FORMULES PHYSIQUE-RÉSISTANCE des MATÉRIAUX

   Copyright Formules-physique ©

-action de la chaleur

L'augmentation de chaleur provoque une dilatation (augmentation des dimensions géométriques d’un corps) .On distingue les notions suivantes :

 

LA DILATABILITE

C'est la variation d'une ou de plusieurs coordonnées d'un corps (en général sous l'action de la chaleur)

La dilatabilité linéique est dl (variation de longueur, dite élongation)

La dilatabilité surfacique est dS (variation de surface)

La dilatabilité volumique est dV (variation de volume)

 

LA DILATATION

C'est la dilatabilité ramenée à la grandeur dilatée

La dilatation linéique est dl / l (variation de longueur ramenée à la longueur, dite allongement ou parfois allongement relatif)

La dilatation surfacique est dS / S (variation de surface ramenée à la surface)

La dilatation volumique est dV (variation de volume ramenée au volume)

Le Plutonium est le plus dilatable des métaux (6.10-5 à 200° K)

 

LES COEFFICIENTS de VARIATION ISOBARE

Ils expriment la variation de géométrie d’un corps par rapport à l'évolution de température (dimension Θ-1)

A l'usage, il faut bien préciser que ce coefficient de dilatation est isobare, c'est à dire à pression constante (car il en existe un autre: coefficient de dilatation isotherme, à température constante, mais qui n’est pas de mise ici)

Le coefficient de dilatation isobare linéique (concernant une seule direction)

Les équations d’état des gaz, liquides et solides expriment des relations entre leurs dimensions géométriques, leurs pressions et leurs températures

La définition ici est celle de la variation d’une seule dimension géométrique (donc une longueur -cas des corps longilignes) et on détermine un coefficient de variation linéique isobare (αl) qui représente la variation de longueur en fonction de la longueur initiale et de la température

La formule usuelle -où n’est retenu que le premier terme du viriel exprimant l’impact de la température- est : lT= l0(1 + αl.dT )

lT(m)= longueur atteinte, suite à variation (faible) de température dT(K)

l0(m)= longueur initiale (à température initiale)

αl (K-1)= coefficient de dilatation linéique (isobare)

Valeurs pratiques de αl (en 10-5 K-1 et pour une température de 25°C)

Métaux >>> Al(2,3)--Ag(1,9)--Cd(3,1)--Cr(0,5)--Co(1,3)--Cu(1,7)--Sn(2,2)--Fe(1,2)--

Li(4,6)--Mg(2,5)--Ni(1,3)-- Au(1,4)--Pt(0,9)--Pb(2,9)--Ta(0,6)-- Ti(0,9)--W(0,4)--U(1,4)--Zn(3)

Matériaux >>> Bois(0,3)--Pierres et assimilés(0,6 à 1,1)--Verre(0,8 mais 15 fois plus pour des verres au sodocalcium)--Acier(1,2 à 1,6)-- Béton(1,2)---Bronze(1,8)--Polystyrène(7)--Eau, caoutchouc(20)-- Semi-conducteurs(2000)

Nota : en application pratique, la variation de hauteur de la tour Eiffel est de 1 centimètre par degré de température

Le coefficient de variation surfacique isobare (concernant 2 directions ou coordonnées)

C'est αs= dS/(S . dT)(en K-1) il est similaire au coefficient linéique, mais applicable aux surfaces et vaut 2 fois le coefficient linéique αl .

-Les valeurs pratiques(de αs) pour les solides vont de 2.10-7 à -5 K-1

Le coefficient de variation volumique isobare (concernant trois directions)

Identiquement à ci-dessus, on a des variations de volume avec la température -à pression constante-, permettant de définir un coefficient de variation volumique (ou cubique) isobare (αv) qui représente une variation du volume (dV) par rapport au volume initial et à la température, soit :

αv= dV / (Vo.dT)(en K-1) et qui vaut 3 fois le coefficient linéique αl (vu ci-avant)

Pour les solides, αv vaut : ( 0,2 à 8).10-5 K-1

Exemples : verre(1 à 2)--C(0,2)--quartz(5)--métaux ferreux(1 à 2)-- nylon(3)--laiton(2)--

Pour un solide anisotrope, αv varie selon la direction: on corrige avec des coefficients linéiques directionnels ( > 1 ou < 1)

--si dV < 0, c’est un coefficient de contraction volumique isobare αv (même dimension, mais négatif, car on compresse au lieu de dilater) Il peut être aussi nommé coefficient de compression

Le coefficient d'expansion volumétrique est le rapport entre (volume final) et (volume initial)

 

LA RELAXATION

C'est le retour (lentement, avec une sorte de viscosité) d'une situation de dilatation vers une situation de repos (non dilatée)



   Copyright Formules-physique ©

-action et réaction (principe)

Le principe d'ACTION et REACTION

On est ici en mécanique et les mots action et réaction sous-tendent des notions de FORCES

 

PRINCIPE >> Pour qu’un corps A en contact avec un corps B soit à chaque instant en équilibre, il faut que la force avec laquelle A agit sur B soit compensée par une force de réaction de B sur A, égale et opposée soit (FA >B FB >A)

   Copyright Formules-physique ©

-adhérence

L’adhérence (parfois nommée adhésion) exprime la notion d’attraction entre molécules de corps différents, donc d’opposition à leur séparation

La cohésion est la même notion, mais elle concerne les molécules d’un même corps

Au niveau atomique ou moléculaire, il y a 4 forces de liaisons en cause pour créer l'adhérence.

Elles sont dites agrégatives et leurs destructions sont nommées "changement d’état"

LIAISONS IONIQUES ou LIAISONS HÉTÉROPOLAIRES

Pour les corps possèdant des ions à charges électriques opposées, leur attraction coulombienne en provoque la liaison.L’énergie El de cette liaison est de l’ordre de 12 eV (soit # 2.10-18 Joule) par atome et la formule de son évaluation est   EQ².K1/ Ω. ε.l

avec Ez(J)= énergie de liaison

Q(C)= charge électrique

K1(nombre)= constante dite de Madelung

Ω(sr)= angle solide dans lequel s’effectue l’attraction (vaut 4 pi  sr si l’on est en système d’unités S.I.+)

ε(F/m-sr)= constante diélectrique ambiante

La constante de Madelung est égale (pour un ion donné) au rapport moyen entre la distance d’un ion proche et la distance d’un ion lointain.

Sa valeur approximative mnémotechnique : K1 # 1,732 (racine de 3) mais exceptionnellement elle peut être plus forte pour certains corps

 

LIAISONS MÉTALLIQUES

Pour les métaux, l’énergie oscille entre 10-1 et 10+1 eV (soit # 10-20 à -18 J) par atome

 

LIAISONS COVALENTES ou HOMOPOLAIRES

Pour les corps ayant des atomes de valence pouvant compléter des couches électroniques chez des atomes voisins >>>

l’énergie de liaison El est ici de l’ordre de 5 eV par atome (cas des corps organiques)

 

LIAISONS DITES « FORCES de VAN DER WAALS"

Pour la partie provenant des forces newtoniennes attractives entre les atomes (ou molécules) constitutifs du corps , leur mouvement est rotatif.

Les liaisons sont sensibles jusqu’aux limites du 0°K absolu

Cette énergie de liaison est  Ez= [Ω.c²/ Z*] / νt.[K/ l6+ K/ l12]

avec Ez(J)= énergie de liaison

Z*(m²/ kg-s) = inertance

c(m/s)= constante d'Einstein (2,99792458 .10m/s)

Ω(sr)= angle solide dans lequel s’effectue le phénomène(en général Ω est l’espace entier, soit 4p sr pour les systèmes d’unités qui, comme le S.I.+, a comme unité d’angle le stéradian)

νt(m²/s)= constante de diffusion d’Einstein

l(m)= constante de réseau

K2= coefficient de Van der Waals, dimensionnel en l-6

K3= coefficient de Lennard-Jones, dimensionnel en l-12

En application pratique, comme l # 10-10 et K# 10-77    

Ez est # 10-17J (soit 100 eV)

 

ADHÉRENCE ENTRE DES SOLIDES

On considère surtout l’énergie surfacique W'h qu’il faut fournir pour vaincre ces liaisons

Pour des objets en simple contact W'# 10-3J/m²

et pour des corps en liaison covalente W'# 10 J/m²

Nota: la chaleur (qui est un apport d’énergie), cause des mouvements particulaires dans les corps et détruit l’adhérence

Le coefficient d’adhérence inter-solides est équivalent au coefficient de frottement.

Exemple du coefficient d’adhérence des pneus de voiture sur la route :

il est égal à (0,8 à 0,9) pour sol sec--(0,4 à 0,6) pour un sol humide--(0,1 à 0,3) pour un sol verglacé.

On utilise aussi la notion d'adhérence surfacique entre 2 solides (c'est à dire une pression)

Exemple d'adhérence d'une colle standard : 5.106 Pa (soit # 50 kgp/cm²)

   Copyright Formules-physique ©

-alliage

Un alliage est un mélange issu de la fusion de >>

Métal + Autre corps (métal on non)

-cas de (2 métaux) = mélange eutectique (composition hétérogène des cristaux des 2 composants, avec température de fusion déterminée, dite eutexie)

-cas de (cristaux mixtes) = mélange en toutes proportions des 2 métaux

-cas de (métal + autre corps à mémoire de forme)= après changement de température, il y a une tendance à la superélasticité

Les alliages à mémoire de forme présentent une transition de PHASE dite "martensitique", c’est à dire qui subit une trempe. Ils sont superélastiques et superamortisseurs et ils ont de très forts coefficients de dilatation avec anisotropie.

 

TITRE d'un ALLIAGE

Le titre d'un alliage est  yn = mA / mB 

c'est à dire le pourcentage massique d’un métal A(en général précieux) faisant partie de l’alliage métallique B

Le titre est donc une fraction massique (une concentration massique)

 

SEGREGATION d'un ALLIAGE

c'est une hétérogénéité chimique dans un alliage solide, résultant d'une solidification obtenue dans des conditions de diffusion imparfaite

 

 

SUPERALLIAGE

c'est un alliage ayant de bonnes performances mécaniques et chimiques à haute température, généralement à base de métaux magnétiques (fer, chrome, nickel) 

   Copyright Formules-physique ©

-allongement

L'allongement est le rapport sans dimension (Δl / l) entre l’élongation (variation de longueur Δl subie par un corps étiré), en rapport à sa longueur initiale (l).

Extension et Etirement sont des synonymes d'allongement.

Ce sont donc des notions relatives

Attention: certains auteurs appellent allongement ce qui est l’élongation (Δl) et alors

l'allongement (Δl / l) devient pour eux un "allongement relatif"

 

EVOLUTION d'un ALLONGEMENT

Lors d'une traction sur un matériau, l'allongement subit une série de variations >>

-a.)) il y a d'abord élasticité avec proportionnalité entre allongement et force, jusqu’à une limite de proportionnalité

-b.)) puis il y a élasticité avec proportionnalité atténuée (entre allongement et force), jusqu’à la limite élastique (rapport) et la limite d’élasticité (contrainte)

-c.)) puis il y a plasticité, où l'allongement devient plus faiblement proportionnel à la force, jusqu’à la limite de plasticité

-d.)) ensuite la zone de ductilité, où l’allongement stagne puis devient encore plus faiblement proportionnel à la force jusqu’à la limite de rupture

-e.)) enfin l'allongement va traîner jusqu’au point de rupture(l'allongement d'un métal peut aller jusqu'à 30 à 50 % dans cette zone)

 

LIMITE ÉLASTIQUE (ou LIMITE d'ALLONGEMENT)

C'est la valeur maximale que prend l’allongement (Δl / l) d’un corps sous l'action d’une force F et telle qu'au-delà, la déformation devient permanente (la section du corps n’étant alors sensiblement plus constante)

Cette limite élastique est donc mesurée par un nombre sans dimension

Ne pas confondre cette limite élastique avec la limite d'élasticité (linéique)qui est une pression-contrainte limite, à partir de laquelle la déformation du matériau devient permanente

 

LOI DE HOOKE POUR l’ALLONGEMENT

(déformation élastique d’un corps prismatique de bonne élasticité) mais cette loi n'est pas valable pour des matériaux fragiles:

Δl / l = F/ S.nY

avec Δl / l (nombre)= allongement (relatif) du corps

F(N)= force de traction

S(m²)= section initiale du corps

nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinale (module de Young)

Cette formule implique que : pour une force d'extension (traction) nfois plus forte, un matériau s’allonge nfois plus (bien sûr tout en restant dans les zones d’élasticité)

 

On peut aussi l'écrire, dans les zones d'élasticité du matériau

ne= nY.Δl /lo

avec ne(N/m²)= contrainte (d’extension) apparaissant dans un matériau de longueur initiale lo(m)

Δl(m)= élongation provoquée

nY(N/m²)= module de Young

On peut aussi l'écrire, (en cas particulier, pour un ressort au repos) :

Δl = F/ W’d

F(N)= force

Δl(m)= élongation

W’d(kg/s²)= dureté du ressort(ou constante de rappel): c’est à dire l’énergie perdue par unité de section du ressort

 

LOI de BACH et SCHULE

Elle remplace la loi de Hooke pour des matériaux fragiles (fonte, béton, pierres, fils, peaux):

Δl / l = K1.(F/ S).K2

avec mêmes notations que ci-dessus et K1 et 2(nombres)= coefficients caractéristiques du matériau (sont compris entre 0,5 et 1,5)

Exemples d’allongements: sous une tension de 107 Pascal (soit # de 1 kgf par mm²)

les matériaux suivants s’allongent approximativement de (en %)

caoutchouc (1100)-- laine (2)-- bois (0,05)-- acier (0,005)

 

ALLONGEMENT de DILATATION

Synonyme : dilatibilité linéique

C'est un allongement dû à la chaleur (le rapport lT/ l0 )est alors = (1 + αl.ΔT)

où la longueur initiale est l0 et lT celle à la température T(K)

αl = coefficient de dilatation, qui, en valeur pratique et exprimée en (K-1) et vaut pour les solides de 2.10-7 à -5 K-1

Le Plutonium Pu est le plus dilatable des métaux

(son αl est = 6.10-5à 200° K)

Pour les corps vivants, l'allongement de dilatation (qui est toujours le rapport longueur finale / longueur initiale) est égal à F.t / K.Q' (la force x temps / quantité de mouvement affectée d'un coefficient de qualité du matériau, un muscle par exemple)

   Copyright Formules-physique ©

-appui en résistance des matériaux

En résistance des matériaux, un appui est le point de contact entre deux corps

-appui simple: le point d’appui du corps reste dans un plan fixe; les échanges de forces se font sur la normale de contact –les frottements sont négligés--

-rotule: l’appui est cylindrique et les forces agissent sur une portion du cylindre rotulaire (la rotation est possible)

-encastrement: l'appui est verrouillé (ni translation, ni rotation)

Une travée est la distance entre 2 appuis

   Copyright Formules-physique ©

-arc autoporteur

La notion d'arc autoporteur est bien représentée par un empilement d'une succession de 1 brique, chacune posée à plat et coaxiale avec chaque suivante supérieure et dont chaque étage est décalé en léger surplomb

Si 2 empilements symétriques identiques sont construits face à face, ils se rejoignent, forment un arc autoporteur et la brique de raccordement en haut est la clé de voûte

Pour assurer une stabilité, les décalages des centres de gravité des n briques élémentaires de chaque partie doivent -en partant de ladite clé- répondre à une disposition en série harmonique :

(1/2(1/n)= 1/2 + 1/4 + 1/6 + 1/8.....

 

   Copyright Formules-physique ©

-articulation

Une liaison (macroscopique) est un contact entre deux corps solides, permettant le transfert des forces.

Une liaison possède 3 possibilités de translation (selon 3 axes de coordonnées rectangles) et 3 possibilités de rotation (autour de chacun des axes de coordonnées).

Elle est dite articulation dès lors qu'une rotation y est possible

-l'articulation directe est telle que les forces soient transmises parallèlement et perpendiculairement

-l'articulation déportée (bielle de longueur fixe) est telle que les forces soient échangées parallèlement à la direction instantanée de la tige

-l'articulation tridimensionnelle est une rotule, avec comme cas particuliers (le joint à la cardan et la genouillère -ou genou-)

   Copyright Formules-physique ©

-béton

Les bétons ont les caractéristiques techniques ci-après :

RÉSISTANCE à la COMPRESSION

2 à 10 MPa pour des bétons maigres, 20 à 40 MPa pour les bétons usuels et 10 fois plus pour les bétons spéciaux

-la normalisation des qualités de résistance des bétons est précisée par un indice C(n1 / n2) où n1 est la résistance à 28 jours (mesurée sur un cylindre normalisé) et n2 la résistance à 28 jours aussi, mais mesurée sur un cube normalisé

Il en résulte (en fonction des valeurs de n1 et n2) une échelle de qualités de résistance allant de C8/10 à C150/200 où les différences entre n1 et n2 couvrent une plage de valeurs allant de  2 MPa -la moindre- à 40 MPa -la meilleure-)



MODULE de YOUNG du BÉTON

15 à 42 GPa

 

COEFFICIENT de POISSON du BÉTON

C'est yP = 0,15 à 0,30

 

RÉSISTANCE à la TRACTION DU BÉTON

10 à 15% de la résistance à la compression



RÉSISTANCE au CISAILLEMENT

5% de la résistance à la compression



RÉSISTANCE à la FLEXION

Calcul usuel du moment fléchissant, soit :

ns > Mf / Vr        où ns(N/m²)= contrainte normale de flexion en sécurité (c'est à dire la limite de travail autorisée)

Mf(N-m)= moment fléchissant des forces que l'on applique

Vr(m3)= module de résistance, qui est lui-même = Iq / lf où Iq(m4)= moment quadratique de la section par rapport à l’axe

et lf(m)= distance entre l’axe et la fibre la plus lointaine



DILATATION du BÉTON

Coefficient de 10-5 (d'où allongement de 2 millièmes pour écart thermique de 20 degrés)



RETRAIT du BETON

2 à 5%

 

FLUAGE

4 à 6%

 

   Copyright Formules-physique ©

-câble métallique

CÂBLE MÉTALLIQUE

Un câble métallique est un faisceau de fils métalliques élémentaires, associés en plusieurs groupages torsadés (les torons) eux-mêmes disposés concentriquement sur un support longiligne (l'âme) qui est en général un toron métallique ou végétal)



CÂBLE SUSPENDU

C'est un câble tendu entre 2 points, sans autre autre contrainte que son propre poids (donc seulement soumis à la pesanteur)

Il forme une courbe dite chaînette -ou courbe funiculaire-  dont les équations sont

y = h.ch (x/h)      et   l = h.sh(d/a),  avec notations suivantes :

y = ordonnée 

h = distance entre le point bas de la chaînette et l'axe des x 

ch et sh = cosinus et sinus hyperboliques

x = abscisse

d = demi distance entre les 2 points d'attache du câble

l = longueur du câble



CARACTÉRISTIQUES D'UN CÂBLE

-son diamètre nominal

-sa masse linéique (que les simples praticiens nomment souvent par erreur "poids")

-les résistances (celle des fils, celle du câble entier et celle à la fatigue)

-les forces de rupture (d'une part l'effective - c'est à dire celle de la rupture réelle, et d'autre part la minimale, c'est à dire celle qui permet l'usage sécuritaire utilisable en pratique)

Exemples (ordres de grandeur) de force à la rupture sécuritaire

(en kgp, soit # décaNewton) pour câbles en acier de résistance # de 1.800 N/mm²

-diamètre de 3mm >>> 550 à 650

-diamètre de 6mm >>> 2.300 à 2.600

-diamètre de 10mm >>> 5.000 à 6.000

-diamètre de 12mm >>> 8.500 à 9.500

-diamètre de 16mm >>> 15.000 à 17.000

-diamètre de 24mm >>> 30.000 à 40.000

-diamètre de 30mm >>> 50.000 à 60.000

-diamètre de 40mm >>> 95.000 à 105.000

diamètre de 50mm >>> 160.000 kgp

   Copyright Formules-physique ©

-charge mécanique

Une charge mécanique est une FORCE (ou un Poids)

Mais le langage courant mélange volontiers trois notions sous le terme simpliste de «charge» (en abrégé) , alors qu'il faut distinguer : 

 

1.LA CHARGE STRICTO SENSU

Une charge (au sens strict) est une force (ou un poids) >> par exemple: la charge d’un plancher = le poids qu’il peut supporter

ou bien la charge de flambage = le poids qu'on peut appliquer à un poteau, avant flambage

Equation aux dimensions structurelles :L.M.T-2       Symbole Fp      

Unité S.I.+ : le Newton(N)

Autre unité (très) utilisée : le kilogramme poids (ou kilogramme-force) qui vaut 9,806.N

Fp= m.g

avec Fp(N)= charge (poids)

m(kg)= masse du corps

g(m/s²)= pesanteur

 

Cas particulier de charge mécanique:

quand on applique une charge très élevée qui atteint la zone de déstructuration d'un matériau, on la nomme charge critique (critique veut dire limite de déstructuration) ou encore charge de rupture

 

2.LA CHARGE SURFACIQUE

Nota : le mot "surfacique" est trop souvent éludé et donc quand on lit "charge" il faut quasiment toujours comprendre "charge surfacique"

Donc c'est un poids surfacique, donc c'est une pression

Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T-2       Symbole pc      

Unité S.I.+ : le Pascal(Pa) et en unité d'usage le kg/mm²  (# 107Pa)

Exemples de charge surfacique >>>

la charge (surfacique) d’un plancher (qu'on nomme souvent charge unitaire) est la pression qu'il peut supporter-

Valeurs pratiques de charge de plancher 

---charges permanentes : chape +carrelage + cloisons(150 kg/m²)--1 mètre de terre en remblais( 2.200 kg/m²)--étanchéité de terrasse(200 kg/m²)

---surcharges (présence de meubles, stockages et individus) : en habitat(150 kg/m²)--en archivage(1.000)--en bureaux(250 kg/m²)--en collectivités, telles les écoles(400)--

Quand  on lit charge unitaire à la rupture, il faut traduire "contrainte à la rupture"

 

 

Autre exemple >>> la perte de charge qui est une diminution de pression

 

Cas particulier de charge mécanique (en traction, compression ou flexion):

quand un matériau est à la limite supérieure d'élasticité, on atteint alors la «charge unitaire limite» ou(synonyme) «limite d'élasticité linéique»

C'est une base à partir de laquelle on ne pourra plus travailler sans rique avec le matériau (mais par ailleurs, pour plus de sécurité, on lui appliquera encore une modération, sous forme d'un coefficient -pourcentage- dit «taux de travail» qui donnera la limite recommandée -ou contrainte de travail- qui est vraiment sécuritaire

 

Pour revenir aux valeurs de la charge unitaire limite (ou limite d'élasticité linéique), qui sert de base qualitative pour un matériau, les valeurs sont exprimées ci-dessous en 106Pa (Mpa)

Si on les veut exprimer en kgf/mm² , il faut diviser alors par 10 les valeurs ci-dessous)

>>> acier courant(190 à 300)--acier spécial(400 à 1100)--alu(180 à 220)--béton(70)--bois dur(18 à 26)--bois tendre(9 à 12)--bronze(150)--caoutchouc(..)

--fibre de C(2800)--fonte(200)--métaux courants(30 à 70)--métaux durs comme Ti(800 à 1200)--os(10)---plastiques(25 à 40)--plomb(2)--roches(50 à 300)--verre(50)--

 

3.LA CHARGE LINÉIQUE (ou CHARGE RÉPARTIE)

Notion utilisée pour exprimer une charge uniformément répartie sur la longueur d’une poutre, elle est exprimée en N/m  

C'est le cas de certaines poutres travaillant en flexion (exemple d'une passerelle qui supporte un revêtement uniformément pesant)

W'c= Fp/ l

où W’c(N/m)= charge (poids) linéique uniformément réparti

Fp(N)= charge (poids)

l(m) est la longueur de la poutre

   Copyright Formules-physique ©