FORMULES de PHYSIQUE
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DIMENSIONS-définition
-dimension (en Physique)
Définition d'une dimension
Chaque grandeur utilisée en Physique dépend au maximum de 7 grandeurs de base, indépendantes les unes envers les autres.
Ces 7 grandeurs basiques ont été choisies (légalement en France) selon liste ci-après (avec leur symbole usuel entre parenthèses) :
la longueur(L) --la masse (M) --le temps(T) -- l'intensité électrique(I)--
l'angle(A) --la température(Θ) et la quantité de matière(N)
On dit que ces sept grandeurs sont les DIMENSIONS constitutives de chaque grandeur physique
La formulation mathématique exprimant la dépendance d’une grandeur par rapport aux 7 grandeurs fondamentales, est nommée"Equation aux dimensions structurelles"
Son écriture basique universelle est >>> Lp.Mq.Tr.Is.At.Θu.Nv
où les nombres p, q, r, s, t, u, vsont respectivement des nombres entiers (ou très exceptionnellement fractionnaires), affectés comme exposants aux 7 grandeurs basiques mesurables L, M, T, I, A, Θ, N
vues plus haut
Cette équation est spécifique pour chaque grandeur (selon les exposants impliqués)
Exemple (1): l’accélération a pour dimension structurelle L.T- 2>>>
cela signifie que l'accélération est proportionnelle 1 fois envers la
longueur Let inversement proportionnelle deux fois envers la
grandeur T(temps) et elle ne dépend de rien d'autre
Exemple (2) : la capacité thermique molaire a pour dimension
L3.M.T-2.Θ-1.N-1 >>> cela signifie qu’elle est proportionnelle 3 fois
envers la longueur L (donc L au cube), proportionnelle 1 fois envers
la masse M, inversement proportionnelle 2 fois envers le temps T,
inversement proportionnelle 1 fois envers la température Θ et
inversement proportionnelle 1 fois envers la quantité de matière N)
CAS PARTICULIER des COORDONNEES de l'ESPACE
Bien qu'il y ait 7 dimensions basiques, la longueur, qui est la plus courante d’usage, a souvent monopolisé l'appellation de "dimension" (comme s’il n’y avait qu’elle !) Alors, on risque de lire:
>>> Espace euclidien à 3 dimensions, mais ceci signifie cependant et restrictivement "à 3 coordonnées géométriques de longueur".
Ces 3 "dimensions géométriques" ne forment qu'une vraie dimension au sens structurel : la longueur (ce n'est pas parce qu'elle intervient au cube dans un volume, que la longueur peut compter comme 3 dimensions structurelles)
>>> Espace (einsteinien) spatio-temporel à 4 dimensions >>> ces 4 dimensions étant 3 fois la dimension''longueur'' et 1 fois la dimension ''temps'' (mais il n'y en a que 2 structurelles et pas 4 >>> la longueur et le temps)
>>> Des espaces à ndimensions, comme ceux de Riemann, de la théorie des cordes, etc., c’est à dire à ncoordonnées, en tant que concepts géométriques spatio-temporels (mais il n'y en a toujours que 2 qui sont structurelles : lalongueur et letemps, car c'est toujours la géométrie que l'on démultiplie)
Dans tous ces cas, le mot "dimension", est l’abrégé de "dimensions d’espace spatio-temporel" et ne modifie pas la somme des vraies 7 dimensions cohérentes des interdépendances usuelles, telles que définies ci-dessus.
COHÉRENCE DIMENSIONNELLE
Une relation genre A = B.C.Doù A,B,C,D sont des grandeurs dimensionnelles (ou non) doit toujours être telle que la dimension de A soit identique à celle du produit B.C.D >>> c'est la cohérence.
Il est bon de vérifier en permanence cette cohérence dans toute relation, afin de s'assurer de sa validité et c'est particulièrement vrai pour le cas où plusieurs systèmes d'unités sont employés conjointement.
C'est nécessaire surtout en Physique nucléaire, car des simplifications ou ellipses de langage y éliminent certaines grandeurs (en les posant = 1), ce qui détruit la cohérence
Toute formule qui ne respecterait pas le principe de cohérence dimension-nelle est fausse
Exemple (1): on trouve une équation (pour un pendule) écrite:
ω² = g / l où ω est proposée être une vitesse angulaire, g la pesanteur et l la longueur.
Mais si on y établit (comme il se doit) l'égalité des dimensions, on trouve
pour le terme de gauche (A2.T -2) et pour le terme de droite (T-2) >>> c'est donc faux. Et l'on se doit donc de rectifier cette équation en l'écrivant selon la bonne relation ci-après : f² = g / l où f est la fréquence
Exemple (2): on trouve une équation (pour particule) écrite μ' = h.g'.c
où μ' est le magnéton, hla constante de Planck réduite (ou Dirac h) et g' le rapport gyromagnétique >>>
Si l'on établit le bilan des dimensions on trouve à gauche (= L2.I.A-1)
et à droite (= L3.T-1.I.A-1) >>> donc la formule est fausse (en fait il y a une grandeur en trop dans l'équation, à savoir c, la constante d'Einstein, à droite)
ADIMENSIONNALITÉ
Ce mot exprime l'absence de dimension pour une grandeur
Les exposants de son équation aux dimensions sont tous nuls, donc la grandeur concernée est un nombre pur (comme un coefficient numérique ou un indice...)
Certains farfelus prétendent simplifier les dimensions des grandeurs, dans le but de ne plus avoir que des nombres concrets dans les formules
Alors leur astuce -si l'on peut dire ! - est de proposer des égalités injustifiées
Par exemple, pour l'énergie (de dimensions réelles L2.M.T-2)
ils posent arbitrairement (L.T-1= X)puis plus tard, ils posentM= X-2
Alors évidemment l'énergie n'a plus de dimension... Mais que peut bien représenter X dans cette gymnastique ubiquiste?
Une équation aux dimensions ne peut pas être adimensionnelle (sauf celle d'un nombre pur)
Il est bien évident que si l'on a mis 50 siècles pour découvrir que 7 dimensions sont fondamentales pour exprimer (et coordonner entre elles) toutes les grandeurs du monde, ce n'est pas pour soudain prétendre qu'il n'y a plus désormais que des nombres, grâce à un simple jeu de fantasmes algébriques.
C'est comme si on coupait des télomères pour simplifier les ADN, ce qui permettrait de prétendre ensuite qu'il n'y a plus qu'un seul modèle d'être vivant sur Terre...
La Physique moderne a cependant tendance à bousculer l'équilibre de cohérence des dimensions, en y pratiquant des coupes.
En effet en mécanique relativiste, la longueur dépend du temps (à grande vitesse) et les coordonnées spatiales dépendent de la masse (qui les courbe) Donc il semble qu'on pourrait se passer d' 1 ou 2 dimensions.
Mais les relations de dépendances intimes entre les grandeurs fondamentales n'existent que pour des cas extrêmes et ne sont pas généralisables.Il faut donc bien en rester à sept fondamentales