FORMULES de PHYSIQUE
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LOIS de KEPLER
-lois de Képler
Képler (astronome allemand) a publié , entre 1609 et 1618, trois lois exprimant la cinématique (mouvement) des planètes
-première loi de Képler (trajectoires)
La trajectoire de chacune des planètes solaires est une ellipse dont le soleil occupe l'un des foyers
-deuxième loi de Képler (aires)
C’est la loi de Binet, appliquée aux planètes du système solaire) >>> une planète gravitant autour du soleil décrit, en un temps t, une certaine aire comprise entre l’arc qu’elle a décrit et les rayons (initial et final) tracés entre elle et le soleil.
La 2° loi de Kepler énonce que, pour des temps égaux, lesdites aires balayées sont égales. Ce qui signifie que la vitesse de la planète est variable
En effet, le moment cinétique d’une planète en rotation autour du soleil est constant, donc les différentes aires décrites pendant des temps identiques, sont égales, car :
S = Mcp.t.θ / m
où Mcp(J-s/rad)= moment cinétique de la planète de masse m(kg)
S(m²)= aire qu'elle décrit pendant le temps t(s)
θ(rad)= angle de rotation pendant le temps t
-troisième loi de Képler (temps)
Le carré du temps de révolution de chaque planète est proportionnel au cube des demi-grands axes de son ellipse-orbite, ce qui se traduit souvent par une formule simplifiée
t² / l3 = constante
Mais la vraie formulation de la 3° loi Képler est plus générale :
En partant de la loi de Newton (simple) appliquée au couple soleil-planète on a
F = (ms.mp).G / Ω.l²
Et comme par ailleurs F = mp.γ = mp.l / t² on en tire l3 / t² = G.ms / Ω = G'
où F(N)= force d’attraction gravitationnelle entre soleil et planète
l(m)= distance moyenne de la planète au soleil , γ (m/s²) est l'accélération planétaire
mset mp(kg)= masses du soleil et de la planète
G’(m3/s²)= FLUX d'induction gravitationnel diffusé par le soleil
G(m3-sr/kg-s²)= constante de gravitation [8,385.10-10m3-sr/kg-s²]
Ω(sr)= angle solide dans lequel s’exerce l’attraction (en général l’espace entier, soit 4∏ sr pour un système d’unités qui a comme unité d’angle le stéradian)
t(s) = temps (dit "période") de révolution
En unités S.I.+, la 3° loi de Kepler formulée ci-dessus se calcule alors ainsi :
l3 / t2 = 1,989.1028 x 8,385.10-10/ 4∏ soit l3 / t2 # 1018 (m3 /s2)
Mais si l’on utilise des unités baroques où (l) est mesurée en unités astronomiques ("distance terre-soleil, définie ci-après") et (t) (le temps de révolution) mesuré en années terrestres,
la loi devient simplifiée l3 / t2 = 1 (ce qui est plus facile, mnémoniquement)
Nota : on voit parfois cette 3° loi de Kepler écrite sous la forme
l3 / ω² = g .R² où ω est la pulsation (c'est à dire une fréquence -et pas une vitesse angulaire-) g est l'accélération et R est le rayon
On voit aussi la loi écrite sous la forme
t² (M+m) / l3 = 4p / G où M et m sont les masses solaire et planétaire