FORMULES de PHYSIQUE
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ASTRONAUTIQUE
-astronautique
RAPPEL de NOTIONS d'AERONAUTIQUE
-vitesse angulaire (ou fréquence angulaire)
C'est le parcours d’un angle plan dans l’unité de temps
Dimensions structurelles : T-1.A Symbole de grandeur : ω Unité S.I.+ : rad/s
Relations entre unités :
1 tour par seconde= 60 tours par minute = 2∏ rad/s = 2∏ x 60 (soit # 377) radians/mn
1 tour par minute = 1/60 tour par seconde = 2∏ rad/mn = 2∏ / 60 (soit # 0,1) rad/s
1 rad/s = 60 rad par minute = 1/2∏ (soit # 0,6 ) tour par s. = 60/2∏ (soit # 10) tours/mn
1 radian/ mn = 1/60 rad/s= 1/2∏ (soit # 0,6 ) tour par mn = 1/2∏.60 (soit # 0,0026) tr/s
Attention : "nombre de tours"(expression abrégée) laisse à penser qu’il s’agit d’un nombre, mais la vraie expression est "nombre de tours par seconde", qui est bien entendu une unité de vitesse angulaire
ω = θ / t ou ω = θ.f ou ω = θ.v / lr
avec ω(rad/s)= vitesse angulaire d’un mobile parcourant une circonférence
θ(rad)= angle balayé uniformément pendant le temps t(s)
f(Hz)= fréquence de balayage
ω(rad/s)= vitesse angulaire du barycentre d’un mobile parcourant une circonférence de rayon
lr(m) et ayant une vitesse tangentielle v(m/s)
θ(rad)= angle plan balayé
-fréquence de balayage
f = ω / θ
avec f(s-1)= fréquence de balayage
θ(rad)= angle de rotation (vaut 2∏ seulement pour une rotation complète et si le système d’unités a comme angle unité le radian)
ω(rad/s)= vitesse angulaire
-poussée
La force résultante d'avancement (la poussée) est donnée par le
théorème du maître-couple F = (Sm.C.ρ’.v²) / 2
avec F(N)= force de poussée
Sm(m²)= maître-couple du mobile se déplaçant à une vitesse v(m/s)
Sm est la surface maximale présentée par l'une des sections du mobile, perpendiculairement à son déplacement
ρ’(kg/m3)= masse volumique du fluide dans lequel évolue ce mobile
Le coefficient C(non dimensionnel) = coefficient de maître-couple dépend de la forme du mobile (son aérodynamisme), de l'angle d'incidence de l'aile (angle entre les filets d'air et la tangente au profil d'attaque alaire), du point d'attache de l'aile ou de la voile, de la viscosité (et du nombre de Reynolds), des tourbillons en extrémités, des chocs ondulatoires (cavitation ou nombre de Mach, éventuellement supersonique), etc...
FUSÉE
-accélération de fusée
γ = (Fp+ Fg) / m
avec Fp(N)= poussée sur une fusée, l’accélération étant γ(m/s²)
Fg(N)= force d’attraction de pesanteur
m(kg)= masse -variable- de la fusée
Les valeurs pratiques arrondies de γ sont (en m/s²) :
gravité g(10)--fusées usuelles(30 à 50)--fusées énormes(400 à 500)-
-altitude atteinte par une fusée
En supposant les frottements de l’air négligeables et pour une zone circumterrestre :
lh = v.mf [i*-1-Log.i*] / M*- g.η.t²/2
avec lh(m)= hauteur atteinte en fin de combustion
v(m/s)= vitesse d’éjection des gaz
i*(nombre)= rapport entre la masse initiale (avec son plein de carburant) et la masse finale mf (vide de carburant)
M*(kg/s)= débit-masse de carburant et η(ps)= sa viscosité dynamique
g(m/s²)= pesanteur
t(s)= durée de consommation de carburant
-consommation spécifique d'une fusée
C'est la quantité de propergol pouvant produire une force de (9,81 N)
Equation aux dimensions : L-1.T Symbole de désignation : d'
Unité S.I.+ : kg / s.N
Unité pratique : le gramme par seconde et kiloNewton, qui vaut 10-6 kg / s.N
d' = m / F.t = m.v.r / F.l
d'(kg/s-N)= consommation spécifique
t(s)= temps nécessaire pour donner une force F de 9,81 N
v(m/s)= vitesse acquise à la distance l(m)
r(nombre)= rendement du moteur
En pratique les fusées peuvent consommer jusqu'à 200 tonnes de carburants (exemple d'une fusée lunaire, ayant 3000 tonnes de masse totale et 120 tonnes de charge utile)
-poussée sur une fusée
C'est la force de translation ou pulsion :
Fp= Δm.v / t
avec Fp(N)= pulsion (poussée) sur une fusée
Δm (kg)= variation (perte) de sa masse pendant le temps t(s)
v(m/s)= vitesse d’échappement des gaz
En pratique, la poussée atteint 15 tonnes-poids (Ariane) ou 30 tonnes-poids (fusée lunaire)
-recul pour une fusée
Il y a d'une part le recul géométrique, qui est le recul habituel d'une arme, si la fusée est sur un support mobile
lq= (mp.v² / W'.ma)1/2
avec lq(m)= recul
mp(kg)= masse du projectile
ma(kg)= masse de l'arme
W'(N/m)= équivalent raideur de l'arme (qui vaut pratiquement 1000 à 2000 N/m)
v(m/s)= vitesse du projectile au départ
Ce recul est négligeable pour des fusées spatiales puisque le support est fixe
Il y a d'autre part le recul d'impulsion qui est la variation de la quantité de mouvement
La masse varie en fonction de l'avancement, donc la quantité de mouvement Q’ (masse x vitesse) varie aussi de :
ΔQ’ = m.Δv(fusée) - Δv.m(carburant) m étant la masse et v la vitesse
-temps spécifique d'impulsion d'une fusée
C’est le temps correspondant à la notion de consommation spécifique ci-dessus (le mot impulsion étant ici pris dans le sens commun de "communication rapide de mouvement")
t = m.r.v / F
où t(s)= temps nécessaire pour donner une force F de 9,81 N
v(m/s)= vitesse acquise et r(nombre)= rendement du moteur
m(kg)= masse nécessaire de carburant (propergol en l’occurence)
-vitesse de fusée (formule de Tsiolkovski)
v1= v0.Log.(m0 / m 1)
avec v1(m/s)= vitesse de la fusée au moment où elle a une masse m1(kg)
m0(kg)= sa masse au départ
v0(m/s)= vitesse d’échappement du gaz par rapport à la fusée (environ # 103 m/s)
Log est le logarithme népérien
En pratique la vitesse atteinte par fusée Ariane par exemple, est 29.000 km/h (soit 8.000 m/s) donc la vitesse de mise en orbite
-satellisation d'une fusée
Pour un corps qui est dans l’emprise gravitationnelle d’un autre corps (astre par exemple) la vitesse de son déplacement est:
v = ls.ω / θ ou bien v = [G.m / Ω.(lr + ls)]1/2
avec v(m/s)= vitesse de satellisation d’un mobile parcourant un cercle de rayon ls
ω(rad/s)= sa vitesse angulaire
θ(rad)= angle décrit (qui vaut 2∏ radians, dès lors qu'il s'agit d'un tour)
Ω(sr)= angle solide dans lequel se déroule le phénomène-(qui vaut 4∏ sr si l’unité d’angle solide dans le système d'unités choisies est le stéradian)
G(8,385.10-10 m3-sr/kg-s²)= constante de gravitation en unités S.I.+
m(kg)= masse de l’astre
1))-la formule ci-dessus permet de calculer la vitesse d’un point (ou d’un être) situé sur la surface du globe terrestre >> par exemple à 45° de latitude (cas moyen pour la France)
v45= l.f l étant égal à 2∏.(sin 45°.lr) et f = (1/86400) s-1 on en déduit la vitesse d'un individu fixé sur la surface de la France centrale v45 = 330 mètres / s (par rapport à l'espace ambiant)
2))-on peut aussi déduire de la même formule la vitesse de mise en orbite terrestre (ou 1° vitesse cosmique)
vc1 = [G.m / Ω.(lr + ls)]1/2
avec (G / Ω) = 8,385.10-10 m3-sr/kg-s²
m est la masse de la Terre = 5,974.1024 kg , lr est le rayon de la Terre = 6,37.106 m , ls est l'altitude (au-dessus du sol) de la fusée, soit donc négligeable, puisqu'elle décolle
Attention : G est souvent évaluée en une autre unité -dite rationalisée-
soit 6,673 .10-11m3-sp/kg-s² c’est à dire 4∏ fois moins que la valeur S.I.+
(ils confondentalors G et G / Ω puisqu'ils prétendent que l'angle n'a pas de dimension !)
On déduit de la formule ci-dessus la valeur numérique de vc1 (vitesse nécessaire pour échapper à la pesanteur, qui est dite ''première vitesse cosmique'') et c'est 7910 m/s
Nota : cette valeur est calculée pour une position de départ sur l'équateur, mais il y a nécessité d'un correctif en fonction de la latitude de la base de lancement (souvent plus de 10%)
3))-on peut encore déduire de la formule ci-dessus la vitesse de libération de l’attraction terrestre (dite aussi vitesse critique ou 2° vitesse cosmique ou vitesse de fuite ou vitesse d'échappement ou vitesse parabolique....) >> c'est la vitesse à partir de laquelle un mobile quitte l’attraction de la Terre, dont il dépend. C'est la satellisation.
La valeur calculée est vc2 =11.190 m/s (soit donc # 40.000 km/h, c'est à dire environ un tour équatorial par heure)
4))-on tire enfin de la même formule, la valeur de la vitesse de libération de l’attraction solaire (dite 3° vitesse cosmique) vc3
On a alors lr= rayon du soleil = 1,496.1011m et ls est négligeable par rapport à lr >> ce qui donne la valeur de vc3 = 42.100 m/s
La durée de révolution d’un satellite est :
t = 2pi(lr+ ls) / v (v étant la vitesse du satellite)
-accélération de fusée
γ = (Fp+ Fg) / m
avec Fp(N)= poussée sur une fusée, l’accélération étant γ(m/s²)
Fg(N)= force d’attraction de pesanteur
m(kg)= masse -variable- de la fusée
Les valeurs pratiques arrondies de γ sont (en m/s²) :
gravité g(10)--fusées usuelles(30 à 50)--fusées énormes(400 à 500)-
-altitude atteinte par une fusée
En supposant les frottements de l’air négligeables et pour une zone circumterrestre :
lh = v.mf [i*-1-Log.i*] / M*- g.η.t²/2
avec lh(m)= hauteur atteinte en fin de combustion
v(m/s)= vitesse d’éjection des gaz
i*(nombre)= rapport entre la masse initiale (avec son plein de carburant) et la masse finale mf (vide de carburant)
M*(kg/s)= débit-masse de carburant et η(ps)= sa viscosité dynamique
g(m/s²)= pesanteur
t(s)= durée de consommation de carburant
-consommation spécifique d'une fusée
C'est la quantité de propergol pouvant produire une force de (9,81 N)
Equation aux dimensions : L-1.T Symbole de désignation : d'
Unité S.I.+ : kg / s.N
Unité pratique : le gramme par seconde et kiloNewton, qui vaut 10-6 kg / s.N
d' = m / F.t = m.v.r / F.l
d'(kg/s-N)= consommation spécifique
t(s)= temps nécessaire pour donner une force F de 9,81 N
v(m/s)= vitesse acquise à la distance l(m)
r(nombre)= rendement du moteur
En pratique les fusées peuvent consommer jusqu'à 200 tonnes de carburants (pour fusée lunaire, ayant 3000 tonnes de masse totale et 120 tonnes de charge utile)
-poussée sur une fusée
C'est la force de translation ou pulsion :
Fp = Δm.v / t
avec Fp(N)= pulsion (poussée) sur une fusée
Δm (kg)= variation (perte) de sa masse pendant le temps t(s)
v(m/s)= vitesse d’échappement des gaz
En pratique, la poussée atteint 15 tonnes-poids (Ariane) ou 30 tonnes-poids (fusée lunaire)
-recul pour une fusée
Il y a d'une part le recul géométrique, qui est le recul habituel d'une arme, si la fusée est sur un support mobile
lq= (mp.v² / W'.ma)1/2
avec lq(m)= recul
mp(kg)= masse du projectile
ma(kg)= masse de la fusée
W'(N/m)= équivalent raideur de la fusée (qui vaut pratiquement 1000 à 2000 N/m)
v(m/s)= vitesse du projectile au départ
Ce recul est négligeable pour des fusées spatiales puisque le support est fixe
Il y a d'autre part le recul d'impulsion qui est la variation de la quantité de mouvement
La masse varie en fonction de l'avancement, donc la quantité de mouvement Q’ (masse x vitesse) varie aussi de :
ΔQ’ = m.Δv(fusée) - Δv.m(carburant) m étant la masse et v la vitesse
-temps spécifique d'impulsion d'une fusée
C’est le temps correspondant à la notion de consommation spécifique ci-dessus (le mot impulsion étant ici pris dans le sens commun de "communication rapide de mouvement")
t = m.r.v / F
où t(s)= temps nécessaire pour donner une force F de 9,81 N
v(m/s)= vitesse acquise et r(nombre)= rendement du moteur
m(kg)= masse nécessaire de carburant (propergol en l’occurence)
-vitesse de fusée (formule de Tsiolkovski)
v1 = v0.Log.(m0/ m1)
avec v1(m/s)= vitesse de la fusée au moment où elle a une masse m1(kg)
m0(kg)= sa masse au départ
v0(m/s)= vitesse d’échappement du gaz par rapport à la fusée (environ # 103 m/s)
Log est le logarithme népérien
En pratique la vitesse atteinte par fusée Ariane par exemple, est 29.000 km/h (soit 8.000 m/s) donc la vitesse de mise en orbite
-vitesse pour mise en orbite terrestre d'une fusée
Cette vitesse est nommée : 1° vitesse cosmique
vc1 = [G.m / Ω.(lr+ ls)]1/2
avec (G / Ω) = 6,673.10-11 m3-sr/kg-s²
m = 5,974.1024 kg lr = 6,37.106 m ls = 3.105 m(environ)
d'où la valeur de vc1 (première vitesse cosmique) = 7910 m/s
-satellisation
Pour un corps qui est dans l’emprise gravitationnelle d’un autre corps (astre par exemple) la vitesse de son déplacement est:
v = ls.ω/ θ ou bien v = (G/ Ω)1/2.(m / (lr+ ls)]1/2
avec v(m/s)= vitesse d’un mobile parcourant un cercle de rayon ls
ω(rad/s)= vitesse angulaire
θ(rad)= angle décrit (qui vaut 2∏ radians s’il s’agit d’1 tour)
Ω(sr)= angle solide dans lequel se déroule le phénomène-(vaut 4∏ sr si l’unité d’angle solide est le stéradian)
G(8,385.10-10 m3-sr/kg-s²)= constante de gravitation en unités S.I.+
m(kg)= masse de l’astre
Nota : G est souvent évaluée en une autre unité -dite rationalisée-
soit 6,673 .10-11m3-sp/kg-s² c’est à dire 4∏ fois moins que la valeur S.I.+, car on a alors confondu G et (G / Ω), Ω étant l'angle solide
lr (m) = rayon de l’astre
et ls(m) = hauteur (altitude du corps qui doit soit rester, soit satelliser, soit s'échapper de l'emprise de la gravité)
1))-la formule ci-dessus permet de calculer la vitesse d’un point (ou d’un être) situé sur la surface du globe terrestre >> par exemple à 45° de latitude (cas moyen pour la France)
v45 = l.f l étant égal à 2∏.(sin 45°.lr) et f = (1/86400) s-1 on en déduit la vitesse d'un individu fixé sur la surface de la France centrale v45 = 330 mètres / s
2))-on en tire aussi la vitesse de mise en orbite terrestre (ou 1° vitesse cosmique)
vc1 = [G.m / Ω.(lr + ls)]1/2
avec (G / Ω) = 6,673.10-11 m3-sr/kg-s²
m = 5,974.1024 kg
lr = 6,37.106 m
ls = 3.105 m(environ)
d'où la valeur de vc1 (première vitesse cosmique) = 7910 m/s
La durée de révolution d’un satellite est :
t = 2pi(lr+ ls) / v (v étant la vitesse du satellite)
3))-on y trouve encore la vitesse de libération de l’attraction terrestre (dite aussi vitesse critique ou 2° vitesse cosmique ou vitesse de fuite ou vitesse d'échappement ou vitesse parabolique....) >> c'est la vitesse à partir de laquelle un mobile peut quitter l’attraction du corps dont il dépend.
Pour la Terre, comme alors
G = 8,385.10-10 m3-sr/kg-s²
m = 5,974.1024 kg et Ω = 4∏ sr
lr = 6,37.106 m
ls= 3.104m(environ)
la valeur de vc2 = 11.190 m/s (donc # 40.000 km/h)
4))-on en tire enfin la vitesse de libération de l’attraction solaire vc3
(ou 3° vitesse cosmique)
On a alors lr = 1,496.1011m et ls = négligeable >> ce qui donne la valeur de
vc3 = 42.100 m/s
SATELLITE GÉOSTATIONNAIRE
Il reste fixe par rapport à un lieu terrestre
-son altitude est fournie par l’équation ci-dessus
-sa vitesse de révolution se déduit de la même formule, pour t = durée d’un jour pour le satellite, soit 86400 secondes et (lr + ls) = 3,578.107 m.
donc v = 3.074.103 m/s
CONSTANTE de GAUSS
C'est une notion utilisée pour définir une unité de longueur bâtarde en astronomie (dite ''unité astronomique" et qui vaut 149597870691 mètres)
La constante de Gauss est une variation angulaire en un temps donné, d'une planète prototype qui tournerait autour du soleil et dont la vitesse angulaire serait 0,01720209895. rad / jour (ou 0,9856076686 degré d'angle par jour soit encore # 2.10-7 rad/seconde)