

nk= nY/ 3.(1- 2 yP)     nk(N/m²)= module de compression, nY(N/m²)= module de Young et

yP(nombre)= coefficient de Poisson (Voir valeurs ci-après)

Valeurs pratiques de n(en N/m²) :

Glace(1010)--Pb(4,4.1010)--Cd(1,7.1010)--Al(7,2.1010)--

Cu(1,3.1011)--Au(1,6.1011)--Fe(1,7.1011)

en rappelant que les éventuelles autres unités d’évaluation sont : le N/mm² = 10N/m²

avec le gN/m² = 10N/m² et aussi le kgp/mm² ~ 10N/m²

 

LE MODULE D’ÉLASTICITÉ LONGITUDINALE, dit MODULE DE YOUNG (ou module de tension) nY

Cette grandeur concerne un corps prismatique soumis à efforts dans le sens de sa longueur et c'est une élasticité, comparée à son allongement relatif

 

Elle peut se considérer soit pour l’étirement, soit pour le raccourcissement. Les angles entre les faces ne varient pas

Equation aux dimensions structurelles (idem pression) :L-1.M.T-2

Symbole de désignation : nY     Unité S.I.+ : N/m²

Elle est donnée par la loi de Hooke, pour déformation élastique d’un corps prismatique de bonne élasticité >>>  nY = (F/ So) / (Δl1/ l1)

où nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinal d’un corps de section initiale S0(m²) et

 F(N)= force créant un allongement (Δl1(m) comparé à la longueur initiale l1)

Valeurs du module de Young nY pour quelques matériaux, exprimées en 106 N/m² (cette unité étant identique au N/mm² ou au MPa ou à 106 Pa ou à peu près à 10-1 kg/mm², qui sont d'autres unités parfois utilisées):

-bois (parallèlement aux fibres) >>> bois tendres(7.000)--bois très durs(12.000)-

-métaux >>> Pb(16.200)--Cd(50.000)--laiton et Al(70.000)--Ag,Au,Zn(80.000)--

Ti & fonte(110 à 112.000)--Cu(118.000)--Fe(115.000 à 130.000)--

Mn,Mg,Pt,U(150 à 160.000)--Acier inox(195.000)--Co,Ni & acier trempé (200.000)--Cr(280.000)--W(400.000)--WC(> 500.000)

-matériaux de construction >>> roches tendres(15.000 à 60.000)--roches dures(40 à 65.000)--béton(20 à 35.000)--briques(17.000)--verre(55.000 à 70.000)--

-matériaux divers >>> fibres de verre(500.000)--fibres de carbone(200.000) --glace(9.000)--PVC(3.000)--élastomères(100)--

Variations du module de Young avec la température >>> un refroidissement de 100K augmente le module de ~ 2 à 5% et un réchauffement de 100 K diminue le module de ~ 10 à 20%

 

LE MODULE d'ÉLASTICITÉ TRANSVERSALE, dit MODULE DE COULOMB (nC)

Cette grandeur concerne un corps prismatique soumis à efforts dans le sens de sa largeur et c'est une élasticité, comparée à son pourcentage de variation de largeur (ou d'épaisseur).

Equation aux dimensions (idem pression) :L-1.M.T-2   Symbole  : nC  

Unité S.I.+ : N/m² et autres mêmes unités d'usage que vues plus haut

Elle est donnée par la formule  nC = (F/ S0) / (Δl/ l2)

où nC(N/m²)= module d’élasticité transversale d’un corps longiligne

S0(m²)= section initiale du corps

F(N)= force appliquée créant un rétrécissement Δl2(m)

l2(m)= épaisseur (largeur) initiale

Les valeurs de nvont -selon les corps- de 0,25 à 0,40 fois le module de Young nY

La diminution de largeur pour un corps prismatique est de ce fait 0,25 à 0,40 fois égale à l'augmentation de longueur

Pour des corps très élastiques (caoutchouc, élastomères), nest variable en fonction de la force et augmente pour de forts allongements

 

LES MODULES (ou COEFFICIENTS) de LAMÉ  sont des composites des modules précédents

-l’un est égal à nG

-l’autre est égal à [nY.yP] / (1 - 2nY).(1 + nY)  nétant le module de Young, nle module de rigidité et yle coefficient de Poisson

Voir valeurs de n, net yci-dessus et dessous

 

LE MODULE DE RIGIDITÉ (ou MODULE de CISAILLEMENT)

Equation aux dimensions structurelles(celle d’une pression) L-1.M.T-2

Symbole : nG     Unité S.I.+ : le N/m²

est nG= ny/ 2.(1+ yP)

où nG(N/m²)= module de rigidité d’un corps soumis à des forces, nY le module de Young

et y= coefficient de Poisson (voir ci-après)

Valeurs pratiques de nG  pour quelques métaux (en 10N/m², ou en unités identiques que sont le N/mm² ou le MPa ou le 106Pa):

Mg(3.000)--Pb(6.000)--Cd & Sn(18.000)--Zn(20 à 50.000)--

Ag & Al(26.000)--Au(29.000)--Co & Cu(41.000)--Ti(44.000)-- Pt(60.000)--Fe & Ni(77.000)--U(83.000)--Cr(115.000)

 

Le COEFFICIENT de POISSON (qui s'apparente à un module)

est y= (Δll/ ll) / (Δl/ lL)= variation relative de largeur sur variation relative de longueur

Valeurs pratiques du coefficient de Poisson y(nombre)

liège(0)—béton(0,20)--Fe et Zn(0,22 à 0,26)--Verre(0,21 à 0,30)--

Aciers et Mg(0,27 à 0,29)-- Ni(0,30)--Cu et Al(0,33)—fonte et Ti(0,35)--

Au et plexiglass(0,42)--Pb(0,44)--caoutchouc et élastomères(0,50)-- cellulose et PVC(0,40)--glace(0,36)--calcaire, granit, WC(0,25)--

béton,Si et verre(0,2)--bois(0,03)

 

Le MODULE de TORSION (ou CONTRAINTE de TORSION)

Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T-2.A-1

Symbole η*    Unité S.I.+ : Pa/rad

est une contrainte (donc une pression) ramenée à l'angle θ  de torsion

η* = nθ = MΓ/ Vr

η*(Pa/rad)= module de torsion

nG(N/m²)= contrainte de cisaillement (ci-dessus)

MΓ(J-couple)= moment de torsion, qui vaut F.D*t

D*t(m/rad)= rayon de torsion

Vr(m3)= moment résistant  (dit aussi module d’inertie)

Mf(N-m)= moment des forces  qui font tourner le corps de θ (rad)

 

Le MODULE D’INERTIE ou MOMENT de RÉSISTANCE ou MODULE RÉSISTANT

est le moment d’une surface par rapport à un point

Equation aux dimensions  : L3    Symbole grandeur : Vr    

Unité S.I.+ : m3

Vr= S.l

où S(m²)= surface et l(m)= distance entre la surface et le point

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