FORMULES de PHYSIQUE
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ELASTICITé des MATERIAUX-VOCABULAIRE
-élasticité des matériaux-vocabulaire
L'élasticité est le domaine des déformations non permanentes d'un corps solide.
En pratique, elle existe jusqu'à la survenance d'une valeur maximale, dite limite de sécurité (ou contrainte de sécurité ou contrainte de travail ou limite recommandée ou résistance pratique) au-delà de laquelle il ne faut plus -sécuritairement- faire travailler le matériau.
-Le CHOC ÉLASTIQUE exprime l'état interne de 2 corps choqués (il n'y a pas d'altération, ils restent invariables, non déformés)Le choc a la dimension d'une impulsion
(L.M.T-1 )voir chapitre Choc
-Le COEFFICIENT D'ÉLASTICITÉ ou coefficient de variation volumique isobare (αv) dimension (Q-1, exprimé en K-1) représente la variation volumique du volume (ΔV / V) en fonction de la variation de température ΔT, mais à pression constante (isobare)
-La CONSTANTE d'ELASTICITE (ou CONSTANTE ELASTIQUE)
notion très courante, est l’énergie dépensée dans une section
Equation aux dimensions structurelles : M.T-2 Symbole W'd Unité S.I.+ : kg/s² ou N/m
Symbole de désignation : W'd Unité S.I.+ : kg/s² ou N/m
Synonymes:constante élastique (pour des corps longilignes tels tiges, poutres...) ou dureté ou raideur ou constante de rappel (pour un ressort),ou ténacité et résilience (pour la qualité d'un matériau résistant aux chocs)
Attention: une constante d'élasticité ne s'exprime pas en unités de pression (MPa ou autres) car ce n'est pas une élasticité
Formulation pour les ressorts
W'd = F / lé
W’d(N/m)= constante de rappel d’un ressort (ou raideur ou dureté)
F(N)= force appliquée au ressort
lé(m)= son élongation
Exemple d’un ressort à boudin :
W'd = nG.lΦ4/ 8n.ls3
où W'd(N/m)= constante élastique d’un ressort comportant nspires de diamètre lΦ(m)
nG (N/m²)= module de rigidité du ressort
ls(m)= longueur du fil des spires
En cas de groupage de ressorts (liaison entre ressorts)
-si plusieurs ressorts sont en parallèle: la constante élastique équivalente (pour le groupe) est égale à la somme des constantes élastiques de chacun des ressorts composants
-si plusieurs ressorts sont en série: l’inverse de la constante élastique équivalente (du groupe de ressorts) est égal à la somme des inverses des constantes des ressorts composants
-La DÉFORMATION ÉLASTIQUE
est une déformation apparaissant dans une zone (scope) où l'étirement est proportionnel à la force appliquée, mais ne perdure pas après cessation d'application de la force (d’où réversibilité de forme)
-L'ELASTICITE
est la contrainte (pression interne) subie par un corps quand une force le sollicite sur l'une de ses surfaces (ou sections)
Equation aux dimensions structurelles : L-1.M.T-2
Symbole de désignation : pé Unité S.I.+ : N/m² ou Pa
Il faut faire très attention aux unités utilisées en pratique :
1 kilogramme(-poids) par mm² vaut 9,806.106 Pa(ou N/m²) donc ~ 10 MPa
1 mégaPascal (MPa) ou 1 Newton/mm² vaut 106 Pa(ou N/m²)
1 kilogramme(-poids ou force) / cm² vaut 9,806.104 Pa(ou N/m²)
1 pound per square inch (p.s.i) vaut 6,894.103 Pa(ou N/m²)
1 kilogramme(-poids ou force) par m² vaut 9,806. Pa(ou N/m²)
L'élasticité est utilisée dans deux grands chapitres:
--d'une part les questions de contraintes et résistances de travail
Elle est nommée alors : charge unitaire, ou contrainte de travail, ou résistance pratique et quand elle atteint des valeurs remarquables (ou limites), elle est nommée contrainte de sécurité, limite de sécurité, limite recommandée
La formule qui la définit est pé = F / S
avec pé(Pa)= élasticité (linéique) d’un corps de section initiale S(m²)
F(N)= force à laquelle est soumis le corps
Voir toutes ces notions au chapitre spécial Résistance mécanique
Rappelons seulement que la limite d’élasticité Re (valeur basique -de référence- maximale que peut prendre l’élasticité pé pour travailler normalement avec un matériau
Mais pour des raisons sécuritaires, on applique à cette limite Re un coefficient minorateur (le taux de travail) qui permet de travailler en toute quiétude avec le matériau et on nomme cette nouvelle limite (minorée, symbolisée RS) "contrainte de sécurité, ou contrainte de travail, ou limite élastique, ou limite de sécurité, ou limite recommandée"
Les valeurs pratiques de la limite de sécuritité RS (exprimées en mégaPascal soit 106 Pa) >>>Pb(1)--Bois(20 à 30)--Verre(50)--Mg(100)--Al(180 à 240)--Cu(300)--Aciersstandards(235 à 350)--Aciers au carbone(350 à 400)--Aciers à Ni,Cr,Mo(700 à 1400)--Ti(1200)--
--d'autre part des comparatifs de valeurs envers les variations géométriques où elle est mesurée (qui sont dits modules)
Voir le chapitre module
La formule qui définit un module est pé= F.dl / S.l
avec pé(Pa)= élasticité dite module pour un corps de section initiale S(m²)
F(N)= force à laquelle est soumis le corps, créant une variation de coordonnée dl(m)
l(m)= dimension de la coordonnée initiale du corps
L'élasticité est dénommée normale ou latérale ou tangentielle, selon ses éventuelles composantes envers les divers axes de coordonnées
-L'ÉLASTICITÉ LINEIQUE
est la variation de l’élasticité envers 1 autre coordonnée géométrique du corps (donc envers une section)
Dimensions structurelles : L-2.M.T-2 (gradient de pression) Unité: kg/s²-m²
-L'ÉLASTICITÉ MOLÉCULAIRE
(notion utilisée pour les cristaux) est une élasticité (vue plus haut) ramenée à une quantité de matière
Equation aux dimensions : L-1.M.T-2.N-1
Symbole de désignation : j* Unité S.I.+ : kg/mol-m-s²
j* = nY / q
où nY(N/m²)= module d’élasticité longitudinale (Voir valeurs à modules)
q(mol)= quantité de matière dans une cellule du réseau cristallin
On a plus généralement : Σj* = m’a /(Δl.dt²)
avec Σj*(kg/s²-m-mol)= somme des constantes élastiques moléculaires des cellules du réseau
m’a(kg/mol)= masse atomique du corps
Δl(m)= différence d’élongation entre le plan réticulaire et le plan situé à un pas lp plus loin
t(s)= temps
-L'ÉNERGIE POTENTIELLE ÉLASTIQUE
est l'énergie mécanique engagée dans un phénomène élastique
Exemple pour un ressort >>> Ep = W'd.Δl² / 2
où Ep(J)= énergie mécanique engagée et Δl(m)= allongement (ou raccourcissement) du ressort
W'd(kg/s²)= constante de rappel (dite aussi raideur, ou dureté du ressort ou constante élastique)
Exemple pour un solide longiligne >>> Ep = V∫nk.(dl / l)
où V(m3 )= volume du corps
nk(N/m²)= module de compression (valeurs au chapitre modules)
(dl / l)(nombre)= allongement
-La FORCE -ou la LIAISON- ÉLASTIQUE
sont des termes qui ne veulent pas dire grand chose: il faut comprendre "zone où existe une extension réversible"
-L'INÉLASTICITE est le contraire d’élasticité (concerne surtout collisions et diffusion)
-La LIMITE D’ÉLASTICITÉ
est un cas d'élasticité(contrainte) vue plus haut
Dimensions structurelles : L-1.M.T-2Symbole de désignation : Re Unité S.I.+ : N/m² ou Pa
C'est la valeur basique (de référence) à laquelle on peut faire travailler normalement un matériau.Toutefois, pour des raisons sécuritaires, on applique à cette limite d'élasticité un coefficient minorateur (c'est le taux de travail) qui permet de définir une limite élastique ou limite recommandée ou limite de sécurité (symbolisé RS) qui est inférieure à la limite d'élasticité et au-dessous de laquelle on peut travailler avec le matériau en toute sécurité
Ses valeurs sont les suivantes (pour la traction) Elles sont exprimées en valeurs moyennes, en mégaPascal (106 Pa) =
Pb(1)--Béton(5)--Bois(20 à 30)--Cu(40)--Verre(50)--Mg(100)--Al(180 /240)-- Cu(300)--Aciers standards(235 / 350)--Aciers au carbone(350 /400)-- Aciers à Ni,Cr,Mo(700 à 1400)--Ti(1100)--
Si on voulait les exprimer en kgf/mm²( ~ 107 Pa)il faudrait diviser ces valeurs par dix.
-La LIMITE d'ALLONGEMENT ÉLASTIQUE
est la valeur maximale de l'allongement, au-delà de laquelle la déformation devient permanente (il n'y aura plus d'élasticité) C'est une notion sans dimension (rapport de longueurs) A ne pas confondre avec la limite d'élasticité (qui est une contrainte).
Ici, il s'agit d'une limite relative d'allongement, définie dans la formule dite loi de Hooke:
(Δl / l0)= (ne/ nY) où (Δl / l0)= limite élastique
ne(N/m²)= contrainte (d’extension ou traction) apparaissant dans un matériau de longueur initiale l0 et subissant une variation linéique de Δl
nY(N/m²)= module de Young
Cette loi de Hooke s'écrit aussi (pé = (F / S).(Δl / l0) applicable en deçà de la déformation permanente (car au-delà, la section S n’est plus formellement constante)
F(N) est la force et pé la contrainte
Cas de forces multidirectionnelles
Le phénomène dépend maintenant de l'isotropie du matériau et de la directivité des forces (isostatiques ou bidirectionnelles ou rotatives...) La loi de Hooke généralisée s'écrit alors
pé= TW' / TDl
où pé est la contrainte, TW' est le tenseur des élasticités (constantes élastiques) et TDl est le tenseur des déformations linéiques
-Les MODULES d’ÉLASTICITÉ
sont des contraintes qualitatives, autorisant chacune une déformation pour une seule dimension du corps(voir valeurs au chapitre Module)
-La QUASI-ÉLASTICITE
exprime que la zone appréhendée ne respecte pas tout à fait la loi de Hooke (cela peut être dû à de l'anisotropie, des parties composites, des adjonctions locales qualitatives....)
-Un SOLIDE ÉLASTIQUE
est un corps présentant une qualité d’élasticité.Il se déforme sous une action mécanique et accumule de l’énergie (potentielle) qu’il rend sous des conditions contraires
Par exemple pour un ressort dEd = ∫{Σn}dV
où dEd(J)= variation d’énergie (pendant déformation) dans une transformation infiniment lente d’un élément de volume dV(m3) d'un tel solide élastique
Σn(Pa)= ensemble des contraintes créant les variations déformantes de dV
-La SUPERÉLASTICITÉ
est la caractéristique d'un matériau qui -sous certaines conditions externes- dépasse ses limites standards d'élasticité
Par exemple pour un composite (métal + autre corps à mémoire de forme), -après changement de température- il y a tendance à la superélasticité
Les alliages à mémoire de forme sont superélastiques et superamortisseurs et ils ont de très forts coefficients de dilatation avec anisotropie.
La THERMOÉLASTICITÉ
en thermodynamique, on étudie la variation de la géométrie et de la pression en fonction de la température et réciproquement
Les coefficients thermoélastiques sont:
αv (exprimé en K-1)= coefficient de compression volumique isobare (où est considérée une variation de volume envers la température, mais à pression constante)
αs(exprimé en K-1)= coefficient de variation surfacique isobare (où est considérée une variation de surface envers la température, mais à pression constante)
αl(exprimé en K-1)= coefficient de dilatation (ou contraction) isobare (où est considérée une variation de longueur envers la température, mais à pression constante)
αp(exprimé en K-1)= coefficient de pression isochore (où est considérée une variation de pression envers la température, mais à volume constant)
βc(exprimé en Pa-1)= coefficient de température isochore (où est considérée une variation de température envers la pression, mais à volume constant)
βt(exprimé en Pa-1)= coefficient de compressibilité isotherme (où est considérée une variation de volume envers la pression, mais à température constante)
h*p(exprimé en m-3)= coefficient de pression isotherme (où est considérée une variation de pression envers le volume, mais à température constante)
h*t(exprimé en m-3)= coefficient de température isobare (où est considérée une variation de température envers le volume, mais à pression constante)
-Le TRAVAIL EFFECTUÉ au cours d’une déformation élastique
est ΔW = V.nn.(Δl / l)
ΔW(J)= travail nécessaire pour déformer le corps (allongement ou compression)
V(m3)= volume du solide
nn(N/m²)= contrainte normale et (Δl / l) (nombre)= limite élastique du corps
En théorie, l'élasticité permet au solide de reprendre sa forme initiale, PHASE pendant laquelle le travail potentialisé est alors restitué
En pratique, il y a toujours une petite partie du travail qui va se dissiper sous forme de chaleur
-Pour une déformation plastique (dans laquelle il n'y a plus de retour total à la forme initiale) il y a hystérésis après plusieurs déformations. nk (la contrainte) est variable en fonction de l’allongement (Δl / l) et la courbe de fonction est en forme de "dauphin sautant hors de l’eau", comme celle de l’hystérésis électrique