FORMULES de PHYSIQUE
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CONTRAINTE
-contrainte
Une contrainte est une pression interne dans un matériau (dans chacun de ses éléments constitutifs), provenant de l'inertie de cohésion, qui s’oppose à une déformation proposée par l'extérieur
Synonymies : résistance surfacique ou module = résistance présentée par un matériau envers une force appliquée sur sa surface
Ces termes sont utilisés en compression, en traction (ou en phase d'extension) , en flexion et pour le cisaillement ou pour ses synonymes (cission et glissement)
On trouve donc dans tous ces domaines la synonymie entre: module, contrainte et résistance (résistance sous entendue surfacique)
Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T-2 Symbole n indicé
Unité S.I.+ : Pascal (Pa ou N/m²).
Relations avec d'autres unités :
1 U.S. ton per square inch vaut 1,544.107Pa
1 kilogramme-poids(ou force) par mm² vaut 9,806.106Pa
1 mégapascal(MPa) -unité courante- vaut 106Pa
1 kilogramme-force par cm²(kgf/cm²) vaut 9,806.104Pa
1 Newton par centimètre carré(N/cm²) vaut 104Pa
1 millibar(ou 1 hectopascal) valent 102Pa
1 Newton par mètre carré(N/m²) vaut 1 Pa
COMPOSANTS d'une CONTRAINTE
Pour étudier plus facilement une contrainte, on considère ses éléments :
La contrainte normale qui est la composante normale à l’élément de surface où apparaît la contrainte
nn = F / S + (Mf.l).sinθ / Iq
où nn(N/m²)= contrainte normale du matériau
F(N)= charge (ou force ou poids) normale à laquelle il est soumis
S(m²)= section en cause du matériau
Mf(N-m)= moment de flexion
l(m)= distance de la fibre à l’axe
Iq(m4)= moment quadratique
θ(rad)= angle entr’axes de l’ellipse d’inertie
La contrainte tangentielle (de cisaillement) qui est la composante tangentielle à l’élément de surface où apparaît la contrainte et qui entraîne un cisaillement (glissement des fibres du matériau avec tendance à cassure)
nt = Ft / Sr + (MG.l) / Ip
avec nt(N/m²)= contrainte tangentielle
Ft(N)= effort tranchant
Sr(m²)= section réduite
MG(J-couple)= moment (du couple) de torsion
l(m)= distance de la fibre à l’axe
Ip(m4)= moment polaire
Les lignes de champ des contraintes principales.
Leur équation différentielle de représentation est:
(dy / dx)² + Δn.dy / nt.dx -1 = 0
où x et y sont les coordonnées, nt la contrainte tangentielle et Δn la différence entre contrainte normale et contrainte tangentielle
Une ligne de champ est le lieu géométrique d'une ligne parallèle à la ligne moyenne.
Une ligne isostatique est celle où toutes les contraintes sont les mêmes
Une fibre neutre est celle où il n'y a pas de contrainte interne
CERCLE de MOHR
Afin de suivre les variations de 2 contraintes en fonction des efforts appliqués, on établit une courbe (qui est un cercle) dont les coordonnées sont :
-en abscisse, la contrainte normale à la section de la pièce
-en ordonnée, la contrainte de cisaillement
Par ailleurs, le nombre de Weissenberg est le rapport entre la contrainte d'élasticité et celle de cisaillement
CONTRAINTES DE SÉCURITÉ
Pour le travail pratique avec un matériau, on se doit de rester dans des limites de sécurité, d'où l'application de facteurs limitant l'usage en dessous de limites dangereuses.On surveille donc:
-la contrainte de sécurité (ns)(ou limite recommandée, ou limite de sécurité)
Synonyme à éviter: coefficient de travail, ou taux de travail, car il s'agit pour ces 2 termes d'un coefficient de sécurité (donc un pourcentage yp et pas une contrainte)
Utilisée en compression, en traction, en flexion et en cisaillement, ns est la contrainte à laquelle un matériau peut travailler, car on a déjà appliqué le coefficient de sécurité, qui rabaisse notablement la limite naturelle de résistance du matériau (elle-même limite de ses déformations permanentes)
Equation aux dimensions structurelles de la contrainte de sécurité L-1.M.T-2
Symbole de grandeur : ns Unité S.I.+ : N/m²(ou Pa)
Unités d’usage : le mégapascal MPa (qui vaut 106 Pa)--le kgp/mm²( qui vaut environ 107Pa, soit # 10 MPa)--le kgp/cm²( # 105Pa)
Formules générales pour la contrainte de sécurité
ns = yp. F / S et ns = nd.yp
yp(nombre)= coefficient de sécurité
ns(N/m²)= contrainte de sécurité -ou résistance de travail- d’un matériau élastique
F(N)= charge à laquelle est soumise la section S(m²) au maxi avant déformation
nd(N/m²)= contrainte caractéristique du matériau, limite avant ses déformations permanentes
yp(nombre)= coefficient de sécurité (taux de travail)
Valeurs pratiques de lacontrainte de sécurité
(en kgp/mm², soit # 107Pa soit # 10 MPa)
-A la traction: métaux nobles(9 à 25)--acier(10 à 18)--métaux courants(1 à 8)--bois(0,6 à 1,2)--matériaux de construction(1,5 à 6)
-A la compression: métaux nobles(9 à 25)-- acier(10 à 18)--métaux courants(1 à 8)--bois(0,4 à 0,9)-- matériaux de construction(1 à 4)
-Au cisaillement: acier(8 à 13)--métaux courants(0,6 à 5)--bois(0,1 à 0,2)--matériaux de construction(0,1 à 1)
Application pour les compression et traction :
ns = yp. F / S et ns = nd.yp comme ci-dessus
Application pour la flexion:
La contrainte (normale) donnant la flexion maximale acceptable pour un matériau soumis à un moment fléchissant est dénommée aussi "limite de travail": puisque c'est la valeur à laquelle on peut faire travailler un matériau (on a déjà appliqué le coef. de sécurité déterminé par l'usage)
ns<Mf / Vr ou ns < Mf.lf / Iq
avec ns(N/m²)= contrainte de sécurité (donc maximale à l'usage) pour un travail en flexion
Mf(N-m)= moment fléchissant
Vr(m3)= module de résistance, qui est lui-même = Iq / lf
Iq(m4)= moment quadratique de la section par rapport à l’axe
et lf(m)= distance entre l’axe de la poutre et sa fibre la plus lointaine
Nota: le module de résistance ci-dessus (Iq / lf) est souvent symbolisé dans les ouvrages techniques sous la forme (I / v)
Application pour la torsion
La contrainte (ou module) de torsion η* est une contrainte (pression) ramenée à l'angle θ de torsion
Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T-2.A-1
Symbole de grandeur : η* Unité S.I.+ : Pa/rad
η* = nG / θ = MΓ / Vr ou η* = Mf / Vr.θ
η*(Pa/rad)= module de torsion
nG(N/m²)= contrainte de cisaillement (Voir valeurs chapitre Module)
MΓ(J-couple)= moment de torsion, qui vaut <spa