FORMULES de PHYSIQUE
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PERMéABILITé FLUIDIQUE et POROSITé
-perméabilité fluidique et porosité
PERMEABILITE (FLUIDIQUE) PROPREMENT DITE
C’est un débit (le volume de fluide qui traverse un matériau, en un temps donné, à T.P.N).
Equation aux dimensions :L3.T-1 Symbole de désignation : Qp Unité S.I + : m3/s
-perméabilité d'une membrane
Qp = V / t
avec Qp(m3/s)= perméabilité d’un matériau
V(m3)= volume transféré
t(s)= temps de traversée
-perméabilité d'une paroi
Qp = Po / Δp
avec Qp(m3/s)= perméabilité de la paroi
Po(W)= puissance transmise (appelée flux osmotique)
Δp(Pa)= différence de pression osmotique
-perméabilité pour une solution
Qp = Po.V* / R*m.T
avec V*(m3/mol)= volume molaire du solvant
R*m(J/K-mol )= constante molaire (8,314J/mol-K)
T(K)= température absolue
-cas d’osmose inverse
si on applique une pression hydrostatique opposée sur le côté concentré, on diminue (ou même annule) la pression osmotique.
Le solvant pur se dirige alors du "concentré" vers le "dilué" La perméabilité est alors :
Qp = νo.p.Vm.S / R*m.l.T ou encore Qp = fp / ΔV
où Qp(m3/s)= perméabilité de la membrane
νo(m²/s)= constante de diffusion
p(Pa)= pression osmotique
S(m²)= section de la membrane
R*m(J/K-mol)= constante molaire (8,314 J/mol-K)
T(K)= température(absolue)
l(m)= épaisseur active de la membrane
fp(particules/s)= flux de particules
ΔV(m3)= différence de volumes
-perméabilité d'un sol (terrain) loi de Darcy
La loi de Darcy sur la perméabilité d'un sol >>
Qp = Eh.j'
avec Qp(m3/s)= perméabilité du terrain
Eh(J)= potentiel hydraulique
j'(m-s/kg)= fluidité
On peut aussi l'écrire sous la forme suivante >>
Qp = vp.S Δlh / l
avec Qp(m3/s)= perméabilité du terrain
S(m²)= section
vp (m/s)= le coefficient de Darcy
Δlh(m)= hauteur d'eau dite piézométrique (au-dessus du sol)
l(m)= hauteur de pénétration
Cette équation est valable à température normale et pour un nombre de Reynolds faible
En outre elle est théorique, car la perméabilité dépend de la porosité, de la forme des granulats, du degré de saturation antérieur.
La perméabilité d'un sol entraîne de prendre en compte une autre notion, qui est le pourcentage de rejet d'eau (de pluie) non absorbé par le sol
sur béton ou asphalte(97%)--sur gravier(75%)--sur gazon dense(45%)--sur gazon léger(25%)-- sur sol caillouteux(25%)--sur champ labouré(10%)
-la perméabilité est fonction de la température
Qp = R*m.t.T.l / m’
avec Qp(m3/s)= perméabilité du matériau
R*m(J/K-mol)= constante molaire des gaz (8,314 J/mol-K)
t(s)= temps de traversée
T(K)= température
l(m)= épaisseur de la membrane (paroi) poreuse
m’(kg/mol)= masse moléculaire ducorps filtrant
-perméabilité aux gaz
Des solides se laissent imprégner par des gaz.
Exemple du verre, perméable aux gaz, avec un taux de l'ordre de 10-11cm3par seconde, pour 1 mm de verre traversé, par cm² de surface
-facteur de formation
c'est un rapport (adimensionnel) entre la conductivité électrique du fluide conducteur, comparée à la conductivité du milieu solide poreux
-perméabilité géologique
C'est une notion applicable à la diffusion de l’eau dans un sol, vers la nappe aquifère
Equation aux dimensions : L2.T-1 (c'est un coefficient de transport, comme la constante de diffusion)
Symbole :ng Unité S.I.+ : m²/s
ng = vp.l et ng = P / W’
ng(m²/s)= coeff. de transmissivité géologique
vp(m/s)= vitesse de perméabilité
l(m)= épaisseur de la nappe d’eau libre (celle qui est au-dessus de la nappe prisonnière)
P(W)= puissance
W’(J/m²)= énergie surfacique
-perméabilité intrinsèque
C'est le rapport (perméabilité hydraulique [Qp ] qui est un volume diffusé en un certain temps) / [vh ] (le coefficient de Darcy, qui est une vitesse de traversée)
Equation aux dimensions structurelles : L2 Symbole de désignation : Sh Unité S.I + : m2
On utilise pratiquement l'unité Darcy, qui vaut 10-12 m²
Définition Sh = Qp / vp
avec Sh(m²)= perméabilité intrinsèque
Qp(m3/s)= perméabilité du terrain
vp(m/s)= coefficient de perméabilité (qui peut être de Darcy)
Exemple: pour graviers de granulométrie (diamètre Φ mm), la perméabilité intrinsèque est
Sh = 6,5.10-4 Φ²
-perméabilité molaire
Notion exprimant la perméabilité d’une paroi, en rapport avec la quantité de matière (la mole) d'un produit (utilisé surtout en biologie, pour cellules, sang....)
Equation aux dimensions : L3.T-1.N-1 Symbole z’ Unité S.I.+ : m3s-1-mol-1)
z’ = R*m.g.d’
avec Rm(J/K-mol)= constante molaire (8,314 Joule/Kelvin-mol)
g(m/s²)= pesanteur
d’(kg/s-K)= coefficient de convection
COEFFICIENT de PERMÉABILITÉ (ou COEFFICIENT de DARCY)
Equation aux dimensions structurelles (comme une vitesse) : L.T-1
Symbole de désignation : vp Unité S.I.+ : m/s (mais les unités d'usage sont le mètre par jour qui est 86400 fois moindre) et le cm/ s qui vaut 100 fois moins
-cas des terrains
le coeff. de Darcy est vp= vitesse de diffusion de l’eau à travers le terrain
(valeurs, exprimés en m/s) : craie(1 à 5)--grès et graviers(100 à -4)--sables(10-1 à -3)--
schistes(10-4 à -7)--marnes(10-8 à -9)--argiles(10-6 à 8)--granit sans failles(10-11)
en deçà, c'est imperméable
La formule de Hazen en donne une valeur approchée :
vp = K.(ø²) où K = nombre de 1 à 1,5 et ø(millimètre) = diamètre moyen de la granulométrie
-cas du coeff. de Darcy d'un matériau
vp(m/s) est la vitesse de traversée d'un fluide à travers un matériau
vp = Sh.ρ'.g) / η
où Sh est la perméabilité intrinsèque
ρ'(kg/m3)= masse volumique du fluide perméant
g(m/s²)= pesanteur
η(pl)= viscosité dynamique
-relation entre coefficient de Darcy et conductivité hydraulique
vp = a* / ms
avec a*(m-s/m3)= conductivité hydraulique
ms(kg/m²)= masse surfacique
-relation entre coefficient de Darcy et perméabilité (hydraulique)
vp = Qp / S ou vp = V / S.t
avec vp(m/s)= coefficient de perméabilité
S(m²)= section de porosité
(unité d’usage de S : le Darcy, valant 9,86923.10-7m²)
V(m3)= volume fluide traversant la section S(m²) dans le temps t(s)
On suppose ici une pression p normale et une viscosité η normale (0,01 poiseuille)
-valeurs pratiques du coeff de Darcy hydraulique
matériaux sableux vh = 10-5 à 10-4 m/s
matériaux argileux vh = 10-6 à 10-8m/s
PERMÉATION
c’est le phénomène exprimant le passage d’un perméat (fluide) à travers une surface (section) d’un matériau poreux, pendant un certain temps.
Dimension L-2.M.T-1 unité S.I.+ : le kg/m²-s et unité d’usage le microgramme/ cm² et / minute)
Relations usuelles B*p= m / S.t et B*p = Dp.S / Q
où B*p(kg/m²-s) est la perméation, m(kg) la masse, S (m²) la surface ou section de la paroi poreuse, t(s) la durée de traversée du fluide, Dp(Pa) la différence de pression et Q(m3) la perméabilité, qui est un débit
Nota: on trouve parfois la formule écrite sous la forme B*p = Kp.Dp.S
où Kp est un coefficient de perméance (inverse d’un débit)
PERCOLATION
c’est une perméabilité, avec circulation improbable du fluide, due aux variations de cohérence du terrain
(les interstices du matériau ressemblant alors à un labyrinthe en 3D)
POROSITÉ
La porosité (ou coefficient de porosité ou indice des vides) est la notion exprimant le stockage d'un fluide dans un solide (cas de l'éponge) tandis que la perméabilité -vue ci-dessus- est une notion de traversée d'un fluide à travers un solide (tel un tamisage)
La définition de la porosité est = pourcentage du volume des vides (pores ou fissurations), rapporté au volume total (grains) d'un matériau perméable.
On considère qu'il y a
1.une partie de ces vides (dite porosité mobile) qui concerne les vides destinés à un passage d'éléments (liquides) susceptibles de ne stagner que temporairement
2.une autre partie (dite de retenue) destinée à un stockage-rétention des éléments liquides
La porosité (symbole yn) est exprimée en pourcentage
yn = (ρ'a - ρ's) / ρ's où ρ'a est la masse volumique apparente du matériau (c'est à dire foisonné) et ρ's la masse volumique du matériau sec
Les masses volumiques ρ's des terrains vont de 1,4 (usuels) à 2,65 (quartz)
Valeurs pratiques de la porosité
roche poreuse(45 à 65%)--sable homogène(35 à 45%)--sable hétérogène(30 à 40%)--terrains courants(37%)-- argile(38 à 80 % et même plus, car le volume augmente)-- marne(30%)--laine minérale(96%)--feutre(86%)--solides microporeux(35%)
La teneur en eau d'un sol est fonction de sa porosité et peut atteindre 94% à saturation
La porosité d’un matériau peut aussi être mesurée par le rapport entre la vitesse du son à l’extérieur du matériau et la vitesse du son dans le matériau
-diamètre maxi des particules retenues
Φ(m)= K.W' / p avec
K(nombre) = coefficient de forme
W'(J/m²)= tension superficielle
p(Pa)= pression
PERMÉANCE
C'est une notion utilisée pour exprimer l'aptitude d'un matériau à laisser passer une vapeur
et c’est par définition= épaisseur du matériau traversée / coefficient de perméabilité
La perméance a la dimension d’un temps, mais l'unité pratique est le (gramme par heure par mètre et par millimètre de mercure) valant 2.10-7 seconde
Les valeurs pratiques (en g / h-m-mm Hg) vont de 0,005 à 0,1 selon la densité du matériau
RÉSISTANCE à la DIFFUSION de VAPEUR
La résistance à la diffusion est l'inverse de la perméance ci-dessus :
cette résistance est le rapport (coefficient de perméabilité) / (épaisseur traversée)
c’est aussi le rapport (temps x épaisseur x pression de vapeur) / (masse de vapeur)
En fait c'est la fréquence de passage
Dimension T-1 unité S.I. + la s-1