CIRCUIT HYDRAULIQUE

-circuit hydraulique

Un circuit hydraulique est un ensemble d'organes autorisant une circulation (écoulement) de liquide

RAPPEL des notions de base pour la pression

Equation aux dimensions(pression) : L-1.M.T -2       Symbole de désignation : p  

Unités de pression

-le Pascal (Pa) utilisé en macroscopie en général (pression)

1 kilogramme-force (ou kilogramme-poids) par mm² vaut 9,806.106 Pa

1 atmosphère (atm)(pression normale) vaut 1,01325.105 Pa

1 bar (b) vaut 105 Pa

1 kilogramme-force par cm² vaut 9,806.104 Pa

1 mètre d’eau vaut 9,806.103 Pa

1 pound per square inch (p.s.i) vaut 6,894.103 Pa

1 centimètre de mercure(= 10 torrs) vaut 1,333.103 Pa

1 millibar vaut 10² Pa

1 M.C.E (mètre de colonne d'eau) vaut  9,81 Pa (ou 0,0981 bar ou 98,1 mbar)

 

ÉQUATIONS FONDAMENTALES dans un circuit

L'ÉQUATION de BERNOULLI

C'est un bilan des pressions entre 2 points du circuit   Δp = p+ p+ p3

où p1(Pa) est la pression statique du liquide (pression ambiante, isotrope, agissant dans toutes les directions internes du liquide)

p2(Pa) est la pression de pesanteur, qui vaut (l.ρ'.g) avec l(m)= différence de niveau entre les 2 points, ρ'(kg/m3)= masse volumique du liquide, supposée indépendante de la pression et g(m/s²)= accélération de la pesanteur

p3(Pa) est la pression cinétique (c’est à dire provenant de l’écoulement) qui vaut

(1/2) (ρ'.v²)   où v(m/s)= vitesse d’écoulement du liquide

Mais si on écrit l'équation de Bernoulli avec des hauteurs d'eau : on a  Δl = l+ l+ l3

où Δl(m)= hauteur manométrique (ou hauteur de charge) totale, l1(m) = hauteur statique du liquide, l2(m) est la hauteur piézométrique, qui vaut (p / ρ'.g)

et l3(m) = hauteur résiduelle en sortie

L'ÉQUATION DE TORRICELLI

C'est un cas particulier de la loi de Bernoulli, pour l’écoulement d’un liquide par l’orifice d’une colonne creuse

La loi de Torricelli est p = (ρ'.v²) /2      or  p = ρ'.g.lh  d'où   v² = 2g.lh

avec p(Pa)= (sur)pression

v(m/s)= vitesse d’écoulement du liquide par un trou situé à profondeur lh

g(m/s²)= pesanteur

ρ'(kg/m3)= masse volumique du liquide



PERTURBATIONS dues à la GEOMETRIE du CIRCUIT

De nombreux éléments d'un circuit perturbent l'écoulement

(coude, diaphragme, pompe, etc)

Il y a donc à chaque fois une perte de charge qui sera symbolisée par pch et qui pourra se placer en facteur additif dans la loi de Bernoulli

PERTURBATION due à un COUDE

Il y a lieu d'ajouter à Bernoulli la pch qui est alors = K4.v² / 2g   où   K= 2 sin4θ

cet angle θ étant l'angle ouvert du coude (> 90°)

PERTURBATION due à un ORIFICE dans une PAROI EPAISSE du CIRCUIT

Le trou se nomme alors une tuyère

La loi de Torricelli devient >> Q = 0,98.So(2g.lh)1/2

PERTURBATION due à un ORIFICE dans une PAROI FINE du CIRCUIT

La loi de Torricelli devient >> Q = K5.So(2g.lh)1/2

K5est un coefficient numérique valant :

-si le trou est circulaire K5 = 0,59 à 0,65

-si le trou est rectangulaire K5 = 0,58 à 0,70

PERTURBATION due à un TUBE ÉTRANGLÉ (VENTURI)

Une aspiration (baisse de pression) est créée par un liquide en mouvement de vitesse élevée dans un tube étranglé (effet Venturi)

Si le tube est percé et en communication avec une pression environnante plus faible que celle créée dans le tube, il y a aspiration (succion) du fluide externe vers l’intérieur du tube

PERTURBATION due à une VARIATION LENTE de SECTION

La formule de Bernoulli devient alors >>> Δp = Δp- Δp2

où chacun des Δp vaut [p + l.ρ'.g + (ρ'.v²) / 2], comme défini dans ladite formule et les

indices 1 et 2 indiquent 2 points du tube

PERTURBATION due à un VIF ELARGISSEMENT du TUYAU

Le débit est donné par la formule de Borda :

Q = (S / 2g)[Δv² + K6.ve²]

S(m²) est la section d'entrée, g est la pesanteur, K6 est une constante numérique valant 0,11 et Δv est la différence des vitesse entrée (ve) et sortie

PERTURBATION due à un RETRECISSEMENT du TUYAU

Le débit est donné par la formule :

Q = (S / 2g).K7.v²    K7 est une constante numérique valant 0,50 (pour un petit rétrécissement et un peu moins pour un grand)

PERTURBATION due à un DIAPHRAGME

Le débit est donné par la formule :

Q = (S / 2g).K8.v²

K8 est une constante numérique valant 0,50 (pour un diaphragme de diamètre moitié de celui du tuyau) et jusqu'à 0,62 pour des diamètres très différents

PERTURBATION due à une POMPE

Le terme complémentaire de la loi de Bernoulli devient >>

-vrt².ρ' / 2g     où vrt est la vitesse tangentielle de la roue tournante et ρ'(kg/m3) la masse volumique du liquide

PERTURBATION due à une VANNE

Les orifices de vannes sont souvent de section So carrée, d'où un débit

Q = 0,70 So(2g.lh)1/2

PERTURBATION due à un AJUTAGE

Un AJUTAGE est un rétrécissement cônique percé dans une conduite de fluide

-Si l'ajutage est convergent de section So

le débit devient Q = 0,98 So(2g.lh)1/2

-Si l'ajutage est divergent de section S1

le débit devient Q = 0,82 S1(2g.lh)1/2

 

PERTURBATION due à un DEVERSOIR

Le débordement est l’écoulement d’un liquide par dessus un bord de son récipient (ou déversoir) Le débit en débordement Q(m3/s) est :

Q = 2Kc.lh.lc.(2g.lh)1/2

Kc(nombre)= constante de contraction - valeurs pratiques # 0,5 à 0,8

(Kc est fonction inverse de la profondeur de l'eau du bassin avant déversement et est donné par la formule de Rehbock)

lh(m)= hauteur de la vague déversante (prise nettement en amont)

lc(m)= largeur de ladite déversante et g(m²/s)= gravité (pesanteur)

PERTURBATION due à l'EPAISSEUR du TUYAU

Epaisseur recommandée pour un tube de conduite forcée :

lé= 10² p.ld     où lé(m) est l'épaisseur du tube, ld est le diamètre du tube et p (Pa) la contrainte de travail pour l'acier du tube



PERTURBATIONS dues à la STRUCTURE INTERNE du CIRCUIT

PERTURBATION due à la VISCOSITE

La formule de Bernoulli devient Δp = p+ p+ p+ pch

où pch est la pression résultant du travail résistant de la viscosité (= p.v / V)

PERTURBATION due à l'ECOULEMENT TURBULENT

Elle est proposée par la formule pragmatique de Colebrook-White

(1 / Kp)1/2 = 2log10[2,51 / nR.(Kp)1/2+ 0,27 i*j / ld]

avec Kp(nombre)= coefficient de perte de charge (ou de Darcy-Weisbach) valeurs entre 0,01 et 0,05

nR nombre de Reynolds ici compris entre 10et 108

lj (m)= épaisseur moyenne des rugosités, de valeur entre 5.10-5 et 5.10-2

ld (m)= diamètre du tube

-la perte de charge linéique (une variation de pression par unité de longueur) est

alors (dans ce tube) : Å c= (8p).[η.Q / lr4]

mêmes notations avec en outre Åc(en kg/m²-s²) = perte de charge linéique et

Q(m3/s)= débit-volume

PERTURBATION DUE à un COUP DE BÉLIER

Le coup de bélier est un choc tourbillonnaire, dû à une différence rapide de pression (soit par striction soudaine, soit par bouchage de tuyau, soit par cavitation)

Il y a alors création d'une onde (de choc) causant >> dans le fluide un écoulement turbulent et à l'extérieur le bruit de l'onde qui a fait vibrer les tuyaux

Z= Q / Δp(formule de Jankowski)

avec Δp(Pa)= élévation brusque de pression

Zh.(m4/kg-s)= impédance hydraulique

Ici l'impédance hydraulique est fonction de divers paramètres sous la formulation

Zh(m4-s/kg) = [S / (ρ'.ncm)]1/2

où S(m²) est la section de tuyauterie, ρ'(kg/m3) la masse volumique et ncm le module moyen de compressibilité -une contrainte- (moyen signifiant qu'il est un composite de la compressibilité adiabatique, de la compressibilité des gaz non dissous transportés dans le liquide et de l'élasticité des parois)

Q(m3/s)= débit-volume

Les évitements de coups de bélier peuvent être envisagés à travers des atténuations de variations trop rapides de pression (sous formes de by-passage, d'amortisseur gazeux ou de chambre d'équilibre)

 

PERTURBATION due à la RUGOSITE

La rugosité des conduites est l’importance des aspérités solides intérieures, gênant l’écoulement

-la rugosité relative i*j est le rapport (non dimensionnel) entre 2 longueurs

à savoir  i*= l/ ld

avec lo(m)= épaisseur moyenne d’aspérité dans un tube de  Φ = ld(m)

Elle est de l'ordre de 0,2% car les aspérités sont ( # en mm) de 2(béton)--0,1(fonte)--0,05(acier)--0,03(verre)--0,01(PVC)

-la rugosité absolue i*u  est définie par : i*u= i*x nR

avec (i*jci-dessus) et nR= nombre de Reynolds

Les ordres de grandeur de la rugosité absolue sont:

pour corps très lisses = 2% et pour corps très rugueux = 80%

-le coefficient de résistance yζ dans un écoulement en tube cylindrique à parois rugueuses

est: yζ(nombre)= 8F/ (∏.ρ'.v².l.ld)

avec F(N)= force de frottement

ρ'(kg/m3)= masse volumique

v(m/s)= vitesse moyenne de l'écoulement

l(m)= distance

ld(m)= diamètre

PERTURBATION due aux FRICTIONS dans une CONDUITE

-le débit se calcule par la formule pragmatique de Hazen-Williams

Q = 0,849 i*j.S.lr(0,53).K(0,54)

où Q(m3/s)= débit

i*j(nombre)= coefficient de rugosité (voir ci-dessus rugosité relative)

S(m²)= section de la conduite

lr(m)= rayon de la conduite

K(nombre)= constante de situation (fonction de la dénivellation, de la section, de la longueur...)

-perte de charge si friction

pour une section constante est donnée par la formule de Darcy-Weisbach

Elle donne la perte de charge en fonction des caractéristiques du conduit

dp = F'f.(l.v² / (2ld.g)

avec dp(Pa)= perte de charge

F'f(nombre)= facteur de friction Ce facteur de friction dépend du nombre de Reynolds, suivant une formule du genre K / (Rn)x

où K est un nombre (variable) et x un coefficient fractionnaire (variable également)

l(m)= longueur de la conduite

ldm)= diamètre de la conduite

v(m/s)= vitesse du flux

g(m/s²)= accélération de la pesanteur

 

VITESSES des flux

VITESSE du flux POUR un TUBE à SECTION CONSTANTE

-la loi de Poiseuille donne la vitesse pour le cas d’un tube de section circulaire constante, pour un écoulement laminaire

(et pour nombre de Reynolds <2100)

v = Δp.(lr² - lv²) / 4η.lt

lr(m)= rayon du tube, lv(m)= rayon du filet de liquide considéré

lt (m)= longueur du tube

η(pl)= viscosité dynamique

Δp(Pa)= variation de pression entre l'aval et l'amont du tube

Cette relation établit la valeur variable de la vitesse (parabolique envers le rayon)

Elle montre que la vitesse maxi est celle du filet central du tube

On peut aussi l’écrire sous la forme: grad.v = p.l/ η.lt

On utilise aussi (pour des tubes à faible rugosité ) la formule de Prandtl-Colebrook >>

v = [2,5.n / ld(2g.tgj.ld)1/2 – K / 3,7.ld].(2g.tgφ.ld)1/2

où g = pesanteur, tgφ = pente, ld = diamètre tuyau, K= rugosité en % et n = visco cinématique, très variable avec la température

On a alors le débit = (p.ld².v) /4

-valeurs pratiques de vitesses v(en m/s) pour l'eau, dans une conduite droite, en fonction du débit Q (en m3/heure)

tuyau de diamètre 10 mm (3/8 '') >> v = 3,5.(Q)

tuyau de diamètre 20 mm (3/4 '') >> v = 0,87.(Q)

tuyau de diamètre 32 mm (1 1/4 '') >> v = 0,35.(Q)

tuyau de diamètre 50 mm (2'') >> v = 0,14.(Q)

tuyau de diamètre 100 mm (4'') >> v = 0,035.(Q)

tuyau de diamètre 300 mm (12'') >> v = 0,004.(Q)

 

VITESSE d'un LIQUIDE SORTANT d'un TUBE

C'est le cas extrême de la formule précédente, à la sortie du tube, soit  

v = y.(2Δp /ρ')1/2 qui est la même formule que pour les liquides parfaits, avec application d’un coefficient correcteur (y) , valant 3 à 10% pour des viscosités moyennes

 

DEBIT d'un flux HYRAULIQUE dans une CONDUITE

voir extrait d'abaques chapitre débit-volume

 

PRESSIONS dans les CONDUITES

La pression est toujours le rapport >> force / section

Dans une conduite circulaire de diamètre constant, droite, courte, en matériau non rugueux, la force est le poids d'eau qui franchit une section

Et ce poids est aussi le produit (Q.v.ρ') , c'est à dire

= volume(m3) x vitesse (m/s) x masse volumique (kg/m3)

d'où  p = 4.Q.v.ρ' / p.ld² 

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