R2.CONTRAINTES SUBIES

-action de la chaleur

L'augmentation de chaleur provoque une dilatation (augmentation des dimensions géométriques d’un corps) .On distingue les notions suivantes :

 

LA DILATABILITE

C'est la variation d'une ou de plusieurs coordonnées d'un corps (en général sous l'action de la chaleur)

La dilatabilité linéique est dl (variation de longueur, dite élongation)

La dilatabilité surfacique est dS (variation de surface)

La dilatabilité volumique est dV (variation de volume)

 

LA DILATATION

C'est la dilatabilité ramenée à la grandeur dilatée

La dilatation linéique est dl / l (variation de longueur ramenée à la longueur, dite allongement  relatif)

La dilatation surfacique est dS / S (variation de surface ramenée à la surface)

La dilatation volumique est dV (variation de volume ramenée au volume)

Le Plutonium est le plus dilatable des métaux (6.10-5 à 200° K)

 

LES COEFFICIENTS de VARIATION ISOBARE

Ils expriment la variation de géométrie d’un corps par rapport à l'évolution de température (dimension Θ-1)

A l'usage, il faut bien préciser que ce coefficient de dilatation est isobare, c'est à dire à pression constante (car il en existe un autre: coefficient de dilatation isotherme, à température constante, mais qui n’est pas de mise ici)

Le coefficient de dilatation isobare linéique (concernant une seule direction)

Les équations d’état des gaz, liquides et solides expriment des relations entre leurs dimensions géométriques, leurs pressions et leurs températures

La définition ici est celle de la variation d’une seule dimension géométrique (donc une longueur -cas des corps longilignes) et on détermine un coefficient de variation linéique isobare (αl) qui représente la variation de longueur en fonction de la longueur initiale et de la température

La formule usuelle -où n’est retenu que le premier terme du viriel exprimant l’impact de la température- est : lT= l0(1 + αl.dT )

lT(m)= longueur atteinte, suite à variation (faible) de température dT(K)

l0(m)= longueur initiale (à température initiale)

αl (K-1)= coefficient de dilatation linéique (isobare)

Valeurs pratiques de αl (en 10-5 K-1 et pour une température de 25°C)

Métaux >>> Al(2,3)--Ag(1,9)--Cd(3,1)--Cr(0,5)--Co(1,3)--Cu(1,7)--Sn(2,2)--Fe(1,2)--

Li(4,6)--Mg(2,5)--Ni(1,3)-- Au(1,4)--Pt(0,9)--Pb(2,9)--Ta(0,6)-- Ti(0,9)--W(0,4)--U(1,4)--Zn(3)

Matériaux >>> Bois(0,3)--Pierres et assimilés(0,6 à 1,1)--Verre(0,8 mais 15 fois plus pour des verres au sodocalcium)--Acier(1,2 à 1,6)-- Béton(1,2)---Bronze(1,8)--Polystyrène(7)--Eau, caoutchouc(20)-- Semi-conducteurs(2000)

Nota : en application pratique, la variation de hauteur de la tour Eiffel est de 1 centimètre par degré de température

Le coefficient de variation surfacique isobare (concernant 2 directions ou coordonnées)

C'est αs= dS/(S . dT)(en K-1) il est similaire au coefficient linéique, mais applicable aux surfaces et vaut 2 fois le coefficient linéique αl .

-Les valeurs pratiques(de αs) pour les solides vont de 2.10-7 à -5 K-1

Le coefficient de variation volumique isobare (concernant trois directions)

Identiquement à ci-dessus, on a des variations de volume avec la température -à pression constante-, permettant de définir un coefficient de variation volumique (ou cubique) isobare (αv) qui représente une variation du volume (dV) par rapport au volume initial et à la température, soit :

αv= dV / (Vo.dT)(en K-1) et qui vaut 3 fois le coefficient linéique αl (vu ci-avant)

Pour les solides, αv vaut : ( 0,2 à 8).10-5 K-1

Exemples : verre(1 à 2)--C(0,2)--quartz(5)--métaux ferreux(1 à 2)-- nylon(3)--laiton(2)--

Pour un solide anisotrope, αv varie selon la direction: on corrige avec des coefficients linéiques directionnels ( > 1 ou < 1)

--si dV < 0, c’est un coefficient de contraction volumique isobare αv (même dimension, mais négatif, car on compresse au lieu de dilater) Il peut être aussi nommé coefficient de compression

Le coefficient d'expansion volumétrique est le rapport entre (volume final) et (volume initial)

 

LA RELAXATION

C'est le retour (lentement, avec une sorte de viscosité) d'une situation de dilatation vers une situation de repos (non dilatée)



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-charge mécanique

Une charge mécanique est une FORCE (ou un Poids)

Mais le langage courant mélange volontiers trois notions sous le terme simpliste de «charge» (en abrégé) , alors qu'il faut distinguer : 

 

1.LA CHARGE STRICTO SENSU

Une charge (au sens strict) est une force (ou un poids) >> par exemple: la charge d’un plancher = le poids qu’il peut supporter

ou bien la charge de flambage = le poids qu'on peut appliquer à un poteau, avant flambage

Equation aux dimensions structurelles :L.M.T-2       Symbole Fp      

Unité S.I.+ : le Newton(N)

Autre unité (très) utilisée : le kilogramme poids (ou kilogramme-force) qui vaut 9,806.N

Fp= m.g

avec Fp(N)= charge (poids)

m(kg)= masse du corps

g(m/s²)= pesanteur

 

Cas particulier de charge mécanique:

quand on applique une charge très élevée qui atteint la zone de déstructuration d'un matériau, on la nomme charge critique (critique veut dire limite de déstructuration) ou encore charge de rupture

 

2.LA CHARGE SURFACIQUE

Nota : le mot "surfacique" est trop souvent éludé et donc quand on lit "charge" il faut quasiment toujours comprendre "charge surfacique"

Donc c'est un poids surfacique, donc c'est une pression

Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T-2       Symbole pc      

Unité S.I.+ : le Pascal(Pa) et en unité d'usage le kg/mm²  (# 107Pa)

Exemples de charge surfacique >>>

la charge (surfacique) d’un plancher (qu'on nomme souvent charge unitaire) est la pression qu'il peut supporter-

Valeurs pratiques de charge de plancher 

---charges permanentes : chape +carrelage + cloisons(150 kg/m²)--1 mètre de terre en remblais( 2.200 kg/m²)--étanchéité de terrasse(200 kg/m²)

---surcharges (présence de meubles, stockages et individus) : en habitat(150 kg/m²)--en archivage(1.000)--en bureaux(250 kg/m²)--en collectivités, telles les écoles(400)--

Quand  on lit charge unitaire à la rupture, il faut traduire "contrainte à la rupture"

 

 

Autre exemple >>> la perte de charge qui est une diminution de pression

 

Cas particulier de charge mécanique (en traction, compression ou flexion):

quand un matériau est à la limite supérieure d'élasticité, on atteint alors la «charge unitaire limite» ou(synonyme) «limite d'élasticité linéique»

C'est une base à partir de laquelle on ne pourra plus travailler sans rique avec le matériau (mais par ailleurs, pour plus de sécurité, on lui appliquera encore une modération, sous forme d'un coefficient -pourcentage- dit «taux de travail» qui donnera la limite recommandée -ou contrainte de travail- qui est vraiment sécuritaire

 

Pour revenir aux valeurs de la charge unitaire limite (ou limite d'élasticité linéique), qui sert de base qualitative pour un matériau, les valeurs sont exprimées ci-dessous en 106Pa (Mpa)

Si on les veut exprimer en kgf/mm² , il faut diviser alors par 10 les valeurs ci-dessous)

>>> acier courant(190 à 300)--acier spécial(400 à 1100)--alu(180 à 220)--béton(70)--bois dur(18 à 26)--bois tendre(9 à 12)--bronze(150)--caoutchouc(..)

--fibre de C(2800)--fonte(200)--métaux courants(30 à 70)--métaux durs comme Ti(800 à 1200)--os(10)---plastiques(25 à 40)--plomb(2)--roches(50 à 300)--verre(50)--

 

3.LA CHARGE LINÉIQUE (ou CHARGE RÉPARTIE)

Notion utilisée pour exprimer une charge uniformément répartie sur la longueur d’une poutre, elle est exprimée en N/m  

C'est le cas de certaines poutres travaillant en flexion (exemple d'une passerelle qui supporte un revêtement uniformément pesant)

W'c= Fp/ l

où W’c(N/m)= charge (poids) linéique uniformément réparti

Fp(N)= charge (poids)

l(m) est la longueur de la poutre

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-cisaillement

Le cisaillement (et son synonyme cission) ne sont pas des grandeurs, il s'agit seulement de l'expression du phénomène exprimant la désolidarisation des éléments d'un corps solide par glissement de ses couches les unes envers les autres.

La même notion de cisaillement est utilisée pour les fluides, où le phénomène est très amplifié, car les couches glissent entre elles bien plus facilement que pour les solides (viscosité)

 

CONTRAINTE de CISAILLEMENT

Une contrainte est une pression interne

Equation aux dimensions : L-1.M.T -2       Symbole de désignation : nct       

Unité S.I.+: N/m²   Unité d’usage: le mégaPascal (ou 10N/mm²) = 10Pa

 

On considère cette contrainte surtout tangentiellement >>>

nct = F/ S + (Mf.l) / Ip

avec nct(N/m²)= contrainte tangentielle de cisaillement sur un matériau

Ft(N)= effort tranchant auquel il est soumis

Mf(N-m)= moment de la force appliquée

l(m)= distance de la fibre à l’axe

Ip(m4)= moment d'inertie polaire

La contrainte tangentielle de cisaillement est la composante tangentielle à l’élément de surface où apparaît la contrainte ce qui entraîne un cisaillement des fibres du matériau, avec tendance à cassure, qu'on nomme glissement

nct = nY / 2 (1+ yP)

nest le module de Young et yle coefficient de Poisson

et comme yP(nombre) est compris entre 0 et 0,5 >> (n/ 3) < nct < (n/ 2)

 

 

-limite de travail en cisaillement

ncl = yp.F / S

ncl(N/m²)= limite de résistance surfacique d’un matériau élastique (limite jusqu'à laquelle on peut faire travailler le matériau en toute sécurité)

F(N)= charge maxi à laquelle il est soumis

S(m²)= section

yp(nombre)= coefficient (facteur) de sécurité (taux de travail)

-valeurs pratiques de nclen cisaillement mécanique 

(exprimées en MPa soit en 106 N/m²) >>>

acier laminé(90 à 130)--métaux usuels(6 à 50)-- bois(10 à 20)

--matériaux de construction(1 à 10)

-la torsion est un cas particulier de cisaillement (lorsque les forces appliqués sur 2 faces ne sont plus concourantes).

 

COEFFICIENT de CISAILLEMENT 

C'est la même chose qu'un coefficient de torsion

Equation aux dimensions structurelles : L.M-1.T2.A       Symbole : sans      

Unité S.I.+ : rad-m²/N

coeff. de cisaillement = θ.(1 + yP) / nY      

où nest le module de Young et yle coefficient de Poisson

θ(rad) est l'angle de cisaillement

 

Ce coefficient est l’inverse du module de cisaillement ci-après

 

MODULE de CISAILLEMENT

C'est l'inverse du coefficient de cisaillement (ou du coefficient de torsion)

Et c'est l'équivalent du module de torsion

Dimension L.M-1.T2.A-1

 

ANGLE de CISAILLEMENT

C'est l'angle (plan), pourcentage de déformation d’un angle droit constituant le coin d'une section carrée unitaire, incluse dans un solide soumis à cisaillement

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-compression des solides

La compression est l'application d'une force tendant à écraser un matériau pour lui faire perdre du volume (créant ainsi des contraintes à l'intérieur dudit)

Stricto sensu, c'est une pression, d'équation aux dimensions :

L-1.M.T-2    de symbole  pk   et d'unités S.I.+ : Pascal(Pa) ou N/m²

Unités d'usage >>> le gigaN/m² vaut 109 N/m² ou 109 Pa,

le kgp/mm² vaut # 107 Pa,

le mégaPascal (MPa) vaut 106 Pa,

le N/mm² vaut 106N/m² (ou 10Pa),

le kgp/cm² vaut # 105 Pa 

 

INCIDENCE de la COMPRESSION sur le VOLUME d'UN CORPS

= le MODULE de COMPRESSION

Ce module nk représente l'incidence d'une variation de pression Δp(N/m²) produisant une variation de volume  ΔV(m3) soit n= Δp.V / ΔV

nest une contrainte -interne-

Autres expressions du module de compression :

n= / S     où nk est le module de compression avec application d’une force F(N) sur une section S(m²) d’un solide

et par ailleurs n= nY / 3.(1- 2 yP)

où nk(N/m²)= module de compression

nY(N/m²)= module de Young

yP(nombre)= coefficient de Poisson (voir valeurs au chapitre Module)

Valeurs pratiques de nk(en N/m²):

Glace(1010)--Cd(1,7.1010)--Pb(4,4.1010)--Al(7,2.1010)--Cu(1,3.1011)--

Au(1,6.1011)--Fe(1,7.1011)

Cas d'un corps solide parallélépipédique

il diminue son volume de (Δl / l).(1 - 2 / yP)

avec : (Δl / l)= allongement relatif et yP= coefficient de Poisson (Voir valeurs chapitre Module)

Cas de variation de volume sous pression très élevée (équation de Murnaghan)

Si l'on est en PHASE isotherme, l'évolution du volume V du solide en fonction de la variation de (pressions très élevées) est :

(V / V0)-1/n'G= 1 + p (n'G / nG)

V et Vo = volumes évolué et initial (formule limitée à V / V0 > 90%)

p(Pa)= pression

nG et n'G(Pa)= modules de compression et sa dérivée par rapport à la pression (Voir valeurs chapitre Module)

 

INCIDENCE de la COMPRESSION sur la SECTION d'un CORPS

Une pièce d’une certaine hauteur doit avoir une section variable, pour que les parties inférieures résistent non seulement à la charge qui sera appliquée, mais aussi au poids propre de la construction (lui-même fonction de la hauteur)

S = F.e/ ns

avec S(m²)= section de la construction

F(N)= charge appliquée (+ éventuellement poids propre)

ns(N/m²)= limite de sécurité à la compression (Voir valeurs ci-dessus)

x(exposant) =  Åp.l/ pt      avec Åp(N/m3) le poids spécifique du matériau,

lh(m)= hauteur de la construction et pt(N/m²)= pression

Cette formule de section exponentielle est celle ayant servi à la construction de la tour Eiffel

C’est un profil d’égale résistance

 

RÉSISTANCE SURFACIQUE   (à la compression)

Synonymes >>> charge par unité de section  ou résistance unitaire

Il s'agit là de la pression (contrainte interne) subie par un matériau subissant compression

p/ S

où pc(Pa)= charge de compression par unité de surface

F(N)= force appliquée (qui peut être un poids)

S(m²)= surface d’application

Cette résistance unitaire présente une limite exprimant jusqu'où on peut faire travailler un matériau sans danger (en lui ayant appliqué un coefficient sécuritaire dit coefficient de travail ou taux de travail)

n= yp.F / S

où ns(N/m²)= limite de sécurité de travail à la compression d’un matériau élastique

F(N)= charge à laquelle il est soumis

S(m²)= sa section ou surface d'application

yp(nombre)= coefficient (facteur) de sécurité (ou de travail)

Valeurs pratiques de cette limite de sécurité ns en compression (exprimées en Kgp/mm² donc environ en 107 Pa ou 107 N/m² ou 10 MPa)--

Et si on désire l'avoir en MPa, multiplier les valeurs ci-dessous par 10 :

bois(4 à 6)--grès(5 à 8)--calcaire(5 à 15)--marbre(10 à 12)--granit(10 à 25)--acier laminé(13 à 18)-- quartz(20 à 60)----fonte(30 à 80)-- Le dépassement de ces valeurs peut entraîner la déformation persistante et aller ultérieurement jusqu'à la rupture du matériau

 

MOMENT DE COMPRESSION

C’est le cas particulier d'un moment de force dans le cas d'une force (ou poids) appliquée en compression

Equation aux dimensions  : L2.M.T-2    Symbole  : Mq     Unité S.I.+  (N-m)

M= p.Iq / l

où Mq(N-m)= moment des forces de compression appliquées sur le corps

Iq(m4)= moment quadratique du corps

l(m)= longueur de ce corps (prismatique )

p(N/m²)= pression-contrainte

 

INCOMPRESSIBILITÉ

Ce terme n'est utilisé que pour les solides et il exprime l'inverse du module de rigidité (nG)

L'incompressibilité, exprimée en (m²/N) est donc = 2.(1+ yP) / nY

où yP= coefficient de Poisson, égal lui-même à (Δll/ ll) / (ΔlL / lL)= variation relative de largeur sur variation relative de longueur et nYle module de Young (Voir valeurs chapitre Module)

Exemple: à l'échelle atomique, le covolume Vc est le volume incompressible qu’occupent n particules

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-constante élastique

.

Les corps possédant de l’élasticité accumulent en eux de l’énergie potentielle E (sous action d’une force externe) et peuvent la régurgiter plus tard (si de nouvelles conditions favorables le permettent) Il est utile d'exprimer cette qualité sous la forme de stockage énergétique sectionnel, dénommé:

 

---constante élastique   pour des corps longilignes (tels tiges, poutres...)

 

---dureté ou raideur ou constante de rappel  pour les ressorts

 

---ténacité et résilience pour le cas de la qualité d'un matériau résistant aux chocs

 

Equation aux dimensions structurelles : M.T-2      Symbole W'd      Unité S.I.+ : kg/s² ou N/m

 

Formule générale    E = (l²/2).W'd

 

E(J) est l’énergie, l(m) est la longueur de déformation (allongement)

 

W'd(kg/s²) est dénommé constante de rappel ou constante de force ou dureté

 

Formule classique pour les ressorts    W'/ dl

 

W’d(N/m)= constante de rappel du ressort (ou sa raideur ou sa dureté)

 

F(N)= force appliquée au ressort et dl(m)= son allongement

 

Cas du ressort à boudins  W'= nG.lΦ4/ 8n.ls3

 

pour un ressort comportant nspires de diamètre lΦ(m) et de module de rigidité nG (N/m²)

 

ls(m)= longueur du fil des spire

 

Attention: la constante élastique est différente de la constante d'élasticité

 

 

 

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-contrainte

 

Une contrainte est une pression interne dans un matériau (dans chacun de ses éléments constitutifs), provenant de l'inertie de cohésion, qui s’oppose à une déformation proposée par l'extérieur

 

Synonymies : résistance surfacique ou module = résistance présentée par un matériau envers une force appliquée sur sa surface

 

Ces termes sont utilisés en compression, en traction (ou en phase d'extension) , en flexion et pour le cisaillement ou pour ses synonymes (cission et glissement)

 

On trouve donc dans tous ces domaines la  synonymie entre: module, contrainte et résistance (résistance sous entendue surfacique)

 

Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T-2       Symbole n indicé        

 

Unité S.I.+ : Pascal (Pa ou N/m²).

 

Relations avec d'autres unités :

 

1 U.S. ton per square inch                     vaut 1,544.107Pa

 

1 kilogramme-poids(ou force) par mm²  vaut 9,806.106Pa

 

1 mégapascal(MPa) -unité courante-     vaut 106Pa

 

1 kilogramme-force par cm²(kgf/cm²)     vaut 9,806.104Pa

 

1 Newton par centimètre carré(N/cm²)   vaut 104Pa

 

1 millibar(ou 1 hectopascal)                    valent 102Pa

 

1 Newton par mètre carré(N/m²)             vaut 1 Pa

 

 

 

COMPOSANTS d'une CONTRAINTE

 

Pour étudier plus facilement une contrainte, on considère ses éléments :

 

 

 

n/ S + (Mf.l).sinθ / Iq

 

où nn(N/m²)= contrainte normale du matériau

 

F(N)= charge (ou force ou poids) normale à laquelle il est soumis

 

S(m²)= section en cause du matériau

 

Mf(N-m)= moment de flexion

 

l(m)= distance de la fibre à l’axe

 

Iq(m4)= moment quadratique

 

θ(rad)= angle entr’axes de l’ellipse d’inertie

 

 

 

La contrainte tangentielle (de cisaillement) est la composante tangentielle à l’élément de surface où apparaît la contrainte et qui entraîne un cisaillement (glissement des fibres du matériau avec tendance à cassure)

 

nF/ S+ (MG.l) / Ip

 

avec nt(N/m²)= contrainte tangentielle

 

Ft(N)= effort tranchant

 

Sr(m²)= section réduite

 

MG(J-couple)= moment (du couple) de torsion

 

l(m)= distance de la fibre à l’axe

 

Ip(m4)= moment polaire

 

 

 

Les lignes de champ des contraintes principales.

 

Leur équation différentielle de représentation est:

 

(dy / dx)² + Δn.dy / nt.dx -1 = 0

 

où x et y sont les coordonnées, nla contrainte tangentielle et Δn la différence entre contrainte normale et contrainte tangentielle

 

Une ligne de champ est le lieu géométrique d'une ligne parallèle à la ligne moyenne.

 

Une ligne isostatique est celle où toutes les contraintes sont les mêmes

 

Une fibre neutre est celle où il n'y a pas de contrainte interne

 

 

 

  

 

Afin de suivre les variations de 2 contraintes en fonction des efforts appliqués, on établit une courbe (qui est un cercle) dont les coordonnées sont :

 

-en abscisse, la contrainte normale à la section de la pièce

 

-en ordonnée, la contrainte de cisaillement

 

Par ailleurs, le nombre de Weissenberg  est le rapport entre la contrainte d'élasticitéet celle de cisaillement

 

 

 

CONTRAINTES DE SÉCURITÉ

 

Pour le travail pratique avec un matériau, on se doit de rester dans des limites de sécurité, d'où l'application de facteurs limitant l'usage en dessous de limites dangereuses.On surveille donc:

 

-la contrainte de sécurité (ns)(ou limite recommandée, ou limite de sécurité)

 

Synonyme à éviter: coefficient de travail, ou taux de travail, car il s'agit pour ces 2 termes d'un coefficient de sécurité (donc un pourcentage yet pas une contrainte)

 

Utilisée en compression, en traction, en flexion et en cisaillement, nest la contrainte à laquelle un matériau peut travailler, car on a déjà appliqué le coefficient de sécurité, qui rabaisse notablement la limite naturelle de résistance du matériau (elle-même limite de ses déformations permanentes)

 

       

 

 Symbole de grandeur : ns       Unité S.I.+ : N/m²(ou Pa)

 

Unités d’usage : le mégapascal MPa (qui vaut 10Pa)--le kgp/mm²( qui vaut environ 107Pa, soit # 10 MPa)--le kgp/cm²( # 105Pa)

 

Formules générales pour la contrainte de sécurité

 

  ns = yp.F /S    et ns = nd.yp

 

      

 

yp(nombre)= coefficient de sécurité

 

ns(N/m²)= contrainte de sécurité -ou résistance de travail- d’un matériau élastique

 

F(N)= charge à laquelle est soumise la section S(m²) au maxi avant déformation

 

nd(N/m²)= contrainte caractéristique du matériau, limite avant ses déformations permanentes

 

yp(nombre)= coefficient de sécurité (taux de travail)

 

Valeurs pratiques de la contrainte de sécurité

 

(en kgp/mm², soit # 10Pa soit # 10 MPa)

 

-A la traction: métaux nobles(9 à 25)--acier(10 à 18)--métaux courants(1 à 8)--bois(0,6 à 1,2)--matériaux de construction(1,5 à 6)

 

-A la compression: métaux nobles(9 à 25)-- acier(10 à 18)--métaux courants(1 à 8)--bois(0,4 à 0,9)-- matériaux de construction(1 à 4)

 

-Au cisaillement: acier(8 à 13)--métaux courants(0,6 à 5)--bois(0,1 à 0,2)--matériaux de construction(0,1 à 1)

 

 

 

Application pour les compression et traction :

 

n= yp/ S       et   n= nd.yp  comme ci-dessus

 

 

 

Application pour la flexion:

 

La contrainte (normale) donnant la flexion maximale acceptable pour un matériau soumis à un moment fléchissant est dénommée aussi "limite de travail": puisque c'est la valeur à laquelle on peut faire travailler un matériau (on a déjà appliqué le coef. de sécurité déterminé par l'usage)

 

      

 

avec ns(N/m²)= contrainte de sécurité (donc maximale à l'usage) pour un travail en flexion

 

Mf(N-m)= moment fléchissant

 

Vr(m3)= module de résistance, qui est lui-même = I/  lf

 

Iq(m4)= moment quadratique de la section par rapport à l’axe

 

et lf(m)= distance entre l’axe de la poutre et sa fibre la plus lointaine

 

Nota: le module de résistance ci-dessus (I/ lf) est souvent symbolisé dans les ouvrages techniques sous la forme (I / v)

 

 

 

Application pour la torsion

 

La contrainte (ou module) de torsion η* est une contrainte (pression) ramenée à l'angle θ de torsion

 

      

 

Symbole de grandeur : η*      Unité S.I.+ : Pa/rad

 

      

 

η*(Pa/rad)= module de torsion

 

nG(N/m²)= contrainte de cisaillement (Voir valeurs chapitre Module)

 

MΓ(J-couple)= moment de torsion, qui vaut 2F.l/ θ   où lr(m) est le rayon du cercle décrit quand les forces sont distantes de 2 lr

 

θ(rad) est la rotation

 

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-déformation calorifique des matériaux

Certaines équations d’état des gaz, liquides et solides expriment les variations des dimensions géométriques en fonction des températures (sous réserve, bien entendu, de l’influence de la pression)

Chaque variation de l’une de ces grandeurs par rapport aux 2 autres est notifiée par un coefficient thermoélastique

Les notations ci-dessous seront partout:  Δ = variation en augmentation ou en diminution, l’indice 0 représentant l’état initial, (l) est la longueur, (S) la surface, (V) le volume, (p) la pression, (T) la température :

 

VARIATIONS de GÉOMÉTRIE

a)) cas de variation de volume (donc concernant les 3 dimensions)

-à pression p constante

on utilise un coefficient de variation volumique (ou cubique) isobare (αv)

qui représente une variation du volume (ΔV) par rapport au volume initial et à la température, soit :  α= ΔV / (Vo.ΔT)   (dimension Θ-1)

αv  est 3 fois plus fort que le coefficient linéique  α(défini ci-après)

a))-si c'est une dilatation = augmentation de volume >> ΔV > 0 et  αest le coefficient de dilatation volumique isobare dont les valeur sont >>>

Pour les gaz parfaits,  α= (1 / 273,16).K-1 (soit 3,7.10-3 K-1)

Pour les gaz réels (sauf hydrogène et gaz rares)  αest un peu > à 3,7.10-3 K-1

Pour les liquides,  αva de (5.10-4 à 16.10-4) K-1(à température ambiante)

--cas particulier du mercure ( α# 10-4.K-1)

cas particulier de l’eau >> ( αa une valeur un peu négative entre 0 et 4°C, puis devient positif, passant linéairement de # 5.10-5 à 5° C, jusqu'à # 60.10-5 à 60°C

Pour les solides,  αvaut : ( 0,2 à 8).10-5 K-1

Exemples (en 10-5 K-1) >> verre(1 à 2)--C(0,2)-- quartz(5)--métaux ferreux(1 à 2)-- nylon(3)--laiton(2)--

Pour un solide anisotrope,  αvarie selon la direction: on corrige avec des coefficients linéiques directionnels (> 1 ou < 1)

b))-si c'est une contraction >> ΔV < 0 et le coefficient est alors de contraction volumique isobare  α(même dimension, car on compresse au lieu de dilater) Il peut être nommé coefficient de compression

 –-à température T constante

on détermine un coefficient de variation volumique isotherme (βt)  qui représente la variation de volume ΔV par rapport au volume et à la pression, soit :

β= ΔV / (Vo.Δp) (dimension L.M-1.T2)   Unité le Pa-1

c))-si c'est une dilatation >> ΔV > 0, c’est un coefficient de dilatation volumique isotherme (parfois dénommé "coefficient de température")

d))-si c'est ΔV < 0 (contraction) >> c’est un coefficient de compressibilité volumique isotherme βt-  Voir chapitre Compressibilité

On voit parfois cette formule écrite avec un signe moins (β= -ΔV / Vo.Δp ) pour signifier que si p augmente, V diminue

Pour les gaz βt vaut # 103 à 4 Pa-1(ou m²/N) à 20° C et 10 fois plus à -70°C

Pour les liquides βt vaut # 10-9 Pa-1(ou m²/N) à 20° C

Pour les solides: βt vaut # 10-12 Pa-1 (ou m²/N) à 20° C

Nota: ne pas confondre βavec le module de compressibilité qui est une pression

(dimension L-1.M.T-2) et qui est la variation de (R*Δ T) par rapport à Δ V(volume),

d’où R*.ΔT / ΔV avec R* = (8,314472 J/K)

-- c’est donc la notion inverse de β--

 

b)) cas des variations de surface (2 dimensions géométriques)

ceci concerne des corps plats

On utilise alors du coefficient de variation surfacique isobare (αs) représentant la variation de surface par rapport à la surface initiale et à la température, soit :

αs= ΔS / (So.ΔT)    dimension Θ-1

e))-si ΔS > 0, αs est un coefficient de dilatation surfacique isobare (parfois dit "coefficient d’expansion")

Dans les corps de dimensions géométriques usuelles, αs vaut 2 fois αl -le coeff linéique, à voir ci-après- et vaut 2/3 de αv vu ci-dessus

-valeurs pratiques de αs (en K-1) pour les solides = de 2.10-7 à -5 K-1

c))cas de variation de longueur (une seule dimension géométrique) 

On utilise un coefficient de variation linéique isobare (αl) qui représente la variation de longueur par rapport à la longueur initiale et à la température (dimension Θ-1)

La formule usuelle -où n’est retenu que le premier terme du viriel exprimant l’impact de la température- est :

l= l0(1 + αl.ΔT)   où lT (m)= élongation = longueur atteinte, suite à variation (faible) de température ΔT(K)

l0 (m)= longueur initiale (à température initiale)

lT / l0 = (élongation maxi / longueur initiale) = élongation propre

(αl vaut , en valeur pratique (en K-1) >>> pour les solides 2.10-7 à -5 K-1

Le Plutonium Pu est le plus dilatable des métaux (son αl = 6.10-5 à 200° K)

f))-si (lT – l0) > 0, c’est une dilatation (un allongement)

g))-si (lT - l) < 0, c’est une contraction

Nota: ce coefficient (αl)  est similaire au coefficient élastique rencontré en élasticité des matériaux 

L'allongement d’un corps est  Δl  et la dilatibilité est Dl/ l   

 Pour les corps vivants, l’étirement de dilatation (ou dilatation propre) est le rapport longueur finale / longueur initiale,  égal à  F.t / Q'.K (i.e. la force x temps / quantité de mouvement x K, un coefficient qualitatif du milieu--coefficient musculaire par exemple--)

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-déformation des matériaux par physico-chimie

Un objet subit une déformation (changement géométrique de structure) suite

-soit à des contraintes mécaniques, comme le fluage, l'écrouissage, l'allongement, les marées, etc (c'est à dire l'impact de forces extérieures)

-soit à des contraintes physico-chimiques (l'humidité, les réactions chimiques...)

 -soit à la chaleur (voir chapitre spécial)

 

DÉFORMATION ÉLASTIQUE

Un solide, soumis à une force externe, se déforme, mais récupère sa structure originelle quand la force cesse d'agir.

Exemple d'une poutre, qui se déforme (s'allonge) en flexion, le maximum de déformation transversale étant la flèche (lf), une déflexion, qui vaut :

 l/ l.nY

où nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinale

F(N) est la force appliquée

l(m)= la portée entre appuis

 

-énergie potentielle de déformation élastique

Un solide élastique qui se déforme sous une action mécanique accumule une part d’énergie (potentielle) qu’il rendra sous des conditions contraires

dE{Σn} dV

avec dEd(J)= part(variation) d’énergie (pendant déformation) dans une transformation élastique supposée infiniment lente, d’un élément de volume dV(m3)

Σn(Pa)= ensemble des contraintes créant les variations déformantes volumiques dV(m3)

Exemple d’un ressort Ep =( W'd.Dl²) / 2

où Epd(J)= énergie potentielle de déformation du ressort (dite parfois énergie élastique)

W’d(N/m)= constante de rappel du ressort

Dl(m)= allongement du ressort

 

Exemple d'un solide longiligne     W= V.nk.(dl / l)

où W(J)= travail de déformation

nk(N/m²)= module de compression (voir valeurs au chapitre module)

(dl / l)(nombre)= allongement relatif

V(m3)= volume du corps

 

Pour une déformation élastique (retour à la forme initiale)

le travail W qui fut fourni dans la PHASE de déformation est restitué dans la PHASE de retour (en la forme initiale géométrique) sous forme d'énergie, souvent en partie calorifique (chaleur)

 

Pour une déformation plastique (pas de retour total à la forme initiale)

il y a hystérésis après plusieurs déformations et n(dans la formule ci-dessus) est variable en fonction de l’étirement

La courbe nen fonction de (dl / l) est en forme de "dauphin sautant hors de l’eau", comme celle de l’hystérésis électrique

 

Cas des bois, dont la déformation géométrique est dite RETRAIT

Il s'agit de l'impact de l'humidité, qui cause un retrait linéique, ou surfacique, ou volumique, selon le nombre des dimensions géométriques concernées

La formule (si retrait linéique) est l = l0. K1.K2

où l est la longueur après retrait, l0 la longueur avant retrait, K1 le coefficient de retrait et K2 le taux d'humidité (un pourcentage)

Les valeurs usuelles de K1 vont de 2% longitudinalement, à 8% radialement et même 10 % tangentiellement

 

LIMITES de DEFORMATIONS

pour un matériau soumis à contraintes, les limites des diverses zones de déformations, représentent des paliers plus ou moins dangereux à l'exploitation. On distingue:

-la limite d'allongement

qui est une valeur maximale de l'allongement relatif (dl / l) avant déformation permanente

 

-la limite d’élasticité (avant déformation permanente) de valeur variable selon la nature de chaque corps, en général donnée pour la traction

Ses valeurs pratiques (exprimées en mégaPascal (10Pa) sont >>>

Pb(1)--Bois(10 à 30)--Verre(50)--Mg(100)--Al(180 à 240)--Cu(300)--

Aciers standards(235 à 350)--Aciers au carbone(350 à 400)--Aciers à Ni,Cr,Mo(700 à 1400)—Ti(1200)--

 

-la limite de plasticité (ou limite de déformations dangereuses)

qui implique une hystérésis

 

-la limite d'élancement -avant le flambage-

yl  > p.(n/ pé)1/2

où yl(nombre)= élancement nécessaire pour qu’il n’y ait pas flambage

nY(N/m²)= module de Young (d'élasticité longitudinale) (Voir valeurs chapitre module)

pé(N/m²)= limite d’élasticité

 

 -la limite de ténacité

qui est l'aptitude d'un matériau à absorber de l’énergie avant rupture (résistance aux chocs) et qui est F'ic = Ko.p.(ml)1/2

où Ko = coefficient dimensionnel, fonction de caractéristiques physico-chimiques du solide en cause (forme, place des fissures...) (Kest proportionnel à l1/2)

p(N/m²)= contrainte normale au plan des fissures

(ml)(m²)= moyenne des longueurs de défauts (fissures) existant sur le matériau

Valeurs de F'ic pour divers matériaux (exprimées en Mpa-m1/2)>>>

fonte(5 à 15)--Mg(10 à 20)--Cu(20 à 40)--Zn(80 à 120)--Ti(60 à 130)-- aciers(60 à 160)--Ni(50 à 200)--Alu(50 à 250)

La ténacité est approximativement fonction de la charge de rupture

 

-la limite (ou taux) d'écrouissage

qui est définie --quand le matériau est soumis à des contraintes très répétitives-- sous forme du rapport  dS / S   (S étant la section initiale et dS sa variation).C'est bien sûr un pourcentage

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-écrasement

L'écrasement concerne un effort isostatique appliqué à un matériau (c'est à dire provenant simultanément de toutes les directions)

 

MODULE D'ÉLASTICITÉ ISOSTATIQUE (D'ÉCRASEMENT)

Symbolisé (né) ce module est en relation avec le module de Young (nY) et (nG) la contrainte de cisaillement, sous la relation :

(1 / nY) = (1 / 9né) + (1 / 3nG)    

Valeurs de né (en MPa) >>> acier 1,6.105 -- eau 2.103 -- air 1

 

LIMITE DANGEREUSE D'ÉCRASEMENT

C'est la même chose que la limite dangereuse de compression à la fin de la résistance du matériau, avant déstructuration

c'est une pression , l’unité S.I.+ est le Newton/m², mais l’unité d’usage est le kg/mm² (# 107N/m² ou # 107Pa)

La même notion en traction, est dite (charge à la rupture), en flambage est dite (charge critique) et en flexion est dite (limite de rupture)

 

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-effort

Effort est synonyme de force

Equation aux dimensions  : L.M.T-2  Symbole de désignation : Ft      

Unité S.I.+ : le Newton (N)

 

EFFORT TRANCHANT

C'est un cas particulier d'effort en flexion  

F= nt.S

Ft(N)= effort tranchant dans une section S(m²) d’un matériau soumis à un cisaillement

nt(N/m²)= contrainte (pression interne) de cisaillement

 

-effort tranchant d'une poutre droite

F= dM/ dl       où dM= dérivée du moment fléchissantparrapport à l’abscisse l dans la section S considérée

 

-effort d'une poutre uniformément chargée (charge continue)

F= yp.W'c.S

Ft(N)= effort tranchant dans une section S(m²)

yp= coefficient de sécurité (taux de travail)

W'c(N/m)= charge linéique (continue et uniforme) de la poutre

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-flambage

Flambage (synonyme flambement), exprime une déformation transversale d'un poteau longiligne étroit, soumis à une compression    Buckling en anglais

 

En fait la force de compression (verticale) n'est jamais totalement coaxiale et le très léger déport de son point d'appui est suffisant pour initier un comportement sinusoïdal des efforts. Le flambage se présente surtout pour des pièces prismatiques ayant un fort élancement (> 5)

 

CHARGE de COMPRESSION sur un POTEAU

La charge maximale supportable suite à la seule compression verticale est :

F = yi.S.ns

F(N)= charge de compression d’une pièce de section S(m²) pouvant travailler à une contrainte ns avec un taux sécuritaire (taux de travail) de yi

MAIS dès lors qu'il y a PAR AILLEURS RISQUE de FLAMBAGE

(et compte tenu que ce flambage est instantané), il faut appliquer une autre limite de travail, qui est donnée par la loi d’Euler

= ² (nY .I/ K.lf ²) ou  -comme la contrainte est F/S >>

ncf = ² (nY .I/ K.S.lf ²)

F(N)= charge critique (+ ou - axiale) affectée à un pilier

 

F est souvent dite "charge critique d'Euler"

 

ncf  est la contrainte de travail et K.ncf (N/m²) est la contrainte critique de flambage

K = constante de sécurité au flambage instantané (K vaut 4 à 5 pour l'acier—7 à 10 pour la fonte-- et 5 à 6 pour le bois)

Iq(m4)= moment quadratique

nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinale (de Young)

S(m²)= section constante du poteau

l(m)= longueur réelle du poteau

lf (m) = longueur de flambement, qui est fonction des types de fixation aux extrémités du poteau-pilier selon des pourcentages tenant compte du nombre (n) de ventres de la sinusoïde des efforts, sous forme 2 / (1 + 2n)

Valeurs de la longueur de flambement >>>

-si encastré à un bout et libre à l’autre : 200% de l

-si articulation aux 2 bouts : 100% de l

-si encastré parfaitement aux 2 bouts : 50% de l

-si encastré imparfaitement à 1 bout : 60 % de l

-si encastré imparfaitement aux 2 bouts : 80% de l

-si encastré à un bout et articulé à l’autre : 71% de l.

 

-limite de l’élancement avant flambage

yl > p.(nY / pé)1/2

yl(nombre)= élancement nécessaire pour qu’il n’y ait pas flambage

nY(N/m²)= module de Young (d'élasticité longitudinale) (Voir valeurs chapitre Module)

pé(N/m²)= limite d’élasticité

-cas particulier du flambage d'un poteau sous son poids propre

charge critique (N/m) = 8.E.Î / l4

-cas des profilés métalliques

il existe pour le flambage de plus ou moins anciennes formules - de Rankine, de Résal, de Lowe, de Tetmayer, etc

du genre ncf = né / (1 + K1(l / rg²) où né est la contrainte de travail en compression, K1 une constante adimensionnelle fonction des caractéristiques du matériau et rg le rayon de giration

 

FLAMBAGE et TORSION INTERVENANT ENSEMBLE

La loi (pragmatique ) de Von Mises-Huber peut s'appliquer :

ncnf > (nnf² + 3nf²)1/2

avec ncnf = contrainte normale de flexion

nt = contrainte de torsion

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-flèche

Pour une poutre prismatique, la flèche est la hauteur maximale d'affaissement de la ligne moyenne sous effort

FLECHE

En flexion, la flèche est l= F / l.nY

où nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinale

F(N) est la force appliquée

l(m)= portée entre appuis

 

VALEURS PRATIQUES de QUELQUES FLÈCHES

les notations étant : lf(m)= flèche maximale, l(m)= longueur de portée (entre appuis),

F(N)= force ou poids concentré, nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinal,

Iq(m4)= moment d’inertie quadratique, W'(N/m)= charge linéaire continue sur la poutre

-pour poutre sur 2 appuis simples avec force concentrée au milieu 

l= F.l3/ 48Iq.nY

-pour poutre sur 2 appuis simples avec charge linéique continue

l= 5W'.l4/ 384 Iq.nY

-pour poutre à 2 encastrements avec force concentrée au milieu 

l= F.l3/ 192Iq.nY

-pour poutre à 2 encastrements avec charge linéique continue 

l= W'.l4/ 384Iq.nY   (le moment maxi étant l.F/8)

-pour poutre console (1 encastrement) avec force concentrée au bout

l= F.l3/ 3Iq.nY  (le moment maxi étant l.F)

-pour poutre console (1 encastrement) avec charge linéique continue

l= W’.l4/ 8Iq.nY   (le moment maxi étant l.F/2)

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