FORMULES PHYSIQUE-PHÉNOMENES PÉRIODIQUES

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-absorption pour toutes ondes

Une absorption est la part d'énergie absorbée par un corps heurté par une onde

ABSORPTION (STRICTO SENSU)

Equation de dimensions d'une absorption L².M.T -2 Symbole désignation : Ea Unité : le Joule(J)

 

SPECTRE d'ABSORPTION

L'énergie portée par des ondes qui heurtent un corps est partiellement absorbée par lui et on peut en établir le spectre

-sur un récepteur absorbant un quelconque rayonnement, le spectre est établi en fonction de la fréquence de ce rayonnement ; il présente des atténuations (allant éventuellement jusqu’à l’annulation) correspondant aux transitions énergétiques des atomes ou noyaux (du récepteur) passant de l’état fondamental (énergie mini) à un état excité

 

-les raies de Fraunhofer concernent la totalité du spectre solaire (longueurs d’onde de 380 à 770 nm)

Il s’agit de raies sombres (un millier) qui affectent le spectre du soleil,à cause de l’absorption de diverses longueurs d’ondes par l’atmosphère terrestre et par les couches externes du soleil.Elles reçoivent des références sous forme de (lettre + numéro) -correspondant aux divers corps absorbeurs (Ca,Fe,H,K,O,Na...) et pour des longueurs d'onde allant de 400 à 800 nm

-une ligne d’absorption est un terme s'appliquant à une raie très étroite

 

-absorption pour un spectre d'atomes

lintensité énergétique d’un rayonnement est différemment ressentie par les atomes de la matière réceptrice, selon la fréquence en cause.

Comme les absorptions sont des manques énergétiques, les raies apparaissent en noir

Lors d'un changement de milieu, on définit divers coefficients qui sont les comparaisons des puissances respectivement absorbée, réfléchie, transmise et dissipée par le corps, envers la puissance délivrée au moment de l'arrivée énergétique

Il y a relation entre ces 4 coefficients:

ba (coeff.d'absorption) + yr (coeff.de réflexion) + yp (coeff.de dissipation) + yt (coeff.de transmission) = 1

 

COEFFICIENT d’ABSORPTION ONDULATOIRE

C'est ba = (cosθ .e-Jb.l)

avec θ(rad)= angle d'incidence

l(m)= profondeur de pénétration

Jb(m-1)= coefficient d’atténuation (linéaire)

ba intervient aussi pour comparer les puissances, soit :

ba= Pa / Pr   où Pr = puissance absorbée et Pa = puissance initialement reçue

On peut évidemment remplacer ces puissances par des grandeurs proportionnelles aux puissances, comme puissances surfaciques (reçue p*r et absorbée p*a) ou bien énergies surfaciques (reçue W’r et absorbée W’a) et bien sûr des énergies (reçue Er et absorbée Ea)

 

UNE RÉFRACTION

est le phénomène -géométrique et énergétique- exprimant l'absorption dans le nouveau milieu rencontré par l'onde

Il n'y a pas de déphasage de l'onde dans une réfraction

 

 

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-amortissement d'onde

Un amortissement est l’évolution d’un phénomène vibratoire, survenant quand il n’est plus énergétiquement entretenu. Alors il subit une diminution d’énergie (par exemple énergie cinétique perdue par frottement -ou énergie perdue en effet Joule, etc...), d’où diminution de l’amplitude de l’onde porteuse

Il est spécifié à travers :

 

UNE CONSTANTE (ou COEFFICIENT) d’AMORTISSEMENT

c'est une variation de la fréquence (symbole fa et dimension T -1)

 

 

UNE CONSTANTE de TEMPS

C'est l'inverse de la constante d'amortissement, donc c'est la durée d’amortissement d’un phénomène périodique

Equation de dimensions : T   Symbole de désignation : t0   Unité = seconde(s)

 

UNE PSEUDO-PÉRIODE

C'estts , la variation de la structure de sa période

 

UN FACTEUR de QUALITÉ

C'est F’q , le rapport -non dimensionnel- exprimant l’évolution énergétique comparative du système

 

UN FACTEUR d’AMORTISSEMENT

C'est F’s (dit aussi degré d’amortissement), qui est l’inverse de F’q ci-dessus

 

L'AMORTISSEMENT PROPREMENT DIT

Tout système a une équation de trajectoire du genre :

m.γ + M*.v + W'd.l = 0

où m(kg)= masse

γ(m/s²)= accélération

v(m/s)= vitesse

W'd(kg/s²)= constante de rappel

M*(kg/s)= coefficient de frottement visqueux

Si le frottement (donc l’amortissement) est faible, la solution (équation du déplacement de faible envergure autour de l’équilibre) est

l = e-ωt/ θ .lA.sin(ωt + φ)

où lA(m)= amplitude de l’oscillation

f(s-1)= fréquence

θ(rad)= angle plan de rotation  (et ω = vitesse angulaire, en rad/s)

φ(rad)= angle de phase d’origine

S'il y a amortissement:

θ / ω = to (constante de temps) et lé = e-to.lA.sin(ωt + φ) : c’est une fonction sinusoïdale exponentielle amortie et l’élongation lA oscille

 

L’amortissement est dit "critique"  quand le régime initialement oscillatoire devient apériodique

 

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-amplitude d'une onde

L'amplitude d'un phénomène ondulatoire est l’écart maximal atteint par une variable de l’oscillation , cette variable pouvant être une longueur (en cas de marée ou de ressort...) ou bien une intensité (en électricité), ou bien une vitesse...etc

ONDE à EQUATION SINUSOÏDALE

lé = lA.sin(ωt + φ )

avec lé(m)= élongation au temps t(s)

 ω(rad/s= vitesse angulaire

φ(rad)= angle de déphasage

lA(m)= amplitude -ici une longueur- qui est l'extrêmum de l'élongation (quand le sinus = - 1 ou +1 )

 

Un ventre est le point où l'amplitude lA est maximale (Ex: le point bas d'un pendule, ou certains points d'une corde quand lA est maxi, ou bien l'extrémité d'un diapason...)

Un noeud est le point où l'amplitude lA est minimale (Ex: le point d'attache d'un pendule, ou bien les points d'une corde quand il n'y a plus d'amplitude latérale...)

Le décrément d'oscillation est le rapport : amplitude maximale d’une oscillation / amplitude maximale de l’oscillation précédente

Le facteur de réflexion en amplitude F’0 désigne le rapport entre l’amplitude de l’onde "aller" et celle de l’onde "retour"

La distorsion d’amplitude existe quand le rapport des amplitudes dépend de (est fonction de) l’amplitude d’entrée

La modulation d'amplitude (A.M) est une variation faible de l’amplitude de l’onde porteuse (Exemple: pour les ondes électromagnétiques)

D'une façon générale, si l’onde porteuse est   x0 = lA0.sinθ0.   et si le signal à transmettre est aussi de structure sinusoïdale du type  x1 = lA1.sinω1.t ,  alors l’onde modulée en amplitude (A.M) sera  x = [lA0+ lA1.sinω0.t].[sinω1.t]

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-analyse de Fourier

Une oscillation périodique quelconque est représentable par une superposition d’oscillations  sinusoîdales

Cette opération (nommée décomposition) est effectuée sous un ensemble d'éléments dont chacun est un coefficient de Fourier

CES COEFFICIENTS SONT SOIT SINUSOÏDAUX,

du genre : l = (2 / tp)0t.lA.sin(nt)dt

SOIT COSINUSOÏDAUX ,

du genre : l = (2 / tp)0tlA.cos(n.ωt)dt

avec l(m)= élongation

lA(m)= amplitude

n= nombre entier (0,1,2,3,...)

ω(rad/s)= vitesse angulaire

t(s)= temps

tp(s)= période

Cette décomposition est nommée analyse de Fourier et sa représentation graphique est le spectre de Fourier

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-atténuation d'une onde

L'atténuation d'une onde est la notion traduisant la diminution de l’énergie de l'onde, pendant son parcours dans un milieu

Synonyme = Affaiblissement

L’atténuation est appréhendée à travers les grandeurs ci-après

 

LE COEFFICIENT D'ATTÉNUATION LINÉAIRE

Synonymes : coefficient d'atténuation linéique etcoefficient d’affaiblissement

Equation de dimensions structurelles : L-1         Symbole : Jb        Unité S.I.+ : m-1

Il intervient dans la comparaison des énergies (ou éventuellement des flux ou des impédances) en fonction de l’épaisseur (l) traversée, selon la relation :

Er = Eé.i*d

Eret Eé(J)= énergies respectivement reçue et émise

i*d= cosθ .exp(-Jb.l)  est nommé coefficient de directivité

l(m)= distance entre émission et réception (éventuellement profondeur)

θ est l'angle d'émission

Jb(m-1)= coefficient d’atténuation (ou d’affaiblissement) qui est Jb= ρ'.Zé / f

ρ'(kg/m3)= masse volumique du milieu

f(Hz)= fréquence de l’onde

Zé(m²/kg-s)= impédance énergétique

 

LE FACTEUR d'ATTÉNUATION ACOUSTIQUE

ou FACTEUR d'AFFAIBLISSEMENT ACOUSTIQUE(F'a)

C'est  F’a= (P'1/ P'0) = rapport entre les intensités (ou puissances) acoustiques avant et après l’affaiblissement

 

LE NIVEAU D'ATTÉNUATION

C'est la comparaison logarithmique du facteur

Pour un appareil -par exemple un transducteur (appareil servant à transformer un type d’énergie en un autre type, comme un quartz piézo-électrique) la comparaison est faite entre l’énergie mécanique et l’énergie électrique résultante

Comme ces énergies (ou puissances) sont à des échelles très variables, il y a nécessité de prendre des notions logarithmiques

On compare donc ici logarithmiquement les variations des énergies avant et après la transformation .

Unité: le Bel qui est, par définition, le logarithme (base 10) du rapport entre 2 puissances (ou 2 puissances surfaciques ou 2 énergies)

-l'atténuation linéique est un niveau (ci-dessus) ramené à l'épaisseur du matériau traversé .

Elle est exprimée en Bel par mètre (ou éventuellement en dB/km)

Exemple pour le verre, c'est # 5.103 dB/km

 

LA COUCHE DE DEMI-ATTÉNUATIONconcerne un corps qui, interposé sur le trajet d'un rayonnement, en réduit l’effet de 50% .

On l’exprime en kg/m² (c'est une masse surfacique)

 

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-battement

Un battement  est un mouvement oscillant lent, quand 2 oscillations de fréquences voisines sont superposées

Si leur amplitude est lA et leurs fréquences angulaires voisines :

(ω) et (ω +/- Δω), le battement est caractérisé par

lé = 2lA. cos Δω.t.sin2ωt    (c’est une vibration modulée en amplitude, de vitesse

angulaire Δω)

La période du battement est  tp = 2.f / Δω    où f (Hz)= fréquence d’oscillation et Δω(rad/s)= écart entre les vitesses angulaires

 

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-cambrure

La cambrure est un paramètre (non dimentionnel) d'une onde, représentant le rapport entre l'élongation (hauteur) et la longueur d'onde = lA / λ

Cette notion est surtout utilisée pour les calculs de houle

La houle est un mouvement oscillatoire des eaux de surface de la mer, sous l'influence des forces de frottement créées par le vent

La cambrure critique est la valeur de cambrure qui déclenche un déferlement en arrivant sur un rivage

Cette valeur est 0,142 pour une hauteur d'eau infinie

Elle s'amoindrit un peu, pour des profondeurs plus faibles

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-cohérence pour les ondes

La cohérence est la qualité commune de choses qui sont liées

COHÉRENCE D'ONDES

Des ondes sont cohérentes si certaines de leurs caractéristiques sont identiques (fréquences, phases....)

Par exemple, un émetteur lumineux est cohérent si, depuis plusieurs points de sa surface émettrice, on constate des égalités de fréquence, de phase et autres

Le soleil n'est pas cohérent (sa surface n'émet pas le même type d'onde en chaque point), une lampe à incandescence non plus

Mais un laser est cohérent

Des ondes incohérentes, entraînent des interférences

La cohérence d'une source implique la production d'interférences stables

Par exemple, une source lumineuse, constituée de divers éléments qui émettent chacun, en indépendance, des ondes de caractéristiques différentes n'est pas cohérente (les éléments peuvent par exemple avoir des fréquences différentes ou bien une polarisation entre eux)

Cette cohérence peut ne concerner que certains paramètres de l’onde



LONGUEUR de COHÉRENCE

La longueur de cohérence est λ(m)= (longueur moyenne d’un groupe d’ondes) permettant de réaliser une cohérence  λ = v/ f

avec : vg(m/s)= vitesse de groupe

f(Hz)= fréquence d’émission du groupe d’ondes

 

Valeurs pratiques de longueurs de cohérence (en mètre):

soleil(10-6 pour fréquence moyenne)--

lampe à vapeur de Hg ou de Na(10-3)--

lampe spectrale(10-1 si fréquence f de 5.109 Hz)--

laser(1 à 150 pour une f de 106 Hz)

 

TEMPS de COHÉRENCE

Si test le temps de cohérence (inverse de la fréquence de l'onde) et si Δt est la différence entre 2 instants successifs >>>

quand Δt < t0  la différence de phase  Δφ entre lesdits instants est constante

 

PHASE en COHÉRENCE

Si les phases de 2 ondes sont du genre sinusoïdal et que la différence de ces phases est indépendante du temps, elles sont cohérentes

 

 

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-déphasage

Le déphasage (terme utilisé pour une onde) est tiré de l'

EQUATION d'une ONDE SINUSOÏDALE à partir de l'ELONGATION

lé = lA.sin(ωt + φ) >>> la phase est l’expression (ωt + φ) et l'angle φ est nommé "déphasage"

L'onde en ωt et celle en (ωt + φ) sont similaires, mais décalées en trajectoire.

>> Si φ = 0 rad, les 2 ondes sont en phase.

>> Si φ = ( /2) rad, les 2 ondes sont en quadrature (décalées d'un quart de longueur d'onde)

>> Si φ = rad, les 2 ondes sont en opposition de phase

 

EQUATION d'une ONDE SINUSOÏDALE à partir de l'ANGLE

θp = (ωt -T*0.lA + φ)    où ω(rad/s)= vitesse angulaire

T*0(rad/m)= NOMBRE (ou vecteur)d’onde

lA(m)= amplitude

φ(rad)= (constante de) déphasage

 

CAS PARTICULIER du COURANT ELECTRIQUE ALTERNATIF

Le déphasage φ est la différence angulaire entre l'équation sinusoïdale de la tension et celle du courant (intensité)

i1 = i0.cos(ωt - φ)   mais U1 = U0.cos(ωt) 

où i1(A)= intensité au temps t(s) et i0(A)= intensité au temps initial

U(V) est la tension

ω(rad/s)= vitesse angulaire

φ(rad)= (angle de) déphasage du courant

 

Cas de l'angle de déphasage pour un circuit comportant des résistances R et des selfs L:

tgφ = (L.f) / R     et    cosφ = R / (R² + L².f²)1/2

où φ(rad)= angle de déphasage

et cosφ = facteur de puissance (ou mieux facteur de déplacement)

où f(Hz)= fréquence du courant sinusoïdal alternatif

(L.f ) (en Ohms)= capacitance

R(Ω)= résistance

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-différence de marche

DIFFÉRENCE DE MARCHE

Une différence de marche est la différence du chemin parcouru par 2 ondes pendant 1 période

Δl = Δφ/ T*0

Δl(m)= différence de marche

Δφ (rad)= variation de déphasage

T*0(rad/m)= NOMBRE d’onde

 

CAS des LAMES à FACES PARALLÈLES MINCES en OPTIQUE :

Δl = 2lé.(n*²- sin²θ)1/2 + (2n +1).λ/ 2

Δl(m)= différence de marche

lé(m)= épaisseur de la lame mince

θ(rad)= angle d’incidence par rapport à la normale

λ(m)= longueur d’onde

n*(nombre)= indice de réfraction de la lame

n = nombre entier variable de -1 à + 6 (cause des interférences soit constructives soit destructives)

 

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-diffraction d'onde

La diffraction est le phénomène de réémission à partir d’un point d’une surface matérielle, choqué par une onde et qui devient réémetteur d’une autre onde élémentaire, en créant interférence avec l’onde primitive

Souvent les obstacles gênant les ondes sont des ouvertures étroites (diaphragmes).

Cette réémission implique soit de la réflexion, soit de la réfraction

 

DIFFRACTION STRICTO SENSU

La diffraction est une puissance spatiale

On la nomme intensité lumineuse quand elle concerne les phénomènes où la lumière est transmise (entre production et réception)

Equation aux dimensions : L2.M.T-3.A-1       Symbole : P’d      

Unité S.I.+: W/sr et pour la lumière la candela(cd)

Les formules ci-dessous concernent la lumière, mais elles sont applicables aux ondes électromagnétiques de fréquences différentes (rayons X, thermiques, ...) seules les unités changent

-cas d'un faisceau de rayons parallèles

>>> s'il passe près d’un bord d’écran (cas de Fresnel)

la courbe de diffraction (intensité lumineuse en fonction de la distance au bord et recueillie sur un plan normal à l’onde) est de type ondulatoire amorti

>>> s'il passe par un diaphragme (fente) de section rectangulaire peu large (cas de Fraunholer) et à bonne distance du plan de réception, l'intensité lumineuse est de type ondulatoire amorti, avec pic au centre

P’= P’i.sin² φ 

P’d et P’i(cd)= intensités lumineuses respectivement diffractée et incidente

φ(rad)= 2lf θ / λ avec lf(m)= largeur de fente, λ(m)= longueur d’onde et θ(rad)= angle de diffraction

(2lf / λ) est nommé nombre de Fresnel (nFr)

>>> s'il passe par un trou (circulaire)

La distance entre les 2 plans (objet & image) est égale à K.(lo / λ).(lo3 / λ)

où K est un nombre, l0 est l'ouverture, λ est la longueur d'onde (inférieure à l'ouverture) et on distingue 3 cas :

  • K.(lo / λest < 0,62

  • K.(lo / λ) est > 0,62 mais < à 2

  • K.(lo /λ) est > 2 

>>> s'il passe dans un réseau plan :

P’d = P’i.(sin² φ1.sin².φ2) / sin² φ2

P’d et P’i(cd)= intensités lumineuses respectivement diffractée et incidente

φ1 (rad)= 2lf  θ / λ   et  φ2(rad)= 2lé θ / λ

avec lf = largeur de fente, lé = constante de réseau

λ = longueur d’onde, θ = angle de diffraction 

-cas d'un faisceau cônique de rayons divergents passant par un diaphragme circulaire quelconque

Après passage des rayons par ce diaphragme, l’image d’un point objet sur le récepteur forme une tache circulaire dégressivement lumineuse, entourée d’anneaux concentriques alternativement clairs et sombres, le tout avec dégradation d’éclairement vers les bords (figure dite disque d’Airy)

Pour 2 points-objets voisins, on obtient 2 zones-images (disques d’Airy) voisines; et si le maximum de luminosité de l’un des disques est superposé au minimum (de luminosité) le plus proche de lui sur le second disque d’Airy, l’angle θdu cône ayant pour sommet ce point et pour appui la circonférence du diaphragme est dit angle d’ouverture

 

-cas d'un cristal (loi de Bragg)

n.λ = 2 li.sinθ

n(nombre)= ordre de la réflexion = nombre de plans réticulaires du réseau cristallin

(un plan réticulaire -qui peut être facial ou diagonal, contient divers nœuds)

λ(m)= longueur d’onde

li(m)= équidistance des plans réticulaires

θ(rad)= angle entre le plan incident recevant le rayonnement lumineux et le rayonnement lui-même ; donc θ(à cause du sinus) est < à 2 li / l

La constante de réseau l(parfois appelée "pas") est la distance entre 2 éléments mitoyens du réseau (un réseau étant une trame de lignes ou points)

 

-cas d'un appareil optique

La diffraction est d’autant plus importante que le diamètre du diaphragme est plus proche de la longueur de l’onde ;le minimum de l’angle d’ouverture  θo définit le pouvoir de résolution de l’appareil optique, qui est possible dès que

sinθ> 1,22 λ / ld    c'est le critère de Rayleigh

θo(rad)= angle d’ouverture

λ(m)= longueur d’onde

ld(m)= diamètre du diaphragme

-la tache de diffraction est définie par son rayon linéaire (dimension L) et son rayon angulaire (dimension L.A-1)

 

PRINCIPE d’HUYGENS-FRESNEL

Un point de l’obstacle choqué par l’onde devient réémetteur d’une autre onde élémentaire de front sphérique, de même fréquence et d’amplitude proportionnelle à celle d’origine.

En outre, il y a interférences avec l’onde primitive.

L’équation d’onde est: ΨAΨo.[expx].dS

avec ΨA= équation d’onde en un point A de l’ondelette nouvelle

Ψo = équation d’onde en son origine

S(m²)= surface

x(exposant)= (j.K / l) avec l(m)= distance entre le point A et l’origine,

K(m)= cœfficient numérique

THÉORÈME de BABINET

La figure de diffraction issue par cause d'un obstacle opaque est la même que celle obtenue avec un obstacle "conjugué du premier dit"

-on entend par obstacle conjugué un corps qui est géométriquement négatif du premier (par ex. un trou en forme de croix de Lorraine dans une plaque sur le premier et une croix de Lorraine suspendue de même dimension, sur le second)

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