FORMULES de PHYSIQUE
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R1.NOTIONS d'ENSEMBLE
-action et réaction (principe)
Le principe d'ACTION et REACTION
On est ici en mécanique et les mots action et réaction sous-tendent des notions de FORCES
PRINCIPE >> Pour qu’un corps A en contact avec un corps B soit à chaque instant en équilibre, il faut que la force avec laquelle A agit sur B soit compensée par une force de réaction de B sur A, égale et opposée soit (FA >B = FB >A)
-alliage
Un alliage est un mélange issu de la fusion de >>
Métal + Autre corps (métal on non)
-cas de (2 métaux) = mélange eutectique (composition hétérogène des cristaux des 2 composants, avec température de fusion déterminée, dite eutexie)
-cas de (cristaux mixtes) = mélange en toutes proportions des 2 métaux
-cas de (métal + autre corps à mémoire de forme) = après changement de température, il y a une tendance à la superélasticité
Les alliages à mémoire de forme présentent une transition de PHASE dite "martensitique", c’est à dire qui subit une trempe. Ils sont superélastiques et superamortisseurs et ils ont de très forts coefficients de dilatation avec anisotropie.
TITRE d'un ALLIAGE
Le titre d'un alliage est yn = mA / mB
c'est à dire le pourcentage massique d’un métal A(en général précieux) faisant partie de l’alliage métallique B
Le titre est donc une fraction massique (une concentration massique)
SEGREGATION d'un ALLIAGE
c'est une hétérogénéité chimique dans un alliage solide, résultant d'une solidification obtenue dans les conditions de diffusion imparfaite
SUPERALLIAGE
c'est un alliage ayant de bonnes performances mécaniques et chimiques à haute température, généralement à base de métaux magnétiques (fer,chrome,nickel)
-appui en résistance des matériaux
En résistance des matériaux, un appui est le point de contact entre deux corps
-appui simple: le point d’appui du corps reste dans un plan fixe; les échanges de forces se font sur la normale de contact –les frottements sont négligés--
-rotule: l’appui est cylindrique et les forces agissent sur une portion du cylindre rotulaire (la rotation est possible)
-encastrement: l'appui est verrouillé (ni translation, ni rotation)
Une travée est la distance entre 2 appuis
-arc autoporteur
La notion d'arc autoporteur est bien représentée par un empilement d'une succession de 1 brique, chacune posée à plat et coaxiale avec chaque suivante supérieure et dont chaque étage est décalé en léger surplomb
Si 2 empilements symétriques identiques sont construits face à face, ils se rejoignent, forment un arc autoporteur et la brique de raccordement en haut est la clé de voûte
Pour assurer une stabilité, les décalages des centres de gravité des n briques élémentaires de chaque partie doivent -en partant de ladite clé- répondre à une disposition en série harmonique :
(1/2)Σ(1/n)= 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8.....
-cohésion des solides
COHÉSION désigne l'ensemble des forces (attractives ou répulsives) explicitant une liaison intermoléculaire.
Voir aussi chapitre "ordre"
FORCES INTERACTIVES de LIAISON
Elles sont dues aux polarisations électriques (très fortes pour un solide -qui ne s'écrase que sous des efforts importants- )
Ces forces ne sont pas très persistantes pour un liquide -qui donc l'autorisent à couler-et sont très ténues pour un gaz, qui s'autorise ainsi à occuper tout le volume offert
Les forces attractives sont mesurables sous fonction de leur (distance moyenne à la puissance 6) et sont d'autant plus fortes que la déformabilité est plus grande
Près de l’ébullition, l’éloignement moléculaire devient grand (c’est à dire > 10-6m), la cohésion est faible
ÉNERGIES
-énergie de cohésion moléculaire (dite aussi de cohésion intramoléculaire ou moléculaire d'atomisation)
C'est l'énergie nécessaire pour retrouver (séparation) une structure en atomes constitutifs
Valeurs pratiques de cohésion moléculaire (en KJ/mol):
N-Cl (200)-- Cl-Cl (242)--C-O (358)--C-H-Cl3 (392)--C-H (413)--
C2-H6 (423)--C-H4 (439)--O-H (461)--O=O (498)--C-N-H (528)--
-énergie de cohésion du solide
Elle est due aux forces de Van der Waals, vues au chapitre Adhérence.
Il s’agit de forces au niveau d’un atome (ou molécule) créées par sa déformation, même aux énergies les plus basses (proches du 0°K)
-énergie de cohésion en sublimation (lors de la transformation d’un solide en gaz)
E1= E2+ E3+ E4
E1(J)= énergie de cohésion (Van der Waals)
E2(J)= énergie de Madelung (attraction newtonienne entre les ions du solide-cristal par exemple)
E3(J)= énergie répulsive due aux charges électriques identiques
E4(J)= énergie due au principe d’exclusion de Pauli
-cristaux
DEFINITION
Un cristal est un corps dont la constitution chimique est stable, régulière et répétitive dans ses axes atomiques géométriques (au contraire d’un solide amorphe, où les éléments constitutifs ne sont ni réguliers, ni périodiques)
Un quasi-cristal est un cristal présentant quelques irrégularités structurelles
Voir aussi chapitre "ordre"
STRUCTURE DES CRISTAUX
Les cristaux peuvent être moléculaires (les gaz par ex.) et chaque cristal est un empilement de molécules
Ou bien être macromoléculaires (C,Si, sels....) et alors chaque molécule est un cristal
Elle résulte de la disposition en réseau tétraédrique des atomes constitutifs (ces tétraèdres sont nommés "cellules").
Le réseau peut être >>>
-réseau simple (mailles élémentaires, où les atomes ne sont qu’aux sommets de chaque tétraèdre)
-réseau centré, s’il y a en outre un atome au centre du tétraèdre d’une maille
-réseau à faces centrées, s’il y a des atomes au centre de certaines faces du tétraèdre
-réseau intrinsèque si les noyaux des atomes sont disposés aux nœuds du réseau
On nomme plan réticulaire un plan incluant plusieurs plans de symétries des tétraèdres (il peut être parallèle aux faces ou au contraire diagonal)
Cette structure dépend de la distance (dite constante de réseau) entre les centres des atomes et les angles entre les axes du réseau
Il y a 32 "Classes cristallines", correspondant aux divers cas de symétries ponctuelles des cristaux
Les variations dimensionnelles des mailles conduisent à définir 14 types de tétraèdres de Bravais, qui se ramènent en pratique aux
7 types de cristallisation ci-après (car les variantes avec atomes centrés gardent alors même appellation):
-Cubique: les 3 côtés du tétraèdre sont égaux -Les 3 angles de ses sommets sont droits (90°)
-Hexagonale: 2 côtés du tétraèdre sont égaux, mais différents du 3°-Deux angles aux sommets sont droits, le 3° est de 120°
-Monoclinique: les 3 côtés du tétraèdre sont différents -Deux angles aux sommets sont droits, le 3° est différent
-Orthorhombique: les 3 côtés du tétraèdre sont différents -Les 3 angles de ses sommets sont droits (90°)
-Quadratique (ou tétragonal): 2 côtés du tétraèdre sont égaux, mais différents du 3°-Les 3 angles de ses sommets sont droits(90°)
-Rhomboédrique: les 3 côtés du tétraèdre sont égaux -Les 3 angles aux sommets sont différents de 90°
-Triclinique: les 3 côtés du tétraèdre sont différents -Les 3 angles aux sommets sont différents
Valeurs pratiques des constantes de réseau (c’est à dire les côtés du tétraèdre), pour des sels usuels cristallisés >>> de 3 à 6.10-10 m
Les corps cristallins peuvent être des versions de métaux, de non-métaux, de sels, de roches, de gaz, de molécules organiques...
-le paramètre d'ordre est la notion précisant l'arrangement volumique des molécules dans un réseau cristallin (dimension d'une masse volumique)
FAMILLES de CRISTAUX
On donne des appellations particulières aux cristaux en fonction des caractéristiques et anomalies distributives de leurs atomes
-cristal intrinsèque = qui ne présente pas d’impuretés
-monocristal = cristal parfait dont la totalité est structurellement régulière, symétrique et répétitive
-polycristal = association de plusieurs petits monocristaux (dits grains) dans un même solide
-cristal disloqué = résultant de la translation d’éléments plans du réseau cristallin.
Le vecteur de la contrainte résultant de cette translation se dénomme vecteur de Burgers et est sensible à partir de 104 N/m²(soit 10-2 MPa)
-cristal lacunaire = quand un (ou plusieurs) atomes manquent dans la structure normale du cristal
L’énergie de formation d’une lacune est alors E = -k.T.log(h*l/ h*v)
E(J)= ladite énergie
k(J/K)= constante de Boltzmann (1,3806503. 10-23 J / K)
T(K)= température absolue
h*v(part-m-3)= densité particulaire volumique
h*l(lac-m-3)= densité lacunaire volumique
Les valeurs pratiques du rapport (h*l / h*v) vont de 10-17 (à 30°K) jusqu’à 10-5 (à 1000°K )
-cristal à substitution atomique = on trouve alors soit des atomes de nature différente, soit des adjonctions d’atomes dans des interstices, soit des impuretés
-cristal à défauts ioniques = certains points du réseau sont occupés par des électrons, ions ou trous (d’où perturbations des qualités physiques, optiques, électriques du cristal)
-fullerène = cristal allotropique de carbone, dont les atomes sont disposés sous forme de polyèdres pentagonaux et hexagonaux.
La forme globale est quasi-sphérique (telle un ballon de foot-ball)
On connaît actuellement les modèles C60, C70, C76, C78, C80
Ces matériaux ont des propriétés optiques et électroniques particulières
-graphène = seul cristal d'épaisseur réduite à 1 atome ; on peut se le représenter comme un filet à mailles hexagonales d'épaisseur 10-10 m.
Il est donc bidimensionnel et plusieurs de ses couches superposées forment le graphite.
LIAISONS CRISTALLINES (aspect microscopique)
-les liaisons cristallines sont celles vues au chapitre Adhérence, c'est à dire
-a)) liaison ionique (ou hétéropolaire) , quand le cristal possède des ions à charges électriques opposées et telles que leur attraction coulombienne y provoque leur liaison. L’énergie El de cette liaison est de l’ordre de 12 eV par atome (soit 2.# 10-18 Joule) et sa formule de calcul est
Ez = Q².K1/ ε .Ω.l
Ez(J)= énergie de liaison
Q(C)= charge électrique
K1(nombre)= constante dite de Madelung
Ω(sr)= angle solide dans lequel s’effectue l’attraction (4p sr si l’on est en système d’unités S.I.+)
ε(F/m-sr)= constante diélectrique ambiante
La présente constante de Madelung K1 est égale au rapport moyen entre la distance d’un ion proche et la distance d’un ion lointain.
Sa valeur moyenne mnémotechnique : K1# 1,732 (racine de 3) mais pour certains corps (comme ZnS) elle peut atteindre 5
S’il y a au contraire des ions de même polarité et proches, il y a répulsion: le cristal devient isolant à basse température
-b)) liaison dite métallique, si le cristal a des ions + autour desquels gravite (pour chacun) un électron périphérique se liant aux atomes voisins
leur liaison assure une bonne cohésion (cas des métaux) L’énergie de liaison El est de l’ordre de 3 eV par atome (soit # 5.10-19 Joule)
-c)) la liaison est dite covalente (ou homopolaire) si le cristal a des atomes de valence pouvant compléter des couches électroniques avec atomes voisins. L’énergie de liaison El est ici de l’ordre de 5 eV par atome (cas des corps organiques)
-d)) la liaison est dite de Van der Waals pour la partie résultant des forces newtoniennes attractives entre les atomes ou molécules constitutifs du cristal et leur mouvement rotatif est sensible jusqu’aux limites du 0°K absolu
Nota : il y a fréquemment (dans les réseaux cristallins) coexistence de plusieurs types de liaisons (Van der Waals, métalliques, ioniques...)
-l'épitaxie est un phénomène d’adaptation mutuelle entre deux cristaux de substances différentes, mais qui, à leur interface, présentent des dispositions atomiques analogues. D’où, avec une forte élévation de température, la possibilité de déposer une couche très mince d’un matériau sur un autre
Il y a alors croissance d’un cristal sur lequel d’autres cristaux viennent se déposer (en général sous directions privilégiées) (Ex: les semi-conducteurs)
COHESION des CRISTAUX
-cohésion du solide
Elle est due aux forces de Van der Waals, ci-dessus
-dislocation des cristaux: phénomène de déplacement des plans réticulaires (suivant des lignes de dislocations) C'est un phénomène de transmission d'une onde transversale, créant décollement sinusoïdal de la trame du réseau
-élasticité des cristaux
On utilise usuellement la constante élastique moléculaire qui est une constante élastique ramenée à une quantité de matière
Equation aux dimensions : M.T-2.N-1 Symbole de désignation : ð*
Unité S.I.+ : kg/mol-s²
ð* = lp.nY / q
avec nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinale
lp(m)= pas du réseau cristallin
q(mol)= quantité de matière dans une cellule du réseau
Σð * = m’a.dl / (Δl.dt²)
Σð*(kg/s²-mol)= somme des constantes élastiques moléculaires des cellules du réseau
m’a(kg/mol)= masse atomique du corps
l(m)= élongation du plan réticulaire
Δl(m)= différence d’élongation entre plan réticulaire et plan situé à un pas lp plus loin
t(s)= temps
-transitions de PHASE des cristaux
Les cristaux peuvent présenter des transitions de PHASE en fonction de variations de pression, de volume ou de composition (pour mélanges) et cela implique parfois l’action de catalyseurs
-Transitions solide-solide
Ex: pour pressions allant jusqu’à 109 Pa: l’eau présente 5 PHASES solides (des glaces) et le carbone 4 PHASES solides (graphite, diamant, fullerènes, métal)
-Transitions solide-liquide
Matériaux présentant (sous intervention électrique) une situation de mésophase (ils sont mésomorphes)
Un cristal liquide peut alternativement passer d’une PHASE solide à une PHASE-liquide (dite nématique) à des températures mutuellement très voisines
On distingue :
-les cristaux liquides nématiques (leurs molécules ont une
orientation constante et les centres de gravité des points du réseau
sont répartis aléatoirement)
-les cristaux liquides smectiques (molécules parallèles et c.d.g. des points du réseau en déplacement parallèles à 2.10-10 m)
Ils sont très biréfringents (10 à 40 fois plus que les autres cristaux)
-les cristaux cholestériques (direction aléatoire des molécules) -ont un très fort pouvoir rotatoire-
Les alliages à mémoire de forme: alliage (métal + autre corps) présentent une transition de PHASE dite martensitique, c’est à dire qui subit une trempe.
Ils sont superélastiques et superamortisseurs et ils ont de très forts coefficients de dilatation avec anisotropie.
-Rappels: -une transformation allotropique concerne un matériau
qui prend une autre forme physique, sans changer sa formule chimique
-une transformation mésomorphique (mésophase) concerne un matériau cristallin qui tend vers une structure amorphe
ÉNERGIE dans un CRISTAL
E = ∫0∞h.i*k.k*.dω
où E (J)= énergie interne d'un cristal
h = Dirac h (= 1,0545716.10-34 Js/rad)
k*(nombre)= fonction de distribution de Bose-Einstein
i*k(nombre)= densité d'état de vibrations
ω(rad/s)= vitesse angulaire
Dans les liaisons entre éléments constitutifs des solides, pour la partie résultant des forces newtoniennes attractives entre les atomes ou molécules constitutifs, l'énergie de liaison est donnée par la loi de Van der Waals
Ez = [Ω.c² / Z*] / nt.[K2 / l6 + K3 / l12]
Ez(J)= énergie de liaison
Z*(m²/ kg-s) = inertance
c(m/s)= constante d'Einstein(2,99792458 .108 m/s)
Ω(sr)= angle solide dans lequel s’effectue le phénomène(en général Ω est l’espace entier, soit 4∏ sr pour les systèmes d’unités qui, a comme unité d’angle le stéradian)
nt(m²/s)= coefficient de diffusivité d’Einstein
l(m)= constante de réseau
K2= coefficient de Van der Waals, dimensionnel en l-6
K3= coefficient de Lennard-Jones, dimensionnel en l-12
En application pratique, comme l # 10-10 et K2 # 10-77 Ez est # 10-17J(soit 100 eV)
CRISTAUX SOUMIS à l'ÉLECTROMAGNÉTISME
-aimantation des cristaux
L’aimantation M n’est pas isotrope dans ces corps (il y a orientation préférentielle des particules)
L’énergie d’aimantation (en J) est
E = η'.M = M.Mk / Ω
η'(Wb-m)= moment magnétique inducteur spatial
Mk(Wb-m-sr)= moment magnétique inducteur
Ω(sr)= angle solide où s’exerce le phénomène (en général Ω est l’espace entier, soit 4 pi sr pour les systèmes d’unités qui,comme le S.I.+,ont comme unité d’angle le stéradian)
L’anisotropie (qui exprime des différences qualitatives selon les directions) est usuelle dans les cristaux - dans les 3 directions orthogonales usuellement normées-
Elle provoque des distorsions de l'énergie E telles que :
Ex = M.(Kx.η') sur l’axe des x ou Ey = M.(Ky.η') sur l’axe des y
ou Ez = M.(Kz.η') sur l’axe des z
Les coefficients Kx,y,z sont les coefficients directeurs du champ par rapport aux axes du réseau cristallin, qui restent variables avec la température
On les nomme aussi coefficients anisotropiques d'aimantation.Ils sont variables avec la température et ont des valeurs de l'ordre de -200 à +100
-champ électrique dans un matériau cristallin
Les dipôles présents dans un réseau cristallin impliquent un champ d’induction électrique qui est, en chaque point :
E = (3l.Mé).l - Mé.l²) / ε.Ω.l5
E(V/m)= champ d’induction électrique d’origine dipolaire
l(m)= distance du point au dipôle
Mé(C-m)= moment électrique coulombien
Ω(sr)= angle solide dans lequel s’effectue le phénomène (en général Ω est l’espace entier, soit 4pi sr pour les systèmes d’unités ayant comme unité d’angle le stéradian)
ε(F/m-sr)= permittivité du milieu
E crée la polarisation des atomes du réseau (qui est σ = E.χ.ε)
χ (sr)étant la susceptibilité
-courant dans cristaux
Les cristaux (en particuliers les oxydes cristallins) sont normalement isolants.Mais s'ils présentent des défauts ponctuels de structure, ils deviennent siège de courant électrique dont les causes peuvent être la variation de potentiel électrostatique, ou la variation de potentiel chimique ou la variation d'agitation thermique
La loi de Nernst-Einstein exprime la vitesse de déplacement des charges en régime stationnaire dans les cristaux
v = nd.F / k.T
avec v(m/s)= vitesse de déplacement
nd(m²/s)= coefficient de diffusivité dans le cristal
F(N)= force électrostatique
k(J/K)= constante de Boltzmann
T(K)= température absolue
-conductivité électrique d'un cristal
σ' = nd.n².e² / k.T.V
où σ' (S/m)= conductivité locale
nd(m²/s)= constante de diffusion dans le cristal
n = nombre de charges élémentaires e(C)
k(J/K)= constante de Boltzmann
T(K)= température absolue
V(m3)= volume concerné
-élancement
Pour un objet prismatique, l'élancement est le rapport entre 2 de ses dimensions normales soit >> yl = lv / lg
avec yl(nombre)= élancement
lv(m)= longueur libre de flambage
lg(m)= rayon de giration (minimum de la section transversale de l’objet) , qui est = (I / m)1/2
I(kg-m²)= moment d’inertie par rapport à l’axe
m(kg) la masse
RELATION ENTRE ÉLANCEMENT et MOMENT d’INERTIE QUADRATIQUE
yl = l.(S / Iq)1/2
avec yl(nombre)= élancement
Iq(m4)= moment quadratique de la section droite S(m²) d’un poteau
l(m)= longueur du poteau
-état structurel d'un matériau
ETAT de CRISTAL
C'est l'état d'un corps dont la constitution chimique est stable, régulière et répétitive dans ses axes géométriques . Voir § spécial
ETATS de TROPIE
L’allotropie est la propriété d'un matériau présentant des formes différentes (cristallines ou non) avec des qualités physico-chimiques différentes dans chacune desdites formes
(Ex : le carbone)
L’anisotropie concerne un matériau dont les qualités physiques varient avec la direction
ETATS de MORPHISME
L’état amorphe concerne un matériau n’ayant pas de structure ordonnée (au contraire d’un cristal)
C'est le cas des liquides, des verres, des élastomères (polymères déformables), des bandes de cisaillement-quand un solide soumis à contraintes présente des zones de cisaillement-
L'isomorphisme concerne 2 cristaux à chimie similaire et à cristallisation de même symétrie
Le polymorphisme concerne 2 corps qui ont même nature chimique, mais présentant des formes cristallines différentes
Le mésomorphisme est la qualité d’un matériau intermédiaire entre cristal et amorphe
Cette transformation se fait pendant une "mésophase"
Le métamorphisme est -suite à élévation de température- la variation chimique et cristalline d'un matériau (rocheux en général)
ETATS de "MÉRIE"
Un isomère est un matériau identique à un autre de même formule chimique, mais dont la disposition moléculaire est géométriquement différente
Un monomère est un matériau dont la molécule (simple, dite Unité moléculaire) est susceptible de polymériser (Ex: l’éthylène)
Un polymère est un matériau allotropique macromoléculaire résultant de l’union de molécules organiques monomères identiques
Les polymères sont de basse densité, résistants, isolants, à liaison covalente
On distingue dans les polymères: les linéaires (molécules en ligne ou en chaîne), les "en grappe" (molécules en disposition spatiale), les élastomères (grande élasticité), les duromères (mailles serrées, durs et inélastiques), les thermodurcissables (durcissement irréversible), les thermo-plastiques (fusions et solidifications successives laissent le matériau similaire à lui-même)
Certains polymères peuvent devenir des quasi-cristaux
-La valeur de la masse molaire m’p d’un polymère est fonction du nombre n de ses composants moléculaires, dit "degré de polymérisation":
m’p= n.m’m (m’m étant la masse moléculaire du monomère)
La Relaxation d’un polymère est la décroissance de sa déformation dans le temps, après cessation de la charge appliquée :
y = l T / l 0 = p t(1 + e-x) / nY
où y(nombre)= relaxation (ou dilatabilité linéique) = (lT / l0)
lT(m)= longueur atteinte, suite à variation (faible) de température ?T(K)
l0(m)= longueur initiale (à température initiale)
pt(Pa)= tension mécanique
nY(Pa)= module de Young (d’élasticité)
x(exposant)= - t/ travec t(s)= temps et tr(s)= temps de relaxation
La Sonication est la casse d'un polymère en segments unitaires
ETAT VITREUX
Les matériaux qui ne cristallisent pas quand ils passent de l'état liquide à solide sont dits vitreux (en référence au verre). Ils sont alors amorphes (aucun ordre dans la disposition moléculaire)
-foisonnement
Le foisonnement est l'augmentation de volume d'un matériau solide, quand on insuffle un fluide à l'intérieur (air, eau, pétrole...)
On le mesure avec le coefficient de foisonnement qui est le pourcentage exprimant cette augmentation
Exemple >>> le coefficient de foisonnement d'un terrassement peut être de 20%
-forces internes en un solide
Les diverses forces internes d'un quelconque corps solide sont :
-les forces de cohésion
Elles s’exercent entre les éléments constitutifs du solide ;leur résultante est nulle et leur rôle est de maintenir la structure fixée, même sous la présence de forces externes
-les forces d’inertie
Elles affectent une masse invariable insérée dans un référentiel possédant une certaine accélération
Elles s’opposent au déplacement (elles sont donc de sens opposé à l’accélération dudit déplacement) –
Les forces centrifuge et de Coriolis sont des forces d'inertie
-les forces d'interactions (newtonienne, coulombienne, forte et faible)
Voir chapitre spécial
-les forces de valence (liaisons) : elles expliquent la rigidité et l’impénétrabilité des corps
Il s’agit de forces au niveau moléculaire, créées par une déformation, même aux énergies les plus basses (proche du 0°K)
Ces forces sont mesurables en fonction de la puissance 6 de leur distance moyenne et sont d'autant plus fortes que la déformabilité est plus grande
-formes de profilés
Les profilés industriels, concernant les métaux de construction, sont des éléments longilignes dont la section est de forme géométrique simple :
On trouve surtout des plats, des ronds, des tubes, des carrés, des T (avec ailes égales ou inégales), des H (dont HPN et HE) des I (IPE, IPN et IFB) des U (UPE et UPN), des L (cornières, à ailes égales ou non)
-ligne moyenne
En résistance des matériaux, la ligne moyenne pour une poutre est le lieu des centres de gravité de chacune de ses sections
La flèche pour une poutre prismatique en flexion, est la hauteur maximale d'affaissement de la ligne moyenne
Une fibre est une parallèle à la ligne moyenne
- 1
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