FORMULES de PHYSIQUE
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CONSTANTES de COUPLAGE
-constantes de couplage
Une constante de couplage est un coefficient multiplicateur --dimensionnel ou non-- exprimant l'importance d'une relation entre 2 notions. Exemples:
-une constante de couplage en chimie: est une fréquence, égale au rapport (énergie)/(action) x (nombres magnétiques de 2 noyaux)
-une constante de couplage en mécanique est une fréquence, égale à [(f02 + (z/I/l) ]1/2 où f0 est la fréquence d'un premier pendule et z la constante de torsion de la barre de longueur l qui le relie à un second pendule ayant un moment d'inertie I
-la constante de couplage de Fermi de valeur = 1,166.10-5 GeV-2
-une constante de couplage en interactions particulaires(voir détail ci-dessous) est un nombre, égal à
[(charge de l'une des 2 particules induites)x (charge de l'autre particule induite) x (facteur de milieu) / c.h] où (c.h) est la constante de conversion
-une constante de couplage en électromagnétisme est le rapport adimensionnel égal à :
inductance mutuelle /[(coefficient d’auto-induction d'un circuit)x(coefficient d’auto-induction de l'autre circuit)]1/2
Cas des constantes de couplage pour interactions particulaires
La force d'interaction entre 2 masses (charges induites) est exprimée en version macroscopique par la loi de Newton-Coulomb.
Mais quand il s’agit de particules, il faut affiner son expression, car il s'agit alors d'une extrême proximité de plusieurs composants massiques chargés
à l'intérieur des noyaux atomiques.On attribue alors aux forces newtoniennes un correctif multiplicateur (1 + α) où α est dit constante de couplage
Les masses considérées sont:
-soit non chargées et éloignées: c'est le domaine gravitationnel
-soit chargées et éloignées: c'est le domaine électrique
-soit chargées ou non, mais très proches (10-15 mètre) : c'est le domaine de l'interaction forte
-soit chargées ou non, mais encore plus proches (10-18 mètre) : c'est le domaine de l'interaction faible
Chaque domaine a droit à sa constante de couplage spécifique. Et comme l’équation exprimant les forces d’interactions entre trois corps n’est pas mathématiquement exprimable, on esquive en présentant la valeur de chaque α par une mise en viriel >>
α = K1(l1/l2) + K2(l1/l2)2 + K3(l1/l2)3 + …. où l1(m)= distance entre les entités-charges induites (les globales) et l2 (m)= distance maximale d’interaction entre leurs constituants (les quarks/antiquarks constitutifs) Les Ki sont des coefficients numériques
Donc la loi de Newton devient (en version générale) F = [X1.X2].∏.(1 + α] / Ω.l1²
où F(N)= force d'interaction
X1 et 2 sont 2 charges induites de même nature en interaction (ce sont des masses, chargées éventuellement de charges électriques/magnétiques ou bien des charges de couleur ou saveur
∏ est l’un des facteurs (ou coefficients) de milieu, c’est à dire la caractéristique du vide impliquée dans cette interaction.
-dans le cas de la gravitation, ce facteur ∏ est la constante de gravitation (G)
-dans le cas de l’électricité, ∏ est l’inductivité (ζ’)
Ω(sr) est l'angle solide à l’intérieur duquel s’effectue l’interaction et qui est en général l’espace entier (4 p stéradians pour les systèmes d'unités utilisant le stéradian comme unité d'angle solide)
l1(m)= distance entre les charges X1 et 2
α est la constante de couplage définie ci-dessus (αg pour la gravitation, αs pour la forte, αé pour l’électricité, αw pour la faible)
Aucune des α n'est "constante" au sens formel, car chacune varie en fonction de la portée d’interaction interne l2 et aussi en fonction de la taille (ou énergie) des particules constitutives. Ceci cause des différences numériques sensibles
Les valeurs des 4 constantes de couplage s’échelonnent (v. ci-dessous) entre ~ 10-1 et 10-39
Certains évoquent qu'à une certaine époque de sa vie primitive, l'univers devait avoir une uniqueconstante de couplage, sous prétexte que les particules devaient à cette époque être toutes d'une grosse masse > 10-20 kg
-CALCUL d'une CONSTANTE de COUPLAGE
On applique la loi de Newton-Coulomb envers 2 particules induites similaires, sachant que -quel que soit le cas d'interaction– on a toujours la même relation ci-après (en première approximation) α = (charge de la particule induite)² x (facteur de milieu) / 2.c.h)
avec α(nombre)= constante de couplage
h(J-s/rad)= valeur particulière d'action, dite constante de Planck = 6,62606876.10-34J-s
c(m/s)= constante d'Einstein (2,99792458 .108 m/s)
Nota : α est fonction de la charge, donc sous-entendu de l'énergie des particules en cause dans la formulation
-CONSTANTE DE COUPLAGE EN GRAVITATION
En gravitation αg = m².G /2.c.h
αg (nombre)= constante gravitationnelle de couplage
G= constante de gravitation [8,385.10-10 m3-sr/kg-s²]
m(kg)= masse de chacun des 2 fermions légers identiques qui s'attirent
h= action (constante de Planck) = 6,626.10-34 J-s
c= constante d'Einstein (3.108 m/s)
W= angle solide de transmission (4p pour les systèmes d'unités ayant le stéradian comme unité)
Le calcul numérique, fait pour le proton (le plus courant des fermions légers) donne
αg = [(1,672)².(10-27)².(8,835.10-10)]/2.(3.108).(6,63.10-34). ~ 6.10-39
Pour des particules plus lourdes, αg atteint une valeur 20 fois + forte
Pour des fermions très léger, αg est 10 fois + faible
-CONSTANTE DE COUPLAGE EN ÉLECTRICITE
La formule de calcul est αé = Q².ζ’0 / 2c.h)
αé(nombre)= constante du couplage électrique
Q(C)= charge électrique unitaire (e)
ζ’0(m-sr/F)= inductivité du vide (1,12941.1011 m-sr/F) (ζ’0 est l’inverse de la permittivité ε0)
h est la constante de Planck et W l’angle solide
Le calcul numérique de cette constante de couplage, fait sur l’électron de 1° orbite de Bohr, donne une valeur de
αé = [(1,602.10-19)².(1,129.1011)]/2.(3.108).(6,63.10-34) = 7,29735307.10-3
(ou ~ 1/137 ) dite constante de structure fine
On calcule aussi αé à l’aide de la formule de Sommerfeld:
E = [R∞.h.c.Z²/ n²].[1+ KS.(Z.αé/ n)²]
KS(nombre de Sommerfeld)= (8n- 6J -3) / (8J + 4)
n= nombre quantique principal
J= nombre quantique de moment cinétique global
R∞(m-1)= constante de Rydberg
Pour les électrons de haute énergie, la constante de couplage αé (qui perd son nom "de structure fine") atteint 7,4.10-3
-CONSTANTE DE COUPLAGE EN INTERACTION FORTE
La constante est symbolisée αs (s comme strong) et la formule devient αs = XS² / 2c.h)
où XS est une charge d'induction forte (couleur)
Les mesures faites avec des mésons de diverses énergies, donnent
une αs = 0,30 pour 5GeV/c²// de 0,15 pour 25GeV/c² // de 0,12 pour 85GeV/c²
-CONSTANTE DE COUPLAGE EN INTERACTION FAIBLE
La constante est alors symbolisée αw (w comme weak) et la formule devient αw = Xw² / 2c.h)
où Xw est une charge d'induction faible (saveur)
La mesure donne --pour un muon-- αw = ~ 5,6.10-6