MODULE en RéSISTANCE des MATéRIAUX

-module en résistance des matériaux

Les divers modules utilisés en résistance des matériaux expriment l'incidence de la force (appliquée à un matériau) en regard de certaines de ses caractéristiques (dimensions, poids spécifique....)

LE MODULE DE COMPRESSION

Ce module nk (utilisé identiquement pour les fluides et les solides) représente l'incidence sur le volume d'une variation de pression Δp(N/m²) produite par une variation de volume ΔV(m3) par rapport au volume initial V soit   nk =  Δp.V /  ΔV

nk est une contrainte-interne

Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T -2   Symbole : nk   

Unité S.I.+ : N/m²]

nk = F / S  résulte de l'application d’une force F(N) dans une section S(m²) d’un solide

nk = nY / 3.(1- 2 yP) nk(N/m²)= module de compression, nY(N/m²)= module de Young et

yP (nombre)= coefficient de Poisson (Voir valeurs ci-après)

Valeurs pratiques de nk (en N/m²) :

Glace(1010)--Pb(4,4.1010)--Cd(1,7.1010)--Al(7,2.1010)--

Cu(1,3.1011)--Au(1,6.1011)--Fe(1,7.1011)

en rappelant que les éventuelles autres unités d’évaluation sont : le N/mm² = 106 N/m²

avec le gN/m² = 109 N/m² et aussi le kgp/mm² # 107 N/m²

 

LE MODULE D’ÉLASTICITÉ LONGITUDINALE, dit MODULE DE YOUNG (ou module de tension) nY

Cette grandeur concerne un corps prismatique soumis à efforts dans le sens de sa longueur et c'est une élasticité linéiquecomparée à la variation de longueur

Elle peut se considérer soit pour l’allongement, soit pour le raccourcissement. Les angles entre les faces ne varient pas

Equation aux dimensions structurelles (une pression) : L -1.M.T -2

Symbole de désignation : nY     Unité S.I.+ : N/m²

Elle est donnée par la loi de Hooke, pour déformation élastique d’un corps prismatique de bonne élasticité >>>  nY = (F / So) / (Δl1/ l1)

où nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinal d’un corps de section initiale S0(m²) et

 F(N)= force créant un allongement Δ l1(m) sur un corps de longueur initiale l1

Valeurs du module de Young nY pour quelques matériaux, exprimées en 106 N/m² (cette unité étant identique au N/mm² ou au MPa ou à 106 Pa ou à peu près à 10-1 kg/mm², qui sont d'autres unités parfois utilisées):

-bois (parallèlement aux fibres) >>> bois tendres(7.000)--bois très durs(12.000)-

-métaux >>> Pb(16.200)--Cd(50.000)--laiton et Al(70.000)--Ag,Au,Zn(80.000)--

Ti & fonte(110 à 112.000)--Cu(118.000)--Fe(115.000 à 130.000)--

Mn,Mg,Pt,U(150 à 160.000)--Acier inox(195.000)--Co,Ni & acier trempé (200.000)--Cr(280.000)--W(400.000)--WC(> 500.000)

-matériaux de construction >>> roches tendres(15.000 à 60.000)--roches dures(40 à 65.000)--béton(20 à 35.000)--briques(17.000)--verre(55.000 à 70.000)--

-matériaux divers >>> fibres de verre(500.000)--fibres de carbone(200.000) --glace(9.000)--PVC(3.000)--élastomères(100)--

Variations du module de Young avec la température >>> un refroidissement de 100K augmente le module de # 2 à 5%

un réchauffement de 100 K diminue le module de # 10 à 20%

 

LE MODULE D'ÉLASTICITÉ TRANSVERSALE, dit MODULE DE COULOMB nC )

Cette grandeur concerne un corps prismatique soumis à efforts dans le sens de sa largeur et c'est une élasticité linéiquecomparée à la variation de largeur

(ou épaisseur). Elle ne se considère que pour la restriction de section

Equation aux dimensions (une pression) : L-1.M.T -2   Symbole  : nC  

Unité S.I.+ : N/m² et autres mêmes unités d'usage que vues plus haut

Elle est donné par la formule  nC = (F / S0) / (Δl2 / l2)

où nC(N/m²)= module d’élasticité transversale d’un corps longiligne

S0(m²)= section initiale du corps

F(N)= force appliquée créant un rétrécissement Δl2(m)

l2(m)= épaisseur (largeur) initiale

Les valeurs de nC vont -selon les corps- de 0,25 à 0,40 fois nY

La diminution de largeur pour un corps prismatique est de ce fait 0,25 à 0,40 fois égale à l'augmentation de longueur

Pour des corps très élastiques (caoutchouc, élastomères), nC est variable en fonction de la force et augmente pour de forts allongements

 

LES MODULES (ou COEFFICIENTS) de LAMÉ sont des composites des modules précédents

-l’un est égal à nG

-l’autre est égal à [nY.yP] / (1 - 2nY).(1 + nY) nY étant le module de Young, nG le module de rigidité et yP le coefficient de Poisson

Voir valeurs de nY , nG et yP ci-dessus et dessous

 

LE MODULE DE RIGIDITÉ (ou de CISAILLEMENT)

Equation aux dimensions structurelles(celle d’une pression) L -1.M.T -2

Symbole : nG     Unité S.I.+ : le N/m²

C'est nG = ny / 2.(1+ yP)

où nG(N/m²)= module de rigidité d’un corps soumis à des forces, nY le module de Young

et yP = coefficient de Poisson (voir ci-après)

Valeurs pratiques de nG pour quelques métaux (en 106 N/m², ou en unités identiques que sont le N/mm² ou le MPa ou le 106 Pa):

Mg(3.000)--Pb(6.000)--Cd & Sn(18.000)--Zn(20 à 50.000)--

Ag & Al(26.000)--Au(29.000)--Co & Cu(41.000)--Ti(44.000)-- Pt(60.000)--Fe & Ni(77.000)--U(83.000)--Cr(115.000)

 

LE COEFFICIENT de POISSON (qui s'apparente à un module)

C'est yP = (Δll / ll ) / (ΔlL / lL )= variation relative de largeur sur variation relative de longueur

Valeurs pratiques du coefficient de Poisson yP (nombre)

liège(0)—béton(0,20)--Fe et Zn(0,22 à 0,26)--Verre(0,21 à 0,30)--

Aciers et Mg(0,27 à 0,29)-- Ni(0,30)--Cu et Al(0,33)—fonte et Ti(0,35)--

Au et plexiglass(0,42)--Pb(0,44)--caoutchouc et élastomères(0,50)-- cellulose et PVC(0,40)--glace(0,36)--calcaire, granit, WC(0,25)--

béton,Si et verre(0,2)--bois(0,03)

 

LE MODULE de TORSION (ou CONTRAINTE de TORSION)

Equation aux dimensions structurelles : L -1.M.T -2.A -1

Symbole η*    Unité S.I.+ : Pa/rad

c'est une contrainte (donc une pression) ramenée à l'angle θ  de torsion

η* = nG / θ = MΓ / Vr

η*(Pa/rad)= module de torsion

nG(N/m²)= contrainte de cisaillement (ci-dessus)

MΓ (J-couple)= moment de torsion, qui vaut F.D*t

D*t(m/rad)= rayon de torsion

Vr(m3)= moment résistant  (dit aussi module d’inertie)

Mf(N-m)= moment des forces F qui font tourner le corps de θ (rad)

 

LE MODULE D’INERTIE ou MOMENT de RÉSISTANCE ou MODULE RÉSISTANT

C'est le moment d’une surface par rapport à un point

Equation aux dimensions  : L3    Symbole grandeur : Vr    

Unité S.I.+ : m3

Vr = S.l

où S(m²)= surface et l(m)= distance entre la surface et le point

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