ROTATIONS (leurs FORCES et ÉNERGIES)

-rotations (leurs forces et énergies)

Pour les questions de géométrie concernant une rotation , voir chapitre spécial

Il est question ici des notions de statique et de dynamique des rotations (classement alphabétique) :

ÉNERGIE CINÉTIQUE de ROTATION

Le théorème de Koenig  appliqué à un corps en rotation et translation est : 

2Ec = (m.v²) + (I.f²)

où Ec(J)= énergie cinétique d’un solide de masse m(kg) en translation et en rotation autour d’un axe passant par son c.d.g -centre de gravité

v(m/s)= vitesse de translation du c.d.g.

I(kg-m²)= moment d’inertie

f(s-1)= fréquence de balayage (nombre de situations répétitives par seconde, de passage au même endroit)

(m.v²) indique l’incidence de la translation du centre de gravité

(I.f²) indique l’incidence de la rotation autour du centre de gravité

Dans le cas où v = 0 il reste >>> Ec = (I.f²) / 2

 

EXCITATION ROTATOIRE 

C’est un cas particulier d’action, pour les particules (qui sont toujours en rotation)

ar = [2Iv .E / J(J +1)]1/2

avec ar (J-s)= excitation rotatoire de la particule, E(J)= son énergie de rotation

Iv(kg-m²)= moment d’inertie (dynamique)

J est le nombre quantique (de moment cinétique global) de la particule

 

FORCE CENTRIFUGE

C’est la force d’inertie compensatrice, égale et opposée à la force centripète. (la centrifuge est dirigée vers l'extérieur de la courbe où le mobile se déplace)

 

FORCE CENTRIPÈTE

C’est la force subie par un mobile en rotation Elle est dirigée vers le centre de la trajectoire

F = m.ω².D*/ θ      ou   F = m.f².lr    ou   F = m.v² / lr

où D*(m/rad) est le rayon de courbure

θ(rad) l’angle de rotation

ω(rad/s) la vitesse angulaire

F(N)= force centripète appliquée au corps de masse m(kg)

lr(m)= distance à l’axe (rayon)

f(Hz)= fréquence de balayage du point dans sa rotation

v(m/s)= vitesse tangentielle

Nota: on voit souvent la deuxième relation ci-dessus écrite F = m.ω².lr

où ω est prétendue être la vitesse angulaire: c’est faux, il s’agit de la fréquence -cela entraînerait d’ailleurs la notion de (radian par seconde au carré) et qui peut prétendre se représenter un angle au carré?

Quand ils écrivent sous la forme F = m.ω².lr   cela résulte tout naïvement d'un changement d'unités, où ω est alors une fréquence exprimée avec une unité dite pulsation (= 2∏ Hertz)- alors qu'elle devrait être exprimée en (Hertz)-

Une pulsation est une unité de fréquence et pas de vitesse angulaire 

 

FROTTEMENT de ROULEMENT 

En cas de roulement (donc rotation) d'un corps subissant frottement

Fr = Fn.(lc / lr)

avec Fr(N)= force de frottement

Fn(N)= composante de réaction, normale à la surface de contact

lr(m)= rayon de rotation du solide en rotation par rapport à l’autre

lc(m)= coefficient de frottement de roulement (et lc= Mfr / Fn    où Mfr est le moment de la force de frottement)

 

MOMENT CINÉTIQUE

Un moment cinétique est le moment d'une impulsion, ramené (comparé) à l'angle de la rotation de l'objet

Dimensions : L2 .M.T-1.A-1       Symbole de grandeur : Mc      

Unité S.I.+ : J-s/sr ou J-s/rad

Voir chapitre spécial

 

MOMENT D’INERTIE CENTRIFUGE ( I*r)

C’est un moment d’inertie comparé à l’angle de rotation (la masse en cause est alors en rotation)

I*f = I / θ

I(kg-m²)= moment d’inertie d’une masse mobile autour d’un point

θ(rad)= angle plan de rotation de la masse

 

MOMENT DE ROTATION 

C'est MΓ un moment angulaire de force et ses synonyme sont moment de torsion , moment angulaire de couple (souvent dit tout simplement couple)

et en cas particulier moment gyroscopique

Et ce n'est en aucun cas un moment de couple de forces -qui , lui, est un moment

ordinaire, sans référence ni à un angle ni à une rotation-

MΓ est donc un moment de couple de forces ramené (comparé) à l'angle de

rotation

Equation aux dimensions  : L2.M.T-2.A-1    Symbole  : MΓ      Unité S.I.+ : Joule-couple

MΓ = F.l / 2θ  et  MΓ = f².I / 2θ  et aussi  MΓ = a’.Ir / θ

MΓ(J-couple)= moment de torsion (de rotation) du couple des forces F(N)

attachées au mobile quand il y a rotation θ(rad)

F(N)= l'une des forces

I(kg-m²)= moment d’inertie du mobile

l(m)= distance entre les forces

lr (m)= distance entre l'axe et l'une des forces

f(s-1)= fréquence de révolution (1 révolution = tourné 1 fois)

Ir(m²-kg/rad)= moment d’inertie centrifuge

θ(rad)= angle de rotation

a’(rad/s²)= accélération angulaire

 

Cas particulier du gyroscope (qui est une toupie à axe libre et il y a précession)

L'axe n'est plus fixe (il est libre) Le moment porte alors le nom de moment gyroscopique

Un objet en rotation autour d’un axe et ayant liberté de position, prend la position donnant le moment d’inertie maximal

MΓ = Mci.f       ou       E = Mci.ω

avec Mci(J-s/rad)= moment cinétique intrinsèque du corps

f(s-1)= fréquence de balayage

E(J)= énergie gyroscopique

ω(rad/s)= vitesse angulaire de précession

 

Relation entre moment de rotation et puissance

P = ω.MΓ     et aussi    P = 2F.lr.f

où MΓ(J-couple)= moment de rotation du couple de forces attaché au mobile

P(W)= puissance développée dans la rotation

ω(rad/s)= vitesse angulaire

lr(m)= rayon de rotation

F(N)= l'une des forces

f(s-1)= fréquence de balayage

Donc, pour une puissance donnée, quand la vitesse angulaire diminue, le moment du couple augmente.

Exemple d'un véhicule automobile : le couple aux roues est supérieur au couple de l'arbre moteur, car le vilebrequin du moteur tourne plus vite que l'arbre des roues

 

PUISSANCE d'une FORCE de ROTATION

P = MG.ω

où P(W)= puissance développée par un corps en rotation

MG(J-couple)= moment de torsion du couple de forces F(N) appliquées au corps

ω(rad/s)= sa vitesse angulaire

-autre forme de cette équation pour la puissance dans une rotation

P = 2F.lr.f   où  lr(m)= rayon de rotation

f(s-1)= fréquence de balayage

 

TORSION

C'est le phénomène affectant un corps soumis à un couple de forces

θ = Mf / MΓ

θ(rad)= angle plan de rotation dont tourne une barre encastrée soumise à un couple de forces à son extrémité libre (de moment Mf)

MΓ(J/rad)= moment de torsion (moment du couple de torsion auquel la barre est soumise)

-l’élongation angulaire est la variation de l’angle dans une torsion

 

TOUPIE

Mcp = dI*/ dt = Mf / ω

Mcp(J-s/rad)= moment cinétique propre

I*(kg-m²/rad)= moment centrifuge

Mf (N-m)= moment des forces appliquées

ω(rad/s)= vitesse angulaire

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