R2.CONTRAINTES SUBIES

-charge mécanique

Une charge mécanique est une FORCE (ou un Poids)

Mais le langage courant mélange volontiers trois notions sous le terme simpliste de «charge» (en abrégé) , alors qu'il faut distinguer : 

 

1.LA CHARGE STRICTO SENSU

Une charge (au sens strict) est une force (ou un poids) >> par exemple: la charge d’un plancher = le poids qu’il peut supporter

ou bien la charge de flambage = le poids qu'on peut appliquer à un poteau, avant flambage

Equation aux dimensions structurelles :L.M.T-2       Symbole Fp      

Unité S.I.+ : le Newton(N)

Autre unité (très) utilisée : le kilogramme poids (ou kilogramme-force) qui vaut 9,806.N

Fp= m.g

avec Fp(N)= charge (poids)

m(kg)= masse du corps

g(m/s²)= pesanteur

 

Cas particulier de charge mécanique:

quand on applique une charge très élevée qui atteint la zone de déstructuration d'un matériau, on la nomme charge critique (critique veut dire limite de déstructuration) ou encore charge de rupture

 

2.LA CHARGE SURFACIQUE

Nota : le mot "surfacique" est trop souvent éludé et donc quand on lit "charge" il faut quasiment toujours comprendre "charge surfacique"

Donc c'est un poids surfacique, donc c'est une pression

Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T-2       Symbole pc      

Unité S.I.+ : le Pascal(Pa) et en unité d'usage le kg/mm²  (# 107Pa)

Exemples de charge surfacique >>>

la charge (surfacique) d’un plancher (qu'on nomme souvent charge unitaire) est la pression qu'il peut supporter-

Valeurs pratiques de charge de plancher 

---charges permanentes : chape +carrelage + cloisons(150 kg/m²)--1 mètre de terre en remblais( 2.200 kg/m²)--étanchéité de terrasse(200 kg/m²)

---surcharges (présence de meubles, stockages et individus) : en habitat(150 kg/m²)--en archivage(1.000)--en bureaux(250 kg/m²)--en collectivités, telles les écoles(400)--

Quand  on lit charge unitaire à la rupture, il faut traduire "contrainte à la rupture"

 

 

Autre exemple >>> la perte de charge qui est une diminution de pression

 

Cas particulier de charge mécanique (en traction, compression ou flexion):

quand un matériau est à la limite supérieure d'élasticité, on atteint alors la «charge unitaire limite» ou(synonyme) «limite d'élasticité linéique»

C'est une base à partir de laquelle on ne pourra plus travailler sans rique avec le matériau (mais par ailleurs, pour plus de sécurité, on lui appliquera encore une modération, sous forme d'un coefficient -pourcentage- dit «taux de travail» qui donnera la limite recommandée -ou contrainte de travail- qui est vraiment sécuritaire

 

Pour revenir aux valeurs de la charge unitaire limite (ou limite d'élasticité linéique), qui sert de base qualitative pour un matériau, les valeurs sont exprimées ci-dessous en 106Pa (Mpa)

Si on les veut exprimer en kgf/mm² , il faut diviser alors par 10 les valeurs ci-dessous)

>>> acier courant(190 à 300)--acier spécial(400 à 1100)--alu(180 à 220)--béton(70)--bois dur(18 à 26)--bois tendre(9 à 12)--bronze(150)--caoutchouc(..)

--fibre de C(2800)--fonte(200)--métaux courants(30 à 70)--métaux durs comme Ti(800 à 1200)--os(10)---plastiques(25 à 40)--plomb(2)--roches(50 à 300)--verre(50)--

 

3.LA CHARGE LINÉIQUE (ou CHARGE RÉPARTIE)

Notion utilisée pour exprimer une charge uniformément répartie sur la longueur d’une poutre, elle est exprimée en N/m  

C'est le cas de certaines poutres travaillant en flexion (exemple d'une passerelle qui supporte un revêtement uniformément pesant)

W'c= Fp/ l

où W’c(N/m)= charge (poids) linéique uniformément réparti

Fp(N)= charge (poids)

l(m) est la longueur de la poutre

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-cisaillement

Le cisaillement (et son synonyme cission) ne sont pas des grandeurs, il s'agit seulement de l'expression du phénomène exprimant la désolidarisation des éléments d'un corps solide par glissement de ses tranches les unes envers les autres.

La même notion de cisaillement est utilisée pour les fluides, où le phénomène est très amplifié, car les couches glissent entre elles bien plus facilement que pour les solides (viscosité)

 

CONTRAINTE de CISAILLEMENT

Une contrainte est une pression interne

Equation aux dimensions : L-1.M.T -2       Symbole de désignation : nct       

Unité S.I.+: N/m²   Unité d’usage: le mégaPascal (ou 106N/mm²) = 10Pa

 

On considère cette contrainte surtout tangentiellement >>>

nct = F/ S + (Mf.l) / Ip

avec nct(N/m²)= contrainte tangentielle de cisaillement sur un matériau

Ft(N)= effort tranchant auquel il est soumis

Mf(N-m)= moment de la force appliquée

l(m)= distance de la fibre à l’axe

Ip(m4)= moment d'inertie polaire

La contrainte tangentielle de cisaillement est la composante tangentielle à l’élément de surface où apparaît la contrainte ce qui entraîne un cisaillement des fibres du matériau, avec tendance à cassure, qu'on nomme glissement

nct = nY / 2 (1+ yP)

nest le module de Young et yle coefficient de Poisson

et comme yP(nombre) est compris entre 0 et 0,5 >> (n/ 3) < nct < (n/ 2)

 

 

-limite de travail en cisaillement

ncl = yp.F / S

ncl(N/m²)= limite de résistance surfacique d’un matériau élastique (limite jusqu'à laquelle on peut faire travailler le matériau en toute sécurité)

F(N)= charge maxi à laquelle il est soumis

S(m²)= section

yp(nombre)= coefficient (facteur) de sécurité (taux de travail)

-valeurs pratiques de nclen cisaillement mécanique 

(exprimées en MPa soit en 106 N/m²) >>>

acier laminé(90 à 130)--métaux usuels(6 à 50)-- bois(10 à 20)

--matériaux de construction(1 à 10)

-la torsion est un cas particulier de cisaillement (lorsque les forces appliqués sur 2 faces ne sont plus concourantes).

 

COEFFICIENT de CISAILLEMENT 

C'est la même chose qu'un coefficient de torsion

Equation aux dimensions structurelles : L.M-1.T2.A       Symbole : sans      

Unité S.I.+ : rad-m²/N

coeff. de cisaillement = θ.(1 + yP) / nY      

où nest le module de Young et yle coefficient de Poisson

θ(rad) est l'angle de cisaillement

 

Ce coefficient est l’inverse du module de cisaillement ci-après

 

MODULE de CISAILLEMENT

C'est l'inverse du coefficient de cisaillement (ou du coefficient de torsion)

Et c'est l'équivalent du module de torsion

Dimension L.M-1.T2.A-1

 

ANGLE de CISAILLEMENT

C'est l'angle (plan), pourcentage de déformation d’un angle droit constituant le coin d'une section carrée unitaire, incluse dans un solide soumis à cisaillement

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-compression des solides

La compression est l'application d'une force tendant à écraser un matériau pour lui faire perdre du volume (créant ainsi des contraintes à l'intérieur dudit)

Stricto sensu, c'est une pression d'équation aux dimensions :

L-1.M.T-2    de symbole  pk   et d'unité S.I.+ : Pascal(Pa) ou N/m²

Unités d'usage >>> le gigaN/m² vaut 109N/m² ou 109Pa,

le kgp/mm² vaut # 107Pa,

le mégaPascal (MPa) vaut 106 Pa,

le N/mm² vaut 106N/m² (ou 10Pa),

le kgp/cm² vaut # 10 5Pa 

 

INCIDENCE de la COMPRESSION sur le VOLUME d'UN CORPS

= le MODULE de COMPRESSION

Ce module nk représente l'incidence sur le volume d'une variation de pression Δp(N/m²) produite par une variation de volume  ΔV(m3) soit

n= Δp.V / ΔV

nest une contrainte -interne-

Autres expressions du module de compression :

n= / S     où nkest le module de compression sous l'application d’une force F(N) sur une section S(m²) d’un solide

et par ailleurs n= nY / 3.(1- 2 yP)

où nk(N/m²)= module de compression

nY(N/m²)= module de Young

yP(nombre)= coefficient de Poisson (Voir valeurs au chapitre Module)

Valeurs pratiques de nk(en N/m²):

Glace(1010)--Pb(4,4.1010)--Cd(1,7.1010)--Al(7,2.1010)--Cu(1,3.1011)--

Au(1,6.1011)--Fe(1,7.1011)

Cas d'un corps solide parallélépipédique

il diminue son volume de (Δl / l).(1 - 2 / yP)

avec : (Δl / l)= allongement relatif et yP= coefficient de Poisson (Voir valeurs chapitre Module)

Cas de variation de volume sous pression très élevée (équation de Murnaghan)

Si l'on est en PHASE isotherme, l'évolution du volume V du solide en fonction de la variation de pressions très élevées est :

(V / V0)-1/n'G= 1 + p (n'G / nG)

V et Vo = volumes évolué et initial (formule limitée à V / V0 > 90%)

p(Pa)= pression

nG et n'G(Pa)= modules de compression et sa dérivée par rapport à la pression (Voir valeurs chapitre Module)

 

INCIDENCE de la COMPRESSION sur la SECTION d'un CORPS

= PROFIL D'ÉGALE RÉSISTANCE

Une pièce d’une certaine hauteur doit avoir une section variable, pour que les parties inférieures résistent non seulement à la charge qui sera appliquée, mais aussi au poids propre de la construction (lui-même fonction de la hauteur)

S = F.e/ ns

avec S(m²)= section de la construction

F(N)= charge appliquée (+ éventuellement poids propre)

ns(N/m²)= limite de sécurité à la compression (Voir valeurs ci-dessus)

x(exposant) =  Åp.l/ pt      avec ?p(N/m3) le poids spécifique du matériau,

lh(m)= hauteur de la construction et pt(N/m²)= pression

Cette formule de section exponentielle est celle ayant servi à la construction de la tour Eiffel

 

RÉSISTANCE SURFACIQUE   (à la compression)

Synonymes >>> charge par unité de section  ou résistance unitaire

Il s'agit là de la pression (contrainte) subie par un matériau subissant compression

pc/ S

où pc(Pa)= charge de compression par unité de surface

F(N)= force appliquée (qui peut être un poids)

S(m²)= surface d’application

Cette résistance unitaire présente une limite exprimant jusqu'où on peut faire travailler un matériau sans danger (en lui ayant appliqué un coefficient sécuritaire dit coefficient de travail ou taux de travail)

ns= yp.F / S

où ns(N/m²)= limite de sécurité de travail à la compression d’un matériau élastique

F(N)= charge à laquelle il est soumis

S(m²)= sa section ou surface d'application

yp(nombre)= coefficient (facteur) de sécurité (ou de travail)

Valeurs pratiques de cette limite de sécurité ns en compression (exprimées en Kgp/mm² donc environ en 107 Pa ou 107 N/m² ou 10 MPa)--

Donc pour l'avoir en MPa, multiplier les valeurs ci-dessous par 10 :

bois(4 à 6)--grès(5 à 8)--calcaire(5 à 15)--marbre(10 à 12)--granit(10 à 25)--acier laminé(13 à 18)-- quartz(20 à 60)----fonte(30 à 80)-- Le dépassement de ces valeurs peut entraîner la déformation persistante et aller ultérieurement jusqu'à la rupture du matériau

 

MOMENT DE COMPRESSION

C’est le cas particulier d'un moment de force dans le cas d'une force (ou poids) appliquée en compression

Equation aux dimensions  : L2.M.T-2    Symbole  : Mq     Unité S.I.+  (N-m)

M= p.Iq / l

où Mq(N-m)= moment des forces de compression appliquées sur le corps

Iq(m4)= moment quadratique du corps

l(m)= longueur de ce corps (prismatique )

p(N/m²)= pression-contrainte

 

INCOMPRESSIBILITÉ

Ce terme n'est utilisé que pour les solides et il exprime l'inverse du module de rigidité (nG)

L'incompressibilité, exprimée en (m²/N) est donc = 2.(1+ yP) / nY

où yP= coefficient de Poisson, égal lui-même à (Δll/ ll) / (ΔlL / lL)= variation relative de largeur sur variation relative de longueur et nYle module de Young (Voir valeurs chapitre Module)

Exemple: à l'échelle atomique, le covolume Vc est le volume incompressible qu’occupent n particules

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-contrainte

 Une contrainte est une pression interne dans un matériau (dans chacun de ses éléments constitutifs), provenant de l'inertie de cohésion, qui s’oppose à une déformation proposée par l'extérieur

Synonymies : résistance surfacique ou module = résistance présentée par un matériau envers une force appliquée sur sa surface

Ces termes sont utilisés en compression, en traction (ou en phase d'extension) , en flexion et pour le cisaillement ou pour ses synonymes (cission et glissement)

On trouve donc dans tous ces domaines la  synonymie entre: module, contrainte et résistance (résistance sous entendue surfacique)

Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T-2       Symbole n indicé        

Unité S.I.+ : Pascal (Pa ou N/m²).

Relations avec d'autres unités :

1 U.S. ton per square inch                     vaut 1,544.107Pa

1 kilogramme-poids(ou force) par mm²  vaut 9,806.106Pa

1 mégapascal(MPa) -unité courante-     vaut 106Pa

1 kilogramme-force par cm²(kgf/cm²)     vaut 9,806.104Pa

1 Newton par centimètre carré(N/cm²)   vaut 104Pa

1 millibar(ou 1 hectopascal)                    valent 102Pa

1 Newton par mètre carré(N/m²)             vaut 1 Pa

 

COMPOSANTS d'une CONTRAINTE

Pour étudier plus facilement une contrainte, on considère ses éléments :

La contrainte normale qui est la composante normale à l’élément de surface où apparaît la contrainte

n= F / S + (Mf.l).sinθ / Iq

où nn(N/m²)= contrainte normale du matériau

F(N)= charge (ou force ou poids) normale à laquelle il est soumis

S(m²)= section en cause du matériau

Mf(N-m)= moment de flexion

l(m)= distance de la fibre à l’axe

Iq(m4)= moment quadratique

θ(rad)= angle entr’axes de l’ellipse d’inertie

 

La contrainte tangentielle (de cisaillement) qui est la composante tangentielle à l’élément de surface où apparaît la contrainte et qui entraîne un cisaillement (glissement des fibres du matériau avec tendance à cassure)

n= Ft / S+ (MG.l) / Ip

avec nt(N/m²)= contrainte tangentielle

Ft(N)= effort tranchant

Sr(m²)= section réduite

MG(J-couple)= moment (du couple) de torsion

l(m)= distance de la fibre à l’axe

Ip(m4)= moment polaire

 

Les lignes de champ des contraintes principales.

Leur équation différentielle de représentation est:

(dy / dx)² + Δn.dy / nt.dx -1 = 0

où x et y sont les coordonnées, nt la contrainte tangentielle et Δn la différence entre contrainte normale et contrainte tangentielle

Une ligne de champ est le lieu géométrique d'une ligne parallèle à la ligne moyenne.

Une ligne isostatique est celle où toutes les contraintes sont les mêmes

Une fibre neutre est celle où il n'y a pas de contrainte interne

 

CERCLE de MOHR  

Afin de suivre les variations de 2 contraintes en fonction des efforts appliqués, on établit une courbe (qui est un cercle) dont les coordonnées sont :

-en abscisse, la contrainte normale à la section de la pièce

-en ordonnée, la contrainte de cisaillement

Par ailleurs, le nombre de Weissenberg  est le rapport entre la contrainte d'élasticité et celle de cisaillement

 

CONTRAINTES DE SÉCURITÉ

Pour le travail pratique avec un matériau, on se doit de rester dans des limites de sécurité, d'où l'application de facteurs limitant l'usage en dessous de limites dangereuses.On surveille donc:

-la contrainte de sécurité (ns)(ou limite recommandée, ou limite de sécurité)

Synonyme à éviter: coefficient de travail, ou taux de travail, car il s'agit pour ces 2 termes d'un coefficient de sécurité (donc un pourcentage yet pas une contrainte)

Utilisée en compression, en traction, en flexion et en cisaillement, nest la contrainte à laquelle un matériau peut travailler, car on a déjà appliqué le coefficient de sécurité, qui rabaisse notablement la limite naturelle de résistance du matériau (elle-même limite de ses déformations permanentes)

Equation aux dimensions structurelles de la contrainte de sécurité L-1.M.T-2       

 Symbole de grandeur : ns       Unité S.I.+ : N/m²(ou Pa)

Unités d’usage : le mégapascal MPa (qui vaut 106 Pa)--le kgp/mm²( qui vaut environ 107Pa, soit # 10 MPa)--le kgp/cm²( # 105Pa)

Formules générales pour la contrainte de sécurité

n= yp. / S       et   n= nd.yp

yp(nombre)= coefficient de sécurité

ns(N/m²)= contrainte de sécurité -ou résistance de travail- d’un matériau élastique

F(N)= charge à laquelle est soumise la section S(m²) au maxi avant déformation

nd(N/m²)= contrainte caractéristique du matériau, limite avant ses déformations permanentes

yp(nombre)= coefficient de sécurité (taux de travail)

Valeurs pratiques de lacontrainte de sécurité

(en kgp/mm², soit # 107Pa soit # 10 MPa)

-A la traction: métaux nobles(9 à 25)--acier(10 à 18)--métaux courants(1 à 8)--bois(0,6 à 1,2)--matériaux de construction(1,5 à 6)

-A la compression: métaux nobles(9 à 25)-- acier(10 à 18)--métaux courants(1 à 8)--bois(0,4 à 0,9)-- matériaux de construction(1 à 4)

-Au cisaillement: acier(8 à 13)--métaux courants(0,6 à 5)--bois(0,1 à 0,2)--matériaux de construction(0,1 à 1)

 

Application pour les compression et traction :

n= yp. F / S       et   n= nd.yp comme ci-dessus

Application pour la flexion:

La contrainte (normale) donnant la flexion maximale acceptable pour un matériau soumis à un moment fléchissant est dénommée aussi "limite de travail": puisque c'est la valeur à laquelle on peut faire travailler un matériau (on a déjà appliqué le coef. de sécurité déterminé par l'usage)

ns<Mf / Vr        ou   ns < Mf.lf / Iq

avec ns(N/m²)= contrainte de sécurité (donc maximale à l'usage) pour un travail en flexion

Mf(N-m)= moment fléchissant

Vr(m3)= module de résistance, qui est lui-même = Iq /  lf

Iq(m4)= moment quadratique de la section par rapport à l’axe

et lf(m)= distance entre l’axe de la poutre et sa fibre la plus lointaine

Nota: le module de résistance ci-dessus (I/ lf) est souvent symbolisé dans les ouvrages techniques sous la forme (I / v)

Application pour la torsion

La contrainte (ou module) de torsion η* est une contrainte (pression) ramenée à l'angle θ de torsion

Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T-2.A-1      

Symbole de grandeur : η*      Unité S.I.+ : Pa/rad

η* = nG / θ = MΓ / Vr       ou    η* = Mf / Vr.θ 

η*(Pa/rad)= module de torsion

nG(N/m²)= contrainte de cisaillement (Voir valeurs chapitre Module)

MΓ(J-couple)= moment de torsion, qui vaut <spa

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-dilatation

Une dilatation est une augmentation des dimensions géométriques d’un corps .On distingue les notions suivantes :

 

LA DILATABILITE

C'est la variation d'une ou de plusieurs coordonnées d'un corps (en général sous l'action de la chaleur)

La dilatabilité linéique est dl (variation de longueur, dite élongation)

La dilatabilité surfacique est dS (variation de surface)

La dilatabilité volumique est dV (variation de volume)

 

LA DILATATION

C'est la dilatabilité ramenée à la grandeur dilatée

La dilatation linéique est dl / l (variation de longueur ramenée à la longueur, dite allongement ou parfois allongement relatif)

La dilatation surfacique est dS / S (variation de surface ramenée à la surface)

La dilatation volumique est dV (variation de volume ramenée au volume)

Le Plutonium est le plus dilatable des métaux (6.10-5 à 200° K)

 

LES COEFFICIENTS de VARIATION ISOBARE

Ils expriment la variation de géométrie d’un corps par rapport à l'évolution de température (dimension Θ-1)

A l'usage, il faut bien préciser que ce coefficient de dilatation est isobare, c'est à dire à pression constante (car il en existe un autre: coefficient de dilatation isotherme, à température constante, mais qui n’est pas de mise ici)

Le coefficient de dilatation isobare linéique (concernant une seule direction)

Les équations d’état des gaz, liquides et solides expriment des relations entre leurs dimensions géométriques, leurs pressions et leurs températures

La définition ici est celle de la variation d’une seule dimension géométrique (donc une longueur -cas des corps longilignes) et on détermine un coefficient de variation linéique isobare (αl) qui représente la variation de longueur en fonction de la longueur initiale et de la température

La formule usuelle -où n’est retenu que le premier terme du viriel exprimant l’impact de la température- est : lT= l0(1 + αl.dT )

lT(m)= longueur atteinte, suite à variation (faible) de température dT(K)

l0(m)= longueur initiale (à température initiale)

αl (K-1)= coefficient de dilatation linéique (isobare)

Valeurs pratiques de αl (en 10-5 K-1 et pour une température de 25°C)

Métaux >>> Al(2,3)--Ag(1,9)--Cd(3,1)--Cr(0,5)--Co(1,3)--Cu(1,7)--Sn(2,2)--Fe(1,2)--

Li(4,6)--Mg(2,5)--Ni(1,3)-- Au(1,4)--Pt(0,9)--Pb(2,9)--Ta(0,6)-- Ti(0,9)--W(0,4)--U(1,4)--Zn(3)

Matériaux >>> Bois(0,3)--Pierres et assimilés(0,6 à 1,1)--Verre(0,8 mais 15 fois plus pour des verres au sodocalcium)--Acier(1,2 à 1,6)-- Béton(1,2)---Bronze(1,8)--Polystyrène(7)--Eau, caoutchouc(20)-- Semi-conducteurs(2000)

Nota : en application pratique, la variation de hauteur de la tour Eiffel est de 1 centimètre par degré de température

Le coefficient de variation surfacique isobare (concernant 2 directions ou coordonnées)

C'est αs= dS/(S . dT)(en K-1) il est similaire au coefficient linéique, mais applicable aux surfaces et vaut 2 fois le coefficient linéique αl .

-Les valeurs pratiques(de αs) pour les solides vont de 2.10-7 à -5 K-1

Le coefficient de variation volumique isobare (concernant trois directions)

Identiquement à ci-dessus, on a des variations de volume avec la température -à pression constante-, permettant de définir un coefficient de variation volumique (ou cubique) isobare (αv) qui représente une variation du volume (dV) par rapport au volume initial et à la température, soit :

αv= dV / (Vo.dT)(en K-1) et qui vaut 3 fois le coefficient linéique αl (vu ci-avant)

Pour les solides, αv vaut : ( 0,2 à 8).10-5 K-1

Exemples : verre(1 à 2)--C(0,2)--quartz(5)--métaux ferreux(1 à 2)-- nylon(3)--laiton(2)--

Pour un solide anisotrope, αv varie selon la direction: on corrige avec des coefficients linéiques directionnels ( > 1 ou < 1)

--si dV < 0, c’est un coefficient de contraction volumique isobare αv (même dimension, mais négatif, car on compresse au lieu de dilater) Il peut être aussi nommé coefficient de compression

Le coefficient d'expansion volumétrique est le rapport entre (volume final) et (volume initial)

 

LA RELAXATION

C'est le retour (lentement, avec une sorte de viscosité) d'une situation de dilatation vers une situation de repos (non dilatée)



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-écrasement

L'écrasement concerne un effort isostatique appliqué à un matériau (c'est à dire provenant simultanément de toutes les directions)

 

MODULE D'ÉLASTICITÉ ISOSTATIQUE (D'ÉCRASEMENT)

Symbolisé (né) ce module est en relation avec le module de Young (nY) et (nG) la contrainte de cisaillement, sous la relation :

(1 / nY) = (1 / 9né) + (1 / 3nG)    

Valeurs de né (en MPa) >>> acier 1,6.105 -- eau 2.103 -- air 1

 

LIMITE DANGEREUSE D'ÉCRASEMENT

C'est la même chose que la limite dangereuse de compression à la fin de la résistance du matériau, avant déstructuration

c'est une pression , l’unité S.I.+ est le Newton/m², mais l’unité d’usage est le kg/mm² (# 107N/m² ou # 107Pa)

La même notion en traction, est dite (charge à la rupture), en flambage est dite (charge critique) et en flexion est dite (limite de rupture)

 

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-effort

Effort est synonyme de force

Equation aux dimensions  : L.M.T-2  Symbole de désignation : Ft      

Unité S.I.+ : le Newton (N)

 

EFFORT TRANCHANT

C'est un cas particulier d'effort en flexion  

F= nt.S

Ft(N)= effort tranchant dans une section S(m²) d’un matériau soumis à un cisaillement

nt(N/m²)= contrainte (pression) de cisaillement

 

Effort tranchant d'une poutre droite

F= dM/ dl       où dM= dérivée du moment fléchissant par rapport à l’abscisse l dans la section S considérée

 

Effort d'une poutre uniformément chargée (charge continue)

F= yp.W'c.S

Ft(N)= effort tranchant dans une section S(m²)

yp= coefficient de sécurité (taux de travail)

W'c(N/m)= charge linéique (continue et uniforme) de la poutre

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-flambage

Flambage (synonyme flambement), exprime une déformation transversale d'un poteau longiligne étroit, soumis à une compression

En fait la force de compression (verticale) n'est jamais totalement coaxiale et le très léger déport de son point d'appui est suffisant pour initier un comportement sinusoïdal des efforts. Le flambage se présente surtout pour des pièces prismatiques ayant un fort élancement (> 5)

 

CHARGE de COMPRESSION sur un POTEAU

La charge maximale supportable suite à la seule compression verticale est :

F = yi.S.ns

F(N)= charge de compression d’une pièce de section S(m²) pouvant travailler à une contrainte ns avec un taux sécuritaire (taux de travail) de yi

MAIS dès lors qu'il y a PAR AILLEURS RISQUE de FLAMBAGE

(et compte tenu que ce flambage est instantané), il faut appliquer une autre limite de travail, qui est donnée par la loi d’Euler

= ² (nY .I/ K.lf ²) ou  -comme la contrainte est F/S >>

ncf = ² (nY .I/ K.S.lf ²)

F(N)= charge critique (+ ou - axiale) affectée à un pilier

ncf est la contrainte de travail et K.ncf (N/m²) est la contrainte critique de flambage

K = constante de sécurité au flambage instantané (K vaut 4 à 5 pour l'acier—7 à 10 pour la fonte-- et 5 à 6 pour le bois)

Iq(m4)= moment quadratique

nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinale (de Young)

S(m²)= section constante du poteau

l(m)= longueur réelle du poteau

lf (m) = longueur de flambement, qui est fonction des types de fixation aux extrémités du poteau-pilier selon des pourcentages tenant compte du nombre (n) de ventres de la sinusoïde des efforts, sous forme 2 / (1 + 2n)

Valeurs de la longueur de flambement >>>

-si encastré à un bout et libre à l’autre : 200% de l

-si articulation aux 2 bouts : 100% de l

-si encastré parfaitement aux 2 bouts : 50% de l

-si encastré imparfaitement à 1 bout : 60 % de l

-si encastré imparfaitement aux 2 bouts : 80% de l

-si encastré à un bout et articulé à l’autre : 71% de l.

 

-limite de l’élancement avant flambage

yl > p.(nY / pé)1/2

yl(nombre)= élancement nécessaire pour qu’il n’y ait pas flambage

nY(N/m²)= module de Young (d'élasticité longitudinale) (Voir valeurs chapitre Module)

pé(N/m²)= limite d’élasticité

-cas particulier du flambage d'un poteau sous son poids propre

charge critique (N/m) = 8.E.Î / l4

-cas des profilés métalliques

il existe pour le flambage de plus ou moins anciennes formules - de Rankine, de Résal, de Lowe, de Tetmayer, etc

du genre ncf = né / (1 + K1(l / rg²) où né est la contrainte de travail en compression, K1 une constante adimensionnelle fonction des caractéristiques du matériau et rg le rayon de giration

 

FLAMBAGE et TORSION INTERVENANT ENSEMBLE

La loi (pragmatique ) de Von Mises-Huber peut s'appliquer :

ncnf > (nnf² + 3nf²)1/2

avec ncnf = contrainte normale de flexion

nt = contrainte de torsion

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-flèche

Pour une poutre prismatique, la flèche est la hauteur maximale d'affaissement de la ligne moyenne sous effort

FLECHE

En flexion, la flèche est l= F / l.nY

où nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinale

F(N) est la force appliquée

l(m)= portée entre appuis

 

VALEURS PRATIQUES de QUELQUES FLÈCHES

les notations étant : lf(m)= flèche maximale, l(m)= longueur de portée (entre appuis),

F(N)= force ou poids concentré, nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinal,

Iq(m4)= moment d’inertie quadratique, W'(N/m)= charge linéaire continue sur la poutre

-pour poutre sur 2 appuis simples avec force concentrée au milieu 

l= F.l3/ 48Iq.nY

-pour poutre sur 2 appuis simples avec charge linéique continue

l= 5W'.l4/ 384 Iq.nY

-pour poutre à 2 encastrements avec force concentrée au milieu 

l= F.l3/ 192Iq.nY

-pour poutre à 2 encastrements avec charge linéique continue 

l= W'.l4/ 384Iq.nY   (le moment maxi étant l.F/8)

-pour poutre console (1 encastrement) avec force concentrée au bout

l= F.l3/ 3Iq.nY  (le moment maxi étant l.F)

-pour poutre console (1 encastrement) avec charge linéique continue

l= W’.l4/ 8Iq.nY   (le moment maxi étant l.F/2)

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-flexion

La flexion résulte de l'application d'une pression qui a tendance à déformer le matériau sur lequel elle est appliquée

Il apparaît des contraintes de compression dans la partie supérieure du corps (au-dessus de sa fibre neutre) et des contraintes de traction dans la partie inférieure (sous sa fibre neutre)

Cette fibre neutre, où n’apparaissent ni compression ni traction, passe par le centre de gravité de chaque section droite du corps

Le calcul de la flexion détermine les dimensions nécessaires à la bonne tenue des matériaux de construction

 

CONTRAINTE de FLEXION

n f = Mf / Vr

où Mf(N-m)= moment fléchissant, nf(N/m²)= contrainte

et Vr(m3)= module de résistance

-contrainte de flexion de sécurité

C'est la valeur de nf ci-dessus, dans sa version de maximum acceptable pour un matériau qui doit travailler sans danger de rupture.

On la dénomme aussi "limite de sécurité" >>> puisque c'est la valeur à laquelle on peut faire travailler un matériau (donc à qui on a déjà appliqué le taux de travail de sécurité déterminé par l'usage)

On doit donc avoir la condition ns< Mf / Vr

avec ns(N/m²)= contrainte de sécurité (donc minimale pour l'usage pour un travail en flexion)

Mf(N-m)= moment fléchissant

Vr(m3)= module de résistance, qui est lui-même = (Iq/ lf ) avec

Iq(m4)= moment quadratique de la section par rapport à l’axe et

lf(m)= distance entre l’axe de la poutre et sa fibre la plus lointaine

Nota: le module de résistance ci-dessus (I/ lf) est souvent symbolisé dans les ouvrages techniques sous la forme abrégée (I / v)

 

COURBURE de FLEXION

Pour une poutre fléchie, la déformation de sa fibre neutre présente une courbure de :

T* = MΓ / nG.Iq

T*(rad/m)= courbure de la poutre

MΓ(N-m-rad)= moment fléchissant (voir plus bas)

nG(N/m²)= module de rigidité

Iq(m4)= moment d’inertie quadratique (de la section droite par rapport à la fibre neutre)

 

FLECHE de FLEXION

Le maximum de déformation transversale d’une poutre est la flèche

l= F / l.nY

nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinale

F(N) est la force appliquée

l(m)= portée entre appuis et lf aussi en m.

Valeurs pratiques de quelques flèches de flexion, les notations étant :

lf(m)= flèche maximale, l(m)= longueur de portée(entre appuis),

F(N)= force ou poids concentré, nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinal, Iq(m4)= moment d’inertie quadratique,

W'(N/m)= charge linéaire continue (répartie) sur la poutre

-pour poutre sur 2 appuis simples avec force concentrée au milieu >>>

l= F.l3/ 48 Iq.nY

-pour poutre sur 2 appuis simples avec charge linéique répartie >>>

l= 5W'.l4/ 384 Iq.nY

-pour poutre à 2 encastrements avec force concentrée au milieu >>>

l= F.l3/ 192 Iq.nY

-pour poutre à 2 encastrements avec charge linéique répartie >>>

l= W'.l4/ 384 Iq.nY

-pour poutre console (1 encastrement) avec force concentrée au bout  >>>

l= F.l3/ 3 Iq.nY

-pour poutre console (1 encastrement) avec charge linéique continue >>>

l= W’.l4/ 8 Iq.nY

 

MOMENT de FLEXION (ou moment fléchissant)

C’est un cas particulier de moment de force quand des forces de flexion sont appliquées sur le corps .

Il sert au calcul de la résistance à la flexion plane d’une poutre (horizontale) chargée

M= nf.V r    ou   M= nf.Iq / lf 

L'égalité dans ces équations représente la limite que ne doit pas dépasser le moment fléchissant pour rester dans une zone de travail en sécurité

on a donc   Mf(N-m)= moment fléchissant pour un corps longiligne (prismatique)

Vr(m3)= module de résistance (ou d’inertie) =  Iq / lf

Iq(m4)= moment d’inertie quadratique de la section de poutre par rapport à l’axe de flexion

lf(m)= distance entre axe de flexion et fibre la plus éloignée (tendue ou comprimée)

nf(N/m²)= contrainte de flexion (qui est alors la limite de sécurité)

Nota : le module de résistance ci-dessus (Iq / lf) est souvent symbolisé dans les ouvrages techniques sous la forme abrégée (I / v)

 

VALEURS USUELLES de QUELQUES MOMENTS FLÉCHISSANTS :

-les notations de ci-dessous sont :

Mf(N-m)= moment fléchissant

l(m)= longueur (portée de poutre)

F(N)= force(ou poids) concentré

W’(N/m)= charge linéaire continue sur la poutre (charge dite répartie)

-poutre sur 2 appuis simples espacés de l

          si la force est concentrée au milieu >>>    M= F.l / 4

          si la  charge est linéique continue (répartie)  >>>   M= W'.l² / 8

-poutre à 2 encastrements espacés de (l)

           si la force est concentrée au milieu >>>      M= F.l / 8

           si la charge est linéique continue (répartie) >>>  M= W'.l² / 24

-poutre console (1 encastrement)

           si la force est concentrée au bout >>>    M= F.l

           si la charge est linéique continue (ou linéaire, ou répartie)   >>>  M= W'.l² / 2

 

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-limites en résistance des matériaux

La force à laquelle est soumis un matériau peut provoquer: compression, traction, flexion, glissement et diverses autres tendances (fluage, fatigue....)

Mais c'est surtout à travers la traction que l'on détermine les caractéristiques d'utilisation d'un matériau. Et cette traction va présenter plusieurs limites (donc toutes exprimées en MPa)

Les comportements d’une éprouvette d’un matériau envers la traction (étirement) sont échelonnés ainsi >>

-a.)) le premier constat est une élasticité avec proportionnalité entre force et allongement

La pente de la droite qui schématise cette proportionnalité est le module de Young

-b.)) on atteint une première limite ditlimite de proportionnalité (entre force et allongement) symbolisée Ro

-c.)) il y a parfois un court palier, avec une seconde limite dite d'écoulement (ou limite d'élasticité conventionnelle) >> il n'y a que très peu d'allongement supplémentaire (0,2 %)

-d.)) puis il y a encore élasticité, mais avec proportionnalité atténuée (entre force et allongement)

-e.)) on atteint ensuite la 3° limite, dite limite d’élasticité symbolisée Re dans les ouvrages techniques

-f.)) on estime que cette limite d'élasticité servira de référence pour le travail qu'on demandera au matériau, mais qu'il est opportun de garder une marge de sécurité pour ledit travail et qu'il faut donc appliquer un abattement (dit taux de travail) sur Re et que le résultat se dénommera limite de sécurité (cette 4° limite sécuritaire est aussi nommée contrainte de sécurité ou contrainte de travail ou limite recommandée ou résistance pratique)

-g.)) puis on atteint une zone de plasticité, où l'allongement devient plus faiblement proportionnel à la force qui le produit

-h.)) on atteint ensuite la 5° limite dite limite de plasticité symbolisée Rp

-i.)) on passe ensuite en zone de ductilité, où l’allongement stagne puis devient bien plus faiblement proportionnel à la force

-j.)) on atteint alors la 6° limite dite limite de rupture (ou charge surfacique de rupture ou limite dangereuse) symbolisée Rm dans les ouvrages techniques

-k.)) enfin l'allongement va s'étirer avec striction, jusqu’au point de rupture

1.PREMIERE LIMITE de la RESISTANCE SURFACIQUE (en COMPRESSION ou TRACTION)

C'est la limite de proportionnalité Ro. Rien à en dire, c'est une zone sans risque car les (petites) déformations sont totalement réversibles et sans trace

2.SECONDE LIMITE de la RESISTANCE SURFACIQUE (évoquée surtout en TRACTION) C'est la limite d'élasticité conventionnelle (ou d'écoulement) Elle ne présente pas d'intérêt, car elle est très faible et rare

3.TROISIEME LIMITE de la RESISTANCE SURFACIQUE (évoquée surtout en TRACTION) C'est Re, la limite d'élasticité, définition d'une valeur à laquelle on peut faire travailler le matériau en bonne sécurité Quand on lit limite d'élasticité, c'est toujours un terme raccourci mis pour "limite d'élasticité linéique" Voir cette notion au chapître Elasticité Valeurs pratiques de la limite d'élasticité linéique Re exprimées en Mpa (et pour les avoir en kgp/mm², il faut diviser par 9,81) >>>

acier courant(190 à 300)--acier spécial(400 à 1100)--fonte(200)--métaux courants(300 à 700)--alu(180 à 220)--plomb(20)--métaux durs comme Ti(800 à 1000)--bronze(150)--bois tendre(9 à 12)--bois dur(18 à 26)--béton(70)--roches(50 à 300)--verre(50)--plastiques(25 à 40)--os(10)--caoutchouc(..)--fibre de C(2800)--

4.QUATRIEME LIMITE de la RESISTANCE SURFACIQUE (en TRACTION)

C'est la définition d'une valeur plus restrictive que la limite d'élasticité, par application d'un coefficient sécuritaire minorateur yp (nommé coefficient de sécurité ou coefficient de travail ou taux de travail) qui n'a pas même valeur en flexion, ou compression, ou traction ou cisaillement Dès lors qu'on a appliqué ce coefficient à la valeur de Re on a déterminé la limite pratique pour travailler sécuritairement avec le matériau Et on dénomme cette limite (Rt) >> contrainte de sécurité, ou contrainte de travail, ou limite de sécurité, ou limite recommandée, ou résistance pratique ou limite d'élancement (au flambage)

Attention: on trouve parfois le terme «taux de travail» pour exprimer la présente contrainte de sécurité >>> c'est erroné (Un taux reste un taux, c'est à dire un coefficient de sécurité sans dimension et ce n'est pas une contrainte) La relation entre les deux est la suivante >>

Rt = contrainte de sécurité (ou ses synonymes) = (limite d'élasticité linéique) x (yp le taux de travail)

On décompose souvent la présente contrainte Rt suivant les coordonnées de la force qui la crée, donc on parle d'une contrainte tangentielle et d'une contrainte normale (et bien sûr la force créatrice est découpée aussi en ‘’effort tranchant’’ et ‘’effort normal’’) Voir cette notion au chapître Elasticité

Valeurs pratiques de la limite de sécurité Rt qui est issue de la limite d'élasticité Re par application d'un abattement sécuritaire

-valeurs moyennes de Rtc (en compression) >> compter 40 à 50 % d'abattement sur Re

-valeurs moyennes de Rtt (en traction) >> compter 50 à 60 % d'abattement sur Re

-pour les valeurs de Rtg (en cisaillement) >> compter 50 à 70 % d'abattement sur Re

5.CINQUIEME LIMITE de la RESISTANCE SURFACIQUE en TRACTION

C'est la définition d'une valeur à laquelle on constate la limite de la plasticité (Rp)

C'est là, la fin de l'élasticité dans l'allongement du matériau en traction Les valeurs ne sont pas nécessaires à connaître car on ne travaille plus avec le matériau dans cette zone Il y a toutefois hystérésis

6. SIXIEME LIMITE de la RESISTANCE SURFACIQUE

C'est la valeur de la rupture (déstructuration) du matériau qu'on nomme charge de rupture (Rm) (qui est l'abrégé de "charge surfacique de rupture") On l'utilise identiquement :

-en compression >>> où elle est dite (charge unitaire d’écrasement) valeurs en MPa >> métaux nobles(90 à 250)-- acier(100 à 180)--métaux courants(100 à 500)-- bois(40 à 90)-- matériaux de construction(100 à 400)--roches(40 à 600)--

-en traction où elle est dite (résistance ou charge à la rupture) valeurs en Mpa >> métaux nobles(90 à 250)--fer(180)--acier(200 à 300)--métaux courants(100 à 600)--

bois(60 à 120)--matériaux de construction(150 à 500) cheveu : 100 MPa (160 gp pour Φ de 80 μm)

-en cisaillement, où elle est dite (limite dangereuse) valeurs en MPa >> acier doux(60 à 150)--aciers durs et spéciaux(120 à 250)--métaux courants(60 à 500)

-en flambage, où elle est dite (charge limite critique) valeurs en MPa >> acier(60 à 150)--métaux courants(60 à 500)

-en flexion, où elle est dite (limite de rupture) valeurs en MPa >> acier(60 à 150)--métaux courants(100 à 500)--bois(50 à 150)--matériaux de construction(100 à 600)

TOUTES ces LIMITES (qui sont des CONTRAINTES, c'est à dire des pressions internes) ont la même dimension >> L-1.M.T -2       et Unité S.I.+ : N/m²(ou Pa)

Unités d’usage : le mégapascal MPa (qui vaut 106 Pa)--le kgp/mm²( qui vaut environ 107 Pa, soit # 10 MPa)--le kgp/cm²(vaut # 105 Pa)

Formule générale d'une limite de sécurité

ns = ypF / S       où F(N) est la charge appliquée sur une surface S(m²) avec application d'un taux de travail yp

LES LIMITES D'ÉLASTICITÉ (LINÉIQUE)

Une limite d'élasticité est souvent symbolisée Re

Valeurs pratiques de limite d'élasticité >> environ 1,8 à 2 fois les valeurs de limites de sécurité ci-avant On définit cette limite d'élasticité (une contrainte), variable avec la nature de chaque corps, au-dessus de laquelle il y aura danger car déformations permanentes.

On définit en même temps une limite élastique (un pourcentage) qui est la valeur maximale de l'allongement, au-delà de laquelle la déformation devient permanente et donc non recommandée

Exemple de limite d'élasticité linéique en traction : la contrainte (normale) donnant la traction maximale acceptable pour un matériau soumis à une charge F(N) sur sa section S(m²) est nst = ypF / S       et   nst = nsc.yp

nsc(N/m²)= contrainte de sécurité en compression

nst(N/m²)= contrainte de sécurité en traction

yp(nombre)= coefficient de sécurité pour la traction : yp # 0,10 pour les bois et roches et 0,25 à 0,80 pour les métaux

Pour les soudures à l’arc, on applique également ce coefficient (0,55 à 0,95)

Exemple de limite d'élasticité linéique en flexion : la contrainte (normale) donnant la flexion maximale acceptable pour un matériau soumis à force, fait appel au moment fléchissant  :

ns > Mf / V      ou   ns > Mf .lf / Iq

avec ns(N/m²)= contrainte limite de sécurité maximale à l'usage pour un travail en flexion Mf(N-m)= moment fléchissant Vr(m3)= module de résistance, qui est lui-même = Îq / lf   

où Îq(m4)= moment quadratique de la section par rapport à l’axe et lf (m)= distance entre l’axe de la poutre et sa fibre la plus lointaine

Valeurs pratiques d'une limite de sécurité ns exprimées en en Mpa, soit 106 Pa (et pour les avoir en kgp/mm², il faut diviser par 9,81)

Ces valeurs sont souvent symbolisée Rt

A la compression >> acier laminé (130 à 180)--métaux nobles (100 à 250)--fonte (80)---métaux usuels (20 à 80)--roches(30)—bétons(20)--bois (< 10)--

Les valeurs pour traction sont similaires.

En cisaillement, compter 50 à 70 % desdites valeurs

On définit en même temps une limite élastique (un pourcentage) qui est la valeur maximale de l'allongement, au-delà de laquelle la déformation devient permanente et donc non recommandée

Exemple de limite d'élasticité linéique en flambage c'est yl > p.(nY / Re)1/2

avec yl(nombre)= élancement nécessaire pour qu’il n’y ait pas flambage

nY(N/m²)= module de Young (d'élasticité longitudinale) (Voir valeurs chapître Module) Re(N/m²)= limite d’élasticité

Exemple de limite d'élasticité linéique en ténacité pour les matériaux soumis à chocs  

Voir aussi chapître ténacité

Exemple de limite d'élasticité linéique en écrouissage impliquant -quand le matériau est soumis à des contraintes très répétitives- une valeur élevée du rapport (dS / S), S étant la section initiale et dS sa variation

Exemple de limite d'élasticité linéique en striction

yb = rapport entre la section (au moment de la rupture) et la section à l’origine et 

yb / yP= nn / nY   (où yP est le coefficient de Poisson, nn la contrainte normale et nY le module de Young , dont les valeurs sont données chapitre Module)

Exemple de limite d'élasticité linéique en fatigue = résistance surfacique (avant rupture) d’un matériau soumis à des efforts répétés (nombreux cycles de mise en charge).

Elle est proportionnelle au logarithme du nombre des répétitions contraignantes et atteint un minimum appelé "limite de fatigue", souvent asymptotique Elle est par exemple de 80% de Re pour l'acier

 

POUR LES LIMITES DE RUPTURE (souvent symbolisées Rm)

--L'indice de qualité mécanique, utilisé pour un métal (ex. l’acier) est Fa (équivalant à une force et exprimé en Newtons), exprime la résistance à la rupture. sous forme d'une formule approchée : Fa = Fr + (Åp.la3)

où Fa(N)= indice de qualité du métal

Fr(N)= charge de rupture pour ce métal (qui est le produit : tension de rupture x section) Åp(N/m3)= poids spécifique du métal la(m)= élongation

Il existe une autre formule empirique pour l'indice de qualité : 

Fa = Fr + 2,5 (Δl / l)

où 2,5  est un coefficient dimensionnel, incluant la valeur moyenne (pour les métaux) de la ténacité et Δl / l  est l'allongement

Les valeurs de limite de rupture pour les métaux (en Mpa) sont :

inox & Mn(190)—alu(200 à 400)--aciers(350 à 500)--Cu & fonte(400)--Ti(1200)--

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-module en résistance des matériaux

Les divers modules utilisés en résistance des matériaux expriment l'incidence de la force (appliquée à un matériau) en regard de certaines de ses caractéristiques (dimensions, poids spécifique....)

LE MODULE DE COMPRESSION

Ce module nk (utilisé identiquement pour les fluides et les solides) représente l'incidence sur le volume d'une variation de pression Δp(N/m²) produite par une variation de volume ΔV(m3) par rapport au volume initial V soit   nk =  Δp.V /  ΔV

nk est une contrainte-interne

Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T -2   Symbole : nk   

Unité S.I.+ : N/m²]

nk = F / S  résulte de l'application d’une force F(N) dans une section S(m²) d’un solide

nk = nY / 3.(1- 2 yP) nk(N/m²)= module de compression, nY(N/m²)= module de Young et

yP (nombre)= coefficient de Poisson (Voir valeurs ci-après)

Valeurs pratiques de nk (en N/m²) :

Glace(1010)--Pb(4,4.1010)--Cd(1,7.1010)--Al(7,2.1010)--

Cu(1,3.1011)--Au(1,6.1011)--Fe(1,7.1011)

en rappelant que les éventuelles autres unités d’évaluation sont : le N/mm² = 106 N/m²

avec le gN/m² = 109 N/m² et aussi le kgp/mm² # 107 N/m²

 

LE MODULE D’ÉLASTICITÉ LONGITUDINALE, dit MODULE DE YOUNG (ou module de tension) nY

Cette grandeur concerne un corps prismatique soumis à efforts dans le sens de sa longueur et c'est une élasticité linéiquecomparée à la variation de longueur

Elle peut se considérer soit pour l’allongement, soit pour le raccourcissement. Les angles entre les faces ne varient pas

Equation aux dimensions structurelles (une pression) : L -1.M.T -2

Symbole de désignation : nY     Unité S.I.+ : N/m²

Elle est donnée par la loi de Hooke, pour déformation élastique d’un corps prismatique de bonne élasticité >>>  nY = (F / So) / (Δl1/ l1)

où nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinal d’un corps de section initiale S0(m²) et

 F(N)= force créant un allongement Δ l1(m) sur un corps de longueur initiale l1

Valeurs du module de Young nY pour quelques matériaux, exprimées en 106 N/m² (cette unité étant identique au N/mm² ou au MPa ou à 106 Pa ou à peu près à 10-1 kg/mm², qui sont d'autres unités parfois utilisées):

-bois (parallèlement aux fibres) >>> bois tendres(7.000)--bois très durs(12.000)-

-métaux >>> Pb(16.200)--Cd(50.000)--laiton et Al(70.000)--Ag,Au,Zn(80.000)--

Ti & fonte(110 à 112.000)--Cu(118.000)--Fe(115.000 à 130.000)--

Mn,Mg,Pt,U(150 à 160.000)--Acier inox(195.000)--Co,Ni & acier trempé (200.000)--Cr(280.000)--W(400.000)--WC(> 500.000)

-matériaux de construction >>> roches tendres(15.000 à 60.000)--roches dures(40 à 65.000)--béton(20 à 35.000)--briques(17.000)--verre(55.000 à 70.000)--

-matériaux divers >>> fibres de verre(500.000)--fibres de carbone(200.000) --glace(9.000)--PVC(3.000)--élastomères(100)--

Variations du module de Young avec la température >>> un refroidissement de 100K augmente le module de # 2 à 5%

un réchauffement de 100 K diminue le module de # 10 à 20%

 

LE MODULE D'ÉLASTICITÉ TRANSVERSALE, dit MODULE DE COULOMB nC )

Cette grandeur concerne un corps prismatique soumis à efforts dans le sens de sa largeur et c'est une élasticité linéiquecomparée à la variation de largeur

(ou épaisseur). Elle ne se considère que pour la restriction de section

Equation aux dimensions (une pression) : L-1.M.T -2   Symbole  : nC  

Unité S.I.+ : N/m² et autres mêmes unités d'usage que vues plus haut

Elle est donné par la formule  nC = (F / S0) / (Δl2 / l2)

où nC(N/m²)= module d’élasticité transversale d’un corps longiligne

S0(m²)= section initiale du corps

F(N)= force appliquée créant un rétrécissement Δl2(m)

l2(m)= épaisseur (largeur) initiale

Les valeurs de nC vont -selon les corps- de 0,25 à 0,40 fois nY

La diminution de largeur pour un corps prismatique est de ce fait 0,25 à 0,40 fois égale à l'augmentation de longueur

Pour des corps très élastiques (caoutchouc, élastomères), nC est variable en fonction de la force et augmente pour de forts allongements

 

LES MODULES (ou COEFFICIENTS) de LAMÉ sont des composites des modules précédents

-l’un est égal à nG

-l’autre est égal à [nY.yP] / (1 - 2nY).(1 + nY) nY étant le module de Young, nG le module de rigidité et yP le coefficient de Poisson

Voir valeurs de nY , nG et yP ci-dessus et dessous

 

LE MODULE DE RIGIDITÉ (ou de CISAILLEMENT)

Equation aux dimensions structurelles(celle d’une pression) L -1.M.T -2

Symbole : nG     Unité S.I.+ : le N/m²

C'est nG = ny / 2.(1+ yP)

où nG(N/m²)= module de rigidité d’un corps soumis à des forces, nY le module de Young

et yP = coefficient de Poisson (voir ci-après)

Valeurs pratiques de nG pour quelques métaux (en 106 N/m², ou en unités identiques que sont le N/mm² ou le MPa ou le 106 Pa):

Mg(3.000)--Pb(6.000)--Cd & Sn(18.000)--Zn(20 à 50.000)--

Ag & Al(26.000)--Au(29.000)--Co & Cu(41.000)--Ti(44.000)-- Pt(60.000)--Fe & Ni(77.000)--U(83.000)--Cr(115.000)

 

LE COEFFICIENT de POISSON (qui s'apparente à un module)

C'est yP = (Δll / ll ) / (ΔlL / lL )= variation relative de largeur sur variation relative de longueur

Valeurs pratiques du coefficient de Poisson yP (nombre)

liège(0)—béton(0,20)--Fe et Zn(0,22 à 0,26)--Verre(0,21 à 0,30)--

Aciers et Mg(0,27 à 0,29)-- Ni(0,30)--Cu et Al(0,33)—fonte et Ti(0,35)--

Au et plexiglass(0,42)--Pb(0,44)--caoutchouc et élastomères(0,50)-- cellulose et PVC(0,40)--glace(0,36)--calcaire, granit, WC(0,25)--

béton,Si et verre(0,2)--bois(0,03)

 

LE MODULE de TORSION (ou CONTRAINTE de TORSION)

Equation aux dimensions structurelles : L -1.M.T -2.A -1

Symbole η*    Unité S.I.+ : Pa/rad

c'est une contrainte (donc une pression) ramenée à l'angle θ  de torsion

η* = nG / θ = MΓ / Vr

η*(Pa/rad)= module de torsion

nG(N/m²)= contrainte de cisaillement (ci-dessus)

MΓ (J-couple)= moment de torsion, qui vaut F.D*t

D*t(m/rad)= rayon de torsion

Vr(m3)= moment résistant  (dit aussi module d’inertie)

Mf(N-m)= moment des forces F qui font tourner le corps de θ (rad)

 

LE MODULE D’INERTIE ou MOMENT de RÉSISTANCE ou MODULE RÉSISTANT

C'est le moment d’une surface par rapport à un point

Equation aux dimensions  : L3    Symbole grandeur : Vr    

Unité S.I.+ : m3

Vr = S.l

où S(m²)= surface et l(m)= distance entre la surface et le point

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