FORMULES de PHYSIQUE
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FORMULES-PHYSIQUE en RÉSISTANCE des MATÉRIAUX
-action de la chaleur
L'augmentation de chaleur provoque une dilatation (augmentation des dimensions géométriques d’un corps) .On distingue les notions suivantes :
LA DILATABILITE
C'est la variation d'une ou de plusieurs coordonnées d'un corps (en général sous l'action de la chaleur)
La dilatabilité linéique est dl (variation de longueur, dite élongation)
La dilatabilité surfacique est dS (variation de surface)
La dilatabilité volumique est dV (variation de volume)
LA DILATATION
C'est la dilatabilité ramenée à la grandeur dilatée
La dilatation linéique est dl / l (variation de longueur ramenée à la longueur, dite allongement relatif)
La dilatation surfacique est dS / S (variation de surface ramenée à la surface)
La dilatation volumique est dV (variation de volume ramenée au volume)
Le Plutonium est le plus dilatable des métaux (6.10-5 à 200° K)
LES COEFFICIENTS de VARIATION ISOBARE
Ils expriment la variation de géométrie d’un corps par rapport à l'évolution de température (dimension Θ-1)
A l'usage, il faut bien préciser que ce coefficient de dilatation est isobare, c'est à dire à pression constante (car il en existe un autre: coefficient de dilatation isotherme, à température constante, mais qui n’est pas de mise ici)
Le coefficient de dilatation isobare linéique (concernant une seule direction)
Les équations d’état des gaz, liquides et solides expriment des relations entre leurs dimensions géométriques, leurs pressions et leurs températures
La définition ici est celle de la variation d’une seule dimension géométrique (donc une longueur -cas des corps longilignes) et on détermine un coefficient de variation linéique isobare (αl) qui représente la variation de longueur en fonction de la longueur initiale et de la température
La formule usuelle -où n’est retenu que le premier terme du viriel exprimant l’impact de la température- est : lT= l0(1 + αl.dT )
lT(m)= longueur atteinte, suite à variation (faible) de température dT(K)
l0(m)= longueur initiale (à température initiale)
αl (K-1)= coefficient de dilatation linéique (isobare)
Valeurs pratiques de αl (en 10-5 K-1 et pour une température de 25°C)
Métaux >>> Al(2,3)--Ag(1,9)--Cd(3,1)--Cr(0,5)--Co(1,3)--Cu(1,7)--Sn(2,2)--Fe(1,2)--
Li(4,6)--Mg(2,5)--Ni(1,3)-- Au(1,4)--Pt(0,9)--Pb(2,9)--Ta(0,6)-- Ti(0,9)--W(0,4)--U(1,4)--Zn(3)
Matériaux >>> Bois(0,3)--Pierres et assimilés(0,6 à 1,1)--Verre(0,8 mais 15 fois plus pour des verres au sodocalcium)--Acier(1,2 à 1,6)-- Béton(1,2)---Bronze(1,8)--Polystyrène(7)--Eau, caoutchouc(20)-- Semi-conducteurs(2000)
Nota : en application pratique, la variation de hauteur de la tour Eiffel est de 1 centimètre par degré de température
Le coefficient de variation surfacique isobare (concernant 2 directions ou coordonnées)
C'est αs= dS/(S . dT)(en K-1) il est similaire au coefficient linéique, mais applicable aux surfaces et vaut 2 fois le coefficient linéique αl .
-Les valeurs pratiques(de αs) pour les solides vont de 2.10-7 à -5 K-1
Le coefficient de variation volumique isobare (concernant trois directions)
Identiquement à ci-dessus, on a des variations de volume avec la température -à pression constante-, permettant de définir un coefficient de variation volumique (ou cubique) isobare (αv) qui représente une variation du volume (dV) par rapport au volume initial et à la température, soit :
αv= dV / (Vo.dT)(en K-1) et qui vaut 3 fois le coefficient linéique αl (vu ci-avant)
Pour les solides, αv vaut : ( 0,2 à 8).10-5 K-1
Exemples : verre(1 à 2)--C(0,2)--quartz(5)--métaux ferreux(1 à 2)-- nylon(3)--laiton(2)--
Pour un solide anisotrope, αv varie selon la direction: on corrige avec des coefficients linéiques directionnels ( > 1 ou < 1)
--si dV < 0, c’est un coefficient de contraction volumique isobare αv (même dimension, mais négatif, car on compresse au lieu de dilater) Il peut être aussi nommé coefficient de compression
Le coefficient d'expansion volumétrique est le rapport entre (volume final) et (volume initial)
LA RELAXATION
C'est le retour (lentement, avec une sorte de viscosité) d'une situation de dilatation vers une situation de repos (non dilatée)
-action et réaction (principe)
Le principe d'ACTION et REACTION
On est ici en mécanique et les mots action et réaction sous-tendent des notions de FORCES
PRINCIPE >> Pour qu’un corps A en contact avec un corps B soit à chaque instant en équilibre, il faut que la force avec laquelle A agit sur B soit compensée par une force de réaction de B sur A, égale et opposée soit (FA >B = FB >A)
-adhérence
L’adhérence (parfois nommée adhésion) exprime la notion d’attraction entre molécules de corps différents, donc d’opposition à leur séparation
La cohésion est la même notion, mais elle concerne les molécules d’un même corps
Au niveau atomique ou moléculaire, il y a 4 forces de liaisons en cause pour créer l'adhérence.
Elles sont dites agrégatives et leurs destructions sont nommées "changement d’état"
LIAISONS IONIQUES ou LIAISONS HÉTÉROPOLAIRES
Pour les corps possèdant des ions à charges électriques opposées, leur attraction coulombienne en provoque la liaison.L’énergie El de cette liaison est de l’ordre de 12 eV (soit # 2.10-18 Joule) par atome et la formule de son évaluation est Ez = Q².K1/ Ω. ε.l
avec Ez(J)= énergie de liaison
Q(C)= charge électrique
K1(nombre)= constante dite de Madelung
Ω(sr)= angle solide dans lequel s’effectue l’attraction (vaut 4 pi sr si l’on est en système d’unités S.I.+)
ε(F/m-sr)= constante diélectrique ambiante
La constante de Madelung est égale (pour un ion donné) au rapport moyen entre la distance d’un ion proche et la distance d’un ion lointain.
Sa valeur approximative mnémotechnique : K1 # 1,732 (racine de 3) mais exceptionnellement elle peut être plus forte pour certains corps
LIAISONS MÉTALLIQUES
Pour les métaux, l’énergie oscille entre 10-1 et 10+1 eV (soit # 10-20 à -18 J) par atome
LIAISONS COVALENTES ou HOMOPOLAIRES
Pour les corps ayant des atomes de valence pouvant compléter des couches électroniques chez des atomes voisins >>>
l’énergie de liaison El est ici de l’ordre de 5 eV par atome (cas des corps organiques)
LIAISONS DITES « FORCES de VAN DER WAALS"
Pour la partie provenant des forces newtoniennes attractives entre les atomes (ou molécules) constitutifs du corps , leur mouvement est rotatif.
Les liaisons sont sensibles jusqu’aux limites du 0°K absolu
Cette énergie de liaison est Ez= [Ω.c²/ Z*] / νt.[K2 / l6+ K3 / l12]
avec Ez(J)= énergie de liaison
Z*(m²/ kg-s) = inertance
c(m/s)= constante d'Einstein (2,99792458 .108 m/s)
Ω(sr)= angle solide dans lequel s’effectue le phénomène(en général Ω est l’espace entier, soit 4p sr pour les systèmes d’unités qui, comme le S.I.+, a comme unité d’angle le stéradian)
νt(m²/s)= constante de diffusion d’Einstein
l(m)= constante de réseau
K2= coefficient de Van der Waals, dimensionnel en l-6
K3= coefficient de Lennard-Jones, dimensionnel en l-12
En application pratique, comme l # 10-10 et K2 # 10-77
Ez est # 10-17J (soit 100 eV)
ADHÉRENCE ENTRE DES SOLIDES
On considère surtout l’énergie surfacique W'h qu’il faut fournir pour vaincre ces liaisons
Pour des objets en simple contact W'h # 10-3J/m²
et pour des corps en liaison covalente W'h # 10 J/m²
Nota: la chaleur (qui est un apport d’énergie), cause des mouvements particulaires dans les corps et détruit l’adhérence
Le coefficient d’adhérence inter-solides est équivalent au coefficient de frottement.
Exemple du coefficient d’adhérence des pneus de voiture sur la route :
il est égal à (0,8 à 0,9) pour sol sec--(0,4 à 0,6) pour un sol humide--(0,1 à 0,3) pour un sol verglacé.
On utilise aussi la notion d'adhérence surfacique entre 2 solides (c'est à dire une pression)
Exemple d'adhérence d'une colle standard : 5.106 Pa (soit # 50 kgp/cm²)
-agglomérat et agrégat
Un AGREGAT (notion de mécanique des sols) est un ensemble de particules solides associées rigidement, incluant éventuellement des éléments bios
Un AGGLOMERAT est un cas particulier d'agrégat, avec des liaisons mécaniques assez faibles, permettant une possible dispersion des constituants
-alliage
Un alliage est un mélange issu de la fusion de >>
Métal + Autre corps (métal on non)
-cas de (2 métaux) = mélange eutectique (composition hétérogène des cristaux des 2 composants, avec température de fusion déterminée, dite eutexie)
-cas de (cristaux mixtes) = mélange en toutes proportions des 2 métaux
-cas de (métal + autre corps à mémoire de forme)= après changement de température, il y a une tendance à la superélasticité
Les alliages à mémoire de forme présentent une transition de PHASE dite "martensitique", c’est à dire qui subit une trempe. Ils sont superélastiques et superamortisseurs et ils ont de très forts coefficients de dilatation avec anisotropie.
TITRE d'un ALLIAGE
Le titre d'un alliage est yn = mA / mB
c'est à dire le pourcentage massique d’un métal A(en général précieux) faisant partie de l’alliage métallique B
Le titre est donc une fraction massique (une concentration massique)
SEGREGATION d'un ALLIAGE
c'est une hétérogénéité chimique dans un alliage solide, résultant d'une solidification obtenue dans des conditions de diffusion imparfaite
SUPERALLIAGE
c'est un alliage ayant de bonnes performances mécaniques et chimiques à haute température, généralement à base de métaux magnétiques (fer, chrome, nickel)
-allongement
L'allongement est l'excédent de longueur acquis par un corps, quand on l'étire dans une certaine direction.Les synonymes sont étirement et extension (Strain en anglais)
Si l0 est la valeur initiale et l1 la valeur finale de la longueur en question:
-- l'allongement est la longueur ajoutée >>> Dl = (l1- l0)
-- l'élongation est la longueur terminale (l1), allongement inclus
-- l'allongement relatif est (Dl / l0) qui est exprimé soit sous forme de rapport, soit en valeur décimale, soit en pourcentage.
Attention: les 2 termes (allongement et élongation) sont souvent mélangés, dans les ouvrages de vulgarisation
L' ALLONGEMENT d'un MATERIAU DEPEND de la FORCE APPLIQUEE
Supposons une traction appliquée sur un matériau prismatique longiligne, peu fragile, isotrope et à T.P.N >>> son allongement dépend de la force de traction, mais de façon évolutive:
-1. il y a d'abord une zone d'élasticité formelle
avec proportionnalité entre allongement et force, et ceci jusqu’à un moment où ce ne sera plus vrai, nommé limite de proportionnalité
La loi de proportionnalité est la loi de Hooke Δl / l0 = F/ S.nY
avec Δl / l0 (nombre)= allongement relatif du corps
F(N)= force de traction
S(m²)= section initiale du corps
nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinale (module de Young)
Cette formule spécifie donc que (dans cette zone), pour une force d'extension (traction) n fois plus forte, un matériau s’allonge n fois plus intensément
-Autre formulation
On peut aussi l'écrire ne= nY.Δl /lo
avec ne(N/m²)= contrainte (d’extension) apparaissant dans un matériau de longueur initiale lo(m)
Δl(m)= allongement provoqué
nY(N/m²)= module de Young
Cas particulier, pour un ressort au repos) :
Δl = F/ W’d
F(N)= force
Δl(m)= allongement
W’d(kg/s²)= dureté du ressort (ou constante de rappel): c’est à dire l’énergie perdue par unité de section du ressort
Cas des matériaux fragiles (fonte, béton, pierres, fils, peaux...)
la loi de Bach et Schule remplace la loi de Hooke Δl / l = K1.(F/ S).K2
avec mêmes notations que ci-dessus et K1 et K2(nombres compris entre 0,5 et 1,5) sont des coefficients tenant compte de la géométrie et de la structure du matériau
-2.il y a ensuite une zone d'élasticité atténuée (proportionnalité moins pérenne entre allongement et force) et cela jusqu’à la limite élastique ou limite d’élasticité, qui est le moment où la contrainte devient dangereuse pour y faire travailler le matériau
-3. puis il y a la zone de plasticité, dans laquelle l'allongement devient bien plus faiblement proportionnel à la force et cela dure jusqu'à la limite de plasticité
-4. vient alors la zone de ductilité, où l’allongement stagne, puis devient encore un peu proportionnel
-5. et survient enfin la zone d'allongement incontrôlé, avant le point de rupture (on peut encore avoir un allongement relatif de 30 à 50 % dans cette zone)
VALEURS de l'ALLONGEMENT RELATIF
sous une tension (F / S) de 107 Pascal (~ 1 kgf par mm²) l'allongement relatif (Dl / l0) atteint les pourcentages suivants >>>
caoutchouc (1100)-- laine (2)-- bois (0,05)-- acier (0,005)
DILATATION
Dans le cas d'un corps soumis à la chaleur, il y a allongement dans la zone d'élasticité, mais les grandeurs en cause changent de noms :
--l'allongement (Dl) est dit dilatation
--l'allongement relatif (Dl / l0) est dit dilatibilité
--l'allongement propre (lT/ l0) [comparatif entre lT la longueur après action de la chaleur et l0 la longueur initiale] est dit dilatation propre
On a (lT/ l0)= (1 + αl.ΔT) où DT(K) = variation de température et αl = coefficient de dilatation, qui, en valeur pratique et exprimée en (K-1) vaut pour les solides de 2.10-7 à -5 K-1
(le Plutonium Pu est le plus dilatable des métaux avec un αl de 6.10-5 à 200° K)
Pour les corps vivants, la dilatation propre (qui est toujours le rapport longueur finale / longueur initiale) est égal à F.t / K.Q' = la force x temps / quantité de mouvement affectée d'un coefficient numérique K exprimant la qualité du tissu (muscle, pelage, os....)
-appui en résistance des matériaux
En résistance des matériaux, un appui est le point de contact entre deux corps
-appui simple: le point d’appui du corps reste dans un plan fixe; les échanges de forces se font sur la normale de contact –les frottements sont négligés--
-rotule: l’appui est cylindrique et les forces agissent sur une portion du cylindre rotulaire (la rotation est possible)
-encastrement: l'appui est verrouillé (ni translation, ni rotation)
Une travée est la distance entre 2 appuis
-arc autoporteur
La notion d'arc autoporteur est bien représentée par un empilement d'une succession de 1 brique, chacune posée à plat et coaxiale avec chaque suivante supérieure et dont chaque étage est décalé en léger surplomb
Si 2 empilements symétriques identiques sont construits face à face, ils se rejoignent, forment un arc autoporteur et la brique de raccordement en haut est la clé de voûte
Pour assurer une stabilité, les décalages des centres de gravité des n briques élémentaires de chaque partie doivent -en partant de ladite clé- répondre à une disposition en série harmonique :
(1/2)Σ(1/n)= 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8.....
-articulation
Une liaison (macroscopique) est un contact entre deux corps solides, permettant le transfert des forces.
Une liaison possède 3 possibilités de translation (selon 3 axes de coordonnées rectangles) et 3 possibilités de rotation (autour de chacun des axes de coordonnées).
Elle est dite articulation dès lors qu'une rotation y est possible
-l'articulation directe est telle que les forces soient transmises parallèlement et perpendiculairement
-l'articulation déportée (bielle de longueur fixe) est telle que les forces soient échangées parallèlement à la direction instantanée de la tige
-l'articulation tridimensionnelle est une rotule, avec comme cas particuliers (le joint à la cardan et la genouillère -ou genou-)
-béton
Les bétons ont les caractéristiques techniques ci-après :
RÉSISTANCE à la COMPRESSION
2 à 10 MPa pour des bétons maigres, 20 à 40 MPa pour les bétons usuels et 10 fois plus pour les bétons spéciaux
-la normalisation des qualités de résistance des bétons est précisée par un indice C(n1 / n2) où n1 est la résistance à 28 jours (mesurée sur un cylindre normalisé) et n2 la résistance à 28 jours aussi, mais mesurée sur un cube normalisé
Il en résulte (en fonction des valeurs de n1 et n2) une échelle de qualités de résistance allant de C8/10 à C150/200 où les différences entre n1 et n2 couvrent une plage de valeurs allant de 2 MPa -la moindre- à 40 MPa -la meilleure-)
MODULE de YOUNG du BÉTON
15 à 42 GPa
COEFFICIENT de POISSON du BÉTON
C'est yP = 0,15 à 0,30
RÉSISTANCE à la TRACTION DU BÉTON
10 à 15% de la résistance à la compression
RÉSISTANCE au CISAILLEMENT
5% de la résistance à la compression
RÉSISTANCE à la FLEXION
Calcul usuel du moment fléchissant, soit :
ns > Mf / Vr où ns(N/m²)= contrainte normale de flexion en sécurité (c'est à dire la limite de travail autorisée)
Mf(N-m)= moment fléchissant des forces que l'on applique
Vr(m3)= module de résistance, qui est lui-même = Iq / lf où Iq(m4)= moment quadratique de la section par rapport à l’axe
et lf(m)= distance entre l’axe et la fibre la plus lointaine
DILATATION du BÉTON
Coefficient de 10-5 (d'où allongement relatif de 2 millièmes pour écart thermique de 20 degrés)
RETRAIT du BETON
2 à 5%
4 à 6%
-câble métallique
CÂBLE MÉTALLIQUE
Un câble métallique est un faisceau de fils métalliques élémentaires, associés en plusieurs groupages torsadés (les torons) eux-mêmes disposés concentriquement sur un support longiligne (l'âme) qui est en général un toron métallique ou végétal)
CÂBLE SUSPENDU
C'est un câble tendu entre 2 points, sans autre autre contrainte que son propre poids (donc seulement soumis à la pesanteur)
Il forme une courbe dite chaînette -ou courbe funiculaire- dont les équations sont
y = h.ch (x/h) et l = h.sh(d/a), avec notations suivantes :
y = ordonnée
h = distance entre le point bas de la chaînette et l'axe des x
ch et sh = cosinus et sinus hyperboliques
x = abscisse
d = demi distance entre les 2 points d'attache du câble
l = longueur du câble
CARACTÉRISTIQUES D'UN CÂBLE
-son diamètre nominal
-sa masse linéique (que les simples praticiens nomment souvent par erreur "poids")
-les résistances (celle des fils, celle du câble entier et celle à la fatigue)
-les forces de rupture (d'une part l'effective - c'est à dire celle de la rupture réelle, et d'autre part la minimale, c'est à dire celle qui permet l'usage sécuritaire utilisable en pratique)
Exemples (ordres de grandeur) de force à la rupture sécuritaire
(en kgp, soit # décaNewton) pour câbles en acier de résistance # de 1.800 N/mm²
-diamètre de 3mm >>> 550 à 650
-diamètre de 6mm >>> 2.300 à 2.600
-diamètre de 10mm >>> 5.000 à 6.000
-diamètre de 12mm >>> 8.500 à 9.500
-diamètre de 16mm >>> 15.000 à 17.000
-diamètre de 24mm >>> 30.000 à 40.000
-diamètre de 30mm >>> 50.000 à 60.000
-diamètre de 40mm >>> 95.000 à 105.000
diamètre de 50mm >>> 160.000 kgp